1. No category

　それでは，前回の解答です．
F'(x) = 0　-　f(x) = 0
を満たす x が区間 (- 1,c),(c,1) に少なくとも
1 つずつ存在する．ゆえに，f(x) = 0 を満たす
第１問（数Ⅲ）
x が区間 (- 1,1) に少なくとも 2 個以上存在す
実数を係数とする多項式 f(x) に対して以下の
る．　問いに答えよ .
(1)　f(x) が
∫
1
-1
第２問（数 III）
f(x) dx = 0 をみたせば ,
f(x) = 0 となる x が区間 (- 1,1) に存在する
ことを示せ .
(2)　f(x) が
∫
1
-1
∫
f(x) dx = 0,
1
-1
n を 2 以上の自然数とする．相異なる n 個の
実数 a1,a2,ºº ,an に対して
f(x) = (x - a1)(x - a2) ºº (x - an)
xf(x) dx = 0
をみたせば ,f(x) = 0 となる x が区間
( - 1,1) に 2 個以上存在することを示せ .
とするとき，f(x) が極値をとる x の値は何個あ
るか？
＜解答＞
(1)
＜解答＞
F (x) =
∫
x
-1
n - 1 ( 個 ) であることを以下で示す．
f(t) dt
a1 < a2 < ºº < an
とおくと，F(x) は微分可能であり
として一般性を失わない．
F(- 1) = F(1) = 0
から，平均値の定理より
区間 ak < x < ak + 1 において
f(x) = 0
f ' (ck ) = 0
となる x が区間 (- 1,1) に存在する．
F (x) =
∫
x
-1
となる ck が平均値の定理より少なくとも 1 つ存在
する (f(x) は整式であるから微分可能である )．さ
f(t) dt
らに，f(x) が n 次の整式であることから，f'(x)
は (n - 1) 次の整式であり，f'(x) = 0 を満たす実
とおくと，F(x) は多項式で F(- 1) = F(1) = 0
数 x は高々 n - 1 ( 個 ) である．よって上の ck は
である．さらに
∫
1
-1
f(ak) = 0　(k = 1,2,º,n)
であるから，k = 1,2,º,n - 1 に対し，
F (1) - F (- 1)
F '(x) =
1 - (- 1)
(2)
□
F (x) dx =
∫
1
-1
= [ xF (x)
=-
各区間にちょうど 1 つずつ存在し，これですべて
(x) ' F (x) dx
∫
1
-1
である．すると
]- 1 - ∫- 1 xF ' (x) dx
1
1
f'(x) = n(x - c1)(x - c2) ºº (x - cn - 1)
となり，f'(x) は x = ck (k = 1,2,º,n - 1) の
xf(x) dx
前後で符号を変えるので，この点で極値をもつ．
=0
以上より，f(x) が極値をとる x の値は
であるから，(1) の結果を多項式 F(x) に適用して
c1,c2,ºº,cn - 1
の n - 1 個である．
F(c) = 0 (- 1 < c < 1)
となる c が存在する． すると
F(- 1) = F(c) = F(1) ( = 0)
であるから，平均値の定理より
1
＜コメント＞
数学科の川﨑です．今回は「存在」を示す問題を
∫
f(x) dx = G(x) + C (C は積分定数 )
となる G(x) をとってみると，G(x) は微分可能
出題してみました．使う道具は分かりましたか？ 2
で
問とも聞かれていることがほぼ同じだと気づけた人
G'(x) = f(x)　は素晴らしいです．
です．すると
高校数学において，「存在」を保証してくれる定
理としては，次の 2 つが有名です ( 以下 a < b とし
∫
1
-1
ます )．
-
f(x) dx = 0
[ G(x) ] 1- 1 = 0
- G(1) = G(- 1)
＜定理＞　中間値の定理
となります．よって，平均値の定理から
閉区間 a ≤ x ≤ b において連続な関数 f(x) が
f(a) ≠ f(b)
を満たすとき，f(a) と f(b) の中間値 a に対して
a = f(c)　(a < c < b)
G(1) - G(- 1)
= G ' (c) (- 1 < c < 1)
1 - (- 1)
-
f(c) = 0 (- 1 < c < 1)
を満たす c の存在が言えるという流れです．こ
を満たす実数 c が少なくとも 1 つ存在する．
のように，積分の問題では上の G(x) (f(x) の原
始関数と言います ) をとり，G'(x) = f(x) を使っ
＜定理＞　平均値の定理
て議論を進めていくことができる問題がありま
閉区間 a ≤ x ≤ b において連続，開区間
す．是非とも覚えておいてください．なお，解
a < x < b において微分可能な関数 f(x) に対し
答ではこの G(x) のうち，G(- 1) = 0 と定数の
f(b) - f(a)
= f ' (c) (a < c < b)
b-a
ところがきれいになるような関数を F(x) とお
きました．
を満たす実数 c が少なくとも 1 つ存在する．
(2)　仮定が強くなった分，示すことも強くなりま
した．ただし，考え方・使う道具は同じです．(1)
どちらも，c の具体的な値や正確な個数に関して
でおいた F(x) について，F(x) = 0 を満たす x
の情報は与えてくれませんが，「存在すること」を
が - 1 < x < 1 に一つあることを示せば終わり
保証してくれるので，そこからうまく議論を進める
ます ( 解答のように 2 つの区間に分けてそれぞ
ことで解ける問題が結構あります．
れ平均値の定理を使う )．そのために，(1) を利
用するのですが，この発想が難しいかもしれま
それでは，それぞれの問題ごとに見ていきましょ
せん．F(x) を (1) の f(x) だと思って
う．設問毎に補足を述べていきます．
∫
1
-1
第 1 問
F (x) dx
を計算します．もちろん，具体的には計算でき
(1)　直感的には明らかに成り立つことですが，そ
ませんので，部分積分か置換積分で何かできな
れをきちんと証明しなくてはいけません．f(x)
いか考えるところです．特に
は多項式なので，各次の係数をおいて，具体的
∫
に積分を計算することもできますが，それは大
1
-1
変ですね．そこで，「存在証明」の道具として，
xf(x) dx = 0
と (2) から増えた仮定を使うことを考えると，
上の 2 つの定理を思い出しましょう．
xf(x) と積の形を作らなくてはいけないので，　2
してください )．
部分積分を疑うところです．部分積分してみる
と，この積分が仮定からうまく 0 になることが
分かり，(1) から F(c) = 0 (- 1 < c < 1) となる c
それでは，最後に 1 問，練習問題をつけておきます．
の存在が言えます．これで証明終了です．
平均値の定理と中間値の定理をどちらも使う，良い
(1) は当然 (2) のヒントとなるはずなので，ど
問題だと思います．挑戦してみてください．
う利用するかを考えましょう．
第 2 問
問
極値をとる x の個数を聞かれています．
関数 f(x) は次の条件 (a),(b),(c) を満たす
とする．
(a)　f(x) は第 2 次導関数 f''(x) をもつ
(b)　f''(x) は連続である
(c)　x ≤ 0 のとき f(x) = 0,x ≥ 1 のとき
f(x) = 1 である
このとき
f''(c1) > 0,f''(c2) = 0,f''(c3) < 0
0 < c1 < c2 < c3 < 1
を満たす c1,c2,c3 が存在することを示せ．
n = 2,3 ぐらいで実験をすれば，答えが n - 1　個になるのは容易に予想できますね ( むしろ，　この予想はできないとダメです )．問題は，どう
証明するかです．極値をとる点は f'(x) の符号が
変化する点なので
・f'(x) を具体的に計算して，中間値の定理
・f(x) = 0 となる x を使って，平均値の定理
などが方針として考えられます．どちらでも示せ
ますが，記述が楽なのは平均値の定理を使うほう
だと思います．第 1 問を解いた人であれば，平均
< 解答 >
値の定理が自然と思えたかもしれません．
f(0) = 0,f(1) = 1
まず，論証を楽にするために
であり，f(x) が微分可能であることから，平均値
a1 < a2 < ºº < an
の定理より
と順序を入れておくのが，細かいですが大事なポ
f(1) - f(0)
= f '(c) (0 < c < 1)
1- 0
イントです．
-
f(x) = 0　-　x = a1,a2,ºº ,an
なので区間 (a1,a2),(a2,a3),º,(an - 1,an) に
f '(c) = 1 (0 < c < 1)
となる c が存在する．
おいて，f'(x) = 0 となる点が少なくとも 1 つずつ
さらに
存在することが平均値の定理から言えます．この
f'(x) = 0　(x < 0,1 < x)
段階では，「少なくとも 1 つ」なので個数を特定
であり，(a) より f'(x) は連続であるから
することはできないのですが，f'(x) が n - 1 次式
f'(0) = f'(1) = 0
であることが効いてきて，各区間にある f'(x) = 0
である．f'(x) が微分可能であることから，平均
となる点は 1 つだけだということが言えます．
値の定理より
「n 次方程式の解は高々 n 個」
f '(c) - f '(0)
= f ''(c1 ) (0 < c1 < c)
c-0
1
\ f '' (c1 ) = ( > 0) (0 < c1 < c)
c
という，当たり前ながら強力な事実がここでは役
に立ちます．あとはこれら n - 1 個の点の前後で
f'(x) の符号が変化することを述べれば証明完了
となる c1 が存在し，さらに
となります ( 符号変化を言わずに f'(x) = 0 の実数
解が n - 1 個を示すだけでは不十分ですので注意
3
\
f ' (1) - f ' (c)
= f '' (c3 ) (c < c3 < 1)
1- c
-1
f '' (c3 ) =
( < 0) (c < c3 < 1)
1- c
となる c3 が存在する．
また，とり方から 0 < c1 < c < c3 < 1 であり，条
件 (b) から
f ≤ ( c2 ) = 0 (c1 < c2 < c3 )
となる c2 が中間値の定理より存在する．
以上より，題意を満たす c1,c2,c3 が存在する
ことが示された．
□
それでは今回はここまでにしたいと思います．残
り半分，良い夏を過ごしてください．ではまた次回．
（数学科　川﨑）
4