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 平成 26 年度数学Ｃ演習 ２
（ H26.
担当 佐藤邦 ）
（ 次回の講義開始時に回収します。
解以外の途中の計算等も余白に書くこと。 ）
問１
学籍番号
氏名
２点 P0 , P1 を通る直線の方程式を求めよ。
⃝
1 P0 (3 , 1 , −2), P1 (−2 , 5 , 2)
(
)
t0
x − x0
y − y0
z − z0
(分母 ̸= 0) に代入する。
=
=
=
t1
x1 − x0
y1 − y0
z1 − z0
y−1
z − (−2)
x−3
y−1
z+2
x−3
=
=
, より −
=
=
−2 − 3
5−1
2 − (−2)
5
4
4
⃝
1
−
x−3
y−1
z+2
=
=
5
4
4
⃝
2 P0 (2 , 0 , 1), P1 (3 , −4 , 2)
x−2
y−0
z−1
=
=
,
3−2
−4 − 0
2−1
∴
y
x−2=− =z−1
4
⃝
2
y
x−2=− =z−1
4
⃝
3
x+2
y+1
=
, z = −3
3
7
⃝
3 P0 (−2 , −1 , −3), P1 (1 , 6 , −3)
x − (−2)
y − (−1)
z − (−3)
=
=
∴
1 − (−2)
6 − (−1)
−3 − (−3)
⃝
4 P0 (4 , −1 , 2), P1 (−5 , −4 , 0)
x−4
y − (−1)
z−2
=
=
,
−5 − 4
−4 − (−1)
0−2
∴
−
x+2
y+1
=
, z = −3
3
7
x−4
y+1
z−2
=−
=−
9
3
2
⃝
4
x−4
y+1
z−2
=
=
9
3
2
問２
次の直線と点 P との距離 d を求めよ。
y
H
(1) 直線 x + 1 = − = z − 1 ,
点 P (−2 , 1 , 2)
2
−→
Q(−1 , 0 , 1) , ⃗l = (1 , −2 , 1) , QP = (−2 , 1 , 2) − (−1 , 0 , 1) = (−1 , 1 , 1) , d
√
−→
−1 − 2 + 1
2
(QP , ⃗l)
−2
2
√
cos θ = −→
=√
= √ √ =− √ =−
,
3
1+1+1 1+4+1
3 6
3 2
P
|QP | · |⃗l|
√
√ ( √ )
√
√
√
−→
9−2
7
7
7
21
sin θ =
=
, d = |QP | sin θ = 3 ·
=
=
9
3
3
3
3
(1)
x−2
= −(y + 1) = z − 2 ,
2
−→
Q(2 , −1 , 2) , ⃗l = (2 , −1 , 1) , QP = (3 ,
−→
(QP , ⃗l)
2−2+2
√
cos θ = −→
=√
=
|√
QP | · |⃗l| √ 1 + 4 + 4 4 + 1 + 1
−→
27 − 2
25
5
sin θ =
=
= √ , d = |QP |
27
27
3 3
(2)
直線
⃗l
θ
−→
QP
√
21
3
点 P (3 , 1 , 4)
1 , 4) − (2 , −1 , 2)
√= (1 , 2 , 2) ,
2
2
1 2
√ √ = √ =
,
3 3
9 6
3 6
√
5
5
5 3
sin θ = 3 · √ = √ =
(2)
3
3 3
3
√
5 3
3
y−2
x−1
=
=z−1 ,
点 P (−2 , 3 , −1)
2
3
−→
Q(1 , 2 , 1) , ⃗l = (−2 , 3 , 1) , QP = (−2 , 3 , −1) − (1 , 2 , 1) = (−3 , 1 , −2) ,
−→
(QP , ⃗l)
6+3−2
7
7
1
√
cos θ = −→
=√
=√ √ =
= ,
14
2
14 14
|QP | · |⃗l| √ 9 + 1 + 4 4 + 9 + 1
√
√
√
√
−→
1
3
3
42
sin θ = 1 − =
, d = |QP | sin θ = 14 ·
=
(3)
4
2
2
2
√
42
2
(3)
直線 −
Q
問３
⃝
A
点 P0 を通りベクトル ⃗n に垂直な平面の方程式を求めよ。
⃗n = 4⃗e1 − 2⃗e2 − 3⃗e3 = (4 , −2 , −3) ,
P0 (3 , −1 , 0)
−−→
−−→
平面上の任意の点を P (x , y , z) とすると P0 P = (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) で ⃗n⊥P0 P より
−−→
(⃗n , P0 P ) = 0 を計算する
4 · (x − 3) − 2 · (y + 1) − 3 · (z − 0) = 0 より 4x − 2y − 3z − 14 = 0
4x − 2y − 3z + D = 0 に直接点 P0 の値を代入して 12 − 2 · (−1) − 3 · 0 + D = 0 より
D = −14 の値を求める方法でも正解。 以下同様です。
⃝
B
⃗n = −3⃗e1 + 4⃗e2 + 5⃗e3 = (−3 , 4 , 5) ,
⃝
A
4x − 2y − 3z − 14 = 0
⃝
B
−3x + 4y + 5z + 15 = 0
⃝
C
4x − 3z − 6 = 0
⃝
D
2x − 5y + 3z + 7 = 0
P0 (4 , −2 , 1)
−3 · (x − 4) + 4 · (y + 2) + 5 · (z − 1) = 0 より − 3x + 4y + 5z + 15 = 0
⃝
C
⃗n = 4⃗e1 − 3⃗e3 = (4 , 0 , −3) ,
P0 (3 , 6 , 2)
4 · (x − 3) + 0 · (y − 6) − 3 · (z − 2) = 0 より 4x − 3z − 6 = 0
⃝
D
⃗n = 2⃗e1 − 5⃗e2 + 3⃗e3 = (2 , −5 , 3) ,
P0 (3 , 2 , −1)
2 · (x − 3) − 5 · (y − 2) + 3 · (z + 1) = 0 より 2x − 5y + 3z + 7 = 0
問４
(i)
次の３点を通る平面の方程式を求めよ。
(−1 , −2 , 1) , (2 , 3 , 2) , (2 , 2 , 0)
平面の方程式は Ax + By + Cz + D = 0 に３点を代入して平面 A, B, C, D を求める。




A = 3C
 −A − 2B + C + D = 0


→  B = −2C  → 3x − 2y + z − 2 = 0 ,
2A + 3B + 2C + D = 0

 2A + 2B + 0 + D = 0
D = −2C
(i)
3x − 2y + z − 2 = 0
(ii) (1 , −3 , 1) , (−2 , 5 , 7) , (−2 , −1 ,



A − 3B + C + D = 0


→ 
−2A + 5B + 7C + D = 0

 −2A − B − 2C + D = 0
−2)

A = −2C

B = − 23 C 
D = − 72 C
→
4x + 3y − 2z + 7 = 0 ,
(ii)
(iii) (2 , −1 , 3) , (−4 , −4 ,


2A − B + 3C + D =

−4A − 4B − 2C + D =

 3A − 6B + 2C + D =
−2) , (3 , −6 , 2)


0
A = 2B


→  C = −3B 
0
0
D = 5B
→
2x + y − 3z + 6 = 0 ,
(iii)
(iv) (0 , 2 , 1) , (8 , −1 , −3) , (3 , 4 , 2)




0
+
2B
+
C
+
D
=
0
B
=
−4A



→  C = 5A 
8A − B − 3C + D = 0

 3A + 4B + 2C + D = 0
D = 3A
→
4x + 3y − 2z + 7 = 0
2x + y − 3z + 6 = 0
x − 4y + 5z + 3 = 0 ,
(iv)
x − 4y + 5z + 3 = 0