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中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
1
指導のねらい
①三角形の面積の比
▼指導ページ　P5 ～ 12 ▼
★高さが等しい三角形の面積比や底辺比を求める。
★ 1 辺比と面積比の関係を理解させる。
◎この単元では辺の比が面積比とどのように関係する
授
かを学ばせる。
例題１　底辺の比と面積の比
う。図形の中にある「双子山」を取り出し，それを
【基本１，２】
◎高さが等しい三角形の面積の比は，それぞれの面
業
積を求めなくても底辺の比から求めることができる。
例題 1 は，実際の面積から面積を求め，それと対比
させることで，底辺の比を用いることの便利さを気
展
開
づかせるような問題となっている。
㋐：㋑＝ a：b
㋐
㋑
われるのに「双子山」がある。以下，双子山で通す。
例題２　底辺の比と面積の比の利用【基本３，４，練習１～４】
◎ここでは，底辺の比を連続して利用した面積の比を
基本１，２
点を基準に底辺の比を使う。
とする。以降はこれで表記。
基本３
⑵　双子山 A–BDC に目をつけると
三角形 ABE の面積は
答　24cm2
⑶　双子山 B–DEA に目をつけ
答　9cm
◎底辺比を使用するときにどこの三角形を使って高さ
を同じにするかを注意する。
◎図の中に比を入れると理解させやすい。注意点とし
⑴　双子山 C–ADB で考えると
そこで双子山 B–CFD と F―DEB で考えると
1
1
48 × 3 ×　2 ＝ 8cm2
B–CFD　F–DEB
答　8cm2
三角形 AGF で双子山 E–FDA を考えると
AD：DF ＝ 1：1 なので双子山 F–AEG を考え，
AE：EG ＝ 2：1
⑴　双子山 D–CEA に目をつけ
次に，双子山 G–CFA を考えて面積が 4 等分されている
6：2 ＝ 3：1
ので CF：FA ＝ 1：3
答　21cm2
⑵　BD：DC ＝三角形 ABD：三角形 ADC の面積比
基本５
⑴　AE に補線を引き双子山 A–BEC を考える。その後双
子山 E–ADB を考えるとわかりやすい。
答
さらに，双子山 C–GHB を考えて
GH：HB ＝ 1：1
ここまでをしっかり図示する。
答　3：4
公式を利用すると
3
2
2
3＋4×2＋1＝7
C
◎三角形の分割をていねいに板書する。
AE ＝ 12 ÷（3 ＋ 1）× 3 ＝ 9（cm）
面積比＝ 21：28 ＝ 3：4…底辺の比
例
B
練習４
28 ÷（3 ＋ 1）× 3 ＝ 21
説
E
⑵　⑴より，三角形 DBC ＝ 80 － 32 ＝ 48cm2
72 ÷（8 ＋ 10）× 8 ＝ 32
基本４
解
D
答　32cm2
AE：ED ＝ 24：8 ＝ 3：1
の
＝三角形 ABC の面積の
a
c
a ＋ b× c ＋ d
A
2
2
三角形 ADC ＝三角形 ABC × 5 ＝ 80 × 5 =32cm2
32 － 8 ＝ 24
題
◎補線を引くことで，新しく底辺の比が使える三角形
面積の比＝ 2：3
三角形 ABD の面積は
問
【基本５，６，練習５，６】
て異なる辺の比は○や△や□の記号を使用する。
※双子山の表記方法として基本 1 では双子山 A–BDC
要
例題３　三角形の面積の割合
練習２
◎どの方向へ三角形が傾いても高さを作る方向への頂
重
●ポイント●
双子山の面積比⇔底辺の比を自在に使えるように
する。
●ポイント●
三角形 ADE の面積
※よく使う形なので名を付けておいた方がよい。よく使
例
つなげていくことで問題を解いていく。
を増やして指導する。
●ポイント●
高さが等しい三角形では
面積の比＝底辺の比
扱う。いわば「双子山」が組み合わさった図形を扱
2
7
⑴　双子山 C–AGB を考える。
AG：GB ＝ 4：2
4
AG ＝ 9 × 6 ＝ 6cm
次に AE：EG ＝ 2：1 より，
1
EG ＝ 6 × 3 ＝ 2cm
答　2cm
⑵　AD：DF ＝ 1：1 ，AF：FC ＝ 3：1 なので，
AF を 3 とすると AD：DF ＝ 1.5：1.5 となり
AD：DF：FC ＝ 1.5：1.5：1
2 倍すると 3：3：2
答　3：3：2
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
1
②三角形の面積の比の利用
▼指導ページ　P13 ～ 20 ▼
指導のねらい
★四角形の中から平行を見つけ，相似な三角形の相似比を利用する。
★辺の長さの比や面積比を理解させる。
例題３　相似の利用⑵
◎作図により明確な比をいち早く見抜かせる
授
業
展
開
例題１　相似比と辺の比
【基本１，２，練習１，２】
【基本５，６，練習６】
◎図中には，記入されていない交点の文字をしっかり
①平行線を見抜く。
記入させ，板書と生徒のノートでの違いがないよう
②相似な三角形の発見。
に注意をはらう。
特に，辺の比を使うときに文字の順序までしっかり
③辺の比から面積比を求める。
④○や△を使い実際の長さと比を間違えない。
例題２　相似の利用⑴
注意させるようにしたい。
【基本３，４，練習３～５】
●ポイント●
・問題でとわれている三角形に注目するだけでなく，
その周りの三角形や，相似になっていない三角形
の底辺の比などにも注意して面積を求める。
・どの向きに双子山がきても，頭の中でわかりやす
例
重
要
問
く回転させるか，実際に対象となる三角形を抜き
出して作図させる。
基本 1
⑴　AD ＝ BC なので AD：CF が相似比となる。
21：7 ＝ 3：1
答　3：1
⑵　DC の長さを 3：1 ＝ DE：CE で分割するので
3
16 × 4 ＝ 12cm
答　12cm
⑶　三角形 ADE の面積を求め，双子山 D–AGE を考える。
三角形 ADE ＝ 21 × 12 ÷ 2 ＝ 126cm2
三角形 ABG と三角形 EDG は相似なので，
16：12 ＝ AG：EG ＝ 4：3 から
3
三角形 DGE の面積は，126 × 7 ＝ 54cm2
答　54cm2
基本２
⑴　三角形 ADF と三角形 ECF は相似で，辺の比は 4：1
なので，DF：FC ＝ AD：CE ＝ 4：1 ＝ 18：□，
題
の
解
説
例
□＝ 4.5cm
答　4.5cm
⑵　辺 BE ＝ BC ＋ EC ＝ 18 ＋ 4.5 ÷ 22.5
3
：
15
：
1
5
5
：
：
4
4 になり
三角形 ABE：三角形 AEF の面積の比は 15：4
答　15：4
練習２
3
⑴　四角形 ABED × 4 ＝三角形 DEC なので，
3
12 × 6 × 4 ＝ 54cm2 が，三角形 DEC の面積
三角形 DEC の底辺を EC とすると，
1
EC × 12 × 2 ＝ 54
答　3cm
EC ＝ 9 なので，EF ＝ 9 － 6 ＝ 3cm
⑵　三角形 AGD と三角形 FGE は相似なので，
DG：GE ＝ AD：FE ＝ 6：3 ＝ 2：1 より，
2
2
DG ＝ DE × 3 ＝ 12 × 3 ＝ 8cm なので，
1
6 × 8 × 2 ＝ 24cm2
答　24cm2
三角形 AGD と三角形 EGB は相似なので，
⑶　台形 ABCD の面積→ 72 ＋ 54 ＝ 126cm2
AD：EB ＝ 18：22.5 ＝ 4：5
台形 DGFC の面積→三角形 DEC–三角形 GEF
1
△ GEF ＝ 3 × 4 × 2 ＝ 6 より，54 － 6 ＝ 48cm2
8
8
答
倍
なので，48 ÷ 126 ＝ 21 倍
21
練習６
双子山 A–BGD より，
4
三角形 ABD の面積× 9 ＝三角形 AGD となり，
1
4
18 × 18 × 2 × 9 ＝ 72cm2
答　72cm2
基本３
⑴　三角形 AFD と三角形 CFE は相似なので BC ＝ 4 と
すると，AD ＝ 4 ，AD：EC ＝ AF：FC ＝ 4：1
答　4：1
⑵　双子山 E–CFA を考えると，AF：FC ＝ 4：1 なので，
三角形 AEF：三角形 CEF ＝ 4：1 なので，
4
4
答
三角形 AEC は 5 となる，だから 5
5
⑶　三角形 ABE と三角形 AEC を比べると双子山 A–BEC
より，3：1 となる。双子山 E–AFC より，
三角形 AEC：三角形 AEF ＝ 5：4 なので，
三角形 ABE：三角形 AEC：三角形 AEF の連比により，
◎作図をしっかりする。
⑴　三角形 ADE と三角形 ABC は相似で，辺の比は
AD：AB ＝ DE：BC ＝ 1：3 ，DE：FC ＝ 1：4
答　1：4
⑵　双子山 C–ADB を考える。三角形 ABC の面積が 90cm2
1
なので，90 × 3 ＝ 30cm2
答　30cm2
⑶　双子山 D–CEA より，
2
三角形 EDC ＝ 30 × 3 ＝ 20cm2
双子山 E–DGC より，
1
三角形 DGE ＝ 20 × 5 ＝ 4cm2
答　4cm2
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
2
①仕事算
▼指導ページ　P21 ～ 28 ▼
指導のねらい
★仕事の速さや水の速さを求めさせる。
★単位あたりの仕事量の比から仕上げる日数を求めさせる。
◎時間の単位合わせに注意しながら仕事量を 1 つの大
授
きさとして考える事を定着させる。
例題１　仕事量の比
全体
【基本１，２，練習１】
時
◎逆比を使う意味を理解させ，使えるようにする。
●ポイント●
1 日あたりの仕事量の比
業
単位
あたり
の量
は・じ・きの要領で使えると良い
それぞれのかかる日数の逆比とする。
展
開
例題３　仕事量のちがいと比 【基本４～６，練習２，４，５】
Ａ日かかる人，Ｂ日かかる人
1
1
A ： B となる
例題２　仕事算とつるかめ算
◎全体の仕事量を求めてから各々の 1 日あたりの仕事
量を求める。
【基本３，練習３，６】
逆比から（分数の比）整数の比に戻すときの計算問題
文に注意する。
●ポイント●
仕事量と時間の関係式
例
1 分あたりの量＝全体の量÷時
基本１
練習２
⑵　Ａの 1 日あたりの仕事量：Ｂの 1 日あたりの仕事量
1
1
24 ：　40
＝ 5 ：　3
1
1
⑴　Ａ：Ａ＋Ｂ＝ 18 ： 6 ＝ 1：3（1 日あたりの仕事量）
1 × 18 ＝ 18（全体の仕事量）
Ｂの 1 日あたりの仕事量は 2 なので 18 ÷ 2 ＝ 9 日
全体の仕事量はＡの 1 日あたりの仕事量×日数
重
要
5 × 24 ＝ 120 とする
⑵　Ｂは 7 日間働いたので 2 × 7 ＝ 14
Ａ，Ｂ 1 日あたりの仕事量の和は 8 なので
全体は 18 なので 18 － 14 ＝ 4（Ａが働いた量）
120 ÷ 8 ＝ 15 日
よって，7 － 4 ＝ 3 日（Ａが休んだ仕事量）
基本３
練習４
答　8 個
⑵　Ｂの 1 時間あたりの仕事量は
1
1
1
⑴　Ａ＋Ｂ：Ｂ＋Ｃ：Ａ＋Ｃ＝ 15 ： 10 ： 12 ＝ 4：6：5
16 × 26 ＝ 416
答　416 個
⑶　つるかめ算を用いる
の
説
4 × 15 ＝ 60 が全体の仕事量
（4 ＋ 6 ＋ 5）÷ 2 ＝ 7.5 なので
＝ 96 ÷ 8 ＝ 12
60 ÷ 7.5 ＝ 8（日）
答　8 日
練習１
⑵　1 日あたりのしごと量を考えると
1
1
Ａ：Ａ＋Ｂ＝ 12 ： 8 ＝ 2：3
Ａの 1 日あたりの仕事量から全体を考えると
2 × 12 ＝ 24 となる
また，Ａ：Ａ＋Ｂが 2：3 からＢの 1 日あたりの仕事
例
1 日あたりのＡ＋Ｂの仕事量を 4 とすると
1 日のＡ＋Ｂ＋Ｃの仕事量は
（416 － 320）÷（16 － 8）
答　12 時間
解
◎Ａ＋Ｂ：Ｂ＋Ｃ：Ａ＋Ｃの 1 日あたりの仕事をしっ
かり板書する。
32 ÷ 2 ＝ 16
題
答　3 日
答　15 日
⑴　40 ÷ 5 ＝ 8
問
答　9 日
量は 1
1 時間あたりのＡ，Ｂ，Ｃの仕事量は
1
1
1
Ａ：Ｂ：Ｃ＝ 15 ： 12 ： 10 ＝ 4：5：6
ここの計算間違えに注意
全体の仕事量は 4 × 15 ＝ 60（Ａを基準に考える）
つるかめ算の考え方を使うと
Ｂが 9 日間仕事をするので 1 × 9 ＝ 9
ＡとＣの 9 時間分の仕事は（4 ＋ 6）× 9 ＝ 90
24 － 9 ＝ 15
15 の残る仕事をＡ＋Ｂの 1 日あたりの仕事量 3 で割
ればよい
15 ÷ 3 ＝ 5 日
だから 9 ＋ 5 ＝ 14 日間かかる
練習５
答　14 日
（90 － 60）÷（4 ＋ 6 － 5）＝ 6 時間
答　6 時間
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
2
指導のねらい
②こさと比の利用
▼指導ページ　P29 ～ 36 ▼
★食塩水に，水，食塩を混ぜた時の，濃度，食塩，食塩水をそれぞれ求めさせる。
★ 2 種類の食塩水を混ぜた時の，重さの割合や面積図を利用し，問題を解く。
◎この単元では，問題をしっかり読む事で操作の繰り
授
返しがどのように行われているかに注意させる。
例題１　食塩水にふくまれる食塩の重さ 【基本１，２，練習１⑴】
（
食塩
開
食塩水
◎食塩水の重さの比を濃度変化から求められるように
注意しておく。
上の図を書かせ，演算の間違いをなくす。
は，食塩量が変化しない事に注意。
⑴　まず出来る食塩水量 200 ＋ 300 ＝ 500g（5％）なので，
500 × 0.05 ＝ 25g の食塩ができる。
問
16 ÷ 200 ＝ 0.08 ⇒ 8％
答　8％
⑶　まず，濃度変化が 12％→ 8％なので，
8
2
8 ÷ 12 ＝ 12 ＝ 3 倍の濃度及び食塩量となる。
2
300 × 1 － 3 ＝ 100g
）
答　100g
基本３
⑴　まぜる食塩水の量の比が 1：2 なので，
1 × 0.05 ＋ 2 × 0.14 ＝ 0.33 仮の食塩量
題
の
解
説
0.33 ÷（1 ＋ 2）＝ 0.11 → 11％
答　11
1
1
⑵　x：y ＝a － c：c － bを利用
1
1
1
1
6 － 4 ： 12 － 6 ＝ 2 ： 6 ＝ 3：1
食塩水
答　5％
⑵　5％と 12％で 10％となることから食塩水の比は，
1
1
1
1
10 － 5 ： 12 － 10 ＝ 5 ： 2 ＝ 2：5
5
よって，700 × 7 ＝ 500g
答　500g
⑶　3％と 8％の食塩水の合計は，700 － 500 ＝ 200g
これを 3：2 にわけるので，
2
200 × 5 ＝ 80g
80 × 0.08 ＝ 6.4g（食塩）
答　16g
80 － 6.4 ÷ 0.1 ＝ 16g
3
⑷　200 × 5 ＝ 120g
3％にするので，120 × 0.03 ＝ 3.6g（食塩）
答　60g
3.6 ÷ 0.02 － 120 ＝ 60g
練習４
答　ア　3 ，イ　1
1
1
⑷　12 － 7 ： 15 － 12 ＝ 3：5
3
7％→ 240 × 8 ＝ 90g
15％→ 240 － 90 ＝ 150g
●ポイント●
水というのは 0％の食塩水と考える。
1
1
7 － 0 ： 12 － 7 ＝ 5：7 ⇔水と 12％の食塩水の量
7
200 × 5 ＝ 280g（12％の食塩水）
これを 8 分で入れるので，280 ÷ 8 ＝ 35g
答　ア　90 ，イ　150
基本６
例
練習２
⑴　3％の食塩水：8％の食塩水＝ 3：2 より，
食塩量　3 × 0.03 ＋ 2 × 0.08 ＝ 0.25 となる
食塩
25 － 9 ＝ 16g ⇒ 200g 中の食塩量
（
●ポイント●
操作毎の食塩水の量と食塩の量を図示しよう。
0.25 ÷（3 ＋ 2）＝ 0.05 → 5％
300g（3％）⇒ 300 × 0.03 ＝ 9g なので，
要
【基本５，６，練習５，６】
◎やりとりの順番にしたがって食塩の量を求めていく。
基本１
重
）
例題３　食塩水のやりとり
濃度
例題１⑵のとき，かわりに同じ重さの水を入れる時
例
●ポイント●
a％，x g ⇔ b％，y g で，c％，c g 作るとき
重さの比は，
1
1
x：y ＝a － c：c － （a
b ＞ b）となる
●ポイント●
展
◎面積図を使いわかりやすくする。
まぜる
◎食塩量を基準に考えると解きやすい。
業
例題２　2 種類の食塩水を混ぜ合わせる 【基本３，４，練習１⑵⑶～４】
⑵　Ａ，Ｂ合計の食塩量は 72g
操作後のＡ 400g × 8％＝ 400 × 0.08 ＝ 32g より，
Ｂは 72 － 32 ＝ 40g の食塩量なので，
40 ÷ 400 ＝ 0.1 → 10％
答　10％
答　毎分 35g
練習５
⑴　16％⇔ 2％で，12％ができるので，
1
1
16 － 12 ： 12 － 2 ＝ 5：2 の食塩水の量
5
20 × 2 ＝ 50g（16％の食塩水）
⑵　16％⇔ 2％で，4.8％ができるので，
1
1
1
1
16 － 4.8 ： 4.8 － 2 ＝ 11.2 ： 2.8 ＝ 1：4
4
50 × 1 ＝ 200g
答　50g
答　200g
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
3
①水量の変化と比の利用
▼指導ページ　P37 ～ 44 ▼
指導のねらい
★水の体積と底面積の比，深さの比を理解させる。
★しきりのある水そうに水を入れたときの時間や深さに関する問題の理解。
◎体積が同じとき，深さが同じとき，底面積が同じと
授
●ポイント●
体 積， 深 さ の 何 を 同 じ に す る の か， 問 題 を
き，それぞれのときの比をしっかり学習させる。
例題１　底面積，体積，水の深さの比⑴
【基本１，２】
しっかり読みとる。
●ポイント●
業
水の体積
底面積の比→水の深さの比
・同体積→底面積の比は深さの逆比となる。
・同じ深さ→体積の比は底面積の比となる。
展
開
・同じ底面積→体積の比は，深さの比となる。
例題３　仕切りのある容器に水を入れる【基本５，６，練習４，５】
◎グラフの読みとりに注意する。とくに横軸と平行に
なった状態はどのようなときかを理解させる。
●ポイント●
仕切り板までは一定の量で深さが変化するが，
例題２　底面積・体積・水の深さの比⑵ 【基本３，４，練習１～３】
その後は仕切り板の高さまで一定時間深さの変
◎底面積の比を求め，水の移動する量を考えさせる。
化がないことに注意する。
⑵　Ａ，ＢのそれぞれからＣへ移動する量を考えて，Ｃ
例
の底面積を求める。
基本２
練習１
⑴　同じ体積なので底面積の逆比がそれぞれの深さの比
◎容積の比に入っている割合の積で体積の比。
5
10
4
⑴　Ａ→ 4 × 6 ＝ 3 Ｂ→ 5 × 5 ＝ 4
10
Ａ：Ｂ＝ 3 ：4 ＝ 10：12 ＝ 5：6（体積の比）
になる。
Ａ：Ｂ＝ 3：2（底面積）を考えると
深さの比はＡ：Ｂ＝ 2：3 なので
重
答　5：6
Ａ：Ｂ＝ 2：3 ＝ 12：□（内積＝外積）
□＝ 18cm
答　18cm
要
問
題
⑵　ＡとＢの体積の比で考える。
1
Ａの 3 をＢに入れたので
2
1
Ａ：Ｂ＝ 3 ： 3 ＝ 2：1 の体積比となる。
水の体積
底面積の比→水の深さの比なので
2
1
4
5
Ａ：Ｂ＝ 5 ： 2 ＝ 10 ： 10 ＝ 4：5
◎底面の半径の比から底面積の比を求めるときは
a：b（半径）→ a × a：b × b となる。
⑴　底面積の比…Ａ：Ｂ＝ 2 × 2：3 × 3 ＝ 4：9
体積の比＝底面×深さの比
答　4：5
基本５
図 1 より底面積（20 ＋ 25）× 15 ＝ 625cm2 なので
625 × 20 ＝ 13500cm3
説
⑵　Ａのはじめの体積を 8 とすると
ＡとＢが同じ体積なので
（8 ＋ 15）÷ 2 ＝ 11.5 →Ａ，Ｂ
23
23
なので，Ａの深さ× 16 ＝ 12 × 16 ＝ 17.25cm
●ポイント●
1ℓ＝ 1000cm3
答　17.25cm
練習４
1 分あたり 0.3ℓ
⑵　27 分後までの水の量は 300 × 27 ＝ 8100cm3 なので
体積÷底面積＝深さ（仕切り板の高さ）
◎図よりしっかり文章内容を理解させる。
●ポイント●
水の量で比べるのではなく，すきまの空間の容
積を比べて解く。
＝ 8100 ÷ 675 ＝ 12cm
答　12cm
⑶　Ａの位置がたまるのが㋐分後なので
20 × 15
12
底面積 ×深さ＝ 3600
3600 ÷ 300 ＝ 12 分後
答　8：15
8：11.5 ＝ 16：23
13500 ÷ 45 ＝ 300cm3
答　毎分 0.3ℓ
例
Ａ：Ｂの体積の比→ 4 × 12：9 × 10 ＝ 8：15
Ａの水の深さの比＝体積の比より
よって，1 分あたりの水の体積は
解
答　750cm3
練習３
⑴　図 2 より深さ 20cm を 45 分で入る事が分かる。
の
⑵　全体で 1650cm3 なので
5
1650 × 11 ＝ 750cm3
図 2 の空間より 4 × 4 × 3.14 × 10 ＝ 502.4
図 3 の空間の底面積　8 × 8 × 3.14 ＝ 200.96
502.4 ÷ 200.96 ＝ 2.5cm（空間の部分の高さ）
答　12
20 － 2.5 ＝ 17.5cm
答　17.5cm
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
3
②いろいろな水量の変化
▼指導ページ　P45 ～ 52 ▼
指導のねらい
★水の入った容器に物をしずめたとき，深さの変化を読みとり，物の体積などを求めさせる。
★水の入った容器をかたむけたときの水の深さや，残った水の残量を理解させる。
◎断面図を使用し，こぼれた水や増加した水の量を，
授
わかりやすく説明する。
例題１　水の入った容器に石をしずめる
【基本１，２】
面積図　①＝②
●ポイント●
増加量＝入れた物の体積
業
●ポイント●
底からうかした場合
元の高さ
①
②
⑵　こぼれた水の量＋増加量＝入れた物の体積
展
例題２　水の入った容器に角柱を立てる 【基本３，４，練習１～３】
◎断面図により底面積の減少を理解させる。
◎傾けた時のようすをしっかり図示する事で理解させる。
●ポイント●
底につけた場合
開
例題３　水を入れた容器をかたむける 【基本５，６，練習４～６】
●ポイント●
・傾ける前の断面積＝傾けた後の断面積
①
・こぼれてなくなった部分の断面積×奥行
面積図　①＝② 元の高さ
＝こぼれた水の体積
②
例
基本１
練習２
◎円柱をしずめるが，角柱と同様に考えさせる。
⑴　底面積×増加した深さ＝物の体積より
x ×（18.5 － 16）＝ 600
●ポイント●
面積比を使うと簡単にとける。
600 ÷ 2.5 ＝ 240cm²
答　240cm²
重
⑵　まず容器内で，20 － 16 ＝ 4cm 増加した深さ
4 × 240 ＋ 40 ＝ 1000cm³
答　1000cm³
要
基本３
⑴　断面図
cm
問
元の高さ
図より，
②
20 × 7 ＝ 140 × x
x ＝ 1cm
① 7cm
↓
7 ＋ 1 ＝ 8cm
140cm 20cm2
2
題
答　8cm
⑵　断面図
の
解
図より，
元の高さ
cm
20 × 3.5 ＝ 140 × x
②
x ＝ 0.5cm
↓
① 3.5cm
説
8 － 0.5 ＝ 7.5cm
140cm2 20cm2
答　7.5cm
基本６
⑴　断面図
⑴　まず，底面積の比
大
小
4 × 4 × 3.14：2 × 2 × 3.14 ＝ 4 ：1 となる。
断面図
図より
cm
元の高さ
3cm
①の面積＝②の面積
②
①⇒ 1 × 3
②⇒ 4 × x
①
単位あたりの量
答　0.75cm
1 × 3 ＝ 4 × x，x ＝ 0.75cm
⑵　大④　小①とおいて考える
底面積
水の体積④× 3 ＝⑫　水の深さ⑫÷（④－①）＝ 4cm
答　2cm
よって，3 × 2 － 4 ＝ 2cm
練習６
⑴　●ポイント●
水の入った直方体や立方体の容器を底面の一
点を頂点として傾けたとき，水面は平行四辺形
となる。
◎上記の知識がないと解答できないので，確実に理解
させる。
AP ＋ RC ＝ BQ ＋ SD
（このとき水面は平行四辺形となる）
答　3cm
なので，4 ＋ 6 ＝ 7 ＋ x，x ＝ 3cm
⑵　傾いた立体と同じ形を重なるように立体図をつくる。
例
4cm
10cm
①
16cm
→
cm
6cm
②
16cm
16cm
4cm
図より，10 × 16 ＝（x ＋ 16）× 16 ÷ 2
x ＝ 4
答　4cm
3cm
7cm
8cm
6cm
図より，
8 × 8 × 10 ÷ 2
＝ 320cm³
8cm
答　320cm³
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
4
①つるかめ算と面積図の利用
▼指導ページ　P53 ～ 60 ▼
指導のねらい
★ 3 つの量のつるかめ算を理解させる。
★面積図を利用して複雑なつるかめ算を解く。
◎面積図を利用させることで目でみてわかりやすいつ
授
か た ま り と し て，（80 × 1 ＋ 120 × 3）÷ 4 ＝ 110 円
るかめ算の解法を身に付けさせる。
のあたらしいものをつくる。
例題１　つるかめ算と面積図
業
【基本１～３】
◎面積図をつくるときにたて，横それぞれなにをおく
開
例題３　3 つの量のつるかめ算と面積図⑵ 【基本４，５，練習１，２】
◎ 3 種類のものをつるかめ算で解くときは，3 本の直方
かをはじめに決定させる。
※大きな長方形から空間をつくる方法と，2 本の長方形
展
例題２の⑵のように 80 円と 120 円のペンを 1 つの
からはみ出した部分をつくる方法の 2 通りがあるが，
どちらかを決めて指導すると理解させやすい。
体をつくり，はみ出た部分を利用して解く方が理解
させやすい。
例題３の⑵の場合は必ず表を利用する。
例題２　3 つの量のつるかめ算と面積図⑴ 【基本４，５，練習１，２】
◎個数の比がでているときは，それぞれの割合を利用
してまとめること。
例
基本４
⑴　合計からわかっている金額を引いて残りを考える。
590 － 80 ＝ 510（40 円，50 円の 11 本分）
（50 × 11 － 510）÷（50 － 40）＝ 4 本
答　4 本
⑵　80 円と 50 円で 2：3 で買うので
重
（80 × 2 ＋ 50 × 3）÷（2 ＋ 3）＝ 62 円のあたらしいも
のを考える
62 円と 40 円をあわせて 12 本買うと 590 円とする。
要
（62 × 12 － 590）÷（62 － 40）＝ 7 本
答　7 本
基本６
面積図をしっかり書かせる
問
たて→金額　横→個数
㋐
180 円のところから 240
㋑
円に向かい横線を引かせ
題
の
200円
180円
③
20個
240円
④
る。200 円のはみ出た部
分を㋐，240 円のはみ出
4200 － 180 × 20 ＝ 600 →㋐＋㋑
80円
㋐，㋑のたてはそれぞれ 20 円，40 円なので
40円
600 ÷（200 ×③＋ 60 ×④）＝ 2 個となり
答　6 個
20 －（2 ×⑦）＝ 6 個
基本７
説
例
⑵　5 × x ＋ 8 × y ＝ 180 にあてはまる数字を表にまと
める。
x
4
12
20
28
y
20
15
10
5
答　4 通り
㋐
100円
⑤
37本
④
練習２
それぞれのお茶 1g あたりの金額を求める。
◎あたらしいものをつくり出す例題１⑵の方法を使う。
㋐， ㋑ の た て は そ れ ぞ れ 40 円，
60 円なので，
1320 ÷
（40 ×⑤＋ 60 ×④）
＝3本
図より斜線部の合計金額は
450円
変化のしかたに気が
作成できる。
2800 － 40 × 37 ＝ 1320 円
したがって，①あたり 3 本なので 37 －
（3 × 9）
＝ 10 本
答　10 本
練習４
●ポイント●
こ の と き，x や y の
つかせると表は早く
㋐＋㋑
㋑
た部分を㋑とおく。
200 円のケーキの個数を③とすると，
解
⑴　Ａ　1g あたり 500 ÷ 100 ＝ 5 円
Ｂ　1g あたり 700 ÷ 100 ＝ 7 円
これを 2：3 の割合でまぜるので
（5 × 2 ＋ 7 × 3）
÷
（2 ＋ 3）
＝ 6.2 円のあたらしいもの
これが 100g あるので，6.2 × 100 ＝ 620 円
答　620 円
⑵　Ｃ　1g あたり 900 ÷ 100 ＝ 9 円
とあたらしいもの 1g あたり 6.2 円で考える。
2
（800 － 6.2 × 100）÷（9 － 6.2）＝ 64 7（g）
実際には C のお茶 180g 使われたので
180 ÷ 64 2 × 100 ＝ 280g
答　280g
7
練習３
⑴　80 円と 100 円の代金が同じになるときは，代金の逆
比が本数の比になるので，
80 円の本数：100 円の本数＝ 5：4（ここで面積図）
たて→金額　横→本数
50円
50円
100円
2600 － 50 × 18 ＝ 1700
500円
50 × y ＋ 450 × z ＝ 1700
50 でわると
y ＋ 9 × z ＝ 34
これを成立させる y と z は（25 ，1）
（16 ，2）
（7 ，3）で
ある。このとき x が 1 以上になるのは（7 ，3）しかな
いので，50 円 8 枚　100 円 7 枚　500 円 3 枚となる。
答　8 枚
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
4
②条件整理と推理の利用
▼指導ページ　P61 ～ 68 ▼
指導のねらい
★あたえられた条件を整理させ，大小や位置を確定させる。
★あたえられた条件を図や表に整理させ，肯定，否定条件から結論を導かせる。
◎図や表を必ず使うことでわかりやすく説明する。
授
業
⑵　2 人の当選者を選ぶので 36 ÷（2 ＋ 1）＝ 12
例題１　大小関係を整理する 【基本１，２，練習１～３】
12 票に 1 票加えるので，12 ＋ 1 ＝ 13 票でよい
◎問題文を理解させ，必ず図示する。
すい
例題３　表を作って結論を推 理する 【基本６，７，練習５，６】
●ポイント●
・会話の中から確定条件を見つける。
◎この系統は肯定・否定条件をしっかり理解させ表に
まとめさせないと，生徒が頭で解き，誤答すること
・確定条件から否定される順位や場所を消していく。
が多いので注意する。
・解答後に題意と再度適合させる。
展
●ポイント●
・表作成のとき，確定条件から肯定・否定の○×を
例題２　選挙の投票に関する問題 【基本３，５，練習４】
つけていくこと。
◎あまりの使い方に注意させる。
開
例
・文章の並んでいる順番には気を取られないこと。
●ポイント●
確実な当選票数＝投票数÷（当選者＋ 1）
これに 1 を加える
基本２
練習２
⑴　㋐～㋓まですべて確定条件なので，A と E が関連し
⑴
ている中で㋐，㋑，㋒の文章より，
㋐
Ａ
㋑
Ｂ
要
㋒　Ｅ
Ｅ
題
答　Ａ
㋓　Ｅ
基本３
39 ÷（1 ＋ 1 ＝ 19 あまり 1）
説
例
基本６
答　11m
⑴　124 ÷（2 ＋ 1）＝ 41 あまり 1
答　42 票
41 ＋ 1 ＝ 42 票
⑵　90 票まで開票されているので，
124 － 90 ＝ 34 票が残りの票数
さらに，一番近い得票数のＤに勝てばよいので，
Ｃ＋Ｄ＋残りから 1 人を選ぶ形になるので，
（35 ＋ 8 ＋ 34）÷（1 ＋ 1）＝ 38 あまり 1
必ず表をつくること。
4
①
×
×
○
①
×
⑵　図よりＡを基準に考えると
問題中の表より，ＣはＢ以外の 3 人に勝てばよい。
19 ＋ 1 ＝ 20
3
×
○
×
①
×
答　Ｂ
図より，ＥＤＢＣＡの順なのでＢ
練習４
答　Ｃ，Ｅ，Ｂ，Ａ，Ｄ
2
○
①
×
×
②
×
Ｃ
4 ＋ 3 ＋ 4 ＝ 11m
Ｃ
＋ 1
1
①
Ａ ×
Ｂ ①×
Ｃ ②×
Ｄ ②○
Ｂ
＋1
＋ 6
答　20 票
解
Ｃ
Ｄ
㋓
Ａ
当選票数＝投票数÷（当選者数＋ 1）に 1 を加える。
の
Ｄ
＋ 4
＋ 13
⑵　上記の図に㋓の文章より
問
Ａ
＋3
㋑　Ｄ
㋒　Ｄ
Ｃ
＋4
＋3
重
㋐
38 ＋ 1 ＝ 39 票で確定なので，残り 39 － 35 ＝ 4 票
Ａの会話より①がうかがえる。
Ｃの会話より②がうかがえる。
Ｄの会話で残りをうめる。
図のように会話からうまる穴を確実にうめていくこと。
答　Ａ　2 位，Ｂ　3 位，Ｃ　4 位，Ｄ　1 位
答　4 票
練習５
◎うそつき問題は，それぞれの会話がうその場合を表
にして，矛盾点を見つける。
Ａがうそならば
1
2
3
Ａ × × ○
Ｂ × ○ ×
Ｃ × × ○
Ｂがうそならば
1
2
3
Ａ ○ × ×
Ｂ × × ○
Ｃ × ○ ×
この時点で，Ｂがうそで成立するのでＢがうそつき
答　Ｂ
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
5
第 1 回～第 4 回のまとめ
▼指導ページ　P69 ～ 74 ▼
指導のねらい
★第 1 回～第 4 回の学習内容の定着
★月例テストの準備・対策
2　学習回の内容と基本問題，練習問題との対応
1　第 1 回～第 4 回の学習内容の確認
授
業
展
開
第1回
第1回
①三角形の面積の比
①基本問題１～３
練習問題１
②三角形の面積の比の利用
②基本問題４，５
練習問題２
第2回
第2回
①仕事算
①基本問題６，７
練習問題３
②こさと比の利用
②基本問題８
練習問題４
第3回
第3回
①水量の変化と比の利用
①基本問題９～ 11
②いろいろな水量の変化
②基本問題 12 ～ 14
練習問題５
第4回
第4回
①つるかめ算と面積図の利用
①基本問題 15
②条件整理と推理の利用
②基本問題 16
練習問題６
例
基本１
練習２
⑴　三角形 ABD と三角形 ADC の高さは等しいので，底
⑵ 三 角 形 ABC ＝ 96cm2 よ り， 三 角 形 ABC と 三 角 形
辺の比が面積の比となる。→ BD：DC ＝ 2：3
答　2：3
5
⑵　三角形 ABD：三角形 ABC ＝ 2：5 → 90 × 2 ＝ 225cm2
重
要
答　225cm2
基本６
題
の
解
説
⑴　1 日の仕事量の比は，かかった日数の逆比となるので
1
1
A：B ＝ 3 ： 6 ＝ 2：1
答　2：1
⑵　A さんを基準に考えると 2 × 3 ＝ 6 が全部の仕事量
答　2 日
A，B合計（1日あたり）
基本８
⑴
5%
⑨
14%
3
そこで，双子山 D–BGE を考えると，BG：GE ＝ 3：1
1
より，24 × 4 ＝ 6cm2
答　6cm2
練習５
◎作図をして考える。
⑴
10cm
0.5cm
③
2%
9
立方体のうかせたすきま→②
10cm
3：9 ＝ 1：3
2cm
答　ア　1 ，イ　3
左
200 ÷ 0.5 ＝ 400
⑴　同じ量で底面積が違うとき，水の深さの逆比が底面
400 ＋ 100 ＝ 500
積の比となるので，
1
1
A：C ＝ 6 ： 13.5 ＝ 13.5：6 ＝ 27：12 ＝ 9：4
1
1
B：C ＝ 4 ： 6 ＝ 3：2
A
9
：
：
B
：
3
6
：
：
：
C
4
2 × 2
4 になり
答　9：6：4
⑴　水の深さの差×底面積＝入れたものの体積
⑵　1500 － 360 ×（20 － 16）＝ 60cm3
水があふれるまでの体積
①＝②になるので，
①＝ x × 0.5
②＝ 10 × 10 × 2 ＝ 200
右
答　500cm2
練習６
◎条件を理解させ，矛盾点をしっかり見抜かせる。
⑴　1 人しか正解がいないので，
①　Ａ，Ｂのどちらかが正解ならば，そのどちらかが
答　900cm3
答　60cm3
②　Ａ，Ｂのどちらも不正解で正直者ならば，Ｃは
うそつきで，正解だが不正解を選択。
答　不正解
⑵ ①　Ａ＝正直者　Ｂ＝うそ
Ｃ＝うそならば
↓
②　Ａ＝うそ　Ｂ＝正直者 うそをついて正解
③　Ａ＝うそ　Ｂ＝うそ　Ｃ＝正直者
①，②のことから不正解
答　5.2cm
水の合計
（18.5 － 16）× 360 ＝ 900cm3
左
②
右
8cm
うそをついているので，Ｃは正直者で不正解を選択。
⑵　（6 × 9 ＋ 4 × 6）÷（9 ＋ 6）＝ 5.2cm
基本 12
水の減った量→①
①
基本 11
9
例
双子山 E–ADB を考えると AD：DB ＝ 1：1 より，
三角形 ADE と三角形 EDB の面積は等しい。
なので，6 ÷（2 ＋ 1）＝ 2 日
問
ADE の面積比は，辺の比ではなく⇒辺×辺：辺×辺な
1
ので，（2 × 2）：（1 × 1）＝ 4：1 となり 96 × 4 ＝ 24（三
角形 ADE）
正解者が2人でるのでありえない
①，②よりＣの言ったことはうそ，正解
答　うそ，正解
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
6
①いろいろな数列
▼指導ページ　P75 ～ 82 ▼
指導のねらい
★すでに学習した数列の応用を学ぶ。
★整数を並べた表や三角形の規則を見つけて解く。
例題１　加える数が変わっていく数列 【基本１，練習４】
授
展
【基本３，５，練習５】
◎どのような数列かを見抜くために，1 番目から 2 番目
◎倍数が関係する数列のときは，公倍数に目をつける。
の差を考える。後は，問題に例示されているものを
例題を含め基本問題，練習問題で出てきた数列の形
確認し，加える数の変化に気づかせる。
業
例題３　あまりを考える数列
をしっかり定着させる事で応用力につなげる。特定
※等差数列の和の公式（差が 1 のとき）
の周期を板書で確認させる。
（1 番目の数＋最後の数）×並んでいる個数÷ 2
例題４　組に分けて考える数列⑵
例題２　組に分けて考える数列⑴
【基本２，４，練習１～３】
◎三角形の形にならべられた段差のある数列は，右は
じめの数に注目して解く。
●ポイント●
・組に分けて考えさせる。
開
【基本６，練習６】
・何組目の何番目かを考えさせる。
例
基本１
練習１
問題より差が 1 から順に増加する数列とわかるので，
2 ＋（1 ＋ 2 ＋ 3 ＋…＋ 14）＝ 2 ＋（1 ＋ 14）× 14 ÷ 2
初めの数　＝ 107
答　107
重
左から 3 つの数で 1 つの組ができている。
121
232
343
454
…
1組
2組
3組
4組
…
21 ＋ 2 ＝ 23 番目
と考えるので
答　26 番目
解
答　18
1
4
9
7
なので，分母 11 ，分子は 11 － 5 ＋ 1 ＝ 7 で 11
1 段目
2 段目
3 段目
答
練習５
7
11
題なので公倍数を使う。
16
4 段目 となっているので
5 段目は 5 × 5 ＝ 25 となる。
⑵　70 は 8 × 8 ＝ 64（8 段目右はし）のつぎの段
70 － 64 ＝ 6 → 9 段目の 6 番目
答　9 段目の左から 6 番目
例
（1 ＋ 2 ＋…＋ 10）
◎ 3 でも 4 でも割り切れないときは，倍数に関する問
⑴　右はしの数に注目すると
答　25
説
●ポイント●
1 ～ 10 までの整数の和は 55 を覚えておくと便利。
17 組目の 2 番目なので 18
基本６
の
⑵　60 番目なので，60 － 55 ＝ 5 → 11 組目の 5 番目
注意する（8 組目までは 3 個ずつある）
⑵　50 ÷ 3 ＝ 16 あまり 2 より，
題
答　23 番目
6 組までの個数
10 がでてくるのは 9 組目の 2 番なので，
3 ×（9 － 1）＋ 2 ＝ 26 組
問
6
7 は 7 組目の左から 2 番目となるので，
6 組目までの数→（1 ＋ 6）× 6 ÷ 2 ＝ 21
基本２
⑴
要
◎組に分けられる事を板書で示す。
1
2
1 3
2
1
⑴
…
1
2，2 3，3，3
1組
2組
3組
… となっているので
⑷　10 段目の右はし→ 10 × 10 ＝ 100
⑴　3 と 4 の最小公倍数 12 で割ってみる。するとあまり
が｛1 ，2 ，5 ，7 ，10 ，11｝の 6 個の周期となる。
1 ～ 100 までの数を考えるので，
100 ÷ 12 ＝ 8 あまり 4 となり 8 周期はあり
最小公倍数
さらに 4 つの数があまる事がわかる，4 つの数とは
97 ，98 ，99 ，100 なので，そのうち 3 でも 4 で割り
切れない数は｛97 ，98｝の 2 個だから
9 段目のはし→ 9 × 9 ＝ 81
6 ×　8 ＋　2 ＝ 50 個
1 周期の個数　周期　｛97 ，98｝
100 － 81 ＝ 19 個が 10 段目に並ぶので
（82 ＋ 100）× 19 ÷ 2 ＝ 1729
答　1729
答　50 個
⑶　1001 ÷ 12 ＝ 83 あまり 5 から 84 周期目にあること
がわかる。
84 周期の 3 番目にあるのが 1001 より
999 ，1000 はだめなので
→ 6 × 83 ＋ 3 ＝ 501 番目
答　501 番目
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
6
②規則性に関する問題
▼指導ページ　P83 ～ 90 ▼
指導のねらい
★複雑な数列の問題を，規則的に解けるようにする。
★フィボナッチ数列を理解し，問題を解けるようにする。
例題１　周期で増えていく問題
授
◎過去に学習した数列の総復習として，周期算，等差
業
展
【基本１，２，練習１，２，４】
先のあまり 1 ＋ 1 ＋ 2 ＝ 4
の公式，群数列の考え方は忘れやすいので注意して
4 ÷ 4 ＝①増加
おく。
○印が増加分なので 100 ＋ 25 ＋ 6 ＋ 1 ＋ 1 ＝ 133 本
例題２　複雑な規則で増えていく問題
【基本３，４，練習３】
例題３　フィボナッチ数列の利用 【基本５，６，練習５】
◎問題における条件を理解させる。
◎イタリア数学者フィボナッチにちなんだ数列，自然界
においても様々な形であらわれるフィボナッチ数列を
※ 4 本で 1 本と交換（条件）
教えると生徒には導入しやすい。
⑴　100 本買うと何本食べられるか。
例ひまわりの種
100 ÷ 4 ＝本増加
●ポイント●
前 2 つの項の和の並び＝フィボナッチ数列
次に，25 本に対する増加を考える
基本１
練習１
⑴　【別解】
⑴
34
39
1
34
1
1
4cm
20 本＝赤と白が 10 組より
答　731cm
赤と白を 15 本ずつつなぎ，最後に赤を 1 本つないだ
長さなので，
答　64cm2
答　148cm2
答　23 枚
⑴　1600 ÷ 120 ＝⑬あまり 40 円
13 本÷ 3 ＝④あまり 1 本
◎表をうめて，フィボナッチ数列だと確認できれば，
あとは数字をうめていく。
4 ÷ 3 ＝①あまり 1 本
（1 ＋ 1 ＋ 1）÷ 3 ＝①
⑵　50 ÷ 3 ＝ 16 あまり 2
16 本は交換分なので
50 － 16 ＝ 34
する。
1 枚目　50 円→残り 150 円なので表より 3 通り
100 円→残り 100 円なので表より 2 通り
よって，3 ＋ 2 ＝ 5 通り
34 本買えばよい→ 120 × 34 ＝ 4080
1 枚目　50 円→残り 200 円なので 5 通り
100 円→残り 150 円なので 3 通り
5 ＋ 3 ＝ 8 通り
答　①　5 ，②　8
金額
200 250 300 350 400 450 500 550 600
作り方
5
8 13 21 34 55 89 144 233
表より 233 通り
答　233 通り
答　4080 円
練習４
◎規則を理解させ，数列をつくらせてから判断させる。
⑴
250 円のときも同様に
答　19 本
13 ＋ 4 ＋ 1 ＋ 1 ＝ 19 本
⑴　200 円のとき，1 枚目を 50 円か 100 円かに場合分け
⑵
12 × 5 ＋ 4 ＝ 64cm2
条件→ 3 本で 1 本もらえる
基本５
例
忘れないこと。
練習３
答　16 本
説
㊟ 最 後 の 1 枚 を（2 × 2 ＝ 4）加 え
⑶　（280 － 4）÷ 12 ＝ 23 枚
15 ＋ 1 ＝ 16
解
4 × 4 － 2 × 2 ＝ 12cm2 増加
⑵　12 × 12 ＋ 4 ＝ 148
73 × 10 ＋ 1 ＝ 731
⑵　1130 ÷（34 ＋ 39）＝ 15… 35 赤のテープの長さ
の
2cm
2cm
最後だけ 1cm 長い 74cm となる。
要
1 つの周期で，
1
1 組で 34 ＋ 39 ＝ 73（cm）ずつ長くなる。
重
題
4cm
40
赤と白で 1 本ずつで 1 組とすると，
問
増加分
答　133 本
まず，100 本購入時の増加分
例
6 ÷ 4 ＝①あまり 2
数列，階差数列，群数列を再確認する。特に，等差
例題２のような問いには注意したい。
開
25 ÷ 4 ＝⑥あまり 1 →このとき，1 本あまりを残す。
1本
2個
2本
4個
3本
7個
4本
11 個
＋2
＋3
＋4
予想させる
答　11 個
⑵　⑴での法則（階差数列）なので
11 ＋ 5 ＝ 16 本
答　16 個
⑶　100 ＝ 2 ＋（2 ＋ 3 ＋…＋ 13）＋ 8
初項
階差の部分
よって，13 ＋ 1 ＝ 14 本
答　14 本
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
7
①いろいろな図形の面積の比の利用
▼指導ページ　P91 ～ 98 ▼
指導のねらい
★長方形の中にある三角形の面積を基準に様々な辺の比や面積を求めさせる。
★正六角形の分割図形の面積を求める。
◎三角形の面積公式を利用し，式の変形をすることで，
授
業
展
辺の比や面積の比を求められるようにする。
例題１　面積の公式と面積の割合
【基本１，２，練習１，２】
●ポイント●
①　2 つの三角形における底辺の比
面積
の比となる
高さ
②　2 つの三角形における底辺の比と高さの比が
わかる場合。
底辺の比×高さの比を 2 つの三角形で求める
と面積の比となる。
例題３　三角形の辺の比と面積の比
【基本５，６，練習３，４，６】
●ポイント●
・双子山を見つけ，底辺の比を面積の比にする。
・底辺が同じときの高さが垂直ではないときでも面
開
積の比から辺の比を求めることができる。
例題２　正六角形の比
例
●ポイント●
正六角形の 6 等分
①
②
【基本３，４，練習５】
①　正六角形の 6 等分
⑵　AD が底辺としたときの EF：FC を高さと見たてる
ことで面積の比が利用できる。
②　等積変形
③　辺比と面積比
基本１
⑴　三角形 ABF と三角形 BCE における底辺の比を求める。
18
12
答　5：2
3 ： 5 ＝ AF：EC ＝ 5：2
⑵　⑴より四角形 ABCD のたて，横の比が同じ単位で表
せるので，AF：EC：DE，DE ＝④と表す。
重
AF ： EC ： DE
5 ： 2
1 ： 2
5 ： 2 ： 4
要
同様に AB ＝⑥，AD ＝⑩より，FD：DE ＝ 5：4
答　5：4
⑶　辺の比から面積比を考えるので
問
題
（5 × 6）：（5 × 4）＝ 3：2
2
2
⑷　三角形 ABF × 3 ，18 × 3 ＝ 12cm2
答　3：2
答　12cm2
⑸　長方形 ABCD から
（三角形 ABF ＋三角形 BCE ＋三角
⑵　三角形 BDA と三角形 EDA を考える。AD を共通の
形 FED）
をひく。
の
長方形 ABCD：三角形 ABF の面積比
6 × 10：6 × 5 ÷ 2 ＝ 4：1
18 × 4 ＝ 72（長方形 ABCD）
解
72 －（18 ＋ 12 ＋ 12）＝ 30cm2
答　30cm2
基本６
1
⑴　双子山 B–CEA を考えると，120 × 3 ＝ 40cm2
説
答　40cm2
2
⑵　双子山 E–BDC を考えると，40 × 5 ＝ 16cm2
答　16cm2
例
練習２
⑴　三角形 AEF →底辺 AE ×高さ BF ÷ 2
＝ 6 × 4 ÷ 2 ＝ 12
三角形 AFD →底辺 AD ×高さ AB ÷ 2
＝ 8 × 8 ÷ 2 ＝ 32
12：32 ＝ 3：8
答　3：8
⑵　AF を底辺として，EG，GD をそれぞれ三角形 AEF
と三角形 AFD の高さと考える。
面積比＝高さの比なので 3：8
答　3：8
練習４
⑴　必ず線分 DE を引くように生徒に注意する。
三角形 ABC に対して，まず三角形 ADC を求め，そ
の後，三角形 ADC を求める。
三角形 ABC の面積を①とすると
3
3
双子山 A–BDC →①× 5 ＝ 2 →三角形 ADC
9
3 3
9
答
双子山 D–CEA → 5 × 8 ＝ 40
40
⑶　三角形 ABE と三角形 DBE の面積の比を考える。そ
の後 BE を底辺としたとき AF と DF を高さと考え，
面積比＝高さの比を使用する
2
双子山 B–CEA より，120 × 3 ＝ 80cm2
（三角形 ABE）
三角形 DBE ＝ 16cm2
だから三角形 ABE と三角形 DBF の面積比→ 80：16 ＝ 5：1
答　5：1
底辺とし，BF：FE を高さの比とする。
2
2
9
三角形 ABD → 5 なので， 5 ： 40 ＝ 16：9 答　16：9
練習５
◎六角形の面積を 6 分割することを定着させる。
1
⑴　三角形 ABM は三角形 ABC の 2 なので，
1
1
36 × 6 × 2 ＝ 3
答　3cm2
⑵　BC と ED を延長し，その交点を P とおく。
図より，
B
M
①
C
E
1
三角形 CPD → 36 × 6 ＝ 6cm2
辺の比と面積の関係より
D
②
三角形 MPE：三角形 CPD
＝③×2：②×1
＝ 6：2 ＝ 3：1
P
より四角形 MCDE：三角形 CPD ＝ 2：1（面積の比）な
ので，2：1 ＝ x：6x ＝ 12cm2
答　12cm2
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
7
指導のねらい
②面積の比と相似の利用
▼指導ページ　P99 ～ 106 ▼
★相似な三角形を見つけて，その比を利用し，辺の長さや面積を求める。
★補助線を引き，相似な三角形を作り，利用する。
◎この単元では，面積と比の総まとめなので，しっか
授
●ポイント●
三角形の面積比とともに，台形や四角形の面積
り作図をさせ，細かいミスをなくす。
例題１　平行線と相似な三角形【基本１，２，練習１，２】
比もしっかり解けるようにする。
①　相似な三角形を見抜く。
②　対応する辺の比を図に書く。
業
③　辺の比から面積比を求める。
●ポイント●
辺の比を○や△の記号を使い，しっかりと区別する。
展
例題３　補助線を引いて相似な三角形を作る⑵
【基本５，６，練習３，４】
◎補助線の引き方はさまざまあるので，各生徒の引き
方を注意しておく。
開
●ポイント●
例題２　補助線を引いて相似な三角形を作る⑴
【基本３，４，練習５，６】
◎例題のような台形に補助線を引くときは，平行四辺
例
◎　問題からまず，BE：EF：FC を書く。次に三角形
AGD と三角形 EGB，三角形 AHD と三角形 FHB の
相似も相似比とともに書く。
⑴　AD：EB ＝ AG：EG ＝ 3：1
要
問
題
の
解
説
AD：FB ＝ AH：FH ＝ 3：2
3
3
9
9
3 ＋ 1 × 3 ＋ 2 ＝ 20
答　20
⑵　三角形 AEF は四角形 ABCD に対して何分のいくつ
1
1
1
かを求めると， 3 × 2 ＝ 6 となるので，
1
9
11
6 ×（1 － 20 ）＝ 120（全体に対して）
四角形 GEFH
12 × 12
11
四角形 ABCD× 120 ＝ 13.2（cm2）
答　13.2cm2
基本３
⑴　A から BC の中点に向かって線を引く。その点を G
と す る。 そ の 線 と EF と の 交 点 を H と す る。 三 角 形
AEH と三角形 ABG は相似である。
BG ＝ 12cm，BG：EH ＝ 3：2
EH ＝ 8cm
よって，EF ＝ 8 ＋ 12 ＝ 20
答　20cm
⑵　AE：AB ＝（15 － 12）：（24 － 12）＝ 1：4
より，AE：EB ＝ 1：3
指導しやすい方法をとることがよい。
⑶　（上底＋下底）×高さの比を考えればよい。
3
｛（12 ＋ 15）× 1｝÷｛（12 ＋ 24）× 4｝＝ 16 倍
練習６
作図をさせるとわかりやすい。
⑴
A
3
倍
16
⑴　DG：GC を求めるには，三角形 DGH と三角形 CGF
の相似を考える。
三角形 ADH と三角形 ABF の辺の比は 3：1
⑤
D
四角形 ABCD
＝（5 ＋ 8）×（3 ＋ 2）＝ 65
3
三角形 ADE ＝ 5 × 3 ＝ 15
E
三角形 BCE ＝ 8 × 2 ＝ 16
2
三角形 CDE
B
C
⑧
＝ 65 －（15 ＋ 16）＝ 34
34
より，三角形 CDE は四角形 ABCDE の 65
34
390 × 65 ＝ 204cm2
答　204cm2
⑵
⑤
A
D
E か ら DC に AD と 平 行
な線を引く。DC との交点
を F と す る。D か ら BC に
G
E
練習２
BF：FC が 2：3 なので BF を②とする
1
1
2
BF × 3 ＝ DH →②× 3 ＝ 3
2
DH：FC ＝ DG：GC ＝ 3 ：③＝ 2：9
1
⑵　三角形 ABC の面積を 1 とすると，三角形 ADC ＝ 3
9
三角形 ADC × 11 ＝三角形 AGC なので
1
9
3
3 × 11 ＝ 11 ＝三角形 AGC
3
135 ÷ 11 ＝ 495cm2
答　495cm2
答　1：3
答　例
㊟　図形の外に相似な三角形を作ることもできるので，
形と三角形ができるように補助線を引く。
基本１
重
図形の内部に補助線を引くと理解させやすい。
B
⑤
H
②
③
F
C
AB と平行な線を引く。EF
と の 交 点 を G，BC と の 交
点を H とする。
台形の高さを 1 とすると，
（AD ＋ BC）× 1 ＝ 390 ，EF × 1 ＝ 210 より
（AD ＋ BC）：EF ＝ 390：210 ＝ 13：7
GF：HC ＝ 2：3
AE：EB ＝ DF：FC ＝ 2：1
答　2：1
答　2：9
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
8
指導のねらい
①比例と反比例のグラフ
▼指導ページ　P107 ～ 114 ▼
★正比例・反比例の式，グラフの表し方。
★いろいろなグラフの読み取り，式の表し方。
例題１　正比例のグラフ
授
業
【基本１，２，練習１】
例題３　いろいろなグラフ⑴
【基本５，６，練習１，４】
◎途中から傾きが発生するグラフのときは，x 軸の単位
◎グラフを表や式を用いて書かせる。
量あたり，y 軸はどのくらい増加したかを求める。
●ポイント●
・正比例の式は y ＝□× x
一定
・必ず原点を通る。
例題４　いろいろなグラフ⑵
【基本７，８，練習１～３，５】
◎文章の意味をしっかり理解させ，グラフを板書とし
展
例題２　反比例のグラフ
【基本３，４，練習１】
◎グラフを表や式を用いて書かせる。
開
て例示する。
●ポイント●
増える時間に対して，階段状に金額が増加する。
●ポイント●
・反比例の式は x × y ＝□
一定
・なめらかな曲線。
例
基本２
⑴　速さが毎分 100m なので，
練習２
（m）
2000
⑴　かかる料金の合計は，240 － 100 ＋ 140
始め 加算距離
道のり＝速さ×時間より，
140 ÷ 50 ＝ 2 あまり 40km
y ＝ 100 × x
重
原点を通るように書く。
題
答　650 円
答
0
10
20
（分）
加算される距離
x × y ＝ 12
100 ＋ 450 ＝ 550
（cm）
12
始めの距離
⑴　25cm を 20 分で燃えつきるので，
1
25 ÷ 20 ＝ 1 4 cm
6
6 12
2 1
答
基本５
0
6
⑵　残り 10cm まで燃えているので，
25 － 10 ＝ 15cm 燃えた。
1
15 ÷ 1 4 ＝ 12 分
6900 － 5100 ＝ 1800 円の料金
1800 ÷ 2 ＝ 900 → 1 時間あたりの料金
5 ～ 8 時間の 3 時間では，
解
900 × 3 ＝ 2700 円かかるので
5100 － 2700 ＝ 2400 円
答　2400
⑵　6 時 30 分－ 5 時間＝ 1.5 時間
説
例
2400 ＋ 1.5 × 900 ＝ 3750 円
はじめの5時間
答　1
12
（cm）
⑴　グラフより，8 時間～ 10 時間の 2 時間で
の
答　500km をこえて 550km まで
練習４
⑵　表をつくるとグラフを書
きやすくなる。
x 1 2 3 4
y 12 6 4 3
⑵　950 － 500 ＝ 450（加算金額）
450 ÷ 50 × 50 ＝ 450
⑴　面積が一定なので，
答え　x × y ＝ 12
問
500 ＋ 50 × 3 ＝ 650 円
⑵　正比例のグラフなので，
基本４
要
3 回加算
1000
答え　y ＝ 100 × x
答　3750 円
1
cm
4
答　12
⑶　グラフより，B は 10cm を 18 － 12 ＝ 6 分で燃えるので，
2
10 ÷ 6 ＝ 1 3 cm
2
1 3 × 18 ＝ 30cm
答　30cm
⑶　7500 － 2400 ＝ 5100
練習５
2
5100 ＝ 900 × x，x ＝ 5100 ÷ 900 ＝ 5 3
2
2
5 ＋ 5 3 ＝ 10 3 答　10 時間 40 分
基本８
⑵　Ｂの基本料金のときにあるＡと差を考えて，その差
⑴　1m5cm → 105cm
Ａ　2500 ＋ 30 ×（120 － 80）＝ 3700
Ｂ　4000
4000 － 3700 ＝ 300 円分の差
105 － 60 ＝ 45cm
300 ÷ 10 ＝ 30 分
700円の料金
45 ÷ 20 ＝ 2 あまり 5cm なので，3 回加算される。
700 ＋ 150 × 3 ＝ 1150 円
を 1 分 10 円ずつ縮める。
答　1150 円
120 ＋　30 ＝ 150
比べたときの時間
差がつまる時間
答　150 分
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
8
指導のねらい
②仕事算　ニュートン算
▼指導ページ　P115 ～ 122 ▼
★単位時間あたりの仕事の量の比から仕事算を解く。
★ニュートン算の考え方を理解し，問題を解く。
例題１　のべの利用
授
業
展
【基本１，２，練習１】
◎それぞれの総量（時間×台・個）の逆比を利用する。
●ポイント●
①　合計量〈のべ（量）〉を求める。
②　総量をなくすための時間でわる。
（単位時間あたりの量を求める）
②　条件に基づいてのべから計算する。
例題２　ニュートン算⑴
③　条件に基づき，減少量（単位時間）を求める。
【基本３，４，練習２】
◎特珠算の中でもニュートン算は，理解させづらい。
板書にて，図示をしっかりすることや，時間毎に表
開
●ポイント●
①　時間経過後の総量を求める。
を作るなどして，注意深く指導していく。
例題３　ニュートン算⑵
【基本５，６，練習３～６】
◎線分図を使い，始めの人数を理解させる。
●ポイント●
例題３では，1 つの窓口で 1 分間に入場できる人数
を①とおくこと。
例
重
基本１
練習２
⑴　Ａ→ 6 台，8 時間⇒ 6 × 8 ＝ 48
⑴　入場者の総量を求める。
Ｂ→ 10 台，6 時間⇒ 10 × 6 ＝ 60
90 ＋ 15 × 30 ＝ 540 人
Ａ：B →（逆比）→ 5：4 の仕事量
540 ÷ 30 ＝ 18 人（1 人あたりの減少人数）
のべ→ A：5 × 6 × 8 ＝ 240
18 ÷ 3 ＝ 6 人
240 －（5 × 4 ＋ 4 × 4）× 3 ＝ 132（残り）
Ａ
Ｂ
時間
答　6 人
⑵　1 分あたりの減少人数（5 ヶ所での）
132 ÷（5 × 2 ＋ 4 × 3）＝ 6 時間
要
問
題
6 × 5 － 15 ＝ 15 人
答　6 時間
⑵　Ａ，Ｂを 8 時間 24 分使うとしたらのべは，
答　6 分
5台 3台
24
4
（5 × 5 ＋ 4 × 3）× 8 60 ＝ 310 5
4
9
310 －
240 ÷（4 × 3）＝ 5 10 時間
5
答　5 時間 54 分後
B － A ＝ 40 － 15 ＝ 25ℓ
⑵　総量を 1 分あたりの減少量でわる。
315 － 252 ＝ 63 人分増加
答　18 分
練習５
◎本格的なニュートン算である。
200 ÷ 25 ＝ 8 分
8 台で 20 時間＝ 30 × 8 × 20 ＝ 4800（ℓ）
12 台で 12.5 時間＝ 30 × 12 × 12.5 ＝ 4500（ℓ）
4800 － 4500 ＝ 300（ℓ）は泉から 20 － 12.5 ＝ 7.5 時間
基本６
にわき出した水量だから，泉からは 1 時間にわき出
⑴　3 台，70 分と 5 台，30 分のくみ出し量の差
例
5 × 63 ＝ 315 人を減少させた
⑵　252 ÷（5 × 3 － 1）＝ 18 分
1分間の減少数
⑴　1 分間でどれだけ減少するかは
答　8 分
説
⑴　1 時間 3 分＝ 63 分
答　毎分 1 人
答　25ℓ
解
練習４
63 ÷ 63 ＝ 1
基本３
◎やさしい問題なのでしっかり理解させる。
の
90 ÷ 15 ＝ 6 分
した水量は　300 ÷ 7.5 ＝ 40（ℓ）
12 × 70 － 12 × 30 ＝ 480ℓ
1 台のポンプで 1 分間にくみ出す量を①とすると
3 台，70 分→①× 3 × 70 ＝ 210
はじめに泉にある水量は 4800 － 40 × 20 ＝ 4000（ℓ）
18 台のポンプを使うと 1 時間あたり
18 × 30 － 40 ＝ 500（ℓ）くみだせるので
5 台，30 分→①× 5 × 30 ＝ 150
4000 ÷ 500 ＝ 8（時間）で空になる
480 ÷（ 210 － 150 ）＝ 8ℓ＝①
答　8ℓ
答　8 時間
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
9
第 6 回～第 8 回のまとめ
▼指導ページ　P123 ～ 128 ▼
指導のねらい
★第 6 回～第 8 回の学習内容の定着
★月例テストの準備・対策
2　学習回の内容と基本問題，練習問題との対応
1　第 6 回～第 8 回の学習内容の確認
授
業
展
第6回
第6回
①いろいろな数列
①基本問題１，２
練習問題１
②規則性に関する問題
②基本問題３，４
練習問題２
第7回
第7回
①いろいろな図形の面積の比の利用
①基本問題５～７
練習問題３
②面積の比と相似の利用
②基本問題８，９
練習問題４
第8回
第8回
①比例と反比例のグラフ
①基本問題 10 ，11
②仕事算　ニュートン算
②基本問題 12 ～ 14
練習問題５
開
例
基本１
⑵　三角形 HGF と三角形 CGB は相似なので
問題の数の並びから差が 1 ，2 ，3 ，…となっている。
⑴　35 ＋ 8 ＝ 43
答　43
35の手前の差が7より
⑵　40 番目は差が 39 か所できるので，
7＋
（1 ＋ 2 ＋…＋ 39）
＝7＋
（1 ＋ 39）
× 39 ÷ 2 ＝ 787
重
要
答　787
基本３
問
題
（
●ポイント●
フィボナッチ数列→表をつくる
答　34
基本７
●ポイント●
底辺をどこにするか決定し，辺の比を高さの比
として考える。
⑴　三角形 EBC と三角形 EFC を考えると，EC を底辺と
し，面積の比→ BG：GF となる。
の
△ EBC の面積→ 8 × 6 ÷ 2 ＝ 24
解
答　3：1
⑵　三角形 EBF と三角形 CBF → BF を底辺として面積比
三角形 EBF
→四角形 ABCD －（三角形 ABC ＋三角形 BCF ＋三
説
角形 EFD）
よって，1：1
答　1：1
基本９
1
2
3
3，3，3
…… と直して考える。
7
⑴　9 は，9 組，7 番目より（1 ＋ 8）× 8 ÷ 2 ＋ 7 ＝ 43
8組目までの数
答　43 番目
⑷　120 番目は 15 組 15 番目〈⑶より〉なので，各組の数
の和の仕組みを考える。
1
12
2
1
22
……
4組
1
1
のように 2 の差があるので，1 ＋　×
2 （15 － 1）＝ 8
1組
2組
3組
1
よって，（1 ＋ 8）× 15 ÷ 2 ＝ 67 2
（始め＋終わり）×個数÷2＝和
練習５
15組の数の和
答　67
1
2
⑴　1 日 1 頭の食べられる草の量を①とする。
（50 × 30 ×①－ 80 × 12 ×①）÷（30 － 12）＝
1 日に草がはえるので 30 頭
⑴　相似な三角形を発見させる。
答　30 頭
三角形 CDE と三角形 CFH は相似なので
⑵　はじめの草の量　12 日間の総量－ 12 日分のはえた量
CD：CF ＝ DE：FH
9：6 ＝ 3：2 ＝ 8：FH
1
8÷3×2＝5 3
1
2
2，2
1
●ポイント●
総量の差÷日付の差＝ 1 日の増加量
＝ 48 －（12 ＋ 16 ＋ 4）＝ 16
三角形 BCF → 8 × 4 ÷ 2 ＝ 16
例
）
◎ 1 のあつかいを分数とあつかえるかに注意。
1
△ ECF の面積→ 4 × 4 ÷ 2 ＝ 8
よって，24：8 ＝ 3：1
）（
練習１
⑴　前 2 項の和が指定された項となることから
13 ＋ 21 ＝ 34
FH：BC ＝ HG：GC ＝ 4：9
1
5 3 ：12
答　4：9
⑶　EH：HC ＝ 3：6 ＝ 1：2
4
EG ＝ EH ＋ HC × 13
9
GC ＝ HC × 13 より
4
9
EC：GC ＝ 1 ＋ 2 × 13 ： 2 × 13 ＝ 7：6
答　7：6
①× 80 × 12 － 12 ×＝ 600
答　5
1
cm
3
600 ÷（60 － 30）＝ 20 日
答　20 日
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
10
指導のねらい
①速さと比
▼指導ページ　P129 ～ 136 ▼
★速さに関する 3 公式より，比を求めてそれを利用して速さ，道のり，時間を求める。
★比の積・商を利用して，速さに関する比を求める。
授
例題１　速さ一定　道のりの比と時間の比
例題３　道のり一定　速さの比と時間の比
【基本１，２，練習１】
◎速さが一定であるときに，残りの比を求めさせる。
●ポイント●
・道のり一定⇒速さの比＝時間の逆比
●ポイント●
・速さ一定⇒道のりの比＝時間の比
業
【基本５，６，練習３】
速さの逆比＝時間の比
・単位をしっかりあわせる
例題４　速さと比の積・商　3 公式と比の用い方の確認
展
例題２　時間一定　道のりの比と速さの比
開
◎速さに関する 3 公式を再確認させる。
【基本３，４，練習２】
●ポイント●
・時間一定⇒道のりの比＝速さの比
例
練習２
⑴　時間が一定であることを見抜かせる。
●ポイント●
・速さ一定⇒道のりの比＝時間の比
Ａの道のり 100m，Ｂの道のり 80m，Ｃの道のり 75m
80：75 ＝ 16：15
⑴　ＡＢ間　15 分
100 － 100 ÷ 16 × 15 ＝ 6.25（m）
ＢＣ間　25 － 15 ＝ 10（分）
15：10 ＝ 3：2
答　3：2
⑵　ＡＢ間の距離：ＢＣ間の距離＝ 3：2
ＢＣ間の時間⇒ 6 分
9 ＋ 6 ＝ 15（分）
答　15 分後
問
題
基本３
解
例
x ＝ 19.2
19.2 － 14.4 ＝ 4.8（秒）
答　4.8 秒
●ポイント●
速さが 3 種類あることに注目。
⑴　兄が 600m 進む間に弟は 400m 進む
答　3：2
⑵　3：2 ＝　900 ：　x
兄の進む距離
弟の進む距離
x ＝ 600m
平地の速さを 1 とすると
2
4
1： 3 ： 3 ＝ 3：2：4
上り 下り
1
1
BC 間の下り，上りの時間の比は 4 ： 2 ＝ 1：2
平地は同じ速さなので下り，上りの時間の差⇒ 45 分
900 － 600 ＝ 300（m）
よって，帰り
（上り）
にかかった時間は 45 × 2 ＝ 90 分
答　300m
説
⑵　ＡとＣの速さの比⇒ 100：75 ＝ 4：3
練習４
●ポイント●
・時間一定⇒道のりの比＝速さの比
6：4 ＝ 3：2
の
答　6.25m
より，ゴールに到着するまでの時間の比は
1
1
逆比になるので 4 ： 3 ＝ 3：4
14.4：x ＝ 3：4
＝ 9 分：ＢＣ間の時間
要
●ポイント●
道のり
・速さの比⇒
の比に等しい
時間
道のり
・時間の比⇒
の比に等しい
速さ
・道のりの比⇒速さ×時間の比に等しい
基本１
重
【基本７，８，練習４～６】
基本７
AB 間は行きより 1 時間 33 分－ 45 分＝ 48 分
よって，3 × 48：4 × 45 ＝ 4：5
●ポイント●
道のり
・時間の比⇒
の比
速さ
5
2
⑴　150 ： 80 ＝ 4：3
ＢＣ間の距離
3
⑵　14 × 7 ＝ 6（分）
⑴よりＡＣ間の距離
答　4：5
練習６
⑴　速さの比⇒ 5：9
答　4：3
なので，5 × 3：9 × 1 ＝ 5：3
答　5：3
答　6 分
⑶　14 － 6 ＝ 8 →ＡＢ間の時間
150 × 8 ＝ 1200（m）
時間の比⇒ 3：1
答　1200m
5
⑵　歩いた道のり　1800 × 8 ＝ 1125（m）より
1125 ÷ 75 ＋（1800 － 1125）÷ 135 ＝ 20 分
走った道のり
答　20 分
歩いた道のり
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
10
②旅人算と速さの比
▼指導ページ　P137 ～ 144 ▼
指導のねらい
★速さの比を利用して旅人算を解く。
★速さの比を利用して往復の旅人算を解く。
例題１　出会いの旅人算と比 【基本１，２，練習１，２，６】
授
◎線分図により比を書かせ，旅人算（出会い）をうまく
A
開
2
5
弟 12 分
C
B
例題２　追いつきの旅人算と比
目に合うまでに進む距離は，
ＡＢ間の 2 倍だから，
5 × 2 ＝ 10（分）かかる。
2 回目に出会うのは，5 ＋ 10 ＝ 15 分後
答　15 分後
◎図を書き，速さの比＝距離の比を利用する。
家
⑴ 学校
770ｍ
3
770 × 3 ＋ 4 ＝ 330
答　330m
③
④
◎図を書き，速さの比＝距離の比を利用する。
駅
⑴ 家 300ｍ
ｍ
300：x ＝ 4：7
350ｍ
答　5：6
基本３
⑴
⑧
みほ8分
⑤
6km
Ａ 300ｍ
500ｍ
速さの比
⑥
みほ6分
お母さん：みほ
＝ 14：6 ＝ 7：3
Ｂ
弟
10分
1000ｍ
答　20 分後
⑭ 母6分
基本６
⑴
A
兄
x ＝ 20
分
答　525m
答　825m
6：x ＝ 3：10
⑩
x ＝ 525
⑦
⑵　300 ＋ 525 ＝ 825m
練習４
③
姉 6分
⑵
④
速さの比＝距離の比
420ｍ
350：420 ＝ 5：6
兄
（20 分）
⑴　10 ×（1 ＋ 2）＝ 30
答　30 分後
⑵　弟は 2 回目に会うまでに
500 × 3 ＝ 1500（m）進むから
ＡＢ間の距離は
答　7：3
1500 － 300 ＝ 1200
1 回目
（32 分後）B
答　1200m
練習６
⑴
2 回目
④
Ａ
弟
兄
図より，32 分× 3 ＝ 96 分→ 1 時間 36 分後
答　1 時間 36 分後
（5 ＋ 4）× 2 － 5 × 3 ＝③
6km
6 ÷ 3 × 4 ＝ 8（km）→ 8000m
答　毎分 250m
4
10 ②
分
8分
Ｂ
弟
x ＝ 12
⑵
8000 ÷ 32 ＝ 250（m）→毎分 250m
6
10 ③
x：8 ＝ 3：2
⑵　兄の 1 回目に出会うまでの道のりを⑤とする。
例
⑦
練習１
題
説
⑤
【基本３，４，練習５】
⑦
解
3分
基本１
重
の
B 3 分D
6分
例題３　往復の旅人算と比
【基本５，６，練習３，４】
◎図を書き，比を使って位置関係を整理して解くこと
が重要である。
Ｂ 1 回目に出会ってから 2 回
⑴ Ａ
600ｍ
●ポイント●
線分図を 2 本以上利用する。
⑵
問
答　3：2
C
8分
8分
（走る）
姉
⑴　時間一定なので，速さの比＝道のりの比
3 2
5 ： 5 ＝ 3：2
例
要
①
B
6分
A
妹
●ポイント●
距離と時間をしっかり図に表す。
3
5
兄 12 分
A
妹
（歩く）
姉
利用させる。
業
展
⑴
400ｍ
①
①＝ 400m
答　12 分後
③
②
③＝ 1200m
答　1200m
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
11
指導のねらい
①流水算
▼指導ページ　P145 ～ 152 ▼
★流水算の基本から応用までの演習。
★グラフを使った流水算の理解や比を使った速さを解く。
例題１　上り・下りの速さを求める 【基本１，２，５，６】
◎流れのある川を進む船の上り・下りの向きを間違い
授
業
上りの速さ
●ポイント●
上→下（下りの速さ）＝船の速さ＋川の速さ
下りの速さ
下→上（上りの速さ）＝船の速さ－川の速さ
例
●ポイント●
①　上・下の速さを求める。
②　船の速さ＝（上りの速さ＋下りの速さ）÷ 2
③　川の速さ＝（下りの速さ－上りの速さ）÷ 2
12 － 2.4 ＝ 9.6km　→　速さ
45
9.6 × 3 60 ＝ 36km
問
題
の
練習３
まさる君の上りの速さ　40 － 16 ＝ 24m/ 分
休まずに 40 分進むとすると　40 × 24 ＝ 960m
実際 800m なので，960 － 800 ＝ 160m の差
答　36km
⑵　下り→ 12 ＋ 2.4 ＝ 14.4
速さ
答　2 時間 30 分
基本３
●ポイント●
上・下の速さを求め，それぞれの速さを求める。
40
⑴　下り→ 20 ÷ 1 60 ＝ 12km
30
上り→ 20 ÷ 2 60 ＝ 8km
船の速さ
上りの速さ
川の流れの速さ
3km/時
下り← 1.5 ＝ 3 上り：下り＝ 1：1.5 ＝ 2：3 と考える
上り 2 ，下り 3 の速さとすると
（ 3 － 2 ）÷ 2 ＝流れの速さ＝ 0.5
1 ＝ 6km/時
＝ 3km/時
⑵　上り　15 － 3 ＝ 12
12km
答　時速 10km
⑵　（12 － 8）÷ 2 ＝ 2
基本７
◎　単位に注意させる。速さの問題で特に見のがす生
徒が多くいるので必ず確認する。
例
B
答　毎時 15km
答　時速 2km
説
A
30km
上り→①＝ 2 答　4 分間
⑴　（ 2 ＋ 3 ）÷ 2 ＝ 2.5 （静水時の速さ）
2.5 × 6 ＝ 15km/時
8km
下りの速さ
160 ÷ 40 ＝ 4 分間は止まっていた
速さ
練習４
1
36 ÷ 14.4 ＝ 2 2 → 2 時 30 分
（8 ＋ 12）÷ 2 ＝ 10
解
それぞれの速さを求めさせる。
【基本３～６，練習２～６】
⑴　A → B ⇒流れに上るので
要
川の速さ
◎　グラフから上り・下りの距離・時間を読みとり，
基本１
重
川の速さ
例題３　グラフから流水算を解く 【基本７，８，練習１】
例題２　静水時の速さ・川の流れの速さを求める
開
船の速さ
ないように図示をして指導する。
流れがある川を船が進行する問題⇒流水算
展
◎　線分図より理解させるとわかりやすい。
下り　15 ＋ 3 ＝ 18 なので，
1
30 ÷ 12 ＋ 30 ÷ 18 ＝ 4 6 → 4 時 10 分
答　4 時間 10 分
練習６
⑵　下り 12km/時　上り 8km/時
2
流れの速さ→下り①：上り 3 ＝ 3 ： 2 となる。
時速 12km
下りの速さ
上りの速さ
⑴　上り→ 5400 ÷ 45 ＝ 120m/分
3
時速 8km
2
図より，（12 － 8）÷ 5 ＝ 0.8
下り→ 5400 ÷（75 － 45）＝ 180m/分
12 － 0.8 × 3 ＝ 9.6km/時
（120 ＋ 180）÷ 2 ＝ 150
答　分速 150m
⑵　（180 － 120）÷ 2 ＝ 30km/分
答　分速 30m
答　時速 9.6km
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
11
②図形上の点の移動
▼指導ページ　P153 ～ 160 ▼
指導のねらい
★図形の同上を点が動くときの図形の面積変化を考える。
例題１　点の移動と面積の変化⑴
【基本１，
２，練習１～３】
業
展
◎点の移動は，始点の位置，速さを特に注意させ，移
動中の点を図示し，その位置での図形を認識させる。
●ポイント●
①　面積一致→高さが等しい（底辺が同じ）。
【基本３，４，練習２～４】
◎図形の周上を動く点で決まる図形の面積のグラフを
①　グラフの変化は，図形の頂点と対応する。
②　動点が同一辺上にあるとき，面積の変化のしか
◎グラフ上に図形の頂点をかき入れるなどして，場合
◎台形＝（上底＋下底）×高さ÷ 2 の公式を再確認→辺
の比を利用し，問題にあった長さを求めさせる。
●ポイント●
点の速さの違いに注意。
45 × 2 ÷ 12 ＝ 7.5
⑵　点 P と点 Q が重なったとき＝ 2 回目に等しくなる
AB 上→ A から 7.5cm 先
BC 上→ C から 7.5 前
点 P が点 Q に追いつけばよい→差 18 ＋ 24 ＝ 42
CD 上→ C から 7.5 先
42 ÷（4 － 1）＝ 14 秒後
DA 上→ A から 7.5 前の計 4 回
答　14 秒後
答　4 回
⑵　⑴より，BC 上の C より 7.5cm 手前なので
（12 × 2 － 7.5）÷ 3 ＝ 5.5
ACの間
グラフ上に頂点を記入する。
（cm2）
56
A
D
答　5.5 秒後
練習３
⑴
A 4cm D
3 秒後→ AP ＝ 3cm
PB ＝ 9cm
C
0
B
4
15
⑴　B → A まで 8cm を 4 秒で移動しているので
P
12cm
三角形 DPC の面積
＝台形　－　2 つの三角形
（4 ＋ 8）× 12 ÷ 2 ＝ 72
8÷4＝2
⑵　AD ＝ BC より，三角形 PBC の面積＝ 56cm2 なので
56 × 2 ÷ 8 ＝ 14
答　14cm
例
例題３　点の移動と面積の変化⑵ 【基本５，６，練習５】
どの辺上でも一定と考えると，
答　毎秒 2cm
説
答　AB　6cm，BC　12cm，CD　10cm，AD　4cm
⑴　三角形 APC の面積＝ 45cm2 のときは，高さ 12cm が
基本３
解
B
22
（秒）
⑴　三角形 APD と三角形 AQD の高さは一定なので，
要
の
12 D
10
0
練習１
答　3.6 秒後
題
C
基本１
18 ÷（1 ＋ 4）＝ 3.6 秒後
問
B
わけの意識を強く持つことが大切である。
AP ＝ QD になったとき→ AP ＋ QC ＝ 18cm
重
記号を書
き入れる
D 点→面積 12cm2 から AD × 6 ÷ 2 ＝ 12 ，AD ＝ 4cm
たは変わらない。
例
P
（cm2）
C
36
C 点→面積 36cm2 から AB × 12 ÷ 2 ＝ 36 ，AB ＝ 6cm
②　面積一致→同位置に点がある。
例題２　点の移動とグラフ
D
CD → 10 秒→ 10cm，BC → 12 秒→ 12cm
考えるとき，次の事柄が重要となる。
開
A
↓
授
⑴
⑶　（8 ＋ 14）÷ 2 ＝ 11
BA
AD
速さ
答　11
B
72 － 42 ＝ 30
C
4×3÷2＝6
8 × 9 ÷ 2 ＝ 36 42
答　30cm2
⑵　P が 1cm 動くと
三角形 APD は 4 × 1 ÷ 2 ＝ 2cm2 増え
三角形 PBC は 8 × 1 ÷ 2 ＝ 4cm2 減る
あわせて 2cm2 減る
基本６
よって，三角形 DPC は 2cm2 増える
⑴　長方形 ABCD を 2 等分するとき
答　2cm2
AP ＋ BQ ＝ 30cm
⑶　三角形 DPC の面積は，始め 4 × 12 ÷ 2 ＝ 24cm2 で，
30 ÷（3 ＋ 2）＝ 6
答　6 秒後
1 秒に 2cm2 増えるから，42cm2 になるのは
（42 － 24）÷ 2 ＝ 9 秒後
答　9 秒後
12
指導のねらい
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
①周回の旅人算と速さの比
▼指導ページ　P161 ～ 168 ▼
★円周上の旅人算を解く。
◎図や表を必ず使うことでわかりやすく説明する。
授
業
例題１　周回の旅人算と比⑴
【基本１，２】
開
◎今まで学習してきた旅人算や比を総復習していく。
問題の条件が複雑で理解しづらいが，板書にて図示
●ポイント●
同じ距離→時間の逆比＝速さの比
し，時間をおうことの 2 人の位置をしっかり確認さ
◎出会い算・追いつき算の復習となるので，旅人算の
総確認として取り組むこと。
展
例題３　周回の旅人算と比⑶ 【基本５，６，練習４～６】
せる。
●ポイント●
同距離の速さの逆比＝時間の比
例題２　周回の旅人算と比⑵ 【基本３，４，練習１～３】
●ポイント●
同じ距離→速さの和と速さの差の比は時間の逆比
①　それぞれの速さを求める（比の状態でよい）。
②　距離を求める。
例
③　条件にあわせて旅人算を使う。
基本３
（兄の速さ）と（兄と弟の速さの差）の比
1
1
＝ 24 ： 84 ＝ 7：2
よって，兄と弟の速さの比＝ 7：（7 － 2）＝ 7：5
⑴　池のまわりの道のりを○ m とすると
○÷（速さの和）＝ 6
○÷（速さの差）＝ 30
重
要
問
答　7：5
1
1
（速さの和）：（速さの差）＝ 6 ： 30 ＝ 5：1
Ａ君の速さ…（5 ＋ 1）÷ 2 ＝ 3
⑵　兄の速さを 7 とすると池のまわりの長さは，
24 × 7 ＝ 168
Ｂ君の速さ…（5 － 1）÷ 2 ＝ 2
2 人が出会うのは
2 人の速さの比…3：2
168 ÷（7 ＋ 5）＝ 14（分）
⑵　2 人の速さをそれぞれ 3 ，2 とすれば
⑶　兄が追いつくのは
池のまわりの道のりは
5 × 6 ÷（7 － 5）＝ 15 分後で
（3 ＋ 2）× 6 ＝ 30
7 × 15 ＝ 105 進んだところなので
105
5
ＡＢ間の道のりは全体の 168 ＝ 8
Ａ君が 1 周するのに
30 ÷ 3 ＝ 10（分）かかる
解
基本６
練習 4
⑴　妹が B 地点から始めに会った場所まで 15 分
⑴　同じ距離をつばさ 30 秒，あおい 42 秒なので
1
1
速さの比は， 30 ： 42 ＝ 7：5
1
池の周りの 3 の道のりを⑤とすると
姉が始めに会った場所から B 地点まで 9 分
この距離は同じなので
1
1
9 ： 15 ＝ 5：3（速さの比）
答　5：3
⑵　始めに会った場所から C 地点まで（2 人で 1 周分）姉
説
と妹ともに，9 ＋ 51 ＝ 60 分歩いているので
（5 ＋ 3）× 60 ＝ 480
姉　480 ÷ 5 ＝ 96 分
例
答　答　10 分
題
の
答　14 分後
答　3：2
妹　480 ÷ 3 ＝ 160 分
答　姉　96 分，妹　160 分
練習３
⑴　池のまわりの長さを○ m とすると
○÷（兄の速さ）＝ 24
○÷（兄と弟の速さの差）＝ 84 より
5
8
池の周りは⑤× 3 ＝⑮の距離
あおいが向きをかえてつばさと出会うまでは，
5
｛⑮－（⑦－⑤）｝÷（7 ＋ 5）× 5 ＝ 5 12
時間
速さ
5
5
5
5 12 もどっているので，5 12 － 5 ＝ 12 戻りすぎた
5
これが左に 20m なので，20 ÷ 12 ×⑮＝ 720m
答　720m
⑵　つばさの速さ　70 ÷ 30 × 60 ＝ 140m/分
よって，（720 － 20）÷ 140 ＝ 5 分後
答　5 分後
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
12
②速さと比の利用
▼指導ページ　P169 ～ 176 ▼
★通過算を距離や時間の比を使い考える。
★歩はばや歩数に関する問題を考える。
★動いている物の上を移動する問題を考える。
指導のねらい
例題１　通過算と比の利用
授
【基本１，２，練習１，２】
◎　距離に対する時間を比で表し，具体的な距離を求
【基本５，６，練習６】
◎道のり一定→時間の逆比＝速さの比
める。
業
例題４　流水算の考え方の応用と比の利用
●ポイント●
①　時間の比（条件における）を求める。
●ポイント●
・エスカレータの速さ
②　距離と時間の比を線分図で表す。
・歩く速さ
・エスカレータ＋歩く速さの和
展
開
の 3 つを正確に求める。
例題２　歩はばと歩数に関する問題【基本３，４，練習３～５】
◎速さと歩数と歩はばの関係を整理させる。
◎毎秒何段→具体的な速さと考える。
歩数と速さと歩はばの関係
かなり複雑にとらえやすいので必ず線分図で使いわ
かりやすくする。
①　距離が同じ→歩はばの比＝歩数の逆比
②　時間が同じ→速さの比＝（歩数×歩はば）の比
③　線分図を使うと理解しやすい
例
基本１
練習２
⑴　1 分 10 秒→ 70 秒（単位を合わせる）
⑴　時間の比＝距離の比　1 分 20 秒＝ 80 秒より，
30：70 ＝ 3：7
44：80 ＝ 11：20
⑵
①
160
鉄橋
列車
（930 － 330）÷（7 － 3）× 3 － 330 ＝ 120
距離の差
重
30 秒で進んだ距離
答　120m
基本４
要
問
⑴　距離が同じ→歩はばの比＝歩数の逆比
1
1
兄 3：弟 5 → 3 ： 5 ＝ 5：3
の
よって列車の長さは 11 － 9 ＝ 2
答　5：3
答　5：4
解
説
20 ×　3 ＝　60
歩はば
歩はば分の距離を先に進んでいる
答　720m
練習３
⑴　5：6 → 6：5（歩はばの比）
6 × 3：5 × 4 ＝ 18：20 ＝ 9：10
答　9：10
171 ÷（9 ＋ 10）× 9 ＝ 81
答　60 歩
答　81m
⑶　（別解）
基本５
81m を 135 歩で歩くので，171m ならば
⑴　エスカレーターの速さ：エスカレーターの速さ＋歩く速さ
1
1
24 ： 15 ＝ 5：8 より，
エスカレーターの速さ：歩く速さ＝ 5：3
81：135 ＝ 171：x → 135 × 171 ÷ 81 ＝ 285 歩
15 秒で 1 × 15 ＝ 15 段進む（歩いて上る段数）
15 ÷ 3 × 8 ＝ 40 段
答　40 段
⑵　エスカレーターの速さ：歩く速さの比は
例
したがって鉄橋の長さは 160 ÷ 2 × 9 ＝ 720
⑵　出会い算の考え方を利用し
60 ÷（5 － 4）× 5 ＝ 300（距離）
速さの差
300 ÷ 5 ＝ 60 歩
②
図より，列車の進んだ距離の差＝鉄橋の長さ
20 とすると，20 － 11 ＝ 9…鉄橋だけの距離
⑶　（別解）
題
トンネル
鉄橋のときの距離を 11 ，トンネルのときの距離を
⑵　兄が 3 歩進む＝弟が 4 歩進む（同じ時間）
5 × 3：3 × 4 ＝ 5：4
答　11：20
5：（3 × 2）＝ 5：6 よって，
2倍のぼる
エスカレーターの速さとエスカレーターと歩く速さの和
5：11
1
1
このときの時間の比は， 5 ： 11 ＝ 11：5 なので
10
10
24 ÷ 11 × 5 ＝ 10 11 秒
答　10
秒
11
止まってるとき
答　285 歩
練習６
⑴　144 秒　：　240 秒＝ 3：5（同じ距離の時間の比）
歩く＋動く歩道
動く歩道
1
1
3 ：　5 ＝ 5：3（速さの比）より
歩く＋動く歩道　動く歩道
歩く：動く歩道＝ 2：3
答　2：3
⑵　歩く＋動く歩道：動く歩道
→（3 ＋ 2 × 1.5）：3 ＝ 2：1 より時間の比は
1
2 ：1 ＝ 1：2 となる
4 ÷ 2 × 1 ＝ 2 分
答　2 分
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
13
指導のねらい
①いろいろな立体と投影図
▼指導ページ　P177 ～ 184 ▼
★複雑な立体の体積や表面積の求め方を理解させる。
★立体の展開図や投影図を考えて問題を解く。
例題１　複合立体と柱の求積 【基本１，２，練習１～４】
授
◎角柱として考えさせる。
【基本５，６，練習６】
◎立体の投影図をもとに，個数処理するときは，
●ポイント●
①　底面の位置を変えてみる
①　真上から見た図に考えられる個数を書く。
②　最も多い，少ないときのそれぞれを考える。
②　底面積×高さ＝円柱・角柱の体積
業
例題３　立方体を組み合わせた立体の投影図
●ポイント●
表面積→上・下・左・右・前・後の六方向
展
例題２　展開図を考えて解く問題 【基本３，４，練習５】
開
●ポイント●
①　どの面の展開図部分を利用するか考える。
◎立体表面の最短距離→展開図を考え，相似を利用
②　三角形の相似を利用し，長さを求める。
例
練習２
基本２
●ポイント●
全体をまず見て，直方体から三角柱を切り取っ
◎作図をして考える。
⑴
ℓ
た形であることを考えさせる。
重
底面
が，上，中段＋下段の円柱と考
上
⑴　直方体→ 8 × 5 × 5 ＝ 200
1
三角柱→ 3 × 4 ×　×
2 6 ＝ 36
中
下
高さ
200 － 36 ＝ 164cm3
要
答　164cm3
⑵　◎新しくふえた表面積を忘れずに。
答　198cm3
基本４
⑴　展開図を考える。
R
解
相似比を利用して
12
②
3
6
①
B
⑵
BR ＝ 2cm
同様に
練習５
底面の半径
⑴　側面の中心角＝ 360 ×
より
母線
3
360 × 18 ＝ 60°
答　60 度
⑵
A
左図のように△ ABB′は正三角形
60
になるので糸の長さは 18cm
18
答　18cm
B
B′
◎真上から見た図に下記のような列の個数を書き入れ
答　2cm
⑴　（ア，イ，ウ）
＝（2 ，2 ，2）
（2 ，2 ，1）
（2 ，1 ，2）
（1 ，2 ，2）
（1 ，2 ，1）の場合で
Q
12
④
3 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 6 ＝ 11
F 3
①
3 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 5 ＝ 10
3 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 4 ＝ 9 となる
QF：6 ＝①：
（①＋④）
真上
3
ウ
1
ア
イ
1
↑
3
↑
2
↑
1
←
←
←
3
2
1
答　9 個，10 個，11 個
QF ＝ 6 ÷ 5 ＝ 1.2
BQ ＝ 6 － 1.2 ＝ 4.8
答　452.16cm3
る処理ですると考えやすい。
B
6
例
6 × 6 × 3.14 × 4 ＝ 452.16cm3
練習６
BR：3 ＝②：
（②＋①）
より
説
柱と同体積なので，
では作られない。
6 × 5 ＝ 30 →増加部分
の
底面の半径 6cm，高さ 4cm の円
ことから求める方法の 1 パターンしか私立中学受験
3 × 6 ＋ 4 × 6 ＝ 42 →切り取り
210 － 42 ＋ 30 ＝ 198cm3
題
える。
◎円すいの側面上の最短距離の問題は正三角形である
（5 × 8 × 2 ＋ 5 × 5）× 2 ＝ 210 →直方体
問
回転した後の図は，左図となる
答　4.8cm
⑵　3 つの方向から 6 つずつの面が確認できるので，
（1 × 1）＋（6 ＋ 6 ＋ 6）× 2 ＝ 36cm2
答　36cm2
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
13
②影の問題
▼指導ページ　P185 ～ 192 ▼
指導のねらい
★影の長さから比を利用し，高さを求める。
例題１　太陽光による影
授
【基本１，２，練習２，３】
◎長さの単位に注意すること。相似な三角形を見つけ
例題２　街灯からのきょりと影の長さ
【基本３，４，練習１，４～６】
られるならば容易である。
●ポイント●
電灯光による影の長さ
●ポイント●
同条件（日の当たり方）ならば
A
業
電灯が人を照らすとき，影の長さと電灯から人
までの距離の比は一定である。
A
P
P
展
B
開
C
Q
B
R
△ ABC と△ PQR は相似
◎真横から見た図を書くとよい。
高さ：影＝ 3：4 となる
⑵　1.2：えみさんの影＝ 3：4
基本３
⑴
答　1.6m
6 ＋ 2 ＝ 8m
答　8 ｍ
5m
練習４
◎略図でわかりやすくする。
A
⑴
1.6：2.4 ＝ 2：3
4.9m
図より，
E
3.4 ＋ 1.6 ＝ 5
5.1m
B
答　5m
⑵
の
基本５
⑴　P
補線
E
説
4m
5m
2m
2m
D
A
5m
5m
A
2.5m
G F
1.4
C
図の E より垂直に BC へおろした点
7：2 ＝ AB：EG ＝ 4.9：EG，EG ＝ 1.4m
答　8.5m
⑵
側面で考える。
答　1.4m
A
□＝ 1 × 3 ＝ 3m なので
△ PER と △ EDA は 相 似 な
6m
R
Q
→ AE：EF ＝ 5：2
さらに△ ABF と△ EGF は相似となり
ので，
図より，
7
PR：ER ＝ EA：DA
D
＝ 4：5 ＝ 2：DA
2
DA ＝ 2.5
⑤
B
⑶
A
答　7.5 秒
なので
D
7.5：5 ＝ CD：6 ＝ 3：2 ＝ CD：6
答　9m
7.5 ÷ 1 ＝ 7.5 秒
△ ABC と △ DEC が 相 似
QD：QA ＝ BA：CD
CD ＝ 9
5：2 ＝ BE：3 ＝ 7.5m
②
C
E □m
△ QDC と△ QAB は相似なので，
Q
＝ 5：7
2
x：4 ＝ 17：8
底面で考える。
6m
ED：FC ＝ 1：1.4
D
↓
答　2.5m
B
①
3.4：1.6 ＝ 17：8
x ＝ 8.5
4m
似なので，
5
x ＝ 3.4
題
D
x＝6
棒の長さは
x：5.1 ＝ 2：3
⑵　C
1
△ AED と△ AFC は相
1.6m
例
答　4.8m
1.2 × 4 ÷ 3 ＝ 1.6m
x：5 ＝ 1.2：1
2m
8m
木の高さ：6.4 ＝ 3：4 より
6.4 × 3 ÷ 4 ＝ 4.8m
解
1.2
より，
6m
問
【基本５，６】
練習２
基本１
⑴
要
C
◎底面や側面での相似を利用して考える。
AB：BC ＝ PQ：QR
重
Q
例題３　いろいろな影の問題
図では BC，QR が影
例
AB：PQ ＝ AC：QC となる
B
⑤
□
②
C
E 2.4m
CE：EB ＝ 2.4：□＝ 2：5
□＝ 6m
答　6m
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
14
指導のねらい
第 10 回～第 13 回のまとめ
▼指導ページ　P193 ～ 198 ▼
★第 10 回～第 13 回の学習内容の定着
★月例テストの準備・対策
2　学習回の内容と基本問題，練習問題との対応
1　第 10 回～第 13 回の学習内容の確認
授
業
展
開
第 10 回
第 10 回
①速さと比
①基本問題１，２
練習問題１
②旅人算と速さの比
②基本問題３，４
練習問題２
第 11 回
第 11 回
①流水算
①基本問題６，10
練習問題４
②図形上の点の移動
②基本問題５
練習問題３
第 12 回
第 12 回
①周回の旅人算と速さの比
①基本問題７
②速さと比の利用
②基本問題８，９
練習問題５
第 13 回
第 13 回
①いろいろな立体と投影図
①基本問題 11 ，12
②影の問題
②基本問題 13 ，14
練習問題６
例
基本５
練習３
⑴　出会い算の考え方で，12 ÷（4 ＋ 1）＝ 2.4
グラフ（図 2）に頂点を示す事でわかりやすくなる
答　2.4 秒後
⑵　追いつき算の考え方で，A～C までの距離を追いかけ
る→（12 ＋ 18）÷（4 － 1）＝ 10
重
答　10 秒後
基本９
⑴　B 君は 1 分間で 100 歩進むことから
A 君は B 君が 2 歩進む時間で 3 歩進めるので
3 × 50 ＝ 150
答　150 歩
問
題
⑵　A 君は，24m を 20 秒で進むので
20
24 ÷ 60 ＝ 72m（1 分間で進む距離）
A 君の歩幅は 72 × 100 ÷ 150 ＝ 48cm
1 1
A 君と B 君の歩幅の比は， 5 ： 4 ＝ 4：5
B 君の 1 歩分は 48 ÷ 4 × 5 ＝ 60
解
4.5m
3.6m
4.5 － 0.9 ＝ 3.6m
3.6：8 ＝ 9：20
x ＝ 2m
答　2m
練習２
10
C
20
（秒）
AB → 1 × 10 ＝ 10cm
点 P の始点である A のとき，三角形 PDC の面積は，
1
30cm2 なので，底辺 AD（DP）× 10 × 2 ＝ 30
高さ
AD ＝ 6cm
同様に，点 P が B のとき，三角形 PDC の面積は，
1
50cm2 なので底辺 BC（PC）× 10 × 2 ＝ 50
BC ＝ 10cm
答　AD　6cm，BC　10cm
AB 上→（50 － 30）÷ 10 ＝ 2cm ずつ増加するので
（36 － 30）÷ 2 ＝ 3 秒後
BC 上→ 50 ÷（20 － 10）＝ 5cm ずつ減少するので
10 ＋（50 － 36）÷ 5 ＝ 12.8
B地点までの時間
自転車が 24 分の距離＝電車は 6 分の距離
時間の逆比＝速さの比より
1
1
6 ： 24 ＝ 4：1
4
⑵　30 ÷ 3 ＝ 40 分
答　3 秒後と 12.8 秒後
練習５
●ポイント●
距離の比＝速さの比
⑴　Ａ：Ｃ＝（360 － 120）：120 ＝ 2：1
距離の比
⑴　距離が一定で考えると，
例
るので
0.9：x ＝ 9：20
8m
説
は B についている事がわか
30 A
る。そのことより，
基本 13
90cm＝0.9m
単位に注意
グラフより，10 秒後に点 P
⑵　同一辺上に点 P があるときの面積の増減は一定であ
答　60cm
の
B
50
00
100 ÷ 2 ＝ 50（2 歩進む時間が 50 回ある）
要
⑴ （cm2）
Ｂ：Ｃ＝（240 － 24）：120 ＋ 24 ＝ 3：2
答　4：1
答　40 分ごと
よって，Ａ：Ｂ：Ｃ＝ 4：3：2
⑵　360 － 360 ÷ 4 × 3 ＝ 90m
時間
速さ
答　4：3：2
答　90m
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
15
①平行移動
▼指導ページ　P199 ～ 206 ▼
指導のねらい
★図形を平行移動させたときの辺，図形の軌道を求める。
★図形を平行移動させることで，他の図形と重なるときの形の変化・面積の変化を求める。
例題１　図形が平行移動したあとの図形
授
4 通りに変化する⇒特に直角二等辺三角形に気をつける。
【基本１，２，練習１，２】
◎作図を板書で示すことや，色わけをすることで移動
例題３　平行移動によって 2 つの図形が重なってできる
図形の面積のグラフ
した状態をしっかり理解させる。
業
展
【基本５，６，練習５】
●ポイント●
図形を一定方向へ移動させる
●ポイント●
・グラフの読み取りによって，重なり方を判断する。
＝
・動く速さに注意する。
平行移動
・グラフの頂点までの形，頂点から下降してきたと
きの形も合わせて考える。⇒図を書く。
例題２　平行移動によって 2 つの図形が重なってできる図形
開
【基本３，４，練習３，４】
●ポイント●
・必ず，図形を移動させた図を書いてみる。
例
・重なりはじめてから重なり終わるまで，図形の形
は何通りにも変わることがある。
基本１
練習１
⑴　B の移動した距離を図から考えると
答　8cm
6 ＋ 2 ＝ 8cm
⑵
㋐
B
答　107.36cm2
8cm
練習２
図より，底辺 8cm，高さ 4cm の平行四辺形
答　32cm2
⑶　⑵にはじめの形を加えるので
32 ＋ 4 × 6 ÷ 2 ＝ 44cm2
答　44cm2
⑴　点 P の移動は AC，CB と同じ形になる。
⑵
図より，㋐＋㋑の面積
⑵
㋒
6cm
答　18cm2
㋒
18cm
解
26cm
cm
図より
説
⑴　（3 ＋ 24）÷ 1 ＝ 27 秒間
⑵
x ＝ 26 － 18
例
辺と重なるので 1 × 8 ＝ 8cm
⑵
㋐
㋑
40cm2
8cm
12 秒 後 に ㋐ の 右 た て が ㋑
の右たてよりはみでるので，
㋑の横⇒ 1 × 12 ＝ 12cm
②
図より，重なってい
る①の三角形の底辺
8cm
10cm
8cm
を 3cm とすると高さ
は 4cm となる。
3 × 4 ÷ 2 ＝ 6cm2
答　6cm2
⑶　上の図の②の部分の面積なので台形となり
（4 ＋ 8）× 3 ÷ 2 ＝ 18cm2
答　8cm
図 2 より
答　27 秒間
10cm
3cm 6cm
答　48cm2
⑴　図 2 より 8 秒後に，㋐の左たての辺が㋑の左たての
4cm
①
＝ 8cm
基本５
答　136cm2
17cm
練習４
よって，長方形からはみでている小さな三角形は 2cm
より，台形（10 ＋ 2）× 8 ÷ 2 ＝ 48cm2
高さの和を 17cm なので
8 × 17 ＝ 136cm2
6×6÷2
＝ 18cm2
底辺を 8cm として
㋑
8cm
図より
題
の
㋐
⑴　動きはじめて 6 秒なので，1 × 6 ＝ 6cm 進む
6cm
答　23cm
15 ＋ 8 ＝ 23cm
基本３
問
長方形＋元のおうぎ形
135°
135
8 × 4 ＋ 8 × 8 × 3.14 × 360 ＝ 107.36cm2
㋑
4 × 8 ＝ 32cm2
要
たて 8cm，横 4cm の
8cm
135° 4cm
4cm
重
図より
答　18cm2
⑷
図より，③の部分を長
8cm ③
1cm
6cm
2cm
方形と台形の和と考え
る。
8 × 1 ＋（8 ＋ 6）× 2 ÷ 2 ＝ 22cm2
図より，40 ÷ 8 ＝ 5cm
答　たて　5cm，横　12cm
答　22cm2
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
15
指導のねらい
②円とおうぎ形の回転移動
▼指導ページ　P207 ～ 214 ▼
★ 1 つの円周上を異なる円が回転したときの中心角を求める。
★おうぎ形の軌跡を求める。
例題１　円の回転移動
授
【基本１，２，練習１，２】
例題２　おうぎ形の転がり移動【基本３～５，練習３，４】
◎板書にて，回転の様子をわかりやすく伝える。例題 1
◎おうぎ形の中心 O の動きをわかりやすく説明するこ
の⑵のような矢印の向きの問いは，必ず大きく図示さ
と。円周率を使う計算が多く出てくるので，計算の
せて理解させる。
工夫（結合法則）を使うことで簡単に計算できること
●ポイント●
を説明する。
業
大円の中心角 x と小円の中
●ポイント●
B
A
①
②
心角 y の比は，半径の逆比
展
になる。
大円の半径 a，小円の半径
b とすると
開
ℓ
1
1
a ： b ＝ x：y
㊟　動くことない円＝大円
大円の半径：小円の半径＝ 6：1 より
⑴　大円の中心角 x，小円の中心角 y とする
1
x：y ＝ 5 ：1 ＝ 1：5
1
よって，360 × 5 ＝ 72°
x：y ＝ 1：6
y ＝ 360°なので
1
x ＝ 360 × 6 ＝ 60°
答　60 度
⑵
答　51
基本５
解
x：y ＝ 1：5
答　45 度
練習４
120
⑴　図より AB 間＝ 3 × 2 × 3.14 × 360
＝ 2 × 3.14（計算はここで一度やめる）
90
さらに，3 × 2 × 3.14 × 360 × 2 ＝ 3 × 3.14
（曲線として動く距離，計算はここでやめる）
＝ 5 × 3.14 ＝ 15.7
答　15.7cm
⑵　おうぎ形の部分
例
y － x ＝ 180°より
1
180 × 4 ＝ 45°
3
度
7
2 × 3.14 ＋ 3 × 3.14 ＝（2 ＋ 3）× 3.14
説
⑵　●ポイント●
図示を必ずさせて，矢印の向きと動きを明確に
x：y ＝ 1：6 より
1
3
x ＝ 360 × 7 ＝ 51 7
題
答　72 度
する。
図より x ＋ y ＝ 360°
の
◎大円の内側を回転すると，外側のときとどのような
変化があるのかを注意する。
比になるので，
問
O
練習２
⑴　大円の中心角 x，小円の中心角 y とすると，半径の逆
要
B
x ＝弧 AB
基本１
重
A
①から②までおうぎ形がすべらずに移動するとき，
大円の周囲をすべらずに動く円＝小円
例
O
90
3 × 3 × 3.14 × 360 × 2 ＝ 4.5 × 3.14
長方形の部分
3 × 2 × 3.14 ＝ 6 × 3.14
たて
AB
◎動く前の形に注意させること。
⑴
㋐
120°
3cm
㋑
おうぎ形の弧
3cm
120
3 ＋ 3 × 2 × 3.14 × 360 ＝ 9.28
答　9.28cm
90
⑵　曲線部　3 × 2 × 3.14 × 360 × 2 ＝ 3 × 3.14
直線部　2 × 3.14 ←ここまでの計算にする
合計　3 × 3.14 ＋ 2 × 3.14 ＝（3 ＋ 2）× 3.14 ＝ 15.7
答　15.7cm
180
1
⑶　半円　3 × 3 × 3.14 × 360 ＝ 9 × 2 × 3.14
（4.5 ＋ 6）× 3.14 ＝ 32.97
答　32.97cm2
長方形　3 × 2 × 3.14 ＝ 6 × 3.14
1
合計　6 × 3.14 ＋ 9 × 2 × 3.14 ＝（6 ＋ 4.5）× 3.14
＝ 32.97
答　32.97cm2
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
16
指導のねらい
①いろいろな立体と投影図の利用
▼指導ページ　P215 ～ 222 ▼
★立体の一部を切断し，その体積を求める。
★立方体の組み合わせによる立体で投影図を利用し問題を解く。
例題１　立体の頂点・辺・面の数 【基本１，２，練習５】
授
かせて理解させる。
②　その立体の体積を求めやすい形に切断。
●ポイント●
①　頂点の増減　②　辺の増減
業
③　円すい，三角すい等の体積を求める。
1
角すい・円すいの体積＝底面積×高さ× 3
③　面の増減
全体－（1 ヶ所を切ったとき× nヶ所）＝残った立体
展
例題２　直方体や立方体を切ってできた立体の体積
開
●ポイント●
①　切り取った立体を確認。
◎板書にて，投影図を書き，生徒にも必ず投影図を書
例題３　積み重ねた立体と投影図の利用
【基本５，６，練習３，６】
●ポイント●
三方向
（正面，横，真上）
から見た図で面の数を確認。
【基本３，４，練習１，２，４～６】
◎例題１と同様，投影図を使う。さらに，切り取った
面の面積×面の数＝表面積
図形（立体）だけ抜き出してやると理解させやすい。
色ぬり問題→ 1 段ずつ確認
例
基本１
練習１
◎基本的な問題なので，しっかりと板書し，切り取ら
⑴
元の形と同じ立体を上に重ねると
れる図形や残った図形の頂点，面，辺の数を数え上
わかりやすい。
げさせる。
⑴　頂点→ 1 つ減少，3 つ増加なので 2 つ
12cm
面→ 1 つ増加，辺→ 3 つ増加
重
6cm
9cm
答　頂点　2 ，辺　3 ，面　1
⑵　頂点　4 ＋ 4 × 2 ＝ 12
元の立体
辺　6 ＋ 4 × 3 ＝ 18
要
元の立体
問
練習２
元の立体
面　4 ＋ 4 × 1 ＝ 8
5cm
5cm
底面 5 × 5 の高さ 15 の直方体の半
分の体積となる。
1
25 × 15 × 2 ＝ 187.5
答　187.5cm3
㋐
答　頂点　12 ，辺　18 ，面　8
㋑
㋒
基本４
⑵
A
全体－（㋐＋㋑－㋒）＝立体の体積
1
㋐　6 × 5 × 2 × 10 ＝ 150
1
㋑　6 × 5 × 2 × 8 ＝ 120
1
㋒　6 × 6 × 5 × 3 ＝ 60
全体　10 × 8 × 5 ＝ 400
〔別解〕
三角形 ABE を底面とする
題
三 角 す い C–ABE と 三 角
B
C
の
12cm
すい D–ABE の体積の和
E 6cm
D となる。
1
三角形 ABE の面積＝ 12 × 8 × 2 ＝ 48
1
三角すい C–ABE ＝ 48 × 12 × 3 ＝ 192
1
三角すい D–ABE ＝ 48 × 6 × 3 ＝ 96
解
192 ＋ 96 ＝ 288
説
15cm
400 －（150 ＋ 120 － 60）＝ 190
答　190cm3
練習６
◎くり抜いた図形の投影図を書くと理解させやすい。
答　288cm3
⑴
基本５
が 7 個集まっているので
⑴　三方向から面の数を確認
正面 6 ，横 12 ，上 12 なので
例
（2 × 2）×（6 ＋ 12 ＋ 12）× 2 ＝ 240
⑵
1 段目
4
3
3
4
0個
2 段目
2 3
1 2
1 2
2 3
4個
3 段目
3 2 4
2 1 3
2 1 3
3 2 4
4個
答　240cm2
2 × 2 × 2 × 7 ＝ 56
6 × 6 × 6 － 56 ＝ 160
答　160cm3
⑵　立方体内の内側部分と重なっていた面積
0＋4＋4＝8個
答　8 個
1 段目　4 ，2 段目　4 ，3 段目　4 なので
（2 × 2）×（4 ＋ 4 ＋ 4）× 2 ＝ 96
立方体の表部分の面積（6 × 6 － 2 × 2）× 6 ＝ 192
96 ＋ 192 ＝ 288
答　288cm2
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
16
指導のねらい
②立体の切断
▼指導ページ　P223 ～ 230 ▼
★立方体の切り口の図形の形で理解させる。
★立方体や直方体を平面で切ったときの体積・表面積を考える。
例題１　立方体の切り口の図形【基本１，２，練習１，２】
授
切り取られた図形の形→変形六面体
変形六面体の体積の求め方を確認する。
1
変形六面体の体積→四角柱の体積× 2
◎立方体の切り口は，どの点を通るかを注意し，投影
図を板書し，色をぬりわけることで形を理解させる。
そのとき，切り口にできた図形を抜き出し，再度平
業
面図として書くとよりわかりやすい。
例題３　立方体を切断した立体の体積⑵
●ポイント●
切り口の図形の辺の長さ，各頂点の角度に注意
すること。
展
【基本５，６，練習１，２，４，５】
◎立方体から延長線を引き，そこに新しくできた立体
から問題に適した解答を導かせる。
●ポイント●
三角すいの体積
例題２　立方体を切断した立体の体積⑴【基本３，４，練習３】
開
1
底面積×高さ× 3（復習）
◎切り口がどのような図形になるかを考え，通る点（問
題にある点）以外の点を確実に見つけ投影図を書く。
例
基本４
練習１
◎投影図を書き，その切り口の形や立体を理解させる。
D
12
重
要
⑨
A
⑦
④
の
解
例
⑵　①　すべての辺の長さが等しい正六角形となる。
⑧
○付きの数は求
めた数字。
答　正六角形
練習２
⑵
Q
A
図より，
6cm
1
6×6÷2×6×3
底面積
新しくできた立体を底面 5 × 5 の正方形と考える。
すると，5 × 5 ×（12 ＋ 4）の直方体の体積の半分の
六面体と分かる
基本５
⑴
4cm
A
QD
答　200cm3
P
C
6cm
B
＝ 31.5
C
答　31.5cm3
DNJ は合同なので，対応する辺 BI ＝ DJ ＝ 3cm
底辺 ICJ とする G–ICJ と C–GIJ の体積は等しいので
1
9 × 9 ÷ 2 × 6 × 3 ＝ 81
答　81cm3
⑵　三角形 ICG と三角形 ABP が相似なので
G
AB：AC ＝ BP：CG となり 1：3 ＝ BP：6
E
F
｛
（4 ＋ 6）× 6 ÷ 2｝× 2 ＋ 4 × 4 ÷ 2 ＋ 6 × 6 ÷ 2 ＝ 86
APFB＋ABCQ
O
練習４
1
－3×3÷2×3×3
⑴　問題の図より，三角形 AMN と三角形 BMI と三角形
B
H
6cm
高さ
1
5 × 5 ×（12 ＋ 4）× 2 ＝ 200
4cm
説
五角形となる。
F
5
底面
題
Sとする
答　五角形
G
B ⑤
5
C
P
H
E
問
③
⑴　CG の中点を通り，PQ，PR，RF，FS，SQ の
三角形APQ
三角形BFC
（切り口は除く）
一方の表面積＝全体－ 86 ＝ 6 × 6 × 6 － 86
＝ 130
BP ＝ 6 ÷ 3 ＝ 2
答　2cm
⑶　三角すい I–BPM と J–DQN を C–GIJ から引くと分かる。
1
I–BPM → 3 × 2 ÷ 2 × 3 × 3 ＝ 3
底面BPM
81 －
（3 × 2）＝ 75
小さい三角すい2つ分
130 － 86 ＝ 44
答　44cm2
答　75cm3
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
17
指導のねらい
①いろいろな並べ方と選び方
▼指導ページ　P231 ～ 238 ▼
★複雑な条件の並べ方や組み合わせの問題を解く。
★表や樹形図などを利用する。
例題１　積の法則の応用
授
⑵　条件より，テーブルの空間に花びんをうめる形を説
明するとわかりやすい。
◎　条件をしっかりよんで，分解して解く。
①　どのような条件か。
業
展
【基本１，２，練習１】
②　その条件で場合分けをする。
例題３　複雑な条件の組み合わせ
③　それぞれのパターンで何通りできるか。
④　③を合計する。
例題２　複雑な条件の並べ方
【基本３，４，練習２】
◎図を使って説明すること。
【基本５，６，練習３～６】
●ポイント●
・少なくとも 1 つ利用，すべての組み合わせの違
いをしっかり理解させる。
・倍数の特徴を整理・理解させておくとよい。
●ポイント●
条件を分かりやすく図示し，理解させる。
開
⑴　両はしに必ずおく条件より，2 つの花びんの位置は固
定する。→残り 4 ヶ所になるので 4 通り
例
答　4 通り
基本３
5 × 4 ＝ 20 通り
⑴　黒 2 つが固定なので残りの黒 2 つ，白 3 つを並べる。
②のとき，3 を3と 3 とすると並べ方は
5 × 4 ＝ 20 通りで，3と 3 を区別しないから，
（黒，白それぞれ区別なし）
5×4×3×2×1
2 × 1 × 3 × 2 × 1 ＝ 10 通り
白
黒
重
20 ÷ 2 ＝ 10 通り
よって，20 ＋ 10 ＝ 30 通り
答　10 通り
⑵　白をはじにもってこれないので 1 通り。
答　1 通り
要
⑶　1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5
図のように 1 ～ 5 までの空間に白が入るので 5 通り。
答　5 通り
問
基本６
◎重い方のおもりの数から考え，表を使って整理する
とよい。
題
の
⑴
12g 1
6g 1
3g 1
0
2
1
0
1
3
0
0
5
21g のこり 15g
答　4 通り
⑵　どれか 1 種類のみを使う場合，3 通り
12g と 6g
（2 ，2）
（1 ，4）
12g と 3g
（2 ，4）
（1 ，8）
説
例
【別解】
5×4×3×2×1
＝ 20 通り
3×2×1
5×4×3×2×1
②　2 × 1 × 3 × 2 × 1 ＝ 10 通り
①　答　30 通り
※まずそれぞれ異なるものと考え，区別しない場合の
数を求める。
練習５
1
0
1
どれか 2 種類を使う場合，
解
答　30 通り
6g と 3g
（5 ，2）
（4 ，4）
（3 ，6）
（2 ，8）
（1 ，10）
以上，4 ＋ 3 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 5 ＝ 16 通り
答　16 通り
練習１
5 歩で 12 段になる組み合わせは，
①（3 ，3 ，3 ，2 ，1）， ②（3 ，3 ，2 ，2 ，2）の み で
それぞれ並べ方を考えると，①のとき，1 の並べ方は
5 通りでそのそれぞれについて 2 は 4 通りの並べ方
があるので
◎条件をしっかり理解させること。できれば，板書で
例示するとよい。
1 回目の後
1 回目
⑴
とまる位置
1
→
1
2
→
2
3
4
5
6
→
→
→
→
3
4
0
4
2 回目
5
6
4
3
2
1
2
答　7 通り
⑵　合計が 4 点となるときの 1 回目と 2 回目の位置
（0 ，4）→［5 ，4］
［5 ，6］
（1 ，3）→
［1 ，2］
（2 ，2）→［2 ，5］
（3 ，1）→［3 ，3］
（4 ，0）→［4 ，1］
［6 ，1］
答　7 通り
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
17
指導のねらい
②場合の数と図形
▼指導ページ　P239 ～ 246 ▼
★図形の分割，構成に関する問題を，場合の数で考える。
例題１　図形を作る頂点の選び方 【基本１，２，練習１，２】
授
◎並べ方と組み合わせの違いを再確認させる。
⑴　ℓの１点から（仮に A から）m へ向かっては，3 ヶ所
【基本５，６，練習２，６】
◎板書を使い，題意にそった図形を図示し，どの様に
考えるかをしっかり説明する。例題 3 ⑵のような内
結べるので，積を使う事がわかる。
業
例題３　等間かくに並んだ点の選び方
部点を使う考え方は，理解しにくいので特に注意す
⑵　全体から三角形が作れない結び方の差
る。
＝三角形の出来る数
例題２　正多角形の頂点の選び方
展
開
例
【基本３，４，練習３，４】
●ポイント●
①　多角形の対角線の数の公式
n 角形の対角線の本数
（n － 3）× n ÷ 2
②　a 個の異なる○点から b 個の点を選ぶ選び方
a ×（a － 1）×（a － 2）×… → b 個分
b ×（b － 1）×…× 1
㊟　例題を数問解かせ nCr を理解させる。
練習１
基本１
⑴　ℓ4 ヶ所，m5 ヶ所それぞれ 1 点を選べるので，
長方形の大きさを（たて，よこ）の形で表すと，
4 × 5 ＝ 20
答　20 本
重
要
問
題
（3 ，1）　4 × 1 ＝ 4
（1 ，2）　3 × 3 ＝ 9
（3 ，2）　3 × 1 ＝ 3
（1 ，3）　2 × 3 ＝ 6
（3 ，3）　2 × 1 ＝ 2
（1 ，4）　1 × 3 ＝ 3
（3 ，4）　1 × 1 ＝ 1
（2 ，1）　4 × 2 ＝ 8
（2 ，2）　3 × 2 ＝ 6
（2 ，3）　2 × 2 ＝ 4
（2 ，4）　2 × 1 ＝ 2
（1 ，1）
（2 ，2）
（3 ，3）をのぞくと，60 － 20 ＝ 40
答　70 個
答　40 個
基本３
練習３
⑴　公 式　9 角形なので，（9 － 3）× 9 ÷ 2 ＝ 27
⑴　6 つの頂点から，3 つの頂点を選ぶ
6 × 5 × 4 ＝ 20
3×2×1
⑵
覚える
答　27 本
9×8×7
⑵　9 ヶ所から 3 ヶ所を選ぶので， 3 × 2 × 1 ＝ 84
答　84 個
⑶　すべての形を確認するので
A 1
B 1
7
C
I
H
D
G
E
例　△ ABI を
（1 ，1 ，7）
と表す。
㊟　BI を 7 と す る の は 全
部の辺の合計を 9 とする
からである。
解
84 － 4 － 10 ＝ 70
の
9×8×7
⑵　9 個の中から 3 個→ 3 × 2 × 1 ＝ 84
4×3×2
ただし，ℓの 4 ヶ所から 3 個→ 3 × 2 × 1 ＝ 4
5×4×3
m の 5 ヶ所から 3 個→ 3 × 2 × 1 ＝ 10 を除く
（1 ，1）　4 × 3 ＝ 12
答　3 種類
練習４
⑴
底辺 2 ，高さ 2 なので㋐は半分になる。
㋐
この形が 4 通り
底辺 2 ，高さ 2 なので㋑は半分になる。
F
すると（1 ，1 ，7）
（1 ，2 ，6）
（1 ，3 ，5）
（1 ，4 ，4）
説
この形も 4 通りあるので
（2 ，2 ，5）
（2 ，3 ，4）
（3 ，3 ，3）
㋑
㊟　出来れば全てを例示するとわかりやすい。
答　7 種類
例
答　20 個
基本５
㋒
例題 3 ⑵の考え方
来る。内部点 4 点が 4 通りあるので，4 × 2 ＝ 8
答　8 個
1
㋒，㋓は，底辺 1 ，高さ 2 なので 4 と
なる。
㋒→ 8 通り，㋓→ 16 通り
答　9 個
⑵　㋒の内部点は 4 点で，そのとき 2 通りの正方形が出
答　8 個
⑵　◎必ず板書して指導
㋓
⑴　㋑の内部点は 1 点なので 9 個できる
4＋4＝8個
㋔
1
㋔は，底辺 2 ，高さ 1 なので， 4 となる。
㋔→ 4 通りあるので
8 ＋ 16 ＋ 4 ＝ 28 個
答　28 個
中学受験新演習　小 6 上　算数　指導のポイント
18
第 15 回～第 17 回のまとめ
▼指導ページ　P247 ～ 252 ▼
指導のねらい
★第 15 回～第 17 回の学習内容の定着
★月例テストの準備・対策
2　学習回の内容と基本問題，練習問題との対応
1　第 15 回～第 17 回の学習内容の確認
授
業
展
第 15 回
第 15 回
①平行移動
①基本問題１，２
練習問題１
②円とおうぎ形の回転移動
②基本問題３，４
練習問題２
第 16 回
第 16 回
①いろいろ立体と投影図の利用
①基本問題５～７
②立体の切断
②基本問題８～ 10
練習問題３
第 17 回
第 17 回
①いろいろな並べ方と選び方
①基本問題 11 ，12
練習問題４
②場合の数と図形
②基本問題 13 ，14
練習問題５，６
開
例
基本２
⑴
（1 ，1 ，6）
（1 ，2 ，5）
（1 ，3 ，4）
（2 ，2 ，4）
→
→
（2 ，3 ，3）の 5 種類。
→
答　直角三角形，台形，五角形，長方形
⑵
3cm
6cm
重
問
の
解
説
例
（2 ＋ 6）× 6 ÷ 2 ＝ 24cm2
答　24cm2
練習３
◎⑴では対応する面ごとの差を考えるとすばやく出せる。
⑴　【別解】
②
①
③
①
3cm
7cm
6cm
7cm
図より円柱（底面の半径 6 ，
高さ 10）の半分なので
1
6 × 6 × 3.14 × 10 × 2
＝ 565.2
答　565.2cm3
基本 13
●ポイント●
a 個の中から b 個を選ぶ選び方
a ×（a － 1）×（a － 2）×… → b 個分
b ×（b － 1）×…× 2 × 1 ⑴　8 個の点から 2 個を選ぶので
8×7
2 × 1 ＝ 28
⑵　8 個の点から 3 個を選ぶので
8×7×6
3 × 2 × 1 ＝ 56
④
②　（8 × 8 ÷ 2）× 2 ＝ 32 × 2 ＝ 64
①＋②，③＝ 48 ＋ 64 ＝ 112
答　112cm2
1
1
⑵　8 × 8 ÷ 2 × 16 × 3 － 4 × 4 ÷ 2 × 8 × 3 × 2
512
128
384
＝ 3 － 3 ＝ 3 ＝ 128cm3
⑴　小さい部屋に入る 2 人を考えると残りは決定するので
5 × 4 ÷ 2 ＝ 10
答　10 通り
答　28 本
⑵　大　4 人，小　1 人
⑴と同様に考えると 5 通り
大　3 人，小　2 人　10 通り
大　2 人，小　3 人　10 通りなので
答　56 個
て表すと，三角形の辺の長さの
合計が必ず 8 になる。その組み
合わせは
①　4 × 4 × 3 ＝ 48
練習４
弧の長さの割合を辺の長さとし
①
4
答　128cm3
⑶　辺の長さに注目
③
②，③
8
◎同じ形を組み合わせて考えさせる。
3cm
題
進むので，
6cm
8cm
2cm
基本６
要
4 秒 後 に は，2cm × 4 ＝ 8cm
2cm
答　5 種類
5 ＋ 10 ＋ 10 ＝ 25
答　25 通り
⑶　大にＡ，小にＢとその逆を考える
大 4 ，小 2 のとき 1 通り× 2 ＝ 2 通り
大 3 ，小 2 のとき 3 通り× 2 ＝ 6 通り
大 2 ，小 3 のとき 3 通り× 2 ＝ 6 通り
2 ＋ 6 ＋ 6 ＝ 14 通り
答　14 通り