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第 7 章 浮力・浮体の安定
第7章
浮力・浮体の安定
1. 1 辺の長さ a の正三角形断面を持つ木の柱 (比重 0.800 ) を水に浮かべたところ、図のように、
下向きに静止した木柱と上向きに静止した木の柱があった。それぞれの状態の吃水（きっす
い）深、浮心の位置、および浮心から上向きに重心までの距離を求めよ。
y
h
d
G
C
G
h
d
C
z
重心を G、浮心を C とする。どちらの柱も左右対称なので、G、C ともに三角形の中央を通
る鉛直軸上にある。よって水面からの深さ zG 、zC を求めれば、点 G、C の位置を定めること
ができる。
柱の比重を σ 、長さを L、断面積を A、上向きに静止した場合の水面から上の高さを y 、それ
ぞれの吃水深を d とする。
下向き 没水部分の面積 A左 は高さがもとの h に対して d と短くなった相似形なので、
A左 =
d
h
2
A (1)
である。
浮体の釣り合いより W = B左 である。ここで三角柱に働く重力 W = σρgAL、没水部分に
働く浮力 B左 である。アルキメデスの原理より没水部分の体積 V として B = ρg = ρgA左 L
であるので、
σρgAL = ρgA左 L
√
となる。式 (1) を代入すると、d = h σ が得られる。
浮心 C は没水部分 (三角形) の図心であるので、浮心の深さは zC =
√ h
1
d= σ
3
3
√
2
2
重心の深さ zG は同様に zG = d − h =
σ−
h
3
3
以上より、吃水深 0.894h、 浮心の深さ 0.298h、 重心の深さ 0.228h である。
上向き 没水部分の面積 A右 は先ほどと同様に
y 2
A h
浮体の釣り合いより
A右 = A −
(2)
σρgAL = ρgA右 L
√
√
上の２式より y = h 1 − σ 、よって d = 1 − 1 − σ h となる。
1
2 √
重心位置 G の深さ zG は zG = d − h =
− 1−σ h
3
3
浮心の位置は台形の没水部分の図心位置なので三角形の底辺を回転軸とする面積モーメ
ントを用いて以下のように求める。三角形全体、水面から上の三角形、没水部分の面に
ついて面積モーメントをまとめると次の表のようになる。
第 7 週目 解答
24
水理学 a 演習の解答 2014 年度
三角形
面積
水面から上の三角形
y 2
A
h
1
d+ y
3
y 2
1
A× d+ y
h
3
A
1
h
3
1
A× h
3
腕の長さ
面積モーメント
没水部分
A右
d − zC
A右 × (d − zC )
三角形全体の面積モーメントから水面から上の部分の面積モーメントを差し引いたもの
が台形部分の面積モーメントに等しいので次式が成り立つ。
1
y
A右 × (d − zC ) = A × h −
3
h
これまでの結果から、
と上式は
σ(d − zC ) =
=
y
h
2
2
1
A× d+ y
3
= 1 − σ 、 A右 = σA が分かっているので、これらを用いる
1
h−d
h − (1 − σ) d +
3
3
1
h 2
h − (1 − σ)
+ d
3
3 3
2
1
d− y
3σ
3
以上の計算より 以上より、吃水深 0.553h、 浮心の深さ 0.312h、 重心の深さ 0.219h
である。
これを解いて zC =
2. 図のような幅 3.0m、高さ 2.0m、長さ 5.0m の物体 (比重 0.70) の上に、幅 1.50m、高さ 1.0m、
長さ 3.0m の物体 (比重 2.8) を中央に載せて、水に浮かべた時、きっ水 (d) はいくらか。
解答 まず二つの物体に働く重力の大きさを求める。二
つの物体のそれぞれの体積を V上 、V下 、重力の大きさ
S=2.8
3.0m
1.5m
を W上 、W下 、および重力の和 W は
1.0m
2.0m
V上 = 1.0 × 1.5 × 3.0 = 4.50m3
V下 = 2.0 × 3.0 × 5.0 = 30.0m3
S=0.70
3.0m
5.0m
W上 = 2.8 × 1000 × 9.8 × 4.50 = 123.48kN
W下 = 0.70 × 1000 × 9.8 × 30.0 = 205.8kN
W =W上 + W下 = 123.48 + 205.8 = 329.28kN
である。浮体が釣り合うために必要な浮力 B の大きさは、
「浮体のつりあい」より B = W =
329.28kN となる。この大きさの浮力を得るために、下の物体がすべて水没した場合を考える
と、そのときの浮力 B下 は「アルキメデスの原理」より
B下 = ρgV下 = 1000 × 9.8 × 30.0 = 294.0kN < 329.28kN
となる。したがって、下の物体がすべて没水しても浮力は釣り合い状態より小さい。このこ
とから、水面の位置は下の物体より高い位置にあり、吃水深 d は d > 2.0m であることが分か
第 7 週目 解答
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第 7 章 浮力・浮体の安定
る。
水面が下の物体より高い位置にある場合 (d > 2.0m) の浮力の大きさ B は
B = B下 + ρg(d − 2.0) × 1.5 × 3.0 = 294.0 + 1000 × 9.8 × (d − 2.0) × 1.5 × 3.0
= 294.0 + 44.1(d − 2) = 205.8 + 44.1d (kN)
浮体が釣りあっているとき、浮力 B と物体に働く重力 W の大きさは等しいので
329.28 = 205.8 + 44.1d
これより d を求めると、d = (329.28 − 205.8)/44.1 = 2.80m となる。これは、水面が下の物
体より高い位置にある (d > 2.0m) という条件を満たしている。
Ans. したがって、水面は下の物体より高い位置にあり、きっ水の深さは 2.80m
3. 高さ 5.00m、直径 3.00m、底厚 0.200m、側壁厚 0.200m の円筒型鉄筋コンクリートケーソン
を海に浮かべた。このケーソンの吃水深、浮心、重心の位置を調べよ。ただし、鉄筋コンク
リートと海水の密度をそれぞれ 2.40 × 103 kg/m3 、1.025 × 103 kg/m3 とする。
全体
中空
体積
ケーソン
z
5.00m
解答 図のようにケーソンの最下端を原点とする座標系と
吃水深 d、ケーソンの重心 G、および浮心 C を定める。ケー
ソンが z 軸に軸対象であるので重心 G と浮心 C は z 軸上
にある。まずケーソンの重心 G の位置 zG を求める。重心の
求め方として 2 種類を紹介する。一つ目は中空部分を外周
部分から差し引く方法で考える。つまりケーソンが全体の体
積 (π3.002 /4 m2 × 5.00m = 35.343m3 ) から中空部分の体積
(π2.602 /4 m2 ×4.80m = 25.4846m3 ) を差し引いて出来上がっ
ていると考える。またケーソンの材質は均質なので、体積モー
メント（体積 × モーメントの腕の長さ）で重心位置を求めら
れる。それぞれの体積モーメントの差がケーソンの体積モー
メントと等しくなる。それぞれの重心の z 座標をモーメント
の腕の長さとすることでケーソンの重心 G の z 座標が求めら
れる。全体の重心は原点から 2.50m、中空部分の重心は原点
から 0.200 + 4.80/2 = 2.60m の位置 (高さ) にある。
G
C
d
3.00m
0.200m
O
y
O
x
0.200m
テーブル その１
重心高さ (m)) 体積モーメント (m4 )
(m3 )
35.343
25.4846
9.8584
2.50
2.60
zG
88.3575
66.260
22.0975
体積モーメントに関する表を作ると「テーブル その１」のようになるこの表より
9.8574 × zG = 22.0975
第 7 週目 解答
,
zG = 22.0975/9.8584 = 2.2415
2.24m
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水理学 a 演習の解答 2014 年度
よって重心の高さ zG はケーソンの最下端から 2.24m と求められる。次に部材ごとの質量モー
メントを考える。ケーソンを底板 (π3.002 /4 × 0.200) と側壁 (厚さ 0.200m、長さ π × (3.00 +
2.60)/2m、高さ 4.80m)(1 枚) に分ける。 実際の構造物は必ずしも部材の単位体積質量が均一
であるとは限らないので、この方法は実務でよく使われる。テーブル その２より、
23.660 × zG = 53.0333
zG = 53.0333/23.660 = 2.2415
,
2.24m
重心の高さ zG はケーソンの最下端から 2.24m 上にある。
パーツ
底板
側壁
全体
体積 (m3 )
枚数
1.4137
8.4446
-
1
1
-
テーブル その２
総体積 質量 (×103 kg)
1.4137
8.4446
9.8583
3.3929
20.267
23.660
重心位置
（高さ)m
質量モーメント
(×103 kgm)
0.100
2.60
zG
0.33929
52.694
53.0333
次に浮心の位置 (zC ケーソン最下端から) と喫水深 (d) を求める。ケーソン全体の質量を
M 、ケーソンに働く浮力を B とする。とする。
浮体の釣合よりケーソンに働く重力と浮力が釣り合っているので、以下の式が得られる。
Mg = B
また、浮力 B は海水の密度を ρs 、没水部分の体積を V とすると、アルキメデスの原理より
B = ρs gV
で与えられる。没水部分は円筒形なので、ケーソンの直径 D = 3.00m、吃水深 d を用いて
V =π
D
2
2
×d
である。これらの式から吃水深 d は
d=
Mg
M
23.660 × 103
=
=
= 3.2655
ρs gπ(D/2)2
ρs π(D/2)2
1.025 × 103 × π × 1.502
3.27m
浮心の位置は没水部分の中央であることから、浮心の高さ zC は
zC =
d
3.2655
=
= 1.6328
2
2
1.63m
が得られる。
Ans.
重心位置 ケーソン最下点から
きっ水深
浮心の位置 ケーソン最下点から
第 7 週目 解答
zG = 2.24m
d = 3.27m
zC = 1.63m
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