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地表での地震動特性を支配する３要素
１） 震源特性
２） 伝播経路特性
３） 地盤増幅特性（サイト特性）
振動工学
地震動の増幅
地表
表層地盤
深部堆積層
工学的基盤
第12回 地盤の振動
軟
硬
地震基盤
地殻・マントル
震源
1
2
表層地盤の地震動増幅
地盤の動特性
地震動解析に必要な地盤の動特性には，
•
•
•
質量
弾性係数
減衰定数
がある。
ただし，地盤を線形弾性体と仮定。
地表での地震動と建物応答は表層地盤構造の影響を大きく受ける。 3
4
質量
弾性係数
弾性体を表現する係数には各種ある。線形弾性体
ではそのうちの2つが独立である。
単位体積当たりの質量すなわち質量密度
（単位：kg/m3）を用いる。
既往の実測データから平均的な値は以下のとおり
である。
粒径区分 (mm)
2
0.075
0.005
•
•
•
•
礫
砂
シルト
粘土
2.10
1.85
1.70
1.50
•
•
関東ローム
水
1.35
1.00 (単位：×103kg/m3)
5
• ヤング率（縦弾性係数）
E (N/m2)
• せん断弾性係数（剛性率）
G (N/m2)
 無次元
• ポアソン比
砂 ： =0.3 程度
粘土 ： =0.5 程度
• P波速度（縦波速度）
VP (m/s)
• S波速度（せん断波速度）
VS (m/s)
沖積地盤： VS = 50～200 m/s 程度
洪積地盤： VS = 200～400 m/s 程度
せん断弾性係数，せん断波速度
弾性波動場の基本方程式
各軸方向に関する応力のつり合い方程式は
以下のように成り立つ。
地盤のせん断弾性係数とせん断波速度（S波
速度）の間には，以下の関係がある。
G  VS2 , VS 
y
G
 x  yx  zx


 ux  0
x
x
y
z
dx
 xy  y  zy
y
Y軸：


 uy  0
yx 
x
y
z
xy
x
yz
 xz  yz  z
xz


 uz  0
Z軸：
zy
x
y
z
zx
単位体積に
z
z
作用する慣性力
X軸：

ちなみに，P波速度は
VP 
6
  2G
E
,  

(1   )(1  2 )
7
8
問題の単純化
応力のつり合い方程式の単純化
水平動
• 地盤は水平成層地盤
X方向（水平方向）にのみ変位することから
u x  0, u y  u z  0
• 入射波はS波
• 鉛直下方から入射
スネルの法則（屈折の法則）
sin  n 1 VSn 1

sin  n
VSn
一般に地表に近づくほど
VSは小さくなる
n-1
n
n-1
n
地盤の応力－ひずみ関係
10
u→ueit とおいて整理すると
d 2u  2
1  2ih u  0

dz 2
G
d 2u  2
 * u  0, G *  G 1  2ih  ： 複素剛性
2
dz
G
t
となる。ここで
：減衰定数（無次元）
u
z
 zx

 ux   u
z
z
調和振動解
減衰のある場合の応力－ひずみ関係は，


 2h  G


dz
よって，応力のつり合い方程式から
9
h

z
u x u x
u x

 0,  0
x
y
z
 x   y   z   xy   yz  0,  zx  0
S波（横波・せん断波）
t
x
Z方向（深さ方向）にのみ変位の
空間的変化があることから

d 2u
2


p
u

0
,
p

dz 2
G*
：せん断ひずみ（無次元）
これを z で偏微分し，前頁の式を代入すると
上式の2階同次微分方程式の解は
 2 u G  3u
 3u
 2 h 2 
 tz 2
t
t 3


u  Ee ipz  Fe ipz  u  Ee ipz  Fe ipz e it
11
12
上昇波，下降波
成層地盤の波動伝播（１）
x
今，減衰を無視（h=0）すると
p 
u  Ee

G


z
VS

z
i  t 
V
S




 Fe

z
i  t 
V
S

E
右図のように水平な境界をもって，層をなした成層地盤
を考える。各層において


ui  Ei e ip z  Fi e ip z e it
F
i i
i i


 i  i Gi* pi Ei e ip z  Fi e ip z e it



上式から，第１項はz軸の負の方向に進む波（上昇波），
第２項はz軸の正の方向に進む波（下降波）を表す。
i i
i i
境界条件として，地表面でせん
断応力が 0，層境界における
変位とせん断応力の連続より
 1 Z 0  0  E1  F1
1
13
成層地盤の波動伝播（２）

1
1  Ri Ei eip H  1  Ri Fi e ip H
2
1
Fi 1  1  Ri Ei e ip H  1  Ri Fi e ip H
2
i

i
i
i
i
Ri 

 iVSi
 i 1VSi 1



*
i Gi
*
i 1Gi 1
i

 ui 1 Z
i
Zi  H i
  i 1 Z
i 1
i 1
0
Hi
zi+1 i+1, Gi+1, hi+1 Hi+1
0
14
i
i
下式より地表のE1, F1が決まれば、地表から順に任意
のEi, Fiが次々と求まる。

 Ei 1  1 1  Ri e ip H

 
ip H
F
 i 1  2 1  Ri e
 Ei 
 Rii 1  
 Fi 

i
i
i
1  Ri e ip H  Ei 
1  Ri e ip H   Fi 
i
i
i
i
    
 E1 
Rii1 R12  Rii 1 　 
 F1 
 i Gi 1  2ihi 
 i 1Gi 1 1  2ihi 1 
 iVSi
1  2ihi

1  2ihi 1  i 1VSi 1
i
 
ここで，Riはインピーダンス比である。
Gi* pi
Gi*1 pi 1
Zi  H i
zi x i, Gi, hi
成層地盤の波動伝播（３）
結果を整理すると，以下のような i層とi+1層との漸化
式が求まる。
Ei 1 
ui
x
15
ここで、地表は自由端であるから波動は全反射し、
上昇波と下降波の振幅は一致する。
すなわち E1 = F1
16
成層地盤の波動伝播（４）
2種類の地盤の伝達関数
2 E1
En  Fn
逆に，第 n 層上端の入射波Enに対する任意の境界で
の応答の比が計算できる。
   
 En 
 E1   r11
2  E1 
n
   Rn 1  R1    r    
 F1  r21
 F1 
 Fn 
En  r11 E1  r12 F1  r11  r12 E1
H   
E1  F1 2 E1
1


2 En
2 En r11  r12
r12   E1 
 
r22   F1 
E1 = F1
表層地盤
E1 F1
基盤
これを地盤の伝達関数という。
伝達関数：入力に対する出力の
スペクトル比
>
En Fn
内部基盤面
解放基盤面
En ≠ Fn
En = Fn
下降波 Fnが表層地盤
の影響を受けている。
→地中地震計など
17
２層地盤の伝達関数
下方からの入力のみ
→設計用入力地震動
基盤露頭波
18
2層地盤の1次固有振動数（4分の1波長則）
1次固有振動数
E1
E2
F1 1 =1.7
VS1=100m/s
h1 =0.02
t/m3
4分の1波長則
H1=
25m
V
V
4H1    f S1  f1st  4HS1
1
1st
：波長 (m)
f1st ：1次固有振動数 (Hz)

2 =1.85 t/m3
F2 V =400 m/s
S2
h2 =0.02
解放基盤面
2 E1
2 En
2 E1
2 E2
地表面=自由端（位相ずれなし）
2 E1
H1
内部基盤面 E  F
2
2
基盤面≒固定端（位相ずれ180°）
19
20
２層地盤の伝達関数（表層地盤の層厚）
f1st 
E1
E2
F1 1 =1.7 t/m3
VS1=100m/s
h1 =0.02
VS
4H
Ri 
２層地盤の伝達関数（表層地盤のS波速度）
 iVSi
f1st 
 i 1VSi 1
E1
H1
 =1.85 t/m3
F2 V2 =400 m/s
S2
h2 =0.02
E2
H1 (m)
8
12.5
25
F1 1 =1.7 t/m3
VS1
h1 =0.02
VS
4H
Ri 
 iVSi
 i 1VSi 1
H1=
25m
 =1.85 t/m3
F2 V2 =400 m/s
S2
h2 =0.02
VS1 (m/s)
100
200
300
21
22
２層地盤の伝達関数（表層地盤の減衰定数）
２層地盤の伝達関数（基盤のS波速度）
f1st 
E1
E2
F1 1 =1.7 t/m3
VS1=100m/s
h1 =0.02
VS
4H
Ri 
 iVSi
f1st 
 i 1VSi 1
E1
H1=
25m
 =1.85 t/m3
F2 V2
S2
h2 =0.02
E2
VS2 (m/s)
300
400
600
F1 1 =1.7 t/m3
VS1=100m/s
h1
VS
4H
Ri 
 iVSi
 i 1VSi 1
H1=
25m
 =1.85 t/m3
F2 V2 =400 m/s
S2
h2 =0.02
h1
0.01
0.02
0.05
23
24
小千谷市内の強震記録（2004年新潟県中越地震）
JMA 小千谷
PGA= 898cm/s2
計測震度 6強(6.3)
水仙の家(SSI)
PGA= 808cm/s2
計測震度 6強(6.1)
K-NET 小千谷
PGA=1314cm/s2
計測震度 7(6.7)
26
表層地盤の地震応答解析例
2004年新潟県中越地震
新潟県小千谷市
25
JMA小千谷
地 表 か ら 3m 程 度 ま で の
表層地盤のS波速度（VS）
が大きく異なる。
K-NET小千谷 VS 小
JMA小千谷
VS 大
0.6
震源：新潟県中越地方
マグニチュードMJ5.3
震度4
K-NET小千谷
0
0.4
PGA 0.34 m/s2
加速度 (m/s2)
K-NET小千谷
各強震観測点の余震記録
水仙の家
-0.6
0.6
PGA 0.46 m/s2
水仙の家
震度3
PGA 0.20 m/s2
5
10
15
0.2
0.1
0
-0.6
0
K-NET
JMA
水仙の家
0.3
震度3
JMA小千谷
0
-0.6
0.6
フーリエスペクトル (m/s2・s)
強震観測点の地盤構造
20
0
0
5
10
振動数 (Hz)
時間 (s)
解放基盤面
27
振幅が比較的小さいので地盤の非線形性の
影響が小さい→地盤を線形弾性体と仮定
28
地盤の周波数応答解析
表層地盤の地震応答解析
入力地震動
水仙の家
XB
砂礫層
岩盤層（基盤）
地盤の理論
伝達関数
基盤露頭波XBを砂礫層の下部に入力し、
周波数応答解析を行い
地表での地震動XSを求める。
29
地震応答解析結果
0.6
K-NET小千谷
加速度 (m/s2)
0
-0.6
0.6
観測 0.34
解析 0.33
JMA小千谷
0
-0.6
0.6
PGA (m/s2)
観測 0.46
解析 0.48
水仙の家
0
PGA (m/s2)
-0.6
0
観測 0.20
5
10
15
フーリエ逆変換
周波数領域
フーリエ変換
表層地盤
XB
応答加速度波形
時間領域
K-NET小千谷
JMA小千谷
XS
20
時間 (s)
31
入力地震動の
フーリエスペクトル
（振幅・位相）
地盤の伝達関数
（複素数）
地表応答の
フーリエスペクトル
（振幅・位相） 30