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３次元極座標
1
補足
不等号
同じ意味です。
≦
高校ではこちら
水平線が２本。

大学ではこちらが多い。
水平線が１本。
2
教科書p.2の図1-1の真ん中の図も参照
z
P(x,y,z)
ある点Pの直交座標(x, y, z)と
極座標(r, θ、φ）の関係
r
θ
0
r: 点Pから原点までの距離
y

θ：z軸からOPへの角度
x
Q
φ：x軸からOQへの角度
（点Qは点Pをxy平面に投影した点）
３次元極座標
問題 直交座標x, y, zと、極座標r, θ、φの関係は
以下であることを示せ。
x  r cos  sin 
0    2π
y  r sin  sin 
0   π
z  r cos 
0r
←不等号に注意
θは両方とも
≦(イコールあり）
3
解答
z
θ
0
x

P
P(x,y,z)
z
r
Q
r
Q
θ
y
O
y
z  r cos 
OQ  rsin
y
Q
O

x
x
x  OQ cos   r sin  cos 
y  OQ sin   r sin  sin 
4
y
なぜθはπまで、φは2πまでか？
r
0
θ
x
２次元空間は、x,yの正負により、４つの象限に分けられる。
２次元極座標だと、角度は１個でよくて、0から2π。
5
なぜθはπまで、φは2πまでか？ z
P(x,y,z)
θ
0
x

r
y
Q
３次元空間は、x,y,zの正負により、８個の象限に分けられる。
角度は２個必要。１個めの角度が0から2πで平面上の回転。
２個めはz方向の角度で、0からπでよい。
（もしz方向も0から2πにすると、余分になる。）
6
３次元極座標の問題
z
P(x,y,z)
θ
0
x

x  r cos  sin 
0    2π
y  r sin  sin 
0   π
z  r cos 
r
0r
y
問題4 ３次元空間内で、以下の図形をそれぞれ描け。
（別々の図にすること。）
(a) r=一定、
(b) φ=一定、
(c) θ=一定、
(d) r＝一定、φ=一定
(e) r=一定、θ=一定、
(f) φ=一定、 θ=一定
7
問題の解答
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
r=一定、球面
φ=一定、 z軸からφ方向に伸びる面。xy面に垂直。
θ=一定、 円錐。
r＝一定、φ=一定
北極と南極を結ぶ線。半円の周。
r=一定、θ=一定、
赤道に平行な線。円形。
φ=一定、 θ=一定
中心からまっすぐ伸びる線。
8
(a)の解答
半径rの球面
（中身ではなくて皮のみ）
r=一定
z
0
r
y
x
9
(b)の解答
φ一定
円筒座標の場合と同じ。
0
x

y
φはxy面上に射影した時の、
x軸からの角度。
φ=一定の図形は、
半平面。上、下、rが大きくなる方向
には無限に広がる。
z軸の反対側には行かない。
φの範囲は0から2π。
反対側は違うφになる。
(c)の解答
θ=一定
z
逆向けの円錐の側面
11
θ
y
x
解答続き (d) r＝一定、φ=一定
y
0
φ
x
x軸から角度φの所にある
縦型の半円の周
12
解答続き
(e) r＝一定、θ=一定
xy平面に平行な円の周。
θ
(f) φ=一定、θ=一定、
z
原点から伸びる半直線
θ
x
φ
y
13
次に、３次元極座標で
体積の微小部分を求める
14
教科書p.2の図1-1の真ん中の図も参照
３次元極座標
z
P(x,y,z)
θ
0
x

x  r cos  sin 
0    2π
y  r sin  sin 
0   π
z  r cos 
r
0r
y
問題１ 極座標の基本単位ベクトル er , e , e を図に描け。
(r,θ,φが増える方向の単位ベクトル）
問題2 体積の微小部分を３次元極座標で書くと、
dV  r sin drdd
2
(1)
と書けることを示せ。（図を描いてみること。)
問題3 式(1)を「r≦a、φ、θは全範囲」で積分して、
半径aの球の体積が得られることを確かめよ。
15
体積の微小部分とは
(x, y, z)座標
z
dz
dx
P(x, y, z)
ez
x
ex
dy
ey
0
dV  dxdydz
y
x,y,z方向に長さa, b, cの直方体の体積を
積分で求めるには、
V   dx  dy  dz  x y z   abc
a
b
c
0
0
0
a
0
b
0
c
0
16
解答：極座標の基本ベクトルの方向
z
er
P(x,y,z)
θ
r
x
z
e
0

P
y
Q
e
er
y
e
r
e
θ
Q
φ
O
Q
O
x
17
平面角と弧の長さ

θ
r

θ
r

θ
θ
r
扇形の弧の長さ=
半径x 中心角
  r
 単位はラジアン
 
  r
半円の場合
円の場合
  2
  2 r
18
解答:体積の微小部分
dr
z
0
x
P(x,y,z)
θ

z
r
y
r

r
d
y
rd
Q
O
扇形の弧の長さ＝半径 x 角度(ラジアン)
r d
r  d

Q
O
x
r  r sin 
dr
rd
2

dV  dr  rd  r d  r sin  dr d d 
r d
19
dV  r 2 sin drdd
問題３の解答
(1)
問題3 式(1)を「r≦a、φ、θは全範囲」で積分して、
半径aの球の体積が得られることを確かめよ。
a

2
0
0
V   r dr  sin d  d
0
2
3 a
3
r 
a
4 3

2
    cos  0  0  1  1 2  a
3
3
 3 0
なお、半径aの球の表面積を求めるには、
dS  a 2 sin dd
を角度の全範囲について積分すればよい。
S  4 a
2
半径１の球の表面積は4π
20
教科書
p.229
数学編の最後：
立体角
21
(高校の数学)
平面角：
半径１の円上の弧の長さ。
0から2πの範囲。 単位：ラジアン(rad)
1
O
θ
立体角：
空間的な広がりを表す量
中心０から半径1の球に投射した時の
球上の面積
単位：ステラジアン(sr)
O
Ω
別の表現
点Ｏから出る半直線が、半径１の球の表面に
切り取る面積
次のページで図解
22
（球の半径が1の場合）
立体角の図解
大きな立体角
小さな立体角
(a)
立体角<2π
(b)
(c)
2π<立体角<4π
立体角=2π
（半球の表面積）
(d)
立体角=4π
（球の表面積）
23
問題：ある閉曲面上の微小面積dSの法線ベクトルnが
ベクトルrとなす角をθとする。
dSが原点Ｏに対して作る立体角をdΩとする。
この時、
cos 
d  2 dS
r
であることを、図を使って説明せよ。

n 
大文字の「オメガ」
抵抗の単位として使う時は、
「オーム」とも読む。
r
dS
O
ω 小文字のオメガ
24
cos 
d  2 dS
r
n 
問題の解答
r
の証明
dS
O
面dSが動径ベクトルと角度θの時、
動径ベクトルに垂直な面に投影すると、
dS
cos

面積は dScosθに減る。
O
r
距離rの話は次のページへ。
dS
n

25
問題の解答（続き）
dS の法線ベクトルが動径ベクトル
r
と垂直な場合、
r
1
dS
半径１の球上の面積が
立体角の定義
円錐の頂角が一定で、高さが２倍になると
底面積の半径も２倍、底面積は４倍になる。
1 : d  r : dS
2
dS
d  2
r
前ページの結果より、面が傾いている時は、
dSにdScosθを代入して、
cos 
d 
r
2
dS
26
ここから、
電磁気
27
電荷とは
electric charge
静電気
セーターを脱ぐ時
ドアに触った時など、
パチパチ音がすることがある。
物体が電気を帯びている。
これを「電荷」と呼んでいる。
1C(クーロン): 1A(アンペア）の電流が１秒間に運ぶ
電気の量
電子１個の電荷：
1.6 x 10-19クーロン
28
教科書p.225-226
クーロンの法則
電荷Q1からベクトルｒの位置にある電荷Q2が受ける力は、
ベクトルで書くと、
1 Q1Q2
F
er
2
4 0 r
単位
Q: C(クーロン)
r: m
F: N(ニュートン)
Q2
Q1
同じ符号の電荷
の時に反発力
0
動径方向の
単位ベクトル
r
er 
r
前期に
やった
前についている定数の値
1
4 0
er
=9.0 x 109 (MKS単位系)
真空の誘電率
「誘電」の意味は後で。
29
定理と法則の違い
定理 theorem
数学で使う。証明できる。
例：３平方の定理
ガウスの定理、ストークスの定理
法則
law
自然科学、社会学、日常用語にも使う。
証明できる法則も、経験則もある。
例：電場に関するガウスの法則
クーロンの法則。オームの法則。
30
クーロンの法則の補足

イプシロン
誘電率の意味は後で出てきます。
今はとりあえず、何かの定数だと思って下さい。
31
MKS単位系
m(メートル), kg(キログラム）,s(秒）
を使って表した単位系。
電磁気ではこれに、
C(クーロン)またはＡ(アンペア）を
加えて使う。
32
クーロンの法則（補足）
1 Q1Q2
F
er
2
4 0 r
経験則（実験から発見）
18世紀後半にクーロンさんが法則として
提唱した。
33