赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com) 4STEP 280 を極める (指数対数関数編) それでは,2 年生で学習したことの復習として 4STEP 280 に取り組もう.ポイントとなるのは合成関数 の微分を自由自在に操れるかどうか,です.合成関数の微分をもう一度確認しておこう. Y 絶対値のないタイプも同様です. .Point/(合成関数の微分) y = f(u),u = g(x) がそれぞれ u,x の微 分可能な関数であるとき, 合成関数 y = f(g(x)) も微分可能で, N 合成関数の微分法を用います. y = log jf(x)j において,f(x) = u とおくと, dy 1 du y = log juj であり, = , = f0 (x) な u dx du dy dy du = ¢ dx du dx という関係式が成立する. ので, f0 (x) dy dy du 1 = ¢ = ¢ f0 (x) = u dx du dx f(x) 実際は,この公式を使うことはマレで,次のよう にザックリと考えることがほとんどです. .Point/ 合成関数の微分の基本姿勢 まずは式全体を大きく見て大ざっぱにザックリ y = ef(x) において,f(x) = u とおくと,y = eu dy du であり, = eu , = f0 (x) なので, du dx 微分.その後で中身の微分をくっつける. dy dy du = ¢ = eu ¢ f0 (x) = ef(x) ¢ f0 (x) dx du dx ザックリ微分の代表格は次の公式です.この 2 つ の微分は頻出かつ重要です. .Point/(ザックリ微分の公式) (log jf(x)j)0 = f0 (x) f(x) (log f(x))0 = f0 (x) f(x) Q (ef(x) )0 = ef(x) ¢ f0 (x) は対数微分法を 用いても証明できます. y = ef(x) において,両辺の自然対数をとると, log y = f(x). (ef(x) )0 = ef(x) ¢ f0 (x) y0 = f0 (x). y したがって,y0 = y ¢ f0 (x) = ef(x) ¢ f0 (x). 両辺を x で微分して, 280 次の関数を微分せよ.ただし,a は定数で, a >¯ 0,a Ë 1 とする. ¯ ¯ 2x ¡ 1 ¯¯ (1) y = log (x2 + 2) (2) y = log ¯ (3) y = log jx2 ¡ 4j 2x + 1 (4) y = log (sin x) (5) y = (log x)3 (6) y = (x log x ¡ x)2 (7) y = e4x (8) y = (x + 3)e¡x (9) y = x2 ex (10) y = ex cos x (11) y = ex tan x (12) y = ex (13) y = log4 2x (14) y = loga (x2 ¡ 1) (15) y = a¡3x 2 +2x N 合成関数の微分法は,置き換えして丁寧にやる「慎重派」と大ざっぱにやる「ザックリ派」とい う 2 つの流派に分かれます.基本的に「ザックリ派」でやりますが,せっかくなので (1) と (5),(14) の み,2 つの流派どちらもやってみます. (1) A (慎重派) 2 x + 2 = u と お く と ,y = log u で あ り , dy 1 du = , = 2x なので, u dx du dy dy du 2x 1 ¢ 2x = 2 = ¢ = u dx du dx x +2 A (ザックリ派) dy (x2 + 2)0 1 2x = 2 ¢(x2 +2)0 = = 2 2 dx x +2 x +2 x +2 赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com) ¯ ¯ j2x ¡ 1j ¯ 2x ¡ 1 ¯ ¯ = log (2) y = log ¯ 2x + 1 j2x + 1j = log j2x ¡ 1j ¡ log j2x + 1j dy (2x ¡ 1)0 (2x + 1)0 ¡ = 2x ¡ 1 2x + 1 dx 2 2 = ¡ 2x ¡ 1 2x + 1 2f(2x + 1) ¡ (2x ¡ 1)g = (2x ¡ 1)(2x + 1) 4 = (2x ¡ 1)(2x + 1) (7) dy = e4x ¢ (4x)0 = 4e4x dx (8) dy = (x + 3)0 e¡x + (x + 3)(e¡x )0 dx = e¡x + (x + 3)(¡e¡x ) = (1 ¡ x ¡ 3)e¡x = ¡(x + 2)e¡x Y 言うまでもなく,(e¡x )0 については (e¡x )0 = e¡x (¡x)0 = ¡e¡x Y log を分解せずに,まともに微分しても構 となります. いません. 0 2x ¡ 1 # ; dy 2x ¡ 1 0 2x + 1 2x + 1 ; ¢ = =# 2x ¡ 1 2x + 1 2x ¡ 1 dx 2x + 1 2(2x + 1) ¡ 2(2x ¡ 1) 2x + 1 = ¢ 2x ¡ 1 (2x + 1)2 4 2x + 1 = ¢ (2x + 1)2 2x ¡ 1 4 = (2x ¡ 1)(2x + 1) (3) dy (x2 ¡ 4)0 2x = = 2 dx x2 ¡ 4 x ¡4 (4) dy (sin x)0 cos x 1 = = = sin x sin x tan x dx (5) A (慎重派) (9) (10) (11) log x = u とおくと,y = u3 であり, dy du 1 = 3u2 , = なので, x du dx dy dy du 3(log x) 1 = ¢ = 3u2 ¢ = x x dx du dx A (ザックリ派) dy 3(log x)2 = 3(log x)2 ¢ (log x)0 = x dx (6) dy = 2(x log x ¡ x) ¢ (x log x ¡ x)0 dx 1 = 2(x log x ¡ x)(1 ¢ log x + x ¢ ¡ 1) x = 2(x log x ¡ x) log x Y (x log x ¡ x)0 の部分は,積の微分公式を用 いています.つまり (x log x ¡ x)0 =x0 log x + x(log x)0 ¡ x0 1 ¡1 =1 ¢ log x + x ¢ x = log x dy = (ex )0 cos x + ex (cos x)0 dx = ex cos x + ex (¡ sin x) = ex (cos x ¡ sin x) (12) 2 dy = (x2 )0 ex + x2 (ex )0 dx = 2xex + x2 (ex ) = (x2 + 2x)ex (13) dy = (ex )0 tan x + ex (tan x)0 dx 1 = ex tan x + ex ¢ cos2 x 1 ; = ex #tan x + cos2 x dy 2 = ex +2x ¢ (x2 + 2x)0 dx 2 = (2x + 2)ex +2x dy (2x)0 2 = = 2x log 4 2x log 4 dx 1 1 = = x log 4 2x log 2 (14) A (慎重派) x2 ¡ 1 = u とおくと,y = loga u であり, dy 1 du = = 2x なので, , u log a dx du dy dy du 2x 1 ¢2x = = ¢ = 2 u log a dx du dx (x ¡ 1) log a A (ザックリ派) dy (x2 ¡ 1)0 2x = = dx (x2 ¡ 1) log a (x2 ¡ 1) log a (15) dy = a¡3x log a ¢ (¡3x)0 dx = ¡3a¡3x log a
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