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機械工学基礎 I 補充問題 その 5
(微分・積分の応用，微分方程式解法の基礎) 解答例
5-1. 急ブレーキをかけた後の自動車の加速度を a[m/s2 ]，速度を v[m/s]，変位 (ブレーキをかけた直後にす
べる距離) を x[m] とする．自動車の質量を m[kg]，重力加速度を g[m/s2 ] とすると，自動車に作用する
重力 W = mg[N] なので，道路から自動車に作用する垂直抗力 N = mg[N] である．W と N は大きさ
が同じで向きが逆なので，運動方程式では相殺される．従って自動車に作用する外力は，空気抵抗を無
視するとタイヤと道路の間の摩擦抵抗 R[N] のみと考えてよい．摩擦抵抗 R[N] は，タイヤと道路の間
の摩擦係数 µ を用いて次式の通り表される．
R = µmg
(1)
ma = −R = −µmg
(2)
運動方程式は次の通り．
運動方程式の両辺を質量 m で除し，時間で積分すると速度 v[m/s] が得られる．
∫
v=
(−µg)dt = −µgt + C
(3)
C は積分定数である．ブレーキをかけた瞬間の時刻 t = 0[s] における速度 v = v0 [m/s] より，C = v0
を得る．従って，
v = −µgt + v0
(4)
である．速度 v[m/s] を時間で積分すると変位 x[m] が得られる．
∫
x=
1
(−µgt + v0 )dt = − µgt2 + v0 t + C
2
(5)
C は積分定数である．t = 0[s] における変位 x = 0[m] より，C = 0 を得る．従って，
1
x = − µgt2 + v0 t
2
(6)
(4) 式より，v = 0 となる時間 t = v0 /(µg) を (6) 式に代入し，x = 45[m]，v0 = 60[km/h] の条件の下
で摩擦係数 µ について解く．
1
x = − µg
2
µ=
(
v0
µg
)2
+ v0
v0
v2
= 0
µg
2µg
(60 × 1000)2 /(60 × 60)2
v02
=
= 0.315
2gx
2 × 9.8 × 45
(7)
(8)
v = 0 となる時間 t[s] は次の通り求められる．
t=
v0
v0 2gx
2 × 45
2x
=
=
= 5.4
=
µg
g v02
v0
(60 × 1000)/(60 × 60)
(9)
−
−
5-2. 質点の速度成分 vx ，vy より，質点の速度ベクトル →
v は→
v = (vx , vy ) と表される．質点に作用してい
→
−
−
→
→
−
→
る力ベクトル F は運動方程式より， F = (−avy , avx ) である．−
v と F の内積を求める．
−
→
−
→
v · F = (vx , vy ) · (−avy , avx ) = vx · (−avy ) + vy · avx = 0
これより力ベクトルは速度ベクトルと垂直であることが示される．
1
(10)
5-3. 加速度 a で等加速度運動する物体の変位 x と時間 t の関係は，t = 0 のとき速度 v = 0 および x = 0 の
1
初期条件の下では，x = at2 である．従って，質点の加速度 a は次の通り表される．
2
a=
2x
t2
(11)
と求められる．アウトウッドの機械において，二つの質点の質量がそれぞれ m，M (m < M ) の場合，
質点の加速度 a は重力加速度を g として a = g(M − m)/(M + m) である．これより，質点 24[kg] と
質点 26[kg] を取り付け，質点が 1[m] 移動するのに 2.3[s] 要することが測定された場合には，重力加速
度 g[m/s2 ] は次の通り求められる．
g=
M + m 2x
26 + 24
2×1
M +m
a=
=
×
= 9.45
2
M −m
M −m t
26 − 24 (2.3)2
(12)
5-4. 問題文は次の通り．
「図 B に示す通り，重量 W と 2W の物体が鉛直平面に糸と滑車でつるされている．左側の重量 W の
物体に重量 Q を追加し，下向きの加速度 a = 0.1g を発生させる際の Q の大きさを求めよ．滑車のま
さつと慣性は無視する．」
左側の物体の加速度を a とする．糸は伸び縮みしないものとすれば，動滑車につるされている右側の物
体の加速度は上向きで大きさは a/2 である．糸に作用する張力を T として，左側の物体に重量 Q を追
加した際の，左側の物体の運動方程式は次の通り．
(W + Q)
a = (W + Q) − T
g
(13)
また，右側の物体の運動方程式は次の通り．
2W a
= 2T − 2W
g 2
(14)
上記二つの運動方程式から張力 T を消去して，a = 0.1g を代入し，Q について解くと，Q = W/6 を
得る．
2