練習問題+解答 - MATH AQUARIUM

Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数
指数関数・対数関数
1
指数の計算
次の計算をせよ。ただし,(2)では x>0,(3)では x>0,y>0 とする。
(1) 92×
(3)
4
1
÷33
27
x3 y ×
(2)
1
1
2 ÷
x
x3
(4)
3
y
y3
÷4
x
x
0.25
-8 ÷4
解答
(1) 92×
1
1
÷33=34×3-3×3-3=3-2=
27
9
(2)
3
3
1
-
-
1
1
1
-2
-2
2
2
÷ 3 =x ÷ x =x × x = x 2 =
x2
x
x
(3)
4
1
x3 y ×
3
1
3
1
1
1
1
1
-
-
y
y3
÷4
= ( x 3 y ) 4 × ( yx -1 ) 2 ÷ ( y 3 x -1 ) 4 = x 4 ∙ y 4 × y 2 ∙ x 2 ÷ y 4 ∙ x 4
x
x
3
4
1
1
=x ∙y4 × y2 ∙x
1
(4)
3
-8 = 3 (-2) 3 =-2,
よって
3
-
1
2
×y
-
3
4
1
4
∙x =x
1
40.25= (2 2 ) 4 = 2 2 = 2
0.25
-8 ÷4
=(-2)÷ 2 =- 2
1
3 1 1
- +
4 2 4
1
∙ y4
1 3
+ -
2 4
1
= x 2 y0= x
Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数
2
式の値
1
(1) x>0, x 2 - x
1
(2) x>0, x 3 + x
-
-
1
2
1
3
=-2 のとき,x+x-1 の値を求めよ。
=3 のとき,x+x-1 の値を求めよ。
(3) 3x-3-x=2 のとき,次の値を求めよ。
3x+3-x
①
② 3x
解答
2
2
2
1
-
 12
- 
 1
 -1 
1
 x -x 2  =  x 2  -2∙ x 2 ∙ x 2 +  x 2  =x-2+x-


 




 


(1)
1
x2 -x
-
1
2
1
1
=-2 から 4=x-2+x-1
3
3
2
よって x+x-1=6
2
3
1
1
1
-
-
 13
- 
 1
 1
 -1 
 -1 
1
 x +x 3  =  x 3  +3∙  x 3  ∙ x 3 +3∙ x 3 ∙  x 3  +  x 3  =x+3 x 3 +3 x 3 +x-


 
 






 
 




(2)
1
1
1
 1
- 
=x+x-1+ 3 x 3+x 3 


1
x3+x
(3) ①
-
1
3
=3 から 33=x+x-1+3∙3
よって x+x-1=18
(3x-3-x)2=(3x)2-2∙3x∙(3-x)+(3-x)2=32x+3-2x-2
ここで,3x-3-x=2 から 32x+3-2x=22+2=6
また,(3x+3-x)2=32x+3-2x+2 から
(3x+3-x)2=6+2=8
ここで,3x>0,3-x>0 であるから 3x+3-x>0
②
3x-3-x=2,3x+3-x= 2 2 から
3x=1+ 2
2
よって 3x+3-x= 2 2
Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数
3
指数関数のグラフ
次の関数のグラフをかき,y=3x との位置関係を答えよ。
1
(2) y=- 
 3
x+1
(1) y=3
x
解答
(1) f (x)=3x とすると,3x+1=f (x+1)である
x+1
ので,y=3
y=3x
3
x
のグラフは y=3 のグラフ
を x 軸方向に-1 だけ平行移動したグラフ
である。
y=3x+1
1
-1
y=3x
(2) f (x)=3x とする。
x
1
-  =-(3-1)x=-3-x=-f (-x)
 3
1
1
x
1
であるので,y=-  のグラフは y=3x の
 3
-
1
3
-1
グラフを原点に関して対称移動したグラフ
1
y=- 
 3
である。
3
x
Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数
4
累乗・累乗根の大小比較
4
(1) 次の 3 数の大小を比較せよ。
6
(2) 次の 2 数の大小を比較せよ。
2
,5
2
2
4
6
, 10
2
2
2 ,5 6
解答
1
4
(1)
6
2
2
=
24
1
=2
=2
3-2
12
1
12
=2 ,
2
5
26
底 2 は 1 より大きく,指数の大小は,
6
すなわち
(2)
1
1
1 1
-
4 6
10
2
2
4
<6
2
2
<5
4
=
22
2
=2
1 2
-
2 5
=2
5-4
10
= 2 , 10
25
1
1
1
< < であるから
15 12 10
2
4
2 , 5 6 のそれぞれを 10 乗すると
 2
10
10
 1
=  2 2  =25=32,
 
 
32<36 であるから
 6
5
6
1
10
10
10
 1
=  6 5  =62=36
 
 
2 <5 6
4
1
2
2
=
1
26
=26
1
2 10
1
1
2 15 < 2 12 < 2 10
1
-
10
=2
5-3
30
1
= 2 15
Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数
5
指数方程式・指数不等式
(1) 4x-1= 2 2
(2) 4x-1≧ 2 2
x
(3)
1
1
  <
3
9
(4) 8x-2x+2=0
解答
1
(1) 4x-1=(22)x-1=22x-2,
よって 2x-2=
3
2
1
2 2 =2 ∙ 2 2 = 2
したがって x=
1+
1
2
3
3
22x-2= 2 2
= 2 2 より
7
4
3
(2) (1)より 22x-2≧ 2 2
2 は 1 より大きいから 2x-2≧
3
2
したがって x≧
7
4
(3) 底を 3 にそろえる。
x
1
2 x
2x
  =(3- ) =3- ,
9
1
3
-
=3
1
2
3 は 1 より大きいから -2x<-
別解
-
よって 3-2x< 3
1
2
1
2
したがって x>
1
4
1
底を にそろえる。
3
1
x
2x
2
x

1
 1  

1
  =    =   ,
 3

9
 3  

1
は 1 より小さいから
3
2x>
1 12
=
= 
3  3
3
1
1
2
2x
よって
したがって x>
(4) 8x=(23)x=23x=(2x)3, 2x+2=4∙2x より (2x)3-4∙2x=0
3
このとき,方程式は t -4t=0
x
すなわち 2 =2
t(t+2)(t-2)=0
これを解いて x=1
5
1
12
1
  < 
 3
 3
1
4
ここで,2x=t とおくと
t>0 であるから t=2
t>0
Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数
6
指数関数の最大・最小
(1) 関数 y=6∙3x-9x+1 における最大値を求めよ。
(2) y=2(2x+2-x)+4x+4-x とする。2x+2-x=t とおくとき,y を t を用いて表せ。
また,関数 y の最小値を求めよ。
解答
(1) 3x=t とおくと t>0
このとき関数は y=6∙3x-9x+1=-9∙(3x)2+6∙3x
1
2
1

=-9t2+6t=-9 t-  +1
3

2
3
1
t>0 であるから,右のグラフより,t= のとき最大値 1
3
1
3
をとる。
1
1
t= のとき 3x=
3
3
よって
x=-1
したがって,この関数は x=-1 のとき最大値 1 をとる。
(2) (2x+2-x)2=(2x)2+2∙2x∙2-x+(2-x)2=22x+2∙2x-x+2-2x=(22)x+2∙20+(22)-x=4x+2+4-x
よって,4x+4-x=(2x+2-x)2-2=t2-2 と表すことができる。
したがって y=2(2x+2-x)+4x+4-x=2t+(t2-2)=t2+2t-2
また,2x>0,2-x>0 であるから,相加平均と相乗平均の大小関係により
t=2x+2-x≧ 2 2 x  2-x =2
ここで y=t2+2t-2=(t+1)2-3
6
右のグラフより,t=2 のとき最小値 6 をとる。
ここで t=2
すなわち
2x+2-x=2 を満たす x は
相加平均と相乗平均の大小関係において等号が成立し
-1
ているときであるから
x
2 =2
-x
よって x=-x
2
-2
-3
x=0
したがって,この関数は x=0 のとき最小値 6 をとる。
6
Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数
7
対数の計算
(1) 次の対数の値を求めよ。
①
1
8
log 2
②
log 3 3
(2) 次の式を簡単にせよ。
①
② log128+log1218
log48-log42
(3) 次の式を簡単にせよ。
①
log
2
1
4
②
log49∙log38
解答
(1) ①
log 2
1
=log22-3=-3
8
1
②
(2) ①
②
log 3 3 = log 3 3 2 =
1
2
log48-log42= log 4
8
=log44=1
2
log128+log1218=log12144=log2122=2
(3) ① 底を 2 に変換する。
②
log
2
1
log 2
-2
log 2 2-2
1
4
=
=
1 = 1 =-4
4 log 2 2
log 2 2 2
2
底を 2 にそろえる。 log49∙log38=
別解
log 2 9 log 2 8
log 2 3 2 log 2 2 3
2 log 2 3
3
∙
=
=
∙
=3
2 ∙
log 2 3
log 2 4 log 2 3
log 2 3
log 2 2
2
底を 3 にそろえる。
log 3 9
log 3 3 2
2
log49∙log38=
∙log38=
∙log323=
∙3log32=3
2 log 3 2
log 3 4
log 3 2 2
7
Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数
8
対数の表現
log35=a,log79=b とするとき,log57 を a,b で表せ。
解答
log57=
log 3 7 log 3 7
=
log 3 5
a
log 3 9 log 3 3 2
2
ここで,b=log79=
=
=
であるから
log 3 7
log 3 7
log 3 7
log37=
2
b
2
2
b
よって log57= =
a
ab
9
対数関数のグラフ
次の空欄を埋めよ。
y=log84(x-1)3 のグラフは,y=log2x のグラフを x 軸方向に
,y 軸方向に
だけ平行移動した
グラフである。
解答
底を変換公式を利用して,log84(x-1)3 の底を 2 に変換する。
log 2 2 2 +3 log 2 ( x-1) 2
log 2 4( x-1) 3
log 2 4+log 2 ( x-1) 3
log84(x-1) =
=
=
= +log2(x-1)
3
3
log 2 8
log 2 2 3
3
f (x)=log2x とすると,log2(x-1)=f (x-1)であるから,y=log84(x-1)3 のグラフは y=log2x のグラフを
x 軸方向に 1 ,y 軸方向に
2
だけ平行移動したグラフである。
3
8
Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数
10
対数の大小比較
(1) 次の 3 数の大小を比較せよ。
2,log26, log 1
4
(2) 次の 2 数の大小を比較せよ。
1
27
log23,log34
解答
(1) 2=2∙log22=log222=log24
1
3
log 2 3-3
-3 log 2 3 3
1
27
2
log
3
=
=
=
=
∙log
3=
= log 2 27
log 1
2
2
-2
1
2
log
2
-
2
27
2
4
log 2
4
log 2
底 2 は 1 より大きく,4< 27 <6 であるから log24< log 2 27 <log26
すなわち 2< log 1
4
1
<log26
27
(2) P=log23-log34 とおく。
P=log23-
2
log 2 4 (log 2 3) -2
=
log 2 3
log 2 3
ここで (log23)2-2=(log23+ 2 )(log23- 2 )
log23>0 より
1
>0,log23+ 2 >0
log 2 3
であるから,log23- 2 の正負と P の正負が一致する。
ここで, 2 <
3
であるから
2
3 1
1
1
log23- 2 >log23- = (2log23-3)= (log232-log223)= (log29-log28)>0
2 2
2
2
したがって,P>0 であるから
log23>log34
9
Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数
11
対数方程式・対数不等式
4 log2
(1)
2
の値を求めよ。
(2) 次の方程式を解け。
①
( log 1 x )2+ log 1 x 2 =0
②
log3(x+1)=log9(x+3)
2
2
(3) 次の不等式を解け。
①
log 1 ( x 2+5) >-2
② log2x+log4(x+1)<
3
1
2
解答
(1)
4 log2
2
=x とおき,両辺の 2 を底とする対数をとると
log 2 4 log2
ここで
2
=log2x
すなわち
log 2 2 ∙log24=log2x
log 2 2 ∙log24=2 log 2 2 = log 2 ( 2 ) 2 =log22
よって log22=log2x
したがって x=2
(2) ① 真数は正であるから x+1>0 かつ x+3>0
ここで,log9(x+3)=
すなわち x>-1 ……(ⅰ)
log 3 ( x+3) log 3 ( x+3)
=
であるから,方程式の両辺に 2 を掛けると
2
log 3 9
2log3(x+1)=log3(x+3)
よって,(x+1)2=(x+3)から
すなわち log3(x+1)2=log3(x+3)
x2+2x+1=x+3
整理すると (x+2)(x-1)=0
(ⅰ)から x=1
真数は正であるから x>0 かつ x2>0
②
すなわち x>0 ……(ⅰ)
log 1 x =t とおくと, log 1 x 2 =2 log 1 x =2t から,方程式は t2+2t=0
2
2
t(t+2)=0
2
0
これを解くと t=0,-2
すなわち
log 1 x =0,-2
2
したがって x=1,4
これは,(ⅰ)を満たす。
10
1
1
よって x=   ,  
 2
 2
-2
Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数
(3) ① x2+5>0 であるから,真数はつねに正である。
1
-2= log 1  
3
3 
-2
= log 1 9
よって,不等式は
3
x2-4<0
真数は正であるから x>0 かつ x+1>0
ここで,log4(x+1)=
3
3
1
底 は 1 より小さいから x2+5<9
3
②
log 1 ( x 2+5) > log 1 9
したがって -2<x<2
すなわち x>0 ……(ⅰ)
log 2 ( x+1) log 2 ( x+1)
=
であるから,不等式の両辺に 2 を掛けると
log 2 4
2
2log2x+log2(x+1)<1
すなわち log2x2(x+1)<log22
よって,底 2 は 1 より大きいから x2(x+1)<2
すなわち x3+x2-2<0
左辺を因数分解すると
2
1
1
(x-1)(x2+2x+2)<0
1
0
-2
1
2
2
2
2
0
2
x +2x+2=(x+1) +1>0 であることから,
1
不等式の解は x<1 ……(ⅱ)
(ⅰ),(ⅱ)の共通な範囲を求めて 0<x<1
11
Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数
12
対数関数の最大・最小
(1) 関数 y=( log 1 x )2+log3x の最小値を求めよ。
9
(2) 関数 y=(log22x)( log 1 x ) の最大値を求めよ。
4
解答
(1)
log 1 x =
9
log 3 x
log 3 x
(log 3 x) 2
=
より,y=
+log3x であるから
1
-2
4
log 3
9
log3x=t とおくと y=
1
1
1
t2
+t= (t2+4t)= {(t+2)2-4}= (t+2)2-1
4
4
4
4
t=-2 のとき最小値-1 をとる。t=-2 のとき log3x=-2
よって x=3-2=
1
9
1
したがって,この関数は x= のとき最小値-1 をとる。
9


 log x 
log 2 x 
2
 =(1+log2x) 
 であるから
(2) y=(log22x)( log 1 x )=(1+log2x) 
1

 -2 
4
log


2
4

1
1
 1 
log2x=t とおくと y=(1+t) - t  =- (t2+t)= -
2
2
 2 
1
1
1
t=- のとき最大値 をとる。t=- のとき
8
2
2
したがって,この関数は x=
2
2

1
1
1
1


1
 t+  -  =-  t+  +
8
2
4
2
2



log2x=-
1
2
2
1
のとき最大値 をとる。
2
8
12
よって x= 2
-
1
2
=
2
1
=
2
2
Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数
13
常用対数の利用
log102=0.3010 とする。次の問いに答えよ。
(1) 520 は何桁の整数か。
25
(2)
1
  は小数で表すと,小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか。
 4
解答
(1) 520 の常用対数の値を求める。
log10520=20log105= 20 log 10
よって 520=1013.98
10
=20(log1010-log102)=20(1-0.3010)=13.98
2
1013<1013.98<1014 であるから
1013<520<1014
したがって,520 は 14 桁の整数である。
25
(2)
1
1
log 10   = 25 log 10 =25∙(-log104)=25∙(-2log102)=25∙(-2∙0.3010)=-15.05
4
 4
25
よって
1
  =10-15.05
 4
25
10
-16
-15.05
<10
-15
<10
25
であるから
1
したがって,   は小数第 16 位に初めて 0 でない数字が現れる。
 4
13
10
1
<   <10-15
 4
-16
Math-Aquarium【練習問題+解答】指数関数・対数関数
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最高位の数,一の位の数
log102=0.3010,log103=0.4771 とし,N=620 とする。次の問いに答えよ。
(1) N は何桁の整数か。
(2) N の最高位の数を求めよ。
(3) N の一の位の数を求めよ。
解答
(1) log10620=20log106=20(log102+log103)=20(0.3010+0.4771)=15.562
よって 620=1015.562
1015<1015.562<1016 であるから
1015<620<1016
したがって,620 は 16 桁の整数である。
(2) (1)から log10620=15.562=15+0.562
ここで,log103=0.4771,log104=2log102=0.6020 で
よって 3<100.562<4
あるから log103<0.562<log104
辺々に 1015 を掛けると 3∙1015<1015.562<4∙1015
すなわち 3∙1015<620<4∙1015
したがって,620 の最高位の数は 3
(3) 6 を n 乗したときの一の位の数を an とする。
61=6 より a1=6,
62=36 より a2=6,
n
6 の一の位の数はつねに 6 である。よって a20=6
したがって,620 の一の位の数は 6
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63=216 より
a3=6,……