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 難関大突破講座
＜確率率率＞ Lumiere
数学専門塾：
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問題編 2
確率の基礎 ＜くじ引きの確率＞ 【１】７本のくじのなかに当たりくじが３本ある。このくじをまず甲が２本引き、次に乙が２本 引く。ただし、引いたくじはもとに戻さないものとする。このとき、次の問に答えよ。 （１）甲が１本だけ当たる確率を求めよ。 （２）甲が１本だけ当たり、なおかつ乙も１本だけ当たる確率を求めよ。 （３）乙が１本だけ当たる確率を求めよ。 （琉球大） ＜電流が流れる確率＞ 【２】 p を 0 < p < 1 をみたす実数とする。 （１）四面体 ABCD の各辺はそれぞれ確率 p で電流を通す ものとする。このとき、頂点 A から B に電流が流れる 確率を求めよ。ただし、各辺が電流を通すか通さないか は独立で、辺以外は電流を通さないものとする。 （２）（１）で考えたような２つの四面体 ABCD と EFGH を図のように頂点 A と E でつないだとき、 頂点 B から F に電流が流れる確率を求めよ。 （東京大） 3
＜独立試行で動かす針の位置の確率＞ 【３】正三角形の頂点を反時計回りに A, B, C と名付け、ある頂点に１つの石が置いてある。 次のゲームを行う。 袋の中に黒玉３個、白玉２個の計５個の玉が入っている。この袋から中を見ずに２個の玉を取り出 してもとに戻す。この１回の試行で、もし黒玉２個の場合反時計回りに、白玉２個の場合時計回り に隣の頂点に石を動かす。ただし、白玉１個と黒玉１個の場合には動かさない。 このとき、以下の問に答えよ。 （１）１回の試行で、黒玉２個を取り出す確率と、白玉２個を取り出す確率を求めよ。 （２）最初に石を置いた頂点を A とする。４回の試行を続けた後、石が頂点 C にある確率を求めよ。 （岐阜大） 4
サイコロの問題 ＜さいころの目による変量＞ 【４】サイコロを４回振って出た目を順に X1 , X2 , X 3 , X 4 とし、 Y = 2 X1 −1 , 2 X2 −1 , 2 X3 −1 , 2 X4 −1 と定義する。 （１） Y が奇数となる確率を求めよ。 （２） Y が４の倍数となる確率を求めよ。 （大阪市立大） ＜４個のさいころの目の出方についての確率＞ 【５】４つのさいころを同時に振るとき、次の確率を求めよ。なお、どのように求めたのか、 その説明を必ず述べよ。 （１）４つのさいころに同じ目が出る確率。 （２）３つのさいころに同じ目が出て、他の１つにはその目と異なる目が出る確率。 （３）２つの異なる目がそれぞれ２つずつ出る確率。 （４）２つのさいころに同じ目が出て、他の２つにはその目と異なりかつ互いに異なる目が出る確率。 （５）連続した４つの自然数の目が出る確率。 （山形大） 5
＜４の倍数となる確率と期待値＞ 【６】３個のさいころを同時に振る試行において、出た目の数の積が４で割り切れる事象を A とする。 （１）事象 A が起こる確率 P ( A ) を求めよ。 （２）この試行を４回繰り返したとき、事象 A が２回以上起こる確率を求めよ。 （３）この試行を n 回繰り返したとき、事象 A が k 回起これば X = 3k で確率変数 X を定義する。 このとき、 X の期待値 E ( X ) を求めよ。 （北海道大） ＜独立の判定＞ 【７】さいころを２回振って最初に出た目を X 、次に出た目を Y とする。さらに、 Y が奇数のときは ３回目に振って出た目を Z とし、 Y が偶数のときには最初に出た目 X を Z とする。また a を 1 ! a ! 6 である自然数とする。このとき次の問に答えよ。 （１） Z = a である確率 P ( Z = a ) を求めよ。 （２） Y = a である事象と X + Z = 3 である事象は独立かどうかを調べよ。 （鹿児島大） 6
玉を取り出す問題 ＜赤球、白玉の箱への入れ方の確率＞ 【８】赤い玉が３個と白い玉が６個合わせて９個の玉がある。また箱が３つある。 次の問に答えよ。 （１）９個の玉を無作為に１列に並べるとき、赤い玉が３個連続して並ぶ確率を求めよ。 （２）９個の玉を無作為に３個ずつ分けて３つの箱に入れるとき、それぞれの箱の中に赤い玉が１個
と白い玉が２個ずつ入る確率を求めよ。 （３）９個の玉を１個ずつ３つの箱から無作為に選んだ箱に入れるとき、それぞれの箱の中に赤い玉
が１個と白い玉が２個ずつ入る確率を求めよ。 （京都府立大） ＜一方の色の玉をすべて取り出す回数の期待値＞ 【９】赤玉と白玉が入っている箱と、表の出る確率が p ( 0 < p < 1) である硬貨が１枚ある。この硬 貨を投げて表が出れば箱の中から赤玉を１個取り出し、裏がでれば箱の中から白玉を１個取り出す、 という試行を行う。ただし、一度箱から取り出した玉は、もとに戻さない。いま、赤玉３個と白玉 ３個が入っている箱に対してこの試行を繰り返し、箱の中から赤玉を全部取り出すかまたは白玉を 全部取り出したとき、試行を終了するものとする。試行がちょうど n 回で終了する確率を pn とし、 s = p (1 − p ) とする。 （１） p3 および p4 を s を用いて表せ。 （２）終了するまで行われる試行の回数の期待値を s を用いて表せ。 （３）（２）で求めた期待値の最大値とそれを与える p の値を求めよ。 （広島大） 7
＜同時に５個の玉を取り出すときの確率＞ 【１０】袋の中に赤玉が４個、白玉が３個、黒玉が３個入っている。この袋から同時に５個の玉を 取り出すとき、以下の問に答えよ。 （１）取り出した５個の玉に含まれる赤玉の個数を X とするとき、 X の確率分布を表で示し、期待値 E ( X ) を求めよ。 （２）取り出した５個の玉に含まれる赤玉の個数と白玉の個数の積を Y とするとき、 Y の確率分布を 表で示し、期待値 E ( X ) を求めよ。 （愛知教育大） 8
カードを取り出す問題 ＜２枚のカードの大きい方、小さい方の期待値＞ 【１１】 n ( n ! 2 ) 枚のカードに、1, 2, 3, !, n の数字が１つずつ記入されている。このカードの中から 無作為に２枚のカードを抜き取ったとき、カードの数字のうち小さい方を X 、大きい方を Y とする。 このとき、次の問いに答えよ。 （１） X = k となる確率を求めよ。ただし、 k は 1, 2, 3, !, n のいずれかの数字とする。 （２） X の期待値を求めよ。 （３） Y の期待値を求めよ。 （４） X + Y の期待値を求めよ。 （宇都宮大） ＜カードの数の積が５の倍数、１０の倍数である確率＞ 【１２】９枚のカードに１から９までの数字が１つずつ記してある。このカードの中から任意に１枚 を抜き出し、その数字を記録し、もとのカードのなかに戻すという操作を n 回繰り返す。 （１）記録された数の積が５で割り切れる確率を求めよ。 （２）記録された数の積が１０で割り切れる確率を求めよ。 （名古屋大） ＜カードの数の話の期待値＞ 【１３】何も書かれていない４枚のカードが入った袋がある。この袋からカードを１枚取り出して以 下ルールに従って処理を行い、その袋に戻す操作を繰り返す。 ルール：第 n 回目（ n = 1, 2, 3, ! ）に取り出したカードが未記入ならば n と書いて袋にもどし、 記入済みならばそのまま袋にもどす。カードを取り出す操作を４回繰り返したとき （１）４回目に未記入のカードが取り出される確率を求めよ。 （２）４回目が終わったとき、カードに記入された数の和の期待値を求めよ。 （名古屋市立大） 9
ランダムウォーク ＜さいころによる数直線上の点の移動＞ 【１４】数直線上を、原点 O から出発して動く点 A があるとする。１つのさいころを振り、その出た 目が１のとき点 A を右に１動かし、出た目が 2, 3 のときは右に２動かすものとする。 また、出た目が３のとき左に１動かし、出た目が 5, 6 のときは左に２動かすものとする。 このとき、さいころを５回振った後に点 A が原点にある確率を求めよ。 （東北大） 10
確率の最大 ＜確率の最大＞ 【１５】 箱の中に１番から N 番までの番号札が１枚ずつ合計 N 枚入っている。この箱から同時に ４枚の番号札を取り出す。この４枚の札の中で、最小の番号が３である確率が３である確率 を PN とする。ただし、 N ≥ 6 とする。 （１） PN を求めよ。 （２） PN < PN +1 となる N をすべて求めよ。 （３） PN を最大にする N とその最大値を求めよ。 （宮城教育大） 11
確率漸化式 ＜確率漸化式＞ 【１６】 A, B, C の３人がそれぞれ１枚ずつ札をもっている。最初、 B が赤札、他の２人は白札をも っている。赤札をもっている人がコインを投げて、表が出れば A と B のもっている札を交換する。 裏が出れば B と C がもっている札を交換する。これを n 回繰り返したとき、最初に A, B, C が赤札を もっている確率をそれぞれ pn , qn , rn とする。次の問に答えよ。 （１） n = 1, 2 のとき、 pn , qn , rn を求めよ。 （２） pn , qn , rn を n を用いて表せ。 （お茶の水大） ※このテーマの問題は、 『漸化式殲滅講座２』 をご購⼊入いただき、マスターしてください。 12
確率の極限 ＜ある状態に先になると勝ちとするゲームに勝つ確率＞ 【１７】次の問に答えよ。 （１）２人で交互に硬貨を投げる。いずれか一方が表を出すまで投げ続け、表を出した人を勝ちちす る。先に投げた人が勝つ確率は である。 （２）２人で交互に２枚の硬貨を同時に投げる。いずれか一方が２枚とも表を出すまで投げ続け、 ２枚とも表を出した人を勝ちとする。先に投げた人が勝つ確率は である。 （会津大） ＜ n 個の袋から３枚の金色のカードを取り出す確率の極限＞ 【１８】 n 個の袋があり、それぞれの袋には金色のカード３枚と銀色のカード ( 3n − 3) 枚入っている。 それぞれの袋から１枚ずつカードを抜き出すとき、確率変数 Xn を抜き出された金色のカードの枚数 とおく。 （１） X 4 が値３をとる確率 P ( X 4 = 3) 、および値２をとる確率 P ( X 4 = 2 ) を求めよ。 （２）金色のカードを１枚抜き出すごとに賞金１００円を受け取る。 n = 4 のときに受け取る賞金の 期待値を求めよ。 （３）一般の n ( n ≥ 3) について、 Xn が３つなる確率 P ( Xn = 3) を求めよ。 （４） lim P ( Xn = 3) を求めよ。 （九州大） n→∞
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期待値と分散 ＜分散の求め方＞ 【１９】５個の銅貨 Ck ( k = 1, 2, !, 5 ) を同時に投げる。確率変数 X k は銅貨 Ck の表が出たら X k = 1 裏が出たら X k = −1 として定めるものとする。 このとき、確率変数 Y = ( X1 + X2 + X 3 + X 4 + X5 ) の平均値と分散を求めよ。 （信州大） 2
＜ z = aX − bY の期待値、分散＞ 【２０】１から４までの数字を１つずつ書いた４個の球が袋の中に入っている。この袋の中から球を 同時に２個取り出すとき、番号の大きい方を X 、小さい方を Y とする。 （１） X の確率分布を求めそれを表で表せ。さらにこの表から X の期待値と分散を求めよ。 5
（２） aX − bY で表される確率変数 Z の期待値を５、分散を としたい。定数と b の値を求めよ。 3
（帯広畜産大） ＜二項分布＞ 【２１】座標平面上の点 P の移動を大小２つのさいころを同時に投げて決める。大きい方のさいころ の目が偶数のとき点 P を x 軸の正の方向に１だけ動かし、奇数のときはそのままとする。 さらに、小さいさいころの目が３の倍数のとき点 P を y 軸の正の方向に１だけ動かし、その他の場 合はそのままとする。最初 P が原点にあり、このような試行を n 回繰り返した後の点 P の座標を ( xn , yn ) とするとき、以下の問に答えよ。 （１） xn の平均と分散を求めよ。 （２） xn 2 の平均を求めよ。 （３）原点、( xn , 0 ) , P, ( 0, yn ) の４点を結んでできる四角形の面積を S とする。ただし、xn = 0 または、 yn = 0 のときは S = 0 とする。 S の平均と分散を求めよ。 （三重大） 14