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分布の特徴
代表値だけで十分か？
バラツキの尺度
値の広がり方が異なる
バラツキも分布の特徴
同じ平均、中央値、最頻値を持つ分布
平均からの偏差
データの順位を利用した尺度
観測値： x1, x2, ・・・ xn
 範囲＝最大値－最小値
最小値から最大値までの幅
 平均： x 
 四分位範囲＝Q3－Q1
上位25%と下位25%を除いた中央部50%の幅
 四分位偏差＝ （ Q3－Q1 ）/2
1 n
1
 xi  n ( x1  x2 
n i 1
 偏差 ＝ 観測値－平均値 ＝
四分位範囲の半分
n
偏差の和：
範囲
四分位範囲
最小値
Q1 Ｍ：中位点
Q3
第1四分位点
第3四分位点
平均を中心としたバラツキの尺度
平均偏差の絶対値の平均
1 n
1
| xi  x |  n  x1  x  x2  x 
n i 1
 xn  x 
分散・・・偏差平方の平均
S x2 
1 n
1
 ( xi  x )2  n ( x1  x )2 
n i 1
標準偏差・・・分散の平方根
 ( xn  x )2 
x1  x ,
n
, xn  x
n
 ( x  x )  x   x nx  nx  0
i 1
最大値
 xn )
x3
i
i 1
x1
i
i 1
x
x2
標準偏差とデータ補足率
データの区間
対称単峰分布
一般の分布
 x  Sx , x  Sx 
約２/３
－
 x  2S x , x  2S x 
約９５％
３/４以上
 x  3Sx , x  3Sx 
９９％以上
８/９以上
S x  S x2
1
例１
例2
｛ 1, 5, 2, 8, 4 ｝の平均、分散、標準偏差
那覇と札幌、気温のバラツキが少ないのはどちら？
1  5  2  8  4 20
 平均値： x 

4
5
5
(1  4) 2  (5  4) 2  (2  4) 2  (8  4) 2  (4  4) 2
5
30

6
5
 分散： S x2 
 標準偏差： s  6  2.449
問 ｛ 2, 3, 4, 5, 6 ｝の平均、分散、標準偏差を求めよ
日付 那覇 札幌
1
29.2
・・・
31
・・・
30.2
平均 29.2
那覇偏差 札幌偏差 那覇偏
絶対値
絶対値
差平方
19.4
0.0
0.3
0.0
・・・
22.0
19.7
・・・
1.0
0.6
・・・
2.3
1.6
・・・
1.0
0.81
札幌偏
差平方
0.09
・・・
5.29
3.31
偏差絶対値の平均・・・那覇：0.6 vs 札幌：1.6
分散・・・那覇：0.81 vs 札幌：3.31
標準偏差・・・那覇：0.90 vs 札幌：1.82
⇒ いづれの指標からも那覇の方が気温のバラツキは少ない
線形変換と平均・分散・標準偏差
標準化
｛ x1, x2, ・・・ xn｝は、平均 x 分散 Sx2 標準偏差 Sx を持つ
データxは平均 x 分散 Sx2 標準偏差 Sx
yi=axi+b により ｛ x1, x2, ・・・ xn｝を｛ y1, y2, ・・・ yn｝ に変換
zi 
このとき、 ｛ y1, y2, ・・・ yn｝ の平均、分散、標準偏差は
1 n
1 n
1 n

yi   (axi  b)   a xi  nb   ax  b

n i 1
n i 1
n  i 1

1 n
1 n
2
分散： S y2   ( yi  y ) 2   (axi  b)  (ax  b)
n i 1
n i 1
平均： y 

1 n
a2
2
  axi  ax   n
n i 1
n
 (x  x )
i 1
i
2
 a 2 S x2
偏差値
平均、標準偏差が異なる試験科目の得点を比較する
ときに用いる
得点  平均
10  50
標準偏差
例） 平均６０点、標準偏差１０点の試験で得点が５５点であれ
ば偏差値は
偏差値 
zの平均、分散、標準偏差は
xx
0
Sx
1
分散： S z2  2 S x2  1
Sx
平均： z 
標準偏差： Sｚ = 1
標準化により平均0、分散1、標準偏差1に変換される
標準偏差： Sy= |a| Sx
偏差値 
xi  x
によりzに変換（標準化）
Sx
55  60
10  50  45
10
問 得点が８０点であれば偏差値はいくつか
変動係数
単位の違うデータのバラツキの程度を直接比較できない
身長のバラツキ・・・長さの単位（ cm ）
体重のバラツキ・・・重さの単位（ Kg ）
平均が大きくなると標準偏差も大きくなる場合がある
単位の違うデータ、スケールの違うデータを比較するため
に標準偏差を平均で相対化する・・・変動係数
CVx 
Sx
x
2