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空間領域
画像処理
空間周波数領域
平滑 filtering
雑音除去，平滑化
微分 filtering
edge，輪郭を取り出す
強調 filtering
edge，輪郭を強調する
・移動平均
・加重平均
・ガウシアン
・メディアン
・１次微分
・2次微分
・鮮鋭化
原画像－微分画像
・Prewitt
・Sobel
・Laplacian
空間領域
画像処理
フーリエ変換を行う
空間周波数領域
（手順）
2次元
（1） 入力画像（原画像）をフーリエ変換［（u，v）］
2次元
（2） 演算子（マスク，フィルタ）をフーリエ変換［（u，v）］
（3） （1）と（2）の積をとる
（4） （3）の結果をフーリエ逆変換し，処理画像を得る
（逆フーリエ変換）
f  x, y   h  x, y   g  x, y 
入力画像 f(x, y)
フーリエ変換
(1)
F(u, v)
(3)
フィルタ
(2)
H(u, v)
F(u, v)×F(u, v)
h(x, y)
線形フィルタであれば，
上記式が成り立つ
空間領域での
画像処理
空間周波数領域
での画像処理
= G(u, v)
G(u, v)
(4)
フーリエ逆変換
g(x, y)
処理画像 g(x, y)
畳み込み積分定理（convolution定理）
２つの関数f(x)，h(x)の畳み込み積分のフーリエ変
換は，それぞれの関数のフーリエ変換F(ω)，H(ω)
の積で表される
 f x   hx   F   H  
実領域での畳み込み積分は，
周波数領域では掛け算で行える
空間処理と空間周波数処理
f(x,y)*h(x,y)
入力画像
f(x,y)
出力画像
空間フィルタリング
g(x,y)
F-1[G(u,v)]
F[f(x,y)]
フーリエ変換
F(u,v)
* ：コンボリューション記号
フーリエ逆変換
F(u,v)×H(u,v)
空間周波数フィルタリング
G(u,v)
F(u,v)とH(u,v)のデータサイズを同じにさせる必要がある
空間周波数領域での代表的フィルタリング
（1）低域通過フィルタ［low-pass filter］（高域遮断フィルタ）
1, u  f 0
（1次元） H u   
0, otherwise
2
2
1,
u  v  f0
（2次元） H u , v   
0, otherwise
H(u)
1
f0
u
H(u,v)
0
f0
f0
1
F(u,v)
H(u,v)
F(u,v)×H(u,v)
画像に含まれる空間周波数
成分のうち，低周波数成分は
残し，高周波数成分は除去す
るようなフィルタ
（2）高域通過フィルタ［high-pass filter］（低域遮断フィルタ）
1, u  f 0
（1次元） H u   
0, otherwise
1,
u 2  v2  f0
（2次元） H u , v   
0, otherwise
high-pass filter ＝ 1 － low-pass filter
H high u, v   1  H low u, v 
H(u)
1
f0
u
H(u,v)
1
f0
f0
0
画像に含まれる空間周波数
成分のうち，高周波数成分は
残し，低周波数成分は除去す
るようなフィルタ
F(u,v)
H(u,v)
F(u,v)×H(u,v)
（3）帯域通過フィルタ［band-pass filter］
（1次元）
1, f 0  u  f1
H u   
0, otherwise
H(u)
1, f  u 2  v 2  f
0
1
（2次元） H u , v   
0, otherwise
1
f0
f1
u
H(u,v) f1
0
f0
f0
f1
1
画像に含まれる空間周
波数成分のうち，ある
中間的な周波数の範囲
を通すようなフィルタ
F(u,v)
H(u,v)
F(u,v)×H(u,v)
周期の異なるサイン波の合成
混合波
高周波成分
低周波成分
＝
＋
低周波成分
（入力）混合波
FT
IFT
空
間
周
波
数
フ
ィ
ル
タ
リ
ン
グ
FT
IFT
low-pass filtering
高周波成分
FT
IFT
high-pass filtering
f(x,y)
H(u,v)
g(x,y)
G(u,v)
IFT
FT
F(u,v)
H(u,v)
g(x,y)
G(u,v)
IFT
H(u,v)
g(x,y)
G(u,v)
空間周波数フィルタ
通過域（白）：1
遮断域（黒）：0
IFT
・移動平均フィルタ
low-pass filterの性質有
1
 x y
h x, y   2 rect  , 
w
 w w
FT
sin wu  sin wv 
H u, v  
wu
wv
1
1
1 x  かつ y  のとき
2
rect  x, y   
2
0
その他

h(x,y)
h(x,y)
1/w2
1
H(u,v)
H(u, v)
3/w
3/w
u
－2/w －1/w 1/w 2/w
w/2 x
－w/2 0
・ガウシアンフィルタ
FT
 x2  y2 

h  x, y  
exp 
2
2
2
2 

1
h(x, y)
h(x,y)
low-pass filter

H(u, v)
H(u, v)
x
3σ
2σ
σ
σ
0
68.3%
99.7%
2σ
3σ

H u, v   exp  2 2 2 u 2  v 2
u

原画像
histogram
ウィンドウイング条件B
A
B
WL
ウィンドウイング条件A
WW
WW
WL
Dynamic Range (DR) 圧縮の概要
一般的な階調処理では，画像中の全濃度域に対してなんらか
の濃度変換が行われる．
これに対して，ある範囲内の濃度域に対してのみ濃度変換を
実施し，その範囲外では原画像の濃度を維持する局所的な
階調処理がある．
この局所的な階調処理は，ダイナミックレンジ（dynamic rage：
DR）圧縮処理と呼ばれ，医用画像では主に可視不良な低濃
度域（あるいは高濃度域）を可視できる濃度域に引き上げる
（あるいは引き下げる）ために使われる．
ダイナミックレンジ圧縮処理は，局所的な濃度域において高周
波成分のコントラストは保持しつつ低周波成分のコントラストの
みを調節する階調処理であるともいえる．
DR圧縮処理の手順
画像表示で画像情報を変えずに広い診断可視域を実現する
ための新しい画像処理法
局所的な階調処理法
fave(x, y)
平滑化
処理
原画像
f(x, y)
低周波
成分画像
濃度変換関数
h[ ]
濃度変換
（階調変換）
h[fave(x, y)]
＋
DR圧縮
画像
g(x, y) = f(x, y) + h[fave(x, y)]
（1）原画像に平滑化処理を実施し低周波成分画像を作成する
（2）低周波成分画像に予め定めておいた濃度変換関数を適用する
（3）濃度変換関数の出力画像を原画像に加算する
g(x, y)
4096
4095
4096
4095
①原画像
3072
3071
平滑化
3072
3071
2048
2047
2047
2048
1023
1024
1023
1024
f(x, y)
00
h(x)
1023
濃度変換関数
（0，α）
2047
00
2048
2047
1024
1023
（β，0）
x
②低周波成分画像
fave(x, y)
③低周波成分画像に対する
濃度変換関数の出力
00
4095
-1023
-1024
h[ ]
h[fave(x, y)]
-2047
-2048
 
 x   ,
h( x )   
 0,
x
x
4096
4095
3072
3071
DR圧縮画像
（①＋③）
2048
2047
低濃度部DR圧縮
1024
1023
00
f(x, y) + h[fave(x, y)]
4096
4095
4096
4095
①原画像
3072
3071
平滑化
3072
3071
2048
2047
2047
2048
1023
1024
1023
1024
f(x, y)
00
h(x)
濃度変換関数
h[ ]
2047
4095 x
②低周波成分画像
00
2048
2047
1024
1023
fave(x, y)
③低周波成分画像に対する
濃度変換関数の出力
00
（β，0）
-1023
-1024
-1023
（xmax，α）
x
 0,



h( x )  

x
,
x
   x max
  x max
h[fave(x, y)]
-2047
-2048
4096
4095
3072
3071
DR圧縮画像
（①＋③）
2048
2047
高濃度部DR圧縮
1024
1023
00
f(x, y) + h[fave(x, y)]
2048
4095
1024
3071
④高周波成分画像
（①－②）
2048
4095
1024
3071
0
2047
0
2047
-1024
1023
-1024
1023
0
-2048
4096
4095
3072
3071
f(x, y)－ fave(x, y)
⑤濃度変換後の
低周波成分画像
（②＋③）
0
-2048
4096
2047
3072
1023
2047
2048
20480
1023
1024
-1023
1024
0
0
4096
4095
3072
3071
fave(x, y)＋h[fave(x, y)]
-2047
0
4096
低濃度部DR圧縮画像
（④＋⑤）
4095
3072
3071
2048
2047
2048
2047
1024
1023
1024
1023
00
f(x, y) + h[fave(x, y)]
00
④高周波成分画像
（①－②）
f(x, y)－ fave(x, y)
⑤濃度変換後の
低周波成分画像
（②＋③）
fave(x, y)＋h[fave(x, y)]
高濃度部DR圧縮画像
（④＋⑤）
f(x, y) + h[fave(x, y)]
原画像
DR圧縮画像
4096
4096
3072
3072
2048
1024
0
β=2400
α=1300
POSITION
原画像の太線上の濃度プロファイル
2048
1024
β=2400
α=1300
POSITION
0
DR圧縮画像の太線上の濃度プロファイル
ボケマスク処理
Unsharp Masking
アンシャープマスク処理
非鮮鋭マスク処理
原画像
高周波成分を強調することを目
的とした高域強調フィルタである．
画像の鮮鋭化の手段として最も
頻繁に使われている．本質的に
は鮮鋭化フィルタと同じである。
強調画像（鮮鋭化画像）
アンシャープマスク処理
注目画素を含む局所領域（Mask）の平均画素値fave(x, y)
とオリジナル画像の画素値f(x, y)の差に重み係数wを
積算して，それをオリジナル画像の画素値に加えた値を
処理画像の画素値g(x, y)とする．
fave(x, y)
平滑化
処理
処理画像＝原画像＋重み係数×（原画像－平滑化画像）
ボケ画像
（低周波成分画像）
[f(x, y)－fave(x, y)]
荷重 weighting
原画像
差分画像
w[f(x, y)－fave(x, y)]
f(x, y)
（高周波成分画像）
重み係数
処理画像
＋
g(x, y) = f(x, y) + w[f(x, y) －fave(x, y)]
g(x, y)
非鮮鋭マスク処理
1．ボケ画像生成：画像に
ローパスフィルタを施し，
ボケ画像（低周波成分画
像）を生成する
2．差分画像生成：原画像か
らボケ画像を減算すること
により，差分画像（高周波
成分画像）を生成する
3．強調画像生成：重みをつ
けた差分画像を原画像に
加えることで強調された
画像（鮮鋭化画像）を得る
f(x)
Original Signal
fave(x)
Lowpass Signal
f(x)－ fave(x)
Highpass Signal
g(x)＝f(x)＋w×[f(x)－ fave(x)]
Sharpened Signal
Original image
f(x, y)
Low-pass image
(Mean filtering)
fave(x, y)
High-pass image
Sharpened image
(Original – Low-pass)
(Original +
f(x, y) – fave(x, y)
w×High-pass)
アンシャープマスキング
G u , v   F u , v H h emph u , v 
 F u , v 1  kH high u , v 
高域強調フィルタ
ハイパスフィルタ
 F u , v 1  k 1  H low u , v  ローパスフィルタ
 F u , v k  1  kH low u , v 
空間周波数領域
空間領域
 k  1F u , v   kF u , v H low u , v 
平滑化フィルタ
g  x, y   f  x, y   w f  x, y   f  x, y * hlow  x, y 
 w  1 f  x, y   wf  x, y * hlow  x, y 
国家試験問題
画像処理で誤っている組み合わせはどれか。
a. 加重平均
－－ S/Nの改善
b. 高域周波数の増強 －－ 輪郭の強調
c. 階調処理
－－ コントラストの調整
d. スムージング
－－ ノイズの増加
1． a, c, dのみ
2． a, bのみ
4． dのみ
5． a ~ dのすべて
3． b, cのみ
Ａ：４
2011年 国家試験問題
画像処理で正しいのはどれか。２つ選べ。
1. 平滑化処理は雑音を強調する
2. DR圧縮は局所的な階調処理である
3. 微分フィルタ処理は低周波領域を強調する
4. ウィンド幅を狭くするとコントラストは低下する
5. ボケマスク処理はエッジのコントラストを増大する
Ａ：２，５
2009年 国家試験問題
ア
原画像（A）と次式で示される処理画像（B）を示す。
g(x, y) = f(x, y) + k[f(x, y) －fs(x, y)]
B 処理画像
正しいのはどれか。
ただし， g(x, y) は処理画像，
f(x, y) は原画像， fs(x, y) は
平滑化画像，kは強調係数と
する。
1. ア
2. イ
3. ウ
4. エ
5. オ
イ
ウ
エ
オ
A 原画像