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剛体の運動(重心運動と回転)
角速度、角運動量、慣性モーメント、
回転半径、外力のモーメント(トルク)
回転体の運動方程式、エネルギーバランス
Copyright (c) 2006 宮田明則技術士事務所
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剛体の運動は、次の二つの運動の和として扱うことができる
(1)重心に全重量を集めた１質点としての運動
(2)重心の周りの回転運動
重心(質点)の運動は、
d 2r0
dv
F
M
=
=
M
dt
d t2
重心の位置ベクトル r0 = x0 i + y0 j + z0k = ( x0 , y0 , z0 )
外力のベクトル F = Fx i + Fy j + Fz k = ( Fx , Fy , Fz )
速度ベクトル v = v x i + v y j + v z k = (v x , v y , v z )
y
F
G
ω,N
r0
ω,L,N
z
o
質量M
x
重心の周りの回転運動は、
d 2θ
dL
I 2 =N=I
dt
dt
2
d r0
d 2θ
質点 m 2 = F ⇔ 回転体 I 2 = N
dt
dt
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2
y
2次元剛体の重心の座標(密度 = ρ )
ydm ∫ yρdxdy
xdm ∫ xρdxdy
∫
∫
S
S
S
x=
=
,y=
= S
∫ dm ∫ ρdxdy
∫ dm ∫ ρdxdy
重心の座標
S
S
x
o
S
S
S
運動方程式
d 2x
d2y
d 2θ
質点 m 2 = f x , m 2 = f y ⇔ 回転体 I 2 = N
dt
dt
dt
抵抗体、またはダンパー、復元力があるとき、
d 2r
dr
d 2θ
dθ
m 2 +b
+ kr = f , I 2 + B
+ Kθ = N
dt
dt
dt
dt
dy
dx
y
x
運動エネルギーKE
2
2
1 2 1 ⎧⎪⎛ d x ⎞ ⎛ d y ⎞ ⎫⎪
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ ⎬
質点：KEM = mv = m⎨⎜⎜
2
2 ⎪⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎪
⎩
⎭
2
1 2 1 ⎛ dθ ⎞
⎟⎟
回転体：KE I = Iω = I ⎜⎜
2
2 ⎝ dt ⎠
ポテンシャルエネルギーPE
PE = mgh など
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dθ
のときの諸量
dt
[質点 iについて], ω ⊥ ri、ri ⊥ fi のとき、
速度 vi = riω = (ω × ri )
運動量 pi = mi vi = mi riω = (mi ω × ri )
角運動量　li = ri mi vi = mi ri 2ω = (mi ri × (ω × ri ))
外力のモーメントni = ri f i = (ri × f i )
[剛体]
角運動量 L = ∫ r 2ωdm = ω ∫∫ ρr 2 dxdy = Iω
角速度 = ω =
重心の周りの回転運動
y
v = rω
(= ω × r )
S
× r(x, y )
o
S
(
) N = ∑ ni
外力のモーメントトルク
ω
S
x
ω, L, N
I = ∫ r 2 dm = ∫∫ ρr 2 dxdy を慣性モーメント
S
S
質量をMとして、I = MK 2 としたとき、
K を「回転半径」という。
S
運動方程式
d 2 xi d p x
d 2 yi d p y
=
= f xi , mi
=
= f yi
質点　mi
2
2
dt
dt
dt
dt
⎛ d pi
⎞
⎜⎜
= f i ⎟⎟
⎝ dt
⎠
d li
= ri f i
質点の回転
dt
dL
dω
d 2θ
=I
=I 2 =N
剛体の回転
dt
dt
dt
⎛dL
⎞
⎜⎜
= N ⎟⎟
⎝ dt
⎠
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物体の形状
軸の位置
円柱
重心を通り円柱の軸に垂直な線
円柱
円柱の軸に一致
中空の円柱
円柱の軸に一致
中空の円柱
重心を通り円柱の軸に垂直な線
球
中心を通る線
中空の球
中心を通る線
直角柱
相対する面の中央を通る線
環
一直径の周り
環
中心を通り環の面に垂直な線
回転半径の二乗K2
l2 r2
+
12 4
r2
2
R2 + r 2
2
R 2 + r 2 h2
+
2
12
2r 2
5
記号
⎧r = 半径
⎨ l = 長さ
⎩
r = 半径
⎧ R = 外の半径
⎪
⎨ r = 内の半径
⎪⎩ h = 長さ r = 半径
2 R5 − r 5
5 R3 − r 3
a2 + b2
12
R = 外の半径
r = 内の半径
a, b = 軸が貫く
面の両辺の長さ
R 2 5r 2
+
2
8
3r 2
2
R +
4
R = 環の半径
r = 環断面の
円の半径
出典：守屋富次郎、「力学概論」
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N
例１．円板,円柱、
半径 a,
単位面積当り質量ρ
a
I = ∫ r ρdr × 2πr = 2πρ ∫
2
0
a
0
a2
= ρπa ⋅
2
M = ρπa 2
a4
r dr = πρ
2
3
2
r
dr
4
2
a
a
K 2 = I / M = 2πρ / ρπa 2 =
4
2
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N
例2．角棒、丸棒
長さ L 、　単位長さ当り質量ρ
L
L
I = ∫ x ρdx = ρ ∫
ρ
o
x
2
0
0
M = ρL
2
例3．球
半径 r ,単位体積当り質量ρ
I = 2∫
r dφ
φ
r
π /2
πr 4 cos 4 φ
0
= πρr
r cos φ
L3
L2
x dx = ρ = ρL ⋅
3
3
2
L3
L2
K = I / M = ρ / ρL =
3
3
dx
r d φ cos φ
L
π /2
5
∫
0
× ρ r dφ cos φ
2
cos 5 φ dφ
π
⎤2
⎡ cos φ sin φ 4
2
= πρr ⎢
+ sin φ cos φ + 2 ⎥
5
15
⎦0
⎣
8πρr 5 4 ρπr 3 2r 2
4 ρπr 3
=
=
,M=
,
15
3
5
3
8πρr 5 4 ρπr 3 2 2
2
= r
K = I /M =
/
15
3
5
4
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(
)
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ρ (R + l )2 dl ⋅ 2π (R + l )(rd φ cos φ )
3
= ρ (R + l ) 2πr cos φd φdl
例3　環
π /2
R
r
全体積 = 2πR × πr 2
r cos φ
3
⎛
(
I = 4πr ρ ∫ ⎜ ∫
R + l ) dl ⎞⎟ cos φd φ
0
⎠
⎝ − r cos φ
4 r cos φ
π / 2 ⎡ (R + l ) ⎤
= 4π r ρ ∫ ⎢
cos φd φ
⎥
0
⎣ 4 ⎦ − r cos φ
= 4π r ρ ∫
π /2
0
= 8π Rr ρ ∫
2
π /2
0
R
l dl rd φ
r cos φ
φ
(
)
φ )d φ
2 Rr cos φ R 2 + r 2 cos 2 φ cos φd φ
(R
2
cos 2 φ + r 2 cos 4
3π 2 ⎞
⎛π
= 8π Rr 2 ρ ⎜ R 2 +
r ⎟
16 ⎠
⎝4
3 ⎞
⎛
= 2π 2 Rr 2 ρ ⎜ R 2 + r 2 ⎟
4 ⎠
⎝
3 ⎞
⎛
= 2π R ⋅ π r 2 ⋅ ρ ⎜ R 2 + r 2 ⎟
4 ⎠
⎝
3 ⎞
⎛
= M ⎜ R2 + r2 ⎟
4 ⎠
⎝
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例題１　機械H17-Ⅳ-12　T
θ T
I
h+r
r
mg
まず、滑車の重心の運 動は：
d 2x
横方向の力は 0 → m 2 = 0
dt
垂直方向では、固定点 の抗力を T として
d 2h
m 2 = mg − T L (1)
dt
が成り立つ。
回転については、
d 2θ
I
= Tr L ( 2)
d t2
また、次式が成り立つ 。
h = rθ LL (3)
この後は、式の計算で ある。
(1), (2 ), (3) から、 T , θ を消去する。
d 2h
d 2 h I d 2θ
m 2 + T = mg = m 2 +
dt
dt
r d t2
d 2h I d 2h
=m 2 + 2
dt
r d t2
d 2h ⎛
I ⎞
∴ 2 ⎜ m + 2 ⎟ = mg
dt ⎝
r ⎠
d 2h
mgr 2
=
2
dt
I + mr 2
2度積分して、(t = 0 で h = 0, dh / dt = 0 )
dh
mgr 2
mgr 2 t 2
=
t, h =
dt I + mr 2
I + mr 2 2
1 2 h I + mr 2
∴t =
r
mg
また、
2 mgh
dθ 1 dh
mgr
t
=
=
=
d t r dt I + mr 2
I + mr 2
(
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)
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前問で、m を滑車の質量とし、
滑車を均質な円板とすれば、Iが
容易に求められる。
それを用いて、落下時の加速度
及び抗力Tを求めよ。
[参考 ]
2
t d h
t 2
dh
2
落下速度 : v =
dt
gdt
gt
=∫
=
=
2
∫0 3
0 dt
dt
3
t
t 2
1
落下高さ : h = ∫ vdt = ∫ gt = gt 2
0
0 3
3
回転の角速度と回転角
d φ 1 d h 2 gt
h
ω=
=
=
,φ =
dt r dt
r
3r
円板の慣性モーメント I は、
運動エネルギー
r2
I = m であるから、
重心の運動による KE M と、回転による KE I
2
2
1
1 ⎛2 ⎞
2
2
d 2h ⎛
I ⎞
KE
=
mv
=
m
gt
=
mg 2 t 2
⎜
⎟
+
=
は、
m
mg
M
⎟
⎜
2
2 ⎝3 ⎠
9
d t2 ⎝
r2 ⎠
2
1 2 1 mr 2 ⎛ 2 gt ⎞
1
d 2h ⎛
m ⎞ d 2 h 3m
KE I = Iω =
= mg 2 t 2
⎜
⎟
+
=
=
m
mg
⎜
⎟
2
2 2 ⎝ 3r ⎠
9
d t2 ⎝
2 ⎠ d t2 2
失った位置エネルギー − PE
d 2h 2
∴ 2 = g
1
1
dt
3
− PE = mgh = mg ⋅ gt 2 = mg 2 t 2
3
3
すなわち重力の加速度 の 2 / 3 となる。
− PE = KE M + KE I が成り立つ。
滑車のない単純な落下 では、
(1)式から、
また、
− PE = KE M
2
d h
2g 1
であるから、滑車の挿 入により、滑車の
T = mg − m 2 = mg − m
= mg
dt
3
3
回転エネルギー分速度 エネルギーが減少
したことになる。
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例題2　斜面を転がる円板
d 2φ
I
= Fr L (3)
2
dt
また、次式が成り立つ 。
x = r φ LL ( 4 )
r2
2
I = MK = M L (5 )
2
y
B
o
R
φ
α
G
F A
Mg
α
まず、滑車の重心の運 動は：
x方向 : 斜面の摩擦力を F として、
d 2x
M
= Mg sin α − F L (1)
d t2
y方向 : 斜面の抗力を Rとして
d2y
M
= Mg cos φ − R L ( 2)
d t2
が成り立つ。
回転については、
x
斜面の存在により、 y 方向には運動がないの
で, (2 )式は 0 になる。
∴ R = Mg cos α
I 1 d 2 x MK 2 d 2 x
(2 )(4 )(5 )から、 F =
= 2
r r d t2
r d t2
(1)に代入して、
⎛
K 2 ⎞ d 2x
M ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2 = Mg sin α , (5 )を利用。
r ⎠dt
⎝
d 2x
r2
1
=
g
α
=
g sin α
sin
d t2 r2 + K 2
1+1/ 2
2
= g sin α
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x方向の加速度
d 2x
r2
2
A= 2 = 2
g
α
g sin α
=
sin
2
dt
r +K
3
x方向の速度
2
t d x
dx
r2
V =
dt = 2
g sin α ⋅ t
=
d t ∫0 d t 2
r + K2
2
= g sin α ⋅ t
3
x方向の位置
t d x
1 r2
g sin α ⋅ t 2
x=∫
dt =
2
2
0 dt
2r +K
1
= g sin α ⋅ t 2
3
角速度
d ⎛ x⎞ 1
ω=
⎜ ⎟= V
dt⎝r⎠ r
エネルギーバランス
1
PE = − Mgx sin α = − Mg 2 sin 2 α ⋅ t 2
3
2
1
1 ⎛2
⎞
2
KE M = MV = M ⎜ g sin α ⋅ t ⎟
2
2 ⎝3
⎠
2
= Mg 2 sin 2 α ⋅ t 2
9
2
1 2 1
1
r2 ⎛V ⎞
2
KE I = Iω = M
⎜ ⎟ = MV
2
2
2 ⎝r⎠
4
1
= Mg 2 sin 2 α ⋅ t 2
9
− PE = KE M + KE I
もし、斜面に摩擦がな いときは、 F = 0
となり、回転はなく、
加速度 A = g sin α
速度 V = g sin α ⋅ t
1
位置
x = g sin α ⋅ t 2
2
位置エネルギー PE の減分
1
PE = − Mgx sin α = − Mg 2 sin 2 α ⋅ t 2
2
運動エネルギー KE
1
1
2
KE = MV 2 = M ( g sin α ⋅ t )
2
2
1
= Mg 2 sin 2 α ⋅ t 2
2
− PE = KE が成り立つ。
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追加　基準点を変えたときのI
重心の周りの慣性モー メントを I g とする。
任意の点 A の周りの慣性モーメン トを I A
とする。
I g = ∑ (ri − rg )•(ri − rg )mi
y
i
= ∑ (ri • ri )mi + ∑ (rg • rg )mi − 2∑ (ri • rg )mi
i
S
ri − rg
G×
rg
o
ω, L, N
A
m
i
i
⎛
⎞
⎛
⎞
= ∑ ri 2 mi + ⎜ ∑ mi ⎟ rg2 − 2⎜ ∑ ri mi ⎟ • rg
i
⎝ i
⎠
⎝ i
⎠
2
= I A + Mrg − 2 Mrg • rg
= I A − Mrg2
∴ I A = I g + Mrg2
i
ri
x
すなわち、任意の点 A の周りの慣性
モーメントは、重心の 周りのモーメ
ントに、重心に全重量 が集まったと
見なした A 点の周りのモーメント を
加えた値に等しい。
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応用　基準点を変えたときのI
剛体振子
r = l sin θ
O
θ
l
運動方程式は、θ を減少させる向き
のトルクが働くから、
2
2 d θ
= −l sin θ × Mg ≈ − Mgl θ
I +Ml
d t2
d 2θ
Mgl
g
≈
−
=
−
θ
θ
2
2
2
2
2
dt
MK + M l
K +l /l
L = K 2 + l 2 / l の単振子に相当する
ことがわかる。
l
(
G
)
(
I=MK2
)
(
)
f = Mg
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