Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数 指数関数・対数関数 1 指数の計算 次の計算をせよ。ただし,(2)では x>0,(3)では x>0,y>0 とする。 (1) 92× (3) 4 1 ÷33 27 x3 y × (2) 1 1 2 ÷ x x3 (4) 3 y y3 ÷4 x x 0.25 -8 ÷4 解答 (1) 92× 1 1 ÷33=34×3-3×3-3=3-2= 27 9 (2) 3 3 1 - - 1 1 1 -2 -2 2 2 ÷ 3 =x ÷ x =x × x = x 2 = x2 x x (3) 4 1 x3 y × 3 1 3 1 1 1 1 1 - - y y3 ÷4 = ( x 3 y ) 4 × ( yx -1 ) 2 ÷ ( y 3 x -1 ) 4 = x 4 ∙ y 4 × y 2 ∙ x 2 ÷ y 4 ∙ x 4 x x 3 4 1 1 =x ∙y4 × y2 ∙x 1 (4) 3 -8 = 3 (-2) 3 =-2, よって 3 - 1 2 ×y - 3 4 1 4 ∙x =x 1 40.25= (2 2 ) 4 = 2 2 = 2 0.25 -8 ÷4 =(-2)÷ 2 =- 2 1 3 1 1 - + 4 2 4 1 ∙ y4 1 3 + - 2 4 1 = x 2 y0= x Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数 2 式の値 1 (1) x>0, x 2 - x 1 (2) x>0, x 3 + x - - 1 2 1 3 =-2 のとき,x+x-1 の値を求めよ。 =3 のとき,x+x-1 の値を求めよ。 (3) 3x-3-x=2 のとき,次の値を求めよ。 3x+3-x ① ② 3x 解答 2 2 2 1 - 12 - 1 -1 1 x -x 2 = x 2 -2∙ x 2 ∙ x 2 + x 2 =x-2+x- (1) 1 x2 -x - 1 2 1 1 =-2 から 4=x-2+x-1 3 3 2 よって x+x-1=6 2 3 1 1 1 - - 13 - 1 1 -1 -1 1 x +x 3 = x 3 +3∙ x 3 ∙ x 3 +3∙ x 3 ∙ x 3 + x 3 =x+3 x 3 +3 x 3 +x- (2) 1 1 1 1 - =x+x-1+ 3 x 3+x 3 1 x3+x (3) ① - 1 3 =3 から 33=x+x-1+3∙3 よって x+x-1=18 (3x-3-x)2=(3x)2-2∙3x∙(3-x)+(3-x)2=32x+3-2x-2 ここで,3x-3-x=2 から 32x+3-2x=22+2=6 また,(3x+3-x)2=32x+3-2x+2 から (3x+3-x)2=6+2=8 ここで,3x>0,3-x>0 であるから 3x+3-x>0 ② 3x-3-x=2,3x+3-x= 2 2 から 3x=1+ 2 2 よって 3x+3-x= 2 2 Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数 3 指数関数のグラフ 次の関数のグラフをかき,y=3x との位置関係を答えよ。 1 (2) y=- 3 x+1 (1) y=3 x 解答 (1) f (x)=3x とすると,3x+1=f (x+1)である x+1 ので,y=3 y=3x 3 x のグラフは y=3 のグラフ を x 軸方向に-1 だけ平行移動したグラフ である。 y=3x+1 1 -1 y=3x (2) f (x)=3x とする。 x 1 - =-(3-1)x=-3-x=-f (-x) 3 1 1 x 1 であるので,y=- のグラフは y=3x の 3 - 1 3 -1 グラフを原点に関して対称移動したグラフ 1 y=- 3 である。 3 x Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数 4 累乗・累乗根の大小比較 4 (1) 次の 3 数の大小を比較せよ。 6 (2) 次の 2 数の大小を比較せよ。 2 ,5 2 2 4 6 , 10 2 2 2 ,5 6 解答 1 4 (1) 6 2 2 = 24 1 =2 =2 3-2 12 1 12 =2 , 2 5 26 底 2 は 1 より大きく,指数の大小は, 6 すなわち (2) 1 1 1 1 - 4 6 10 2 2 4 <6 2 2 <5 4 = 22 2 =2 1 2 - 2 5 =2 5-4 10 = 2 , 10 25 1 1 1 < < であるから 15 12 10 2 4 2 , 5 6 のそれぞれを 10 乗すると 2 10 10 1 = 2 2 =25=32, 32<36 であるから 6 5 6 1 10 10 10 1 = 6 5 =62=36 2 <5 6 4 1 2 2 = 1 26 =26 1 2 10 1 1 2 15 < 2 12 < 2 10 1 - 10 =2 5-3 30 1 = 2 15 Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数 5 指数方程式・指数不等式 (1) 4x-1= 2 2 (2) 4x-1≧ 2 2 x (3) 1 1 < 3 9 (4) 8x-2x+2=0 解答 1 (1) 4x-1=(22)x-1=22x-2, よって 2x-2= 3 2 1 2 2 =2 ∙ 2 2 = 2 したがって x= 1+ 1 2 3 3 22x-2= 2 2 = 2 2 より 7 4 3 (2) (1)より 22x-2≧ 2 2 2 は 1 より大きいから 2x-2≧ 3 2 したがって x≧ 7 4 (3) 底を 3 にそろえる。 x 1 2 x 2x =(3- ) =3- , 9 1 3 - =3 1 2 3 は 1 より大きいから -2x<- 別解 - よって 3-2x< 3 1 2 1 2 したがって x> 1 4 1 底を にそろえる。 3 1 x 2x 2 x 1 1 1 = = , 3 9 3 1 は 1 より小さいから 3 2x> 1 12 = = 3 3 3 1 1 2 2x よって したがって x> (4) 8x=(23)x=23x=(2x)3, 2x+2=4∙2x より (2x)3-4∙2x=0 3 このとき,方程式は t -4t=0 x すなわち 2 =2 t(t+2)(t-2)=0 これを解いて x=1 5 1 12 1 < 3 3 1 4 ここで,2x=t とおくと t>0 であるから t=2 t>0 Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数 6 指数関数の最大・最小 (1) 関数 y=6∙3x-9x+1 における最大値を求めよ。 (2) y=2(2x+2-x)+4x+4-x とする。2x+2-x=t とおくとき,y を t を用いて表せ。 また,関数 y の最小値を求めよ。 解答 (1) 3x=t とおくと t>0 このとき関数は y=6∙3x-9x+1=-9∙(3x)2+6∙3x 1 2 1 =-9t2+6t=-9 t- +1 3 2 3 1 t>0 であるから,右のグラフより,t= のとき最大値 1 3 1 3 をとる。 1 1 t= のとき 3x= 3 3 よって x=-1 したがって,この関数は x=-1 のとき最大値 1 をとる。 (2) (2x+2-x)2=(2x)2+2∙2x∙2-x+(2-x)2=22x+2∙2x-x+2-2x=(22)x+2∙20+(22)-x=4x+2+4-x よって,4x+4-x=(2x+2-x)2-2=t2-2 と表すことができる。 したがって y=2(2x+2-x)+4x+4-x=2t+(t2-2)=t2+2t-2 また,2x>0,2-x>0 であるから,相加平均と相乗平均の大小関係により t=2x+2-x≧ 2 2 x 2-x =2 ここで y=t2+2t-2=(t+1)2-3 6 右のグラフより,t=2 のとき最小値 6 をとる。 ここで t=2 すなわち 2x+2-x=2 を満たす x は 相加平均と相乗平均の大小関係において等号が成立し -1 ているときであるから x 2 =2 -x よって x=-x 2 -2 -3 x=0 したがって,この関数は x=0 のとき最小値 6 をとる。 6 Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数 7 対数の計算 (1) 次の対数の値を求めよ。 ① 1 8 log 2 ② log 3 3 (2) 次の式を簡単にせよ。 ① ② log128+log1218 log48-log42 (3) 次の式を簡単にせよ。 ① log 2 1 4 ② log49∙log38 解答 (1) ① log 2 1 =log22-3=-3 8 1 ② (2) ① ② log 3 3 = log 3 3 2 = 1 2 log48-log42= log 4 8 =log44=1 2 log128+log1218=log12144=log2122=2 (3) ① 底を 2 に変換する。 ② log 2 1 log 2 -2 log 2 2-2 1 4 = = 1 = 1 =-4 4 log 2 2 log 2 2 2 2 底を 2 にそろえる。 log49∙log38= 別解 log 2 9 log 2 8 log 2 3 2 log 2 2 3 2 log 2 3 3 ∙ = = ∙ =3 2 ∙ log 2 3 log 2 4 log 2 3 log 2 3 log 2 2 2 底を 3 にそろえる。 log 3 9 log 3 3 2 2 log49∙log38= ∙log38= ∙log323= ∙3log32=3 2 log 3 2 log 3 4 log 3 2 2 7 Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数 8 対数の表現 log35=a,log79=b とするとき,log57 を a,b で表せ。 解答 log57= log 3 7 log 3 7 = log 3 5 a log 3 9 log 3 3 2 2 ここで,b=log79= = = であるから log 3 7 log 3 7 log 3 7 log37= 2 b 2 2 b よって log57= = a ab 9 対数関数のグラフ 次の空欄を埋めよ。 y=log84(x-1)3 のグラフは,y=log2x のグラフを x 軸方向に ,y 軸方向に だけ平行移動した グラフである。 解答 底を変換公式を利用して,log84(x-1)3 の底を 2 に変換する。 log 2 2 2 +3 log 2 ( x-1) 2 log 2 4( x-1) 3 log 2 4+log 2 ( x-1) 3 log84(x-1) = = = = +log2(x-1) 3 3 log 2 8 log 2 2 3 3 f (x)=log2x とすると,log2(x-1)=f (x-1)であるから,y=log84(x-1)3 のグラフは y=log2x のグラフを x 軸方向に 1 ,y 軸方向に 2 だけ平行移動したグラフである。 3 8 Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数 10 対数の大小比較 (1) 次の 3 数の大小を比較せよ。 2,log26, log 1 4 (2) 次の 2 数の大小を比較せよ。 1 27 log23,log34 解答 (1) 2=2∙log22=log222=log24 1 3 log 2 3-3 -3 log 2 3 3 1 27 2 log 3 = = = = ∙log 3= = log 2 27 log 1 2 2 -2 1 2 log 2 - 2 27 2 4 log 2 4 log 2 底 2 は 1 より大きく,4< 27 <6 であるから log24< log 2 27 <log26 すなわち 2< log 1 4 1 <log26 27 (2) P=log23-log34 とおく。 P=log23- 2 log 2 4 (log 2 3) -2 = log 2 3 log 2 3 ここで (log23)2-2=(log23+ 2 )(log23- 2 ) log23>0 より 1 >0,log23+ 2 >0 log 2 3 であるから,log23- 2 の正負と P の正負が一致する。 ここで, 2 < 3 であるから 2 3 1 1 1 log23- 2 >log23- = (2log23-3)= (log232-log223)= (log29-log28)>0 2 2 2 2 したがって,P>0 であるから log23>log34 9 Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数 11 対数方程式・対数不等式 4 log2 (1) 2 の値を求めよ。 (2) 次の方程式を解け。 ① ( log 1 x )2+ log 1 x 2 =0 ② log3(x+1)=log9(x+3) 2 2 (3) 次の不等式を解け。 ① log 1 ( x 2+5) >-2 ② log2x+log4(x+1)< 3 1 2 解答 (1) 4 log2 2 =x とおき,両辺の 2 を底とする対数をとると log 2 4 log2 ここで 2 =log2x すなわち log 2 2 ∙log24=log2x log 2 2 ∙log24=2 log 2 2 = log 2 ( 2 ) 2 =log22 よって log22=log2x したがって x=2 (2) ① 真数は正であるから x+1>0 かつ x+3>0 ここで,log9(x+3)= すなわち x>-1 ……(ⅰ) log 3 ( x+3) log 3 ( x+3) = であるから,方程式の両辺に 2 を掛けると 2 log 3 9 2log3(x+1)=log3(x+3) よって,(x+1)2=(x+3)から すなわち log3(x+1)2=log3(x+3) x2+2x+1=x+3 整理すると (x+2)(x-1)=0 (ⅰ)から x=1 真数は正であるから x>0 かつ x2>0 ② すなわち x>0 ……(ⅰ) log 1 x =t とおくと, log 1 x 2 =2 log 1 x =2t から,方程式は t2+2t=0 2 2 t(t+2)=0 2 0 これを解くと t=0,-2 すなわち log 1 x =0,-2 2 したがって x=1,4 これは,(ⅰ)を満たす。 10 1 1 よって x= , 2 2 -2 Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数 (3) ① x2+5>0 であるから,真数はつねに正である。 1 -2= log 1 3 3 -2 = log 1 9 よって,不等式は 3 x2-4<0 真数は正であるから x>0 かつ x+1>0 ここで,log4(x+1)= 3 3 1 底 は 1 より小さいから x2+5<9 3 ② log 1 ( x 2+5) > log 1 9 したがって -2<x<2 すなわち x>0 ……(ⅰ) log 2 ( x+1) log 2 ( x+1) = であるから,不等式の両辺に 2 を掛けると log 2 4 2 2log2x+log2(x+1)<1 すなわち log2x2(x+1)<log22 よって,底 2 は 1 より大きいから x2(x+1)<2 すなわち x3+x2-2<0 左辺を因数分解すると 2 1 1 (x-1)(x2+2x+2)<0 1 0 -2 1 2 2 2 2 0 2 x +2x+2=(x+1) +1>0 であることから, 1 不等式の解は x<1 ……(ⅱ) (ⅰ),(ⅱ)の共通な範囲を求めて 0<x<1 11 Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数 12 対数関数の最大・最小 (1) 関数 y=( log 1 x )2+log3x の最小値を求めよ。 9 (2) 関数 y=(log22x)( log 1 x ) の最大値を求めよ。 4 解答 (1) log 1 x = 9 log 3 x log 3 x (log 3 x) 2 = より,y= +log3x であるから 1 -2 4 log 3 9 log3x=t とおくと y= 1 1 1 t2 +t= (t2+4t)= {(t+2)2-4}= (t+2)2-1 4 4 4 4 t=-2 のとき最小値-1 をとる。t=-2 のとき log3x=-2 よって x=3-2= 1 9 1 したがって,この関数は x= のとき最小値-1 をとる。 9 log x log 2 x 2 =(1+log2x) であるから (2) y=(log22x)( log 1 x )=(1+log2x) 1 -2 4 log 2 4 1 1 1 log2x=t とおくと y=(1+t) - t =- (t2+t)= - 2 2 2 1 1 1 t=- のとき最大値 をとる。t=- のとき 8 2 2 したがって,この関数は x= 2 2 1 1 1 1 1 t+ - =- t+ + 8 2 4 2 2 log2x=- 1 2 2 1 のとき最大値 をとる。 2 8 12 よって x= 2 - 1 2 = 2 1 = 2 2 Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数 13 常用対数の利用 log102=0.3010 とする。次の問いに答えよ。 (1) 520 は何桁の整数か。 25 (2) 1 は小数で表すと,小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか。 4 解答 (1) 520 の常用対数の値を求める。 log10520=20log105= 20 log 10 よって 520=1013.98 10 =20(log1010-log102)=20(1-0.3010)=13.98 2 1013<1013.98<1014 であるから 1013<520<1014 したがって,520 は 14 桁の整数である。 25 (2) 1 1 log 10 = 25 log 10 =25∙(-log104)=25∙(-2log102)=25∙(-2∙0.3010)=-15.05 4 4 25 よって 1 =10-15.05 4 25 10 -16 -15.05 <10 -15 <10 25 であるから 1 したがって, は小数第 16 位に初めて 0 でない数字が現れる。 4 13 10 1 < <10-15 4 -16 Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数 14 最高位の数,一の位の数 log102=0.3010,log103=0.4771 とし,N=620 とする。次の問いに答えよ。 (1) N は何桁の整数か。 (2) N の最高位の数を求めよ。 (3) N の一の位の数を求めよ。 解答 (1) log10620=20log106=20(log102+log103)=20(0.3010+0.4771)=15.562 よって 620=1015.562 1015<1015.562<1016 であるから 1015<620<1016 したがって,620 は 16 桁の整数である。 (2) (1)から log10620=15.562=15+0.562 ここで,log103=0.4771,log104=2log102=0.6020 で よって 3<100.562<4 あるから log103<0.562<log104 辺々に 1015 を掛けると 3∙1015<1015.562<4∙1015 すなわち 3∙1015<620<4∙1015 したがって,620 の最高位の数は 3 (3) 6 を n 乗したときの一の位の数を an とする。 61=6 より a1=6, 62=36 より a2=6, n 6 の一の位の数はつねに 6 である。よって a20=6 したがって,620 の一の位の数は 6 14 63=216 より a3=6,……
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