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コンデンサー原理の解答
(1)
E=
V0
Q
V0
V0
=
∴ Q = ε0 S
4d
ε0 S
4d
4d
(2) 略
(3) 略
(4) 略
コンデンサー回路の解答
(1) コンデンサー２には電荷は溜まっていないので 0
(2) コンデンサー１に溜まる電荷を Q, コンデンサー２に溜まる電荷を q とする。電荷保存則と回路方程式
から
Q1 + q1 = CV0 V0 =
−Q1
q1
+ ∴ q1 = CV0 ∴V0
C
C
(3) 再びコンデンサー１の電荷は CV0 になるので, 電荷保存則と回路方程式から
Q1 + q2 = 2CV0 V0 =
−Q2
q2
3
3
+ ∴ q2 = CV0 ∴ V0
C
C
2
2
(4) 電荷が移動しなくなるのはスイッチを右に倒したときすでに回路方程式が成り立っている場合である。
V0 +
CV0
q
= ∴ q = 2CV0 ∴2V0
C
C
4
コンデンサーのエネルギー収支の解答
(1)
∆U = ∆(
Q2
Q2
Q2
)=
(d + ∆x − d) =
∆x
2C
2ε0 S
2 0S
(2) エネルギー原理から ∆U = F ・∆x より (1) の結果を代入する。(3)
C=
(4)
a−x
x
x
C0 + εr C0 =｛(εr − 1) + 1｝C0
a
a
a
1
1
1
∆x
∆U = ∆( CV02 ) = ∆CV02 = (εr − 1)
C0 V02
2
2
2
a
WD = ∆QV0 = (∆CV0 )V0 = (εr − 1)
∆x
C0 V02
a
(5) エネルギー原理から ∆U = WD + W外 より
1
∆x
W外 = − (εr − 1)
C0 V02 コンデンサーに引き入れる向き
2
a
(6)∆x → a として
1
W外 = − (εr − 1)C0 V02
2
(7) エネルギー原理から ∆U = W外 より
W外 = ∆(
−C0 (εr − 1) ∆x
Q20
Q0
a
)=
2
< 0 ∴コンデンサーに引きいれる向き
2C
2
C0 ((εr − 1) xa + 1)((εr − 1) x+∆x
+ 1)
a
5
コンデンサーのスイッチ切り替え 創作 ★★
(1) 電位の式より
E=
Q Q
1
E
+ ∴ Q = CE ，電圧 C
C
2
2
(2) Q2
1
× 2 = CE 2
2C
4
(3) エネルギー原理より ∆U = WD − WJ
1
1
1
CE 2 = CE 2 − WJ ∴ WJ = CE 2
4
2
4
(4) コンデンサー２，３にたまっている電気量を Q , q とすれば，電荷保存と回路方程式より
Q +q =
1
Q
q
1
CE ， = ∴ Q = q = CV0
2
C
C
4
1
1
1
A 点：E − E = E ，B 点： E
2
2
4
(5)
∆U =
1 1 2 1 1 2
1
C( E) − C( E) = − CE 2
2 4
2 2
16
11
組み合わせコンデンサー回路 A
問１１ k
Q
r2
k
Q
× 4πr 2 = 4πkQ
r2
２
３
Q
ε0
４
半径 r ，高さ l の円柱を電場は垂直に貫くので，
E ・2πrl =
Q
Q
∴ E =
ε0
2πε0 rl
問２
2Q
2
-Q
3
Q -Q -Q Q Q -Q
2
- -Q
3
Q
-Q
-2Q
３極板ともにかかる電圧は同じであるから，上図のように電荷は分布するので，
Q=
ε0 l2 V
a
3
よって，合成容量は電気量が 3Q になるので，
3Q
ε0 l 2
=3
V
a
問３
1
3ε0 l2 V 2
3QV =
2
2a
問４ かかる電圧は同じであるから，極板間隔と帯電量は反比例の関係になるので，上図
のように電荷を設定できる。電池を通過した電気量 ∆Q は，
∆Q =
∴ 2
2
3Q + Q − 3Q = Q
3
3
2ε0 l2 V
3a
∆U = WD + W外 より，
1
2
11
Q − 3Q V = ∆QV + W外
3
∴ W外 = −
ε0 l 2 V 2
3a
4
コンデンサー単振動 12 東工大 ★★★★
(a)
C = ε0
S
d
(b) 金属板の左にたまる電荷を q, 右にたまる電荷を q とすると、電位差が左と右で等しくなるので
q + q = Q , ２式より、
QA = −q = −(1 −
(c)
U (x) =
q
q
=
S
ε0 Sx
ε0 d−x
x
x
)Q , QB = −q = − Q
d
d
1 (1 − xd )2 Q2
1 ( xd Q)2
Q2
+
=
S
2
2 ε0 d−x
2ε0 S
ε0 Sd
(d)
∆U = U (x + ∆) − U (x) =
また ∆U = F外 ∆x より
F = −F外 ＝−
Q2
2ε0 S
Q2
2ε0 S
1−
1−
x−
2x
d
x2
d
∆x
2x
d
(e) 金属板にはたらく力の合力 f は
d
Q2
f = k( − x)・2 −
2
2ε0 S
1−
2x
d
= −(2k −
Q2
Q2
)x + kd −
ε0 Sd
2ε0 S
単振動になるには x の係数が負でなければならないので
Q<
(f) 単振動の振動中心は力の釣り合いの位置より x =
2kε0 Sd
d
2
エネルギー保存より、最大速さは
1
1
d
mv 2 = K( )2
2 max
2
4
ただし、2k −
Q2
ε0 Sd
≡ K とした。また電流 I は
I=
dQA
Q dx
Q
=
= v
dt
d dt
d
となるので最大電流は２式より
Imax
2k −
Q
=
4
Q2
ε0 Sd
m
13
極板間引力 83 東大 ★★★★
E
が足し合わされて E となっている。Q は −Q からの電場による力を
2
受け（−Q は Q からの電場による力を受け）るので，極板間引力 F は
I 極板間では Q と −Q からの電場
F =Q
E
1
= QE
2
2
II
極板間隔が x のときの，左コンデンサーの上極板の電気量 Q(x), 右コンデンサーの上極板の電気量を q とす
ると，
電気容量は
電荷保存 Q0 = Q(x) + q
d
C0 となるので，
x
電位の式 Q(x) =
E(x)・x =
III 力のつり合いより
Q(x)
q
=
d
C0
x C0
d
Q0
d+x
d
d+x Q0
∴ d
x C0
E(x) =
1 Q0
d + x C0
1
1
kd = Q(x)E(x) 4
2
1
14
4 Q0
7
kd =
Q0
∴ Q0 =
4
2 7 7d C0
8
IV 力のつり合いより
k(d − x) =
Q20 =
2kC0 d
1 d
1 Q0
Q0
2 d + x d + x C0
2kC0
(d − x)(d + x)2
d
ここで f (x) = −(x − d)(x + d)2 とすると f (x) = −(3x − d)(x + d) となるので Q∗2 =
ると，0 < x < d の間に Q0 が存在しなくなるので，
∴ Q∗2 =
√
8 3
9
14
kC0 d
2kC0
f (d/3) をこえ
d
コンデンサー原理 ★★★★★ 解答
問１ 定常状態では導体内の電場はなくなるため
問２ d に蓄えられている電荷を q とすると
a : 3Q − q, b : −(2Q − q), c : 2Q − q, e : −q, f : q
a と f の電荷は等しくないとＩと III に電場がのこってしまうので
q = 3Q − q ∴ q =
a:
3
Q
2
3
1
1
3
3
3
Q, b : − Q, c : Q, d : Q, e : − Q, f : Q
2
2
2
2
2
2
問３ 接地すると f の電荷は０となるので a の電荷も０となる。
a : 0, b : Q, c : −Q, d : 3Q, e − 3Q : f : 0
問４ 接地しているので a と f の電荷は０、Ｉと II は等電位より I と II の電位差と II と III の電位差は等し
い。極板間隔が等しいので c と d、b と e には等しい電荷が蓄えられる。よって
a : 0, b : −Q, c : Q, d : Q, e − Q : f : 0
16
極板が振動するコンデンサー 90 東大 ★★★★★
I
C(x) =
Q(x) = C(x)V0 =
d
x
C0 ≈ (1 + )C0
d−x
d
d
x
V0
x V0
C0 V0 ≈ (1 + )C0 V0 ，E(x) =
≈ (1 + )
d−x
d
d−x
d d
II 極板間引力は
F =
1
C0 V 2
2x
Q(x)E(x) ≈
(1 +
)
2
2d
d
C0 V02
ma = −kx + F ≈ −(k −
)(x −
d2
ここで K = k −
C0 V02
d2
= mω02 −
C0 V02
d2
K
， a1 =
m
Q(x) ≈ (1 +
より
i=
よって左のよる直前は
右に動き出した直後は
dx
dt
dx
dt
K
とする。よって
ω=
III
C0 V02
2d
C0 V02
2d
K
x
)C0 V0
d
dQ
C0 V0 dx
=
dt
d dt
< 0 より 負
> 0 より 正
IV コンデンサーにかかる電圧 V は
d−x
d V0
また x = 0 から振動中心 a2 の単振動を行うので x = a2 (1 − cos ωt)
よって
v(t) = V − V0 = −
極板間引力は一定なので、角振動数は ω2 = ω0
15
V0
a2 (1 − cos ωt)
d
)
3 極板コンデンサー回路 ★★★★ 04 東工大
(a) P1 に溜まっている電気量を Q として、P1 − P2 の電位差は V0 − VD より
Q =
ε0 L2
(V0 − VD )
x
(b) P2 の下極板に溜まっている電気量を Q として
Q =
また最初 P2 に蓄えられていた電荷は
Q=
電荷保存則より
ε0 L2
VD
D−x
ε0 L2
V0
D
−Q + Q = Q
∴ VD =
D2 − x2
V0
D2
(c)P1 に溜まっている電気量を q P2 の下極板に溜まっている電気量を q として、電荷保存則より
−q + q = −Q
∴−
ε0 L2
ε0 L2
ε0 L2
(V0 − VD ) +
VD = −
V0
x
D−x
D
∴ VD = (
(d)0 < t < t1 のとき (a),(b) より
Q =
D−x 2
) V0
D
ε0 L2 V0
ε0 L2 V0
x
=
vt
D2
D2
t1 < t < t2 のとき (a),(c) より
Q =
ε0 L2 V0
ε0 L2 V0
(2D − x) =
vt (∵ x = D − v(t − t1 ) = 2D − vt)
2
D
D2
Q =
ε0 L2 V0
vt
D2
(e)
i=
dQ
ε0 L2 V0
=
v
dt
D2
11
ベルトコンベアにつながれた極板の単振動の記述解答
I
(1) 滑り出す点では最大摩擦力と極板間引力とばねの弾性力との合力がつり合っている.
座標 x での極板間引力は
F =
1
1 d
V
1
1 2x
QE =
C0 V
≈ C0 V 2 ( − 2 )
2
2d+x
d+x
2
d
d
となるので，x = x0 での力のつり合い
(k −
C0 V 2
1 C0 V 2
)x
+
= µmg
0
d2
2 d
x0 =
2µmgd − C0 V 2
d
2kd2 − 2C0 V 2
II
(2) 動摩擦力は最大摩擦力より小さいので物体は右に運動する。運動方程式は
ma = −kx − F + µ mg = − k −
よって
x1 =
C0 V 2
d2
x−
2µ mgd − C0 V 2
d
2kd2 − 2C0 V 2
2µ mgd − C0 V 2
d 振幅：x0 − x1
2kd2 − 2C0 V 2
∴ x2 = x1 − (x0 − x1 ) = 2x1 − x0
(3) 単振動の途中において左向きに運動しているときの速さがベルトコンベアの速さと等しくなると，摩擦力
が静止摩擦力に切り替わりベルトに対し物体は静止するので単振動を行わなくなる。
単振動の速度が最大となるのは振動中心なので振動中心で w0 以下であれば単振動を維持するのでエネルギー
保存から
1
2
k−
C0 V 2
d2
∴ w0 =
(x0 − x1 )2 =
1
mw02
2
kd2 − C0 V 2
(x0 − x1 )
md2
1
(4)
∆U =
1
1 2(x0 − x1 ) 2
C0 V 2
∆CV 2 =
V =
(x0 − x1 )
2
2
d
d
※ エネルギーに関しての議論
今，極板を極板間引力につり合う外力 F外 をはたらかせ, ∆x 広げることを考えると，
∆U = F外 ∆x
となる。今 FK + F外 = 0 より，
∆U = −F ∆x = −WK
つまり，極板間引力のする仕事の負号をとったものが静電エネルギーの変化量となる。
すなわち，極板間引力は保存力である。
試しに，極板間引力の仕事を計算してみると，
WK =
=−
1 C0 V 2
C0 V 2 2
(x2 − x0 ) −
(x2 − x20 )
2 d
2d2
C0 V 2
C0 V 2 x2
(x0 − x1 ) −
(
d
2
d
≈−
2
−
x0
d
2
)
C0 V 2
(x0 − x1 )
d
となり，確かにこの関係を満たしている。
(5) 電池のする仕事は
WD = ∆QV = ∆CV 2 =
2C0 V 2
(x0 − x1 )
d
エネルギー原理より x0 ∼ x2 間で単振動のエネルギーは等しいから,
∆U = 0
ここで，コンデンサーの静電エネルギーは極板間引力の仕事を考慮しているので，考える必要はない。
∆U = WD − WJ ∴ WJ = WD =
2
2C0 V 2
(x0 − x1 )
d