第10回 復習
第 10 回 復習 2
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問 1. 複素数全体 C の濃度を求めよ.
写像 φ : R2 → C と φ(a, b) = a + bi と定めると φ は全単射となる．#R2 = ℵ なので C = ℵ となる．
問 2. 次の集合についてそれぞれの濃度
1. ℵ0 ,
2. ℵ,
3. どちらでもない
で答えよ．
(1) Q × Q
ℵ0
(2) N × Z × Q
ℵ0
(3) (0, 1)
ℵ
(4) Map(N, N)
ℵ
(5) {(x, y) ∈ R | x + y = 1}
2
2
2
ℵ
(6) {(x, y) ∈ R | x − y = 1}
2
2
2
ℵ
(7) {(x, y) ∈ R | x + y < 1}
2
2
2
ℵ
(8) A = {a ∈ R | 0 ̸= ∃f (x) ∈ Z[x][f (a) = 0]}
ℵ0
(9) R \ A.
ℵ
問 3. #X1 = #X2 かつ #Y1 = #Y2 ならば #Map(X1 , Y1 ) = #Map(X2 , Y2 ) を示せ．
仮定から全単射 φ : X1 → X2 と ψ : Y1 → Y2 が存在する．
このとき Ψ : Map(X1 , Y1 ) → Map(X2 , Y2 ) を Ψ(f ) = ψ ◦ f ◦ φ−1 と定めると明らかに全単射である．( 各
自確認せよ.)
問 4. 集合 X とそのべき集合 P(X) について次の問いに答えよ．
(1) X から P(X) への単射を構成して #X ≤ #P(X) を示せ．
ψ : X → P(X),
x 7→ {x}
は明らかに単射である．
(2) f : X → P(X) のとき Bf := {x ∈ X | x ̸∈ f (x)} と定義する．このとき
∀a ∈ X[f (a) ̸= Bf ]
を示せ．
a ∈ Bf とすると a ̸∈ f (a) なので a ∈ Bf \ f (a) となる．また a ∈ f (a) とすると a ̸∈ Bf となり
a ∈ f (a) \ Bf となる．いずれにしても f (a) ̸= Bf である．
(3) (2) から任意の f ∈ Map(X, P(X)) は全射とならないこと、すなわち #X < #P(X) を示せ．
(2) から Bf ∈ P(X) に対して f (a) = Bf となる a ∈ X が存在しないので f は全射にならない．
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