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講義概要
統計的仮説検定
仮説検定の考え方（帰無仮説と対立仮説）
第1種・第2種の過誤、検定力
t検定 / カイ2乗検定 / F検定
平均値の差の検定
講義概要／前期の復習
分散分析（ANOVA）
回帰分析／重回帰分析
時系列分析
記述統計
平均：
分散：
主な分布
1
x   x1  x2   xn 
n
1
2
2
s 2   x1  x     xn  x 
n

標準偏差： s 
average( )

varp( )
stdevp( )
s2
cf. 推測統計で用いる分散

1
2
 x1  x  
n 1
不偏分散：
v2 
標準偏差：
v  v2
  xn  x 
2

二項分布： X～B(n, p)
二者択一試行を独立にn回繰り返す時、注目して
いる方の事象（確率p）が発生する回数Xの分布
P( X  k )  n Ck p k (1  p)n k ,
E[ X ]  np,
k  0,1 n
V [ X ]  np(1  p)
正規分布: X～N(m,s2)
var( )
stdev( )
n
2
2
分散と不偏分散の関係： v  n  1 s
– 統計学で最も良く使われる分布
– 平均を中心とした左右対称のベル型
– 標準正規分布と正規分布表： Z＝
E[ X ]   ,
無作為抽出した標本の分布は母集団と類似
標本平均・（不偏）分散・標準偏差・・・母数の推定
大数の法則
標本サイズが大きくなるに従って標本平均は真の平
均に近づく
例）サイコロを多数回投げると各目が出る確率は1/6に近ずく
中心極限定理
標本平均の分布は標本サイズが大きくなるに従って
正規分布に近づく
例）ある母集団から100個の標本を抽出し平均を求める操作を
繰り返したとき、標本平均の分布は正規分布となる

区間推定
母集団と標本
標本抽出・分布
V[ X ]   2
X 
t分布： T  X  X
S

S
S 
, X  t0.975
0.975

n 1
n 1 


ˆˆ
ˆˆ 
pq
pq
母比率の区間推定：  pˆ  1.96 n , pˆ  1.96 n 


母平均の区間推定：  X  t
母数が範囲内にある（推定が当たり）確率は95%
推定精度（e）と標本サイズ（n）の関係
2
母平均推定：
母比率推定：
 1.96S 

 n
 e 
2
 1.96 
ˆˆn

 pq
 e 
1
二項分布（１）
確率分布
次の確率分布を持つXについて問に答えよ。
X
P(X)
1
1/10
2
1/5
3
2/5
4
1/5
5
1/10
（１）Xの期待値を求めよ
  1
1
1
2
1
1
 2   3  4   5   3
10
5
5
5
10
（２） Xの分散を求めよ
 2  (1  3)2 
1
1
1
1
 (2  3)2   (4  3)2   (5  3)2   1.2
10
5
5
10
二項分布（２）
確率変数Xが二項分布B(n,p) に従うとき， Xの
期待値は np
，分散は np(1－p) となる。
nが大きい場合，二項分布は正規分布で近似で
きる。例えば，不良率が2%の製品を無作為に
400個抽出するとき含まれる不良品の個数Xは
二項分布B(400, 0.02)に従う。これは正規分布
N(
8 ， 7.84 )で近似できる。
コインを5回投げ表の出た回数をXとするとき、
Xの確率分布を求めよ。
X
P(X)
0
1/32
1
5/32
2
5/16
3
5/16
4
5/32
5
1/32
P(0)  5 C0 1/ 2  1/ 2   1/ 2   1/ 32
0
5
5
P(1)  5 C1 1/ 2  1/ 2   5  1/ 2   5 / 32
1
4
5
P(2)  5 C2 1/ 2  1/ 2   10  1/ 2   10 / 32  5 / 16
2
3
5
P(3)  P(2), P(4)  P(1), P(5)  P(0)
二項分布（3）
不良品率が10％の製品から無作為に4個を抜き
取り検査するとき次の値を求めよ。
（１）不良品が1個も含まれない確率
P(0)  4 C0  0.10  0.94  0.6561
（２）不良品が2個含まれる確率
P(2)  4 C2  0.12  0.92  6  0.0081  0.0486
（３） 4個中に含まれる不良品の数の平均と分散
E ( X )    4  0.1  0.4
V ( X )   2  4  0.1 0.9  0.36
2