1. No category

フィードバック制御系の設計�
前章までに学んだことを踏まえ，
–  安定性，減衰性，速応性，定常特性を用いて，
制御系の設計仕様を定量的に表現できる
–  補償要素を加えることによって，設計仕様を
満たす制御系を設計できる
•  直列補償
•  フィードバック補償�
1
閉ループ特性に対する設計仕様�
•  フィードバック制御系を評価する特性
–  安定性�（もっとも大事）
–  減衰性
–  速応性
–  定常特性
•  制御系の設計においては、これらの特性
をある指標で指定
–  時間応答仕様
–  周波数応答仕様
–  極零点仕様
2
時間応答仕様�
過渡特性�
Os : Os :行き過ぎ量�
定常特性�
±5%
c�
0.9c�
lim e(t) : 定常偏差�
t→∞
Td : 遅れ時間�
0.5c�
Ts :整定時間�
0.1c�
0�
Tr :立上がり時間�
ステップ応答�
t�
3
周波数応答仕様�
|G(j )|
MP�
1�
1
2
0�
p
b
4
設計仕様�
閉ループ特性
開ループ特性
時間特性
周波数特性
周波数特性
減衰性
Os
Mp
GM, PM
速応性
Td , Tr
ωb
ωc
定常特性
εp , εv , εa
K
5
極零点仕様�
•  閉ループ伝達関数の次数がn次
–  特性に主に影響を与える、原点に近い極だ
けを考える
±j
–  その極が共役複素数
s1,2 =
•  複素共役根をもつ2次系で近似可能な場合
–  この主要極s1, s2によってシステムの���������
ωn
求める仕様を指定
γ
−α
jβ
0
6
閉ループ特性に対する設計仕様�
閉ループ伝達関数を2次系で近似
2
s1 s2
n
Go (s) =
=
s2 + 2
=
(s +
+ n2
(s s1 )(s s2 )
2
+ 2
+
= 2
j )(s + + j )
s +2 s+
ns
2
±j
s1,2 =
固有周波数
減衰率
2
=
=
+
= cos
n
ωn
γ
2
−α
2
2
+
2
jβ
0
n
7
閉ループ特性｜減衰性�
ts =
p
=
パラメータ
極零点�
ζ（減衰率）�
時間領域�
Os（行き過ぎ量）�
周波数領域�
Mp（周波数応答の最大値）�
2
1
n
設計仕様
1
のとき，
Os = exp
n
2
2
(共振周波数）のとき
Mp =
1
1
2
1
28
2
閉ループ特性｜減衰性�
パラメータ�
サーボ系（追値制御）�
プロセス系（定値制御）�
ζ
0.6〜0.8�
0.2〜0.4�
Os
0〜25%�
Mp
1.1〜1.5（通常1.3程度）�
Os , Mp は の関数
時間特性の仕様から周波数特性上で設計可�
9
閉ループ特性｜速応性�
設計仕様�
パラメータ�
極零点
ωn（固有振動数）�
Td （遅れ時間）
時間領域�
Ts （立ち上がり時間）
周波数領域�
Td
ωb�（閉ループ遮断周波数）�
b
b
Tr
b
整定時間Tsは減衰性にも速応性にも関連するパラメータ�
振幅の包絡線 e
nt
= 0.05 となる t = Ts を求めると Ts
3
10
n
閉ループ特性｜定常特性�
設計仕様�
パラメータ�
極零点
εp （定常位置特性）
εa （定常速度特性）
εd （定常加速度特性）
時間領域�
周波数領域�
開ループ伝達関数で決まる
•  積分項を何個持っているか
Ø  何形の制御系か
•  ゲイン定数K�
11
開ループ特性に対する設計仕様�
•  閉ループ特性上の仕様が与えられたとこ
ろで、これを満たす制御系の設計に
•  開ループ伝達関数G(s)は定まっている
•  ゲイン調整を行ったり、補償要素の伝達関
数Gc(s)を決める�＝�制御系の設計
•  開ループ特性上で周波数特性（ボード
線図）によって設計する
12
開ループ特性に対する設計仕様�
gdB [dB]�
K( = 0)
大：定常偏差小
c
0
大：速応性向上
GM�
φ [deg]�
0
PM�
−180
大：減衰性向上
13
制御系の設計（周波数応答法）�
•  直列補償
補償要素 Gc(s) を制御対象 Gp(s) と直列に付
加して，設計仕様を満たすように設計する
–  ゲイン補償（調整）
–  位相遅れ補償
–  位相進み補償
–  位相遅れ進み補償�
補償要素� 制御対象�
+−
Gc (s)
G p (s)
14
ゲイン補償（調整）�
gdB [dB]�
K大�
0
与えられた
開ループ伝達関数�
c
K小�
c
φ [deg]�
0
−180
PM�
-180° 越え
不安定�
開ループ伝達関数のボード線図�
Gc (s) = K
位相特性を変化させ
ずにゲイン特性を �
20 log K dB増加�
K < 1のとき�
PMが増加し安定するが，
ωcは低下し速応性は劣化�
K > 1 のとき�
ωcは高くできるが，PMは減
少し不安定になる�
15
例題�
開ループ伝達関数が
K
G(s) =
s(1 + 0.5s)(1 + 0.2s)
で与えられる閉ループ系の位相余裕を
PM=30° にするゲイン定数Kの値を求めよ
補償要素 Gc(s)
+−
K�
制御対象Gp(s)
1
s(1 + 0.5s)(1 + 0.2s)
16
ボード線図を描く�
c
= 1.8[rad/sec]
-7�
PM=30°�
-150�
ゲインを7dBあげてよい�
K=2.24�
17
ボード線図を描く�
c
= 1.8[rad/sec]
-7�
PM=30°�
-150�
ゲイン交差周波数も変化�
18
速応性、定常偏差に影響�
ステップ応答�
ゲイン補償前�
ゲイン補償後�
19
例題�
開ループ伝達関数が
K
G(s) =
s(1 + 0.5s)(1 + 0.2s)
で与えられる閉ループ系が安定で、かつ
定常速度偏差が0.1以下となるKを求めよ
補償要素 Gc(s)
+−
K�
制御対象Gp(s)
1
s(1 + 0.5s)(1 + 0.2s)
20
例題�
•  閉ループ伝達関数
G(s)
K
Go (s) =
=
1 + G(s)
0.1s3 + 0.7s2 + s + K
•  特性方程式は
0.1s3 + 0.7s2 + s + K = 0
•  フルビッツの安定判別法より
D=
a1
a3
a0
a2
•  すなわちK<7�
=
0.7 K
0.1
1
= 0.7
0.1K > 0
21
例題�
•  開ループ伝達関数の積分の次数は1
•  1形の制御系の定常速度偏差は
v
1
=
K
0.1
•  すなわちK≥10
•  二つの特性を満足するKは存在しない�
22
位相遅れ補償�
補償要素Gc(s)
1 + saT
Gc (s) =
, a<1
1 + sT
低周波領域でのゲインを高周波領域のゲインに
比べて大きくする
–  減衰性、速応性� ⇒�影響なし
–  定常特性� ⇒�改善�
補償要素� 制御対象�
+−
Gc (s)
G p (s)
23
位相遅れ補償�
1 + saT
Gc (s) =
, a<1
1 + sT
1 + saT
gdB [dB]�
0
折れ点周波数�
•  1次遅れ要素��
20 log a
m
1
aT
φ [deg]�
0
1
T
φm
位相遅れ要素のボード線図�
1
1 + sT
�
•  1次進み要素�
1
T
1
aT
ゲイン�
•  低周波領域 �0[dB]
•  高周波領域�
gc = 20 log a
= 20 log |Gc (j )|
24
1
aT
位相遅れ補償�
1 + saT
gdB [dB]�
0
1 + saT
Gc (s) =
, a<1
1 + sT
位相特性�
�
m
20 log a
m
1
aT
(1 + j aT )
(1 + j T )
位相が最小値になる角周波数
ωm(折点周波数の中間)とその
ときの位相φm
m
φ [deg]�
0
1
T
1
1 + sT
=
m
= T1a
= sin 1
a 1
a+1
φm
位相遅れ要素のボード線図�
25
位相遅れ補償�
1 + saT
gdB [dB]�
0
20 log a
m
1
aT
φ [deg]�
0
1
T
φm
1
1 + sT
1 + saT
Gc (s) =
, a<1
1 + sT
1.  位相余裕PMや速応
性を示す指標ωcなど
の仕様がすでに満足
2.  位相遅れ要素Gc(s)を
制御対象Gp(s)に直列
に付加�
3.  高周波領域のゲイン
がgc低下�
4.  ゲイン調整により、gc
だけ一様に上げる�
位相遅れ要素のボード線図�
26
位相遅れ補償�
1 + saT
Gc (s) =
, a<1
1 + sT
1 + saT
gdB [dB]�
0
低域のゲインのみ上げて
定常特性を向上�
20 log a
m
1
aT
φ [deg]�
0
1
T
1
1 + sT
�
低域の位相は遅れるが十
分に余裕があり，減衰性，速
応性にはほとんど影響を与
えない�
φm
位相遅れ要素のボード線図�
27
位相遅れ補償�
•  閉ループ系が不安定な場合でも、補償に
よって位相余裕と定常偏差の仕様を満足
するように設計が可能
1.  定常偏差を満たすようにゲイン調整
2.  位相遅れ補償により、高周波領域のゲイン
をgcだけ低下させて、位相余裕を改善
28
例題（位相遅れ補償）�
開ループ伝達関数が
K
G(s) =
s(1 + 0.5s)(1 + 0.2s)
で与えられる閉ループ系の位相余裕PM=40°、
定常速度偏差εv≤0.1となるように補償要素を
設計せよ
補償要素 Gc(s)
+−
Gc(s)
制御対象Gp(s)
K
s(1 + 0.5s)(1 + 0.2s)
29
例題（位相遅れ補償）�
•  開ループ伝達関数の積分の次数は1
•  1形の制御系の定常速度偏差は
v
1
=
K
0.1
K≥10
•  K=10と定めたときのボード線図を描く
•  以下の教科書のボード線図は折線近似で描
いているので、値が少しずれていることに注意
30
K=10のときのボード線図�
K=10�
20dB上昇�
K=1�
位相遅れ回路での高周波
領域での位相遅れは10°
程度余裕をみて�
PM = 40+10 = 50°�
とする�
ゲイン交差周波数�
4.4[rad/sec]�
PM=50°�
補償後のゲイン交差周波数�
1.1[rad/sec]�
−15°⇒不安定�
31
位相遅れ補償器の特性�
|Gp (j1.1)| = 18[dB]
ゲイン交差周波数でのゲ
インを0[dB] 位相遅れ補
償器の高域でのゲインは�
20 log a = -18[dB]
a=0.126�
補償器の特性�
折点周波数 1/aT は ゲイン
交差周波数の1/8〜1/10 に
設定されるので，ここでは �
0.14 [rad/sec] とする�
0.14�
32
位相遅れ補償器�
•  位相遅れ回路の折点周波数1/aTを
0.14[rad/sec]とする
1
1
aT = =
= 7.14
0.14
7.14
T =
= 56.7
0126
•  すなわち位相遅れ回路の伝達関数は
1 + 7.14s
Gc (s) =
1 + 56.7s
PM = 44°�
•  設計仕様をほぼ満たす
33
位相遅れ補償後の特性�
位相遅れ補償後の特性�
PM = 44°�
34
ステップ応答�
位相遅れ補償後�
位相遅れ補償前�
35
ランプ応答�
位相遅れ補償後�
位相遅れ補償後�
位相遅れ補償前�
等速度入力�
位相遅れ補償前�
36
位相進み補償�
補償要素Gc(s)
1+s T
Gc (s) =
,
>1
1 + sT
ゲイン交差周波数ωc付近の位相を進めて適当
な位相余裕を確保する
–  速応性�
⇒�改善
補償要素� 制御対象�
+−
Gc (s)
G p (s)
37
位相進み補償�
1+sαT�
1+s T
Gc (s) =
,
1 + sT
gdB [dB]�
20 log
折れ点周波数�
•  1次遅れ要素��
0�
1
T
m
1
T
1
1 + sT
φ [deg]�
m
0�
位相進み要素のボード線図�
�
•  1次進み要素�
<1
1
T
1
T
ゲイン�
•  低周波領域 �0[dB]
•  高周波領域�
gc = 20 log a
= 20 log |Gc (j )|
38
1
aT
位相進み補償�
1+sαT�
gdB [dB]�
20 log
Gc (s) =
1+s T
,
1 + sT
>1
位相特性�
�
0�
1
T
m
1
T
1
1 + sT
位相が最小値になる角周波数
ωm(折点周波数の中間)とその
ときの位相φm
m
φ [deg]�
m
m
= T1
= sin
1
1
+1
0�
位相進み要素のボード線図�
39
位相進み補償�
1+sαT�
gdB [dB]�
20 log
0�
1
T
m
1
T
1
1 + sT
φ [deg]�
m
0�
位相進み要素のボード線図�
Gc (s) =
1+s T
,
1 + sT
>1
ゲイン交差周波数ωc
付近にωmを設定
1
1
< c<
T
T
•  ゲイン交差周波数
ωc’が大きくなる
•  移動したゲイン交
差周波数ωc’におけ
る位相余裕も確保
速応性の向上�
40
例題�
開ループ伝達関数が
K
G(s) =
s(1 + 0.5s)(1 + 0.2s)
で与えられる閉ループ系の位相余裕PM=40°、
ゲイン交差周波数ωc=4.4[rad/sec]となるように
補償要素を設計せよ
補償要素 Gc(s)
+−
Gc(s)
制御対象Gp(s)
K
s(1 + 0.5s)(1 + 0.2s)
41
例題�
•  ゲイン調整でωc=4.4にするにはK=10
•  このときの位相が−197°なので不安定
•  位相余裕PM=40°を満たすためにはωc付近
で57°位相を進めさせる必要
φm=40°+(197°−180°) = 57°
1
sin m =
= 0.84
+1
1
=
11.5 4.4 = 14.9
m =
T
1
= 1.30
T
= 11.5
42
例題�
希望のゲイン交差周波数�
4.4[rad/sec]�
補償前のゲイン交差周波数�
43
ωc=4.4にゲイン調整�
K=10�
K=1�
希望のゲイン交差周波数�
4.4[rad/sec]�
57°進める�
PM=40°�
−197°�
補償前のゲイン交差周波数�
44
位相余裕を満たす補償器�
位相進み補償器により、ωc=4.4[rad/sec]付近
の位相を57°進ませる
その位相進み補償器の伝達関数は
1 + 0.769s
Gc (s) =
1 + 0.067s
45
位相進み補償器を設計�
K=10�
K=1�
希望のゲイン交差周波数�
4.4[rad/sec]�
57°進める�
ωc=4.4付近で
57°進ませる
位相進み要素�
1 + 0.769s
Gc (s) =
1 + 0.067s
PM=40°�
−197°�
補償前のゲイン交差周波数�
46
位相進み補償器を使用�
ゲイン交差周波数が
ωc=8.5に移動�
K=10�
10dB�
ゲインを10dB
下げればよい�
K=1�
希望のゲイン交差周波数�
4.4[rad/sec]�
57°進める�
ωc=4.4付近で
57°進ませる
位相進み要素�
1 + 0.769s
Gc (s) =
1 + 0.067s
PM=40°�
−197°�
47
ゲイン交差周波数を補正�
•  ゲイン交差周波数がωc’=8.5[rad/sec]に変化
⇒�仕様の4.4[rad/sec]にするためにゲイン調整
により10[dB]ゲインを下げる
K
K = 3.16
10[dB] = 20 log
10
48
ゲイン調整によりωc=4.4に�
ゲイン交差周波数が
ωc=8.5に移動�
K=10�
K=3.16�
K=1�
希望のゲイン交差周波数�
4.4[rad/sec]�
PM=40°�
49
位相進み補償によるステップ応答�
位相進み補償後�
位相進み補償前�
減衰性と速応性の仕様を満足
50
位相進み遅れ補償�
補償要素Gc(s)
1 + s Ta1 1 + saT2
Gc (s) =
·
, a < 1, T1 < T2
1 + sT1 1 + sT2
低周波領域に折点周波数をもつ位相遅れ回路
高周波領域に折点周波数をもつ位相進み回路
減衰性、速応性、定常特性の
仕様をすべて満たすように補償�
補償要素� 制御対象�
+−
Gc (s)
G p (s)
51
位相進み遅れ補償�
•  まず、位相進み補償か位相遅れ補償を適用
•  仕様を満足させないときにさらに位相遅れ
補償、または位相進み補償を適用
•  定数a, T1, T2の決定法は位相遅れ補償や
位相進み補償での決定法と同じ
52
例題8.4�
図に示されるフィードバック制御系について
答えよ�
+−
Gc (s)
Gp (s)
53
例題8.4(a)�
制御対象のボード線図が
右図であるとき、伝達関数
Gp(s)を求めよ。なお、Gp(s)は
s=0に1次の極をもつ�
�
角周波数(rad/sec)�
54
例題8.4(a)�
折点周波数はω=2, 10[rad/sec]
ゲイン特性の傾きは
ω < 2では−20[dB/dec]
2 ≤ ω ≤ 10では−40[dB/dec]
ω  > 10では−60[rad/dec]
すなわち積分要素に加えて
一次遅れ要素が2個
角周波数(rad/sec)�
55
例題8.4(a)�
Gp (s) は
積分要素
K
s
1
1 次遅れ要素
1 + sTa
1
1 + sTb
から成る。すなわち
K
Gp (s) =
s(1 + sTa )(1 + sTb )
角周波数(rad/sec)�
56
例題8.4(a)�
折点周波数より
1
= 0.5
2
1
Tb =
= 0.1
10
Ta =
また， = 2[rad/sec] のときゲインが 1，
すなわち 0dB であるので，
K
K
=
=1
j 0
j2
より K = 2。よって
Gp (s) =
2
s(1 + 0.5s)(1 + 0.1s)
角周波数(rad/sec)�
57
例題8.4 (b)�
開ループ伝達関数の
ボード線図が右図の
赤の実線であり、補償
回路の伝達関数が
G (s) = 10(1 + sT2 )(1 + sT4 )
c
(1 + sT1 )(1 + sT3 )
であるときの定数T1, T2,
T3, T4を求めよ�
ゲイン�
角周波数(rad/sec)�
58
例題8.4 (b)�
開ループ伝達関数の
ボード線図が右図の
赤の実線であり、補償
回路の伝達関数が
G (s) = 10(1 + sT2 )(1 + sT4 )
c
(1 + sT1 )(1 + sT3 )
であるときの定数T1, T2,
T3, T4を求めよ�
位相�
角周波数(rad/sec)�
59
例題8.4 (b)�
新たな折点周波数は
0.02, 0.2, 1, 5[rad/sec]。
ゲイン�
•  0.02 < ω < 0.2では
傾きが増大
•  1 < ω < 5では減少
•  低周波領域では位
相の遅れ
•  高周波領域では位
相の進み�
角周波数(rad/sec)�
60
例題8.4 (b)�
新たな折点周波数は
0.02, 0.2, 1, 5[rad/sec]。
位相�
•  0.02 < ω < 0.2では
傾きが増大
•  1 < ω < 5では減少
•  低周波領域では位
相の遅れ
•  高周波領域では位
相の進み�
�
角周波数(rad/sec)�
位相進み遅れ補償�
61
例題8.4 (b)�
各定数は折点周波数
より�
T1 =
T2 =
T3 =
T4 =
ゲイン�
1
= 50
0.02
1
=5
0.2
1
= 0.2
5
1
=1
1
角周波数(rad/sec)�
62
例題8.4 (b)�
ゲイン余裕�
GM 15[dB]
ゲイン-位相図�
10[dB]
角周波数(rad/sec)�
63
例題8.4 (b)�
ゲイン余裕
GM 15[dB]
10[dB]
位相余裕
P M 33
39
ゲイン交差周波数�
2[rad/sec]
4[rad/sec]
c
ゲイン�
角周波数(rad/sec)�
64
ステップ応答�
位相進み遅れ補償後�
補償前�
減衰性と速応性が改善
65
ランプ応答�
位相進み遅れ補償後�
等速度入力�
補償前�
定常速度偏差が減少⇒定常特性が向上�
66
フィードバック補償�
補償要素をフィードバック要素として用いるも
のだが、以下のように等価変換できるので、
直列補償と同様に扱うことができる�
+−
G1 (s) +
−
G2 (s)
Gc (s)
+−
1
1+ Gc (s)G2 (s)
G1 (s)
G2 (s)
67
例題 8.5�
下図の制御系が次の設計仕様を満たすよう
に K および KT を定めよ．
①  減衰率 ζ = 0.5
②  定常速度偏差 εv ≤ 0.05�
R(s)
+−
E(s)
K�
+−
10
s(s + 1)
C(s)
sKT
68
例題 8.5：解答例�
ブロック線図を等価変換する�
R(s)�
E(s)�
+−
R(s)
G(s)�
10K
s2 + s(1 + 10KT )
C(s)�
C(s)
10K
s2 + s(1 + 10KT ) + 10K
Go (s)
69
例題 8.5：解答例�
2次系の一般形と対応させると
2
10K
n
2
s + s(1 + 10KT ) + 10K
s2 + 2 n s + n 2
n2
= 10K,
2 n = n = 1 + 10KT = 10K
定常速度偏差は�
v
1
= lim sE(s) · 2 = lim
s 0
s 0
s
1
1
·
10K
s
1+ 2
s + s(1 + 10KT )
1 + 10KT
=
0.05
10K
1
= lim
10K
s 0
s+
s + 1 + 10KT
70
例題 8.5：解答例�
まとめると�
1 + 10KT = 10K
1 + 10KT 0.5K
10K
0.5K より K
また、1 + 10KT
"$1+10K = 10K
T
#
$%1+10KT ≤ 0.5K
40
400 = 20 より KT
1.9
71
例題 8.5：ステップ応答�
K=50, KT = 2�
72
例題 8.5：ランプ応答�
K=50, KT = 2�
73
PID制御器�
比例(Propotional)動作、積分(Integral)動作、微
分(Derivative)動作で構成される制御器
t
u(t) = KP e(t) + KI
0
伝達関数
de(t)
e( )d + KD
dt
1
Gc (s) = KP + KI + KD s
s
1
= KP 1 +
+ TD s
TI s
PID制御器
+−
GP ID (s)
制御対象
Gp (s)
74
PID動作�
PID制御器の伝達関数
1
GP ID (s) = KP + KI + KD s
s
–  比例ゲイン：ゲイン調整
–  積分ゲイン：低周波領域でゲイン上昇。位相
が遅れる。定常偏差に効果。位相遅れ補償器
と同様の効果
–  微分ゲイン：高周波領域でのゲイン上昇。位
相が進む。速応性に効果。位相進み補償器
と同様の効果�
75
PID動作�
PID制御器の伝達関数�
Gc (s) = KP
1
1+
+ sTD
sTI
–  KP：比例ゲイン
–  TI：積分時間
–  TD：微分時間
76
PID制御の種類�
•  P動作（比例動作）
–  ゲイン調整に対応。安定性を改善
•  PI動作（比例＋積分動作）
–  位相遅れ補償に対応。定常特性を改善
•  PD動作（比例＋微分動作）
–  位相進み補償に対応。速応性を改善
•  PID動作（比例＋積分＋微分動作）
–  定常特性と速応性を同時に改善�
77
PID制御器のパラメータ調整�
•  PID制御器
–  調節するパラメータが3つ
–  効果がわかりやすい
⇒�実用的
•  パラメータの調整も、直感的に調整するこ
とで、ある程度の性能が確保
78
ステップ応答法�
複雑な制御対象であっても近似的に次の伝達関数
Gp(s) であると見なし，ステップ応答を測定した結果
から以下の表に従ってパラメータを決定する�
Ke s
GP (s) =
1 + sT
P制御
PI制御
PID制御
Kp�
1
RL
0.9
RL
1.2
RL
１次遅れ要素とむだ時間要素で近似
T I�
T D�
ー�
ー�
3.3L�
ー�
2L�
0.5L�
c�
R=
c
T
t
0
τ =L
79
T
限界感度法�
まず P 動作のみ(KI=KD=0)で安定限界となる KP = Ko
を定め、このときの持続振動の周期 To を測定した
結果から以下の表に従ってパラメータを決定する�
安定限界のときのステップ応答�
P制御
Kp�
T I�
T D�
0.5KO�
ー�
ー�
PI制御
0.45KO�
0.83TO�
ー�
PID制御
0.6KO�
0.5TO�
0.125TO�
c�
0
t
T O�
80