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微分法
☆積の微分法
0
0
(f g) = f g + f g
0
☆商の微分法
0
f 0
f g − fg
( ) =
g
g2
0
☆合成関数の微分法
0
0
0
｛f (g(x))｝ = f (g(x))・g (x)
☆微分可能性
0
f (x) が x = a において微分可能（f (a) が存在）ならば x = a において連続
★問題
次の関数を微分せよ
1 (1)
映像：（導入）微分法１
1
f (x) = √
x
(2)
y=
3x − 1
2x + 1
(3)
映像：（導入）微分法１
y = (3x2 + 1)4
(4)
映像：（導入）微分法１
y=3
√
x2 − 3x + 4
1
2
映像：（導入）微分法１
f (x) =
x2 − 4x − 1
x+1
0
のとき f (2) の値を求めよ
３
f (x) =
ax + b
(x ≤ 2) f (x) = x − 1(x > 2)
x−1
が x = 2 において微分可能のとき定数 a, b を求めよ
★★問題
1
次の関数を微分せよ
(1)
y = x3 (x − 1)3
(2)
y=
x5 − 4x3 + x2 − 1
x3
y=
3x − 1
x2 + 1
(3)
(4)
y=√
x
x−1
(5)
映像：（導入）微分法１
√
y = (x + 3) x + 1
2
(6) 映像：（導入）微分法１
y=4
√
x2 − x − 3
(7)
映像：（導入）微分法１
y=
x2 + 1
x−1
(8)
映像：（導入）微分法１
y=
√
√
a+ 1+x
(9)
y=
x+1
x−1
(10)
√
y = 3 1 − 2x
(11)
√
y = x x2 + 92
(12)
√
y=
√
1− x
√
1+ x
2
0
関数 f (x) において f (2) = 1, f (2) = 3 のとおき次の極限値を求めよ
(1)
f (2 + 2h) − f (2 − 3h)
h
h→0
lim
(2)
lim
x→2
2f (x) − xf (2)
x−2
3
3
f (x) = x2 + 1(x ≤ 1) f (x) =
ax + b
(x > 1)
x+1
が x = 1 において微分係数を持つとき定数 a, b を求めよ
4
☆様々な関数の微分法
・三角関数の微分法
0
0
0
(sinx) = cosx (cosx) = −sinx (tanx) =
・指数/対数関数の微分法
ネイピア数 e を用いて
y = ex の微分係数が ex であると定義すると
ex+h − ex
= ex
h
h→0
0
y = lim
より
eh − 1
=1
h
h→0
lim
を満たす数が e といえる。
またこの関数に対数をとった関数は自然対数と呼ばれ
loge x ≡ logx
と e を省略して書く
この関係を用いれば
log eh = log(1 + h)
1
lim (1 + h) h = lim (1 +
h→0
n →∞
1 n
) =e
n
を e の定義と見なすこともできる
またこの関係より様々な微分公式が導かれる
0
(ex ) = ex
0
(ax ) = ax loga (a > 0, a 6= 1)
5
1
cos2 x
(証明)
a x = eA
log ax = A ∴ A = x log a
(ax )0 = (ex log a )0
0
(logx) =
1
x
0
(loga x) =
1
(a > 0, a 6= 1)
xloga
★問題
次の関数を微分せよ
(1)
映像：（導入）微分法 2
y = sin2x
(2)
映像：（導入）微分法 2
y = cos2 x
(3)
y = xtanx
(4)
映像：（導入）微分法 2
y=
√
1 + sin2 x
(5)
映像：（導入）微分法 2
y = log
√
1 + x2
6
(6)
映像：（導入）微分法 2
y = ex sin2x
(7)
y = ax loga x(a > 0, a 6= 1)
(8)
映像：（導入）微分法 2
対数微分法(両辺の対数を取ってから微分する。(変数)変数 の形に有効) を用いて
y = xsinx
(9) 微分係数の定義を用いて
e3x − e−x
x
x→0
lim
(10) 微分係数の定義を用いて
lim
x→1
logx
x−1
★★問題
1
次の関数を微分せよ
(1)
y = sin2xcos3x
(2)
y = sin3 x
(3)
y = sin(x2 )
(4)
y = tan2 3x
7
(5)
y=
sinx
1 + cosx
(6)
y = tan(sinx)
(7)
y=
√
1 + cos2x
(8)
y = sin(
π
− 2x)
4
(9)
y = log4x
(10)
y = e2x (x + logx)
(11)
y = (x2 + 3)e−3x
(12)
映像：（導入）微分法 2
y = e−x
2
(13)
y=
ex
+1
ex
(14)
y = log|sinx + cosx|
(15)
y = xlogx − x
8
(16)
y = log(x +
√
x2 + 1)
(17)
√
y=x
2
(18)
y=
(2x + 1)(x − 2)
(x − 3)2
(19)
y = xlogx
(20)
(x + 1)3
y = 3√
2x + 1
2
微分係数の定義から次の極限値を求めよ
(1)
ex log(x + 1)
x
x→0
lim
(2)
sin3 x − sin3 a
x−a
x→a
lim
3
次の関数を微分せよ (1)
y = x2 sin(3x + 5)
(2)
y = (sin2x + cos3x)2
(3)
y = sin
x−1
x+1
9
(4)
y = xcosx − sinx
(5)
y=
1
xlogx
2
(6)
y = log|
a + x2
|
a − x2
(7)
y = sin(log(x2 + 1))
(8)
y=
√
xlogx
(9)
√
y =｛log( x + 1)｝2
(10)
y=
√
log2 x
(11)
y = x3 e−x
10
★★★問題
1
(1)
1
lim (1 + h) h = e
h→0
をもちいて x > 0 のとき
0
(loga x) =
1
(a > 0, a 6= 1)
xloga
を示せ
(2)
ex − 1
=1
h
h→0
lim
を用いて
0
(ax ) = ax loga (a > 0, a 6= 1) を示せ 11
☆ n 次導関数
y = f (x) を n 回微分したもの
☆ f (x, y) = 0 型の関数の微分
y = f (x) に直しにくいときに非常に有効
0
y を x で微分すると y ・y となることを利用する
例
映像：（導入）微分法 3
x2 + y 2 = 25 の x での微分
0
0
2x + 2y ・y = 0 ∴ y = −
x
y
となる
☆パラメタ表示された関数の微分
x = f (t), y = g(t) であるとき
0
y =
dy
=
dx
dy
dt
dx
dt
0
つまりそれぞれ t で微分し割るだけで y が求められる
★問題
１
次の関数を 2 回微分せよ
(1)
映像：（導入）微分法 3
y = x5
(2)
y = sin2 3x
(3)
y = e−2x
12
2
次の関数の
dy
dx
を求めよ
(1)
x2 + (y − 2)2 = 4
(2)
y2
x2
−
=1
4
9
3
次の関数の
dy
dx
をパラメタを用いて求めよ
(1)
x = 2t2 + t − 1 , y = 3t − 1
(2)
x = θ − sinθ ， y = 1 − cosθ
★★問題
1
次の関数の n 次導関数 y (n) を求めよ
(1)
y = x6
(2)
y = sinx
(3)
y=
1
x
(4)
y = e−x
13
2
次の関数の
dy
dx
を求めよ
(1)
x3 + y 3 = 1
(2)
ex − logy = 2x
3
次の関数の
dy
dx
をパラメタを用いて求めよ
(1)
1
1
x = t + , y = t2 − 2
t
t
(2)
x = 2cosθ ， y = 3sinθ
4
x = t2 − 1 ， y = 4t − 2
のとき
d2 y
dx2
を t で表せ
14
☆接線の方程式
0
関数 y = f (x) で x = a における接線の方程式は接線の傾きが f (a) であるので
0
y = f (a)(x − a) + f (a)
☆平均値の定理
関数 f (x) が a ≤ x ≤ b で連続かつ a < x < b で微分可能なら
0
f (c) =
f (b) − f (a)
(a < c < b)
b−a
を満たす c が少なくとも１つ存在する
これは a から b までの変化の割合（平均変化率）と微分係数が等しくなる点が存在すると
いう意味である。
★問題
１
次の点における曲線の接線と法線を求めよ
(1)
y=
x
(3, 3)
x−2
(2)
映像：（導入）微分法 3
y = ex (2, e2 )
2
映像：（導入）微分法 3
y = log(x − 1) に対し，点（１，０）から引いた接線の方程式を求めよ
３
関数 f (x) =
1
x
において
15
0
f (c) =
f (3) − f (1)
1 < c < 3
2
を満たす c を求めよ
４
関数 x2 + y 2 = 25 の上の点 (α, β) における接線の方程式を求めよ
★★問題
１
次の曲線の [ ] 内で与えられた点における接線の式と法線の式を求めよ
(1)
y=
π
sinx
[x = ]
x
2
(2)
y = xlogx [x =
1
]
e
(3)
y = e−x − 1 [x = −1]
２
x = et cosπt ，y = et sinπt
で表される曲線の t = 2 での接線と法線の式を求めよ
３
原点を通り，曲線 y = logx − 1 に接する直線の式を求めよ
４
2 次関数 f (x) = px2 + qx + r と異なる２つの実数 a, b について
0
f (c) =
f (b) − f (a)
b−a
16
を満たす c の値を a, b を用いて表せ
５
y = 12 x2 の異なる 2 点Ａ (a, 12 a2 ), Ｐ (p, 12 p2 ) における法線の交点をＱとする。ＰをＡに
限りなく近づけるとき，点Ｑが限りなく近づく点の座標を a を用いて表せ。
17
☆グラフの書き方
(i) 定義域を押さえる
0
(ii)f (x) を求め，グラフの増減を知る
(iii) 必要に応じ（※）x → ± ∞, 0, α の極限値を調べる。
※不定形を必ず意識し，そこでの極限値を必ず求める
☆変曲点
00
2 次導関数 y が 0 となる点
そこを境にグラフの凹凸が変わる
00
f (x) < 0 →上に凸
00
f (x) > 0 →下に凸
★問題
1
次の関数のグラフを書け
(1)
y=
x−1
x2 + 3
(2)
映像：（導入）微分法 3
y = xe2x
(3)
y = x4 − 2x3 − 12x2 + 3x + 8
(4)
y = xe−x
(5)
y=
x2
x−1
18
★★問題
1
次の関数のグラフを書け
(1)
y =x+3+
1
x−1
(2)
y=
18x − 1
x2 + x + 1
(3)
y = x2 e−x
(4)
√
y = x 2 − x2
(5)
y=
x−2
x2 + x − 2
(6)
映像：（導入）微分法 3
y=
logx
x
(7)
y = ex+2 + e−x
(8)
y = sin3x + cos3x
(9)
y = −2eπx sin(2πx) (0 < x < 1)
2
19
次の関数の最大値，最小値を求めよ
(1)
y = sinxcos3 x (0 ≤ x ≤ π)
(2)
y=
x2
x
+2
(3)
y=
x−1
x2 + 1
y=
1
1
π
+
(0 < x < )
sinx cosx
2
(4)
(5)
y = xlogx
(6)
y = (3x − 2x2 )e−x
(7)
y =x+
√
4 − x2
３
(1)
放物線 y = x2 の上の点をＰ，Ａ（3,0）とするとき線分ＡＰの最小値を求めよ
(2)
2 点Ａ (1,0),B(-3,0) とする点Ｐ (x, y) が円 x2 + y 2 = 4 の上を動くとき PA+PB の最大
値を求めよ
(3)
y=
x2 + 3x + 6
, x = t3 − 3t + 2
x+1
20
とするとき，−1 ≤ t ≤ 2 における x の最大値，y の最小値を求めよ
４
logx = ax
の実数解の個数を a の値によって分類せよ
５
次の不等式を示せ。ただし x > 0 のとき sinx < x は使ってもよい
(1)x > 0 で，
1
cosx > 1 − x2
2
(2)x > 0 で
1
sinx > x − x3
6
6
→
→
速度ベクトル −
v は位置ベクトル −
x = (x, y) に対し
→
d−
x
dx dy
−
→
v =
=( , )
dt
dt dt
と表される。今
x = et + e−t y = e−t − e−t
→
で与えられるとき，速さ（|−
v |）が最小となる t の値を求めよ。
21
★★★問題
１
f (x) =
x−a
x2 + 1
として
0
(1)f (x) を求めよ
(2)f (x) の極値の１つが
1
2
のとき定数 a を求めよ
(3)a が (2) で求めた値のとき y = f (x) のグラフをかけ
2
関数 f (x) = e2x − 4aex + 2x + 3a が極大値と極小値を持ち，それらの和が −６ とする。
a の値と極値を取るときの x の値を求めよ
３
曲線 y = (x − a)2 (x − b) の変曲点の座標を a, b で表せ
4
体積が
√
3 3
4
の正三角柱の表面積の最小値を求めよ
5
円 C : x2 + y 2 = 1 の第 1 象限内の点Ａにおける接線を l として，l と y 軸との交点をＰ，
l と直線 y = −1 との交点をＱとする。また，Ｒ（0,-1）とする
(1) △ＰＱＲの面積 S を点Ｑの x 座標 t を用いて表せ
(2)S の最小値を求めよ
６
x2 + (y − 1)2 =
1
4
上の点Ｐと y = logx 上の点Ｑを結ぶ線分ＰＱの長さの最小値を求めよ
７
f (x) = (x2 − px + p)e−x が極小値を持つとき，その極小値の最大値を求めよ
8
映像：（典型）微分法１
x の方程式
22
1
1
=
+k
x−3
x−1
の実数解の個数を求めよ
９
次の不等式を示せ
(1)
xcosx ≤ x2 + sinx (x ≥ 0)
(2)
1
1
< log(x + 1) − logx < (x > 0)
x+1
x
(3)
log(1 − x) +
x
< 0 (0 < x < 1)
1+x
(4)
(
log
1
1 − x2
)
(
≤
1
log
1 − x2
)2
+
1
4
１０
関数
√
f (x) =
5 + 3e2x
1 + ex
(1)
lim f (x) ， lim f (x) x →∞
x →−∞
を求めよ
(2)f (x) の最小値を求めよ
(3)｛f (x)｝2 が整数になる x の個数を求めよ
１１
映像：（典型）微分法１
関数
f (x) = x2 e−x
23
(1) この関数のグラフの概形を描け
(2)x 軸上の点Ｐ（a,0）より y = f (x) に３本の接線がひくことができる a の値の範囲を
求めよ
24
★★★★問題
１
映像：（典型）微分法２
関数
f (x) = ex −
0
00
x3
6
000
(1)f (x), f (x), f (x) を計算せよ
(2)
x ≥ 0 で ex >
x3
6
を示せ
(3)
a を正の定数として
ex
=a
x2
の x > 0 を満たす解の個数を求めよ
２
映像：（典型）微分法２
f (x) = x2 + πx − πsinx
について
(1)x < −π, 0 < x のとき，f (x) > 0 を示せ
(2) 全ての実数 x について f (x) ≥ 0 を示せ
3
f (x) = x log
x
1−x
+ (1 − x) log
− 2x2 + 4ax(0 < x < 1)
a
1−a
がある。ただし，a は 0 < a < 1 を満たす定数とする
0
(1)f (a) の値を求めよ
(2)f (x) の最小値を求めよ
25
４
無限等比級数
log x (log x)2
(log x)3
√ +
√
+
+…
x
x
x x
がある。ただし，対数は自然対数とする。x > 1 とする。
(1) この級数は収束することを示せ
(2) この級数の和を f (x) とするとき，f (x) の最大値を求めよ
５
半径１の球に直円錐が外接しているとする。すなわち，半径１の球が直円錐の内側にあ
り，直円錐の側面と底面に接しているとする。ただし，半径１の球の中心は直円錐の頂点
と直円錐の底面の中心を結ぶ線分上にあるとする。
(1) 直円錐の高さ h を直円錐の底面の半径 r を用いて表せ
(2) この直円錐の体積の最小値を求めよ
６
曲線 C
y = log x
上の異なる２点 A(a, log a),B(b, log b) における C の法線の交点をＰとする。
(1)b が限りなく a に近づくとき，Ｐはある点Ｑに限りなく近づく。Ｑの座標を a で表せ
(2)(1) で求めたＱに対して線分ＡＱの長さ l を a で表せ
(3)(2) で求めた l を最小にする a の値を求めよ
７
n を３以上の整数として，半径１の円Ｃの内部に円Ｃと接する半径の等しい n 個の円
A1 , A2 , A3 …An を順に並べる。ただし，A1 は A2 , An に外接し，各円 Aj は隣り合う円
Aj−1 , Aj+1 と外接するものとする。(2 ≤ j ≤ n − 1)
(1)n 個の円 A1 , A2 , A3 …An の面積の総和 Sn を求めよ
(2) 極限値
T = lim nSn
n →∞
26
を求めよ
８
第１象限で x 軸に接する円Ｃが，放物線 y = x2 と点 (t, t2 ) を共有し，この点Ｔで共通の
接線をもつ。ただし，t > 0 とする。円Ｃの中心を P(a, b) とし，次の問に答えよ
(1)a, b を t を用いて表せ
(2) 原点とＰを結ぶ直線の傾き
b
a
の t →∞ としたときの極限値を求めよ
９
次のように定義された関数 f (x) はすべての x の値において微分可能であるとする。


1 (1 ≤ x)
f (x) = a(x − 1) − b sin x (−1 < x < 1)


c (x ≤ −1)
(1)
(1) 定数 a, b, c を求めよ
(2)c > 0 を証明せよ
(3)y = f (x) のグラフをかけ。
１０
実数 a, b が 0 < a < b < 1 を満たすとき
2a − 2a
2b − 2b
と a−1
b−1
の大小を比較せよ
１１
0 ≤ x ≤ 1 をみたすすべての実数 x に対して，不等式 ex ≥ ax + b が成り立つような点
(a, b) の範囲を求め，その領域を ab 平面上に図示せよ
１２
映像：（難問）微分法１
t を定数として，xy 平面上の直線 Ct : y = (x + t)et を考える。t が t > 0 の範囲を変化
するとき，Ct が通る範囲を求め，それを xy 座標平面上に図示せよ
１３
放物線 y =
1 2
15 x
を y 軸まわりに回転させてできる面を内壁とする容器を考える。そこに
27
水をいれるとき，y 軸は水面にいつも垂直であるとする。x 軸，y 軸の長さの単位を cm
とする。
(1) 空の状態の容器に，半径 bcm(b > 0) の鉄球を入れる。この鉄球が容器に最下点だけ
で接するための b の値の範囲を求めよ
(2)b = 4(cm) とする。鉄球を入れたまま 3cm3 /秒 の割合で，容器に水を入れ始める。
0 ≤ y ≤ 8 の範囲で，水面の上昇する速度と，水面の面積の変化速度を求めよ。
28
★★★★★問題
１
図のような幅４のテープを点 C が対辺に重なるように折るとき，三角形 ABC の面積が最
小になるような θ とそのときの面積を求めよ。
C
D
B
4
θ
C
A
2
斜辺の長さが１である正 n 角錐を考える。つまり底面を正 n 角形 A1 , A2 , …………, An ，
頂点を O と表せば OA1 = OA2 = OA3 = ……… = OAn = 1 である。そのような正 n
角錐の中で最大の体積を持つものを Cn とする。(1)Cn の体積 Vn を求めよ。(2)
lim Vn
n →∞
を求めよ。
3
空間内に立体
x2 + y 2 ≤ (1 − z)2 ，(0 ≤ z ≤ 1)
で表される立体がある。
(1) 平面 z − y = k がこの立体と共有点をもつとき k の範囲を求めよ
(2) この立体を (1) の平面で切ったとき，その切り口が表す面 Sk を xy 平面上に射影した
ときの図形の式を求めよ
(3)(1) の範囲を k が動くとき，Sk の面積の最大値を求めよ
4
映像：（難問）微分法３
y = cos x の x = t ，(0 ≤ t ≤
π
2)
における接線と x 軸，y 軸の囲む三角形の面積を S(t)
とする。
(1)t の関数として S(t) を求めよ
29
(2)S(t) はある１点 t = t0 で最小値をとることを示せ。また
π
< t0 < 1
4
であることを示せ
(3)
S(t0 ) = 2t0 cos t0
を示し，
S(t0 ) >
√
2
π
4
であることを示せ
5
すべての正の実数 x, y に対し
√
√
√
x + y ≤ k 2x + y
が成り立つような実数 k の最小値を求めよ
6
f (x) = ex とし，0 < h < 1 とする
(1)f (x + h) = f (x) + hf 0 (x + ah) を満たす a の値を求めよ
(2)eh < 1 + 3h をしめせ
(3)
1+h+
h2
h2
< eh < 1 + h + (1 + h)
2
2
を示せ
(4)
lim a
h → +0
を求めよ
30
7
a は正の定数とする。
ax ≥ ax
がすべての正の数 x について成り立っている。
このとき a はどのようなものか。
8
映像：（難問）微分法２
n は２以上の自然数とする
y = ex
と
y = enx − 1
について
(1) これらのグラフは第 1 象限においてただ１つの交点を持つことを示せ
(2)(1) の交点の座標を (an , bn ) とするとき
lim an
n →∞
lim nan
n →∞
の値を求めよ
(3) 第 1 象限内でのこれらのグラフと y 軸で囲まれた部分の面積を Sn とするとき
lim nSn
n →∞
の値を求めよ
9
a, r が
a>
1√
1
， 0 < r <
4a − 1
2
2
を満たす定数とする。円 x2 + (y − a)2 = r2 の接線と y = x2 で囲まれる図形の面積の最
小値を a, r で表せ
31