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あもんノート
古典論編
Copyright(C)2015 Amon. All rights reserved.
1
はじめに
学生の頃に学んだ理論物理学に関する個人的なまとめノートです。基本的には
自分のための備忘禄ですが、一応、他の人が読んでも理解できるように気をつかっ
て書いたつもりです。
この古典論編は、“演繹的に無駄なくまとめる” という動機をもって書きました。
最初の 2 つの章で物理で必要を数学について概観し、その後、ニュートン力学、解
析力学、連続体力学、リーマン幾何学、特殊相対論、電磁気学、一般相対論、宇
宙論の順にまとめてあります。基礎を網羅しながら特に大きな飛躍もなく宇宙論
まで到達しています。ただし初期宇宙についてちゃんと理解するためには素粒子
論と統計力学の知識が必要で、これらについては量子論編を参照してください。
その後やや専門的ですが、スカラー場と正則化の章において電磁気学の困難と
その正則化について触れています。ゼータ関数については応用数学としては難易
度が少し高いため、後半に章を設けました。また、数学基礎論については門外漢
ですが、付録として章を設けました。
現実的に考えて、このノートを読み始める前に、高校数学、高校物理、および
大学教養向けの平易な物理の教科書をこなしている必要があるでしょう。理工学
学生なら学部 2 年以上を想定しています。
2015/2/22 あもん
2
目次
1
11
ユークリッド幾何学
1.1
ユークリッド空間とデカルト座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2
クロネッカーデルタとレビ・チビタ . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3
行列式と余因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4
合同変換と相似変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5
スカラーとベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6
テンソルと擬テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7
ベクトルの内積とノルム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8
角度と三角関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9
三角関数の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.10 テンソル積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.11 外積とスカラー 3 重積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.12 無限小角度ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.13 座標の接ベクトルと基底 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.14 体積と面積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.15 3 次元極座標と球の計量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.16 ナブラ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.17 外微分とストークスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.18 ガウスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2
32
関数論と応用数学
2.1
指数関数と対数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2
複素数と複素関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3
複素微分と正則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4
マクローリン展開とテイラー展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5
複素積分とコーシーの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6
留数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7
複素共役とエルミート共役 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3
2.8
行列の固有方程式と対角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.9
行列の指数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.10 1 階の微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.11 定係数線形微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.12 ガウス積分とガンマ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.13 n 次元球の体積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.14 スターリングの式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.15 二項分布と正規分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.16 デルタ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.17 フーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.18 有限区間のフーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3
57
ニュートン力学
3.1
運動の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2
慣性系とガリレイ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3
非慣性系とみかけの力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4
万有引力の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5
地球の重力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6
運動量と角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.7
重心 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8
落下運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.9
ロケットの推進 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.10 接触力と摩擦 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.11 立てかけられた棒 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.12 剛体と慣性モーメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.13 コマの運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.14 力のポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.15 エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.16 外部ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.17 単振り子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.18 段差を乗り越える回転体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.19 惑星の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4
4
80
解析力学
4.1
最小作用の原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2
ネーターの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3
正準形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4
ニュートン力学のラグランジアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.5
孤立系のニュートン力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.6
二重振り子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.7
変分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.8
最速降下曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.9
懸垂曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.10 無限連成振動子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5
92
連続体力学
5.1
応力テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2
弾性体と弾性率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3
一様等方弾性体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4
弾性体における波動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.5
ヤング率とポアソン比 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.6
天井からはがれ落ちる弾性体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.7
流体とナビエ・ストークス方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.8
レイノルズ数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.9
完全流体とベルヌーイの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.10 水面波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6
104
リーマン幾何学
6.1
計量空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2
一般座標の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.3
テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.4
共変微分と接続係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.5
一般のテンソルの共変微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.6
リーマン空間とテンソル定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.7
計量条件と計量接続空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5
6.8
リーマンテンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.9
ビアンキ恒等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.10 体積要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.11 計量の微分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.12 測地線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.13 2 次元球面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7
116
特殊相対論
7.1
相対論の歴史的背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2
自然単位系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.3
時空とローレンツ座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.4
ローレンツ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.5
ガレージのパラドックス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.6
速度の変換と光行差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.7
特殊相対論の作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.8
粒子の運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.9
マックスウェル方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.10 エネルギー運動量テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.11 4 元運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.12 複合粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.13 一般座標の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.14 回転系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.15 一方向に加速する系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.16 リンドラー座標における粒子の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8
138
電磁気学
8.1
特殊相対論の基礎方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.2
電場と磁場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.3
電磁場のローレンツ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.4
運動方程式の空間ベクトル表記 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.5
マックスウェル方程式の空間ベクトル表記 . . . . . . . . . . . . . . 141
8.6
クーロン力とアンペール力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6
8.7
電圧とオームの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.8
キルヒホッフの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.9
電磁場のエネルギーと運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.10 ダランベルシアンとその逆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.11 遅延ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.12 クーロンの法則とビオ・サバールの法則 . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.13 電磁波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.14 分極と磁化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.15 巨視的電磁気学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.16 コンデンサとコイル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.17 双極子が受ける力とポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.18 双極子が作る電磁場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.19 リエナール・ヴィーヘルトポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.20 質量のくりこみとローレンツ摩擦力 . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9
161
一般相対論
9.1
ニュートンの重力理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.2
星が作る重力ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.3
アインシュタイン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.4
宇宙項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.5
弱い重力場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.6
ニュートン近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.7
弱い重力場のローレンツ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.8
重力赤方偏移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.9
重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
9.10 シュヴァルツシルト解とブラックホール . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.11 等方座標と重力質量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
9.12 シュヴァルツシルト時空における粒子の軌道 . . . . . . . . . . . . 175
9.13 惑星の近日点移動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.14 光の湾曲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.15 エネルギー運動量テンソルの巨視的表示 . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.16 トールマン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7
9.17 シュヴァルツシルト内部解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.18 ヒルベルト作用の 1 階微分表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.19 重力場のエネルギー擬テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.20 エネルギー運動量密度の全微分表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.21 星のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10 宇宙論
188
10.1 ロバートソン・ウォーカー計量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.2 フリードマン方程式とラマートル宇宙 . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.3 ハッブルパラメータと密度パラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.4 赤方偏移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.5 視直径と輝度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.6 実際の宇宙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10.7 輻射のエネルギー密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
10.8 初期宇宙とインフレーション . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.9 宇宙の構造とスケール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10.10 キリングベクトルと一様等方空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.11 3 次元の一様等方空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
11 スカラー場と正則化
202
11.1 特殊相対論の復習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11.2 スカラー場の導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.3 定常的な場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
11.4 湯川ポテンシャルと核力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.5 荷電粒子のエネルギーと正則化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11.6 作用汎関数の一意性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
11.7 運動する粒子が作るスカラー場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
11.8 運動方程式のくりこみ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
12 ゼータ関数
211
12.1 三角関数の部分分数展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
12.2 ゼータ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
12.3 ガンマ関数の相反公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8
12.4 リーマン予想 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
12.5 アベル・プラナの和公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
13 数学基礎論入門
221
13.1 論理式と推論規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
13.2 矛盾と否定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
13.3 排中律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
13.4 真理値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
13.5 述語論理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
13.6 素朴集合論とラッセルのパラドックス . . . . . . . . . . . . . . . . 226
13.7 部分集合と等号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
13.8 集合の基本公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
13.9 無限公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
13.10 分出公理と置換公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
13.11 正則性公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
13.12 選択公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
13.13 ペアノ公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
13.14 無限集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
13.15 順序数と整列可能定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
13.16 一般連続体仮説 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
13.17 不完全性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
14 物理定数表
238
14.1 接頭語 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
14.2 普遍定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
14.3 SI 基本単位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
14.4 SI 組立単位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
14.5 非 SI 単位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
14.6 素粒子の質量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
14.7 元素と原子量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
14.8 惑星の諸定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
14.9 太陽の諸定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9
14.10 月の諸定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
15 参考文献
243
10
1
ユークリッド幾何学
物理に必要な数学であるユークリッド幾何学の基礎について、表記法の紹介も
兼ねてここにまとめておきます。ユークリッド幾何学はユークリッドの原論に始
まる非常に古い歴史を持つ数学です。このため何を公理とするか、また、どのよ
うな表現法を用いるかによって数種の立場があります。ここでは計量空間の一種
として捉え、なおかつ座標に立脚した立場をとります。初等的な代数学および解
析学 (微積分学) は既知とします。
1.1
ユークリッド空間とデカルト座標
N 個の実数の順序付けられた組 (x1 , x2 , · · · , xN ) が作る集合を RN と書きます。
局所的に RN と同相な点の集合は N 次元の空間、あるいは多様体と呼ばれます。
空間のある点に対応する RN の元はその点の座標と呼ばれます。
いま、N 次元の空間上に任意の 2 点 P, Q を考え、それらの座標を、順に、
(x1 , x2 , · · · , xN ),
(x1 + ∆x1 , x2 + ∆x2 , · · · , xN + ∆xN )
とします。PQ 間の距離 s が、
2
s =
N
X
(∆xi )2 = (∆x1 )2 + (∆x2 )2 + · · · + (∆xN )2 ,
s≥0
i=1
で与えられるとき、この N 次元空間を N 次元ユークリッド空間といいます。ま
た、このときの座標 xi をデカルト座標といいます。一般に、距離の定義された空
間は計量空間と呼ばれます。ユークリッド空間は計量空間の代表的な一例です。
1 つの項に同じ添字が現れたとき、その添字について和を取ることにします。こ
れをアインシュタインの縮約規則といいます。そうすると上式は、
s2 = ∆xi ∆xi
とも書けます。このとき右辺は添字 i について和を取るわけです。このような添
字はダミー (和の変数) であるため、計算上、別の使ってない添字に置換できます。
例えば上式は、s2 = ∆xj ∆xj と書いても同じことです。
11
図 1: 2 次元ユークリッド空間
1.2
クロネッカーデルタとレビ・チビタ
クロネッカーデルタの記号を、
(
δij =
1 (i = j)
0 (i 6= j)
で定義します。これは行列としては単位行列に相当し、
δij Aj = Ai
という性質を持ちます。言うまでもないですが、左辺は j について和をとります。
また、N 次元レビ・チビタの記号を、



 1 (N 個の添字 i, j, · · · k が 1, 2, · · · N の偶置換のとき)
²ij···k =
−1 (奇置換のとき)


 0 (その他、すなわち添字に同じ数字があるとき)
で定義します。この定義から ²ij···k はどの 2 つの添字を入れ換えても符号が逆に
なります。これは一般に完全反対称性と呼ばれる性質です。それゆえ ²ij···k は、
²12···N = 1 でかつ N 個の添字について完全反対称であるとして定義することもで
きます。
特に 3 次元の場合は、サイクリック対称性 : ²ijk = ²kij = ²jki があります。
1.3
行列式と余因子
少し寄り道になりますが、レビ・チビタの記号の応用として、ここで行列式の
理論について簡単に触れておきましょう。
12
N 次正方行列 A の行列式の定義は、
det A =
1
²i i ···i ²j j ···j Ai j Ai j · · · AiN jN
N! 1 2 N 1 2 N 1 1 2 2
です。簡単に、
det(cA) = cN det A,
det AT = det A
という性質がわかるでしょう。ここで c は実数 (または複素数)。また、AT は A
の転置行列で、
(AT )ij = Aji
で定義されます。
いま、fi1 i2 ···iN = ²j1 j2 ···jN Ai1 j1 Ai2 j2 · · · AiN jN とおくと、これは i1 , i2 , · · · , iN につ
いて完全反対称であることがわかるので、fi1 i2 ···iN = ²i1 i2 ···iN f12···N . すなわち、
²j1 j2 ···jN Ai1 j1 Ai2 j2 · · · AiN jN = ²i1 i2 ···iN ²j1 j2 ···jN A1j1 A2j2 · · · AN jN .
この関係と、²i1 i2 ···iN ²i1 i2 ···iN = N ! に注意すると、
det A = ²j1 j2 ···jN A1j1 A2j2 · · · AN jN ,
²i1 i2 ···iN det A = ²j1 j2 ···jN Ai1 j1 Ai2 j2 · · · AiN jN
といった性質が得られます。そうすると、2 つの N 次正方行列 A, B について、
det(AB) = ²j1 j2 ···jN (AB)1j1 (AB)2j2 · · · (AB)N jN
= ²j1 j2 ···jN (A1i1 Bi1 j1 )(A2i2 Bi2 j2 ) · · · (AN iN BiN jN )
= A1i1 A2i2 · · · AN iN ²i1 i2 ···iN det B
= det A det B.
すなわち、行列の積の行列式は、それぞれの行列の行列式の積と等しくなること
がわかります。
一方、
1
∂ det A
=
²ii ···i ²jj ···j Ai j · · · AiN jN
A˜ij =
∂Aij
(N −1)! 2 N 2 N 2 2
= (A の i 行 j 列を取り除いた行列の行列式) × (−1)i+j
で行列 A の余因子を定義します。このとき、
1
²ii ···i ²jj ···j Akj Ai2 j2 · · · AiN jN
(N −1)! 2 N 2 N
1
=
²ii ···i ²ki ···i det A
(N −1)! 2 N 2 N
Akj A˜ij =
13
ですが、²ii2 ···iN ²ki2 ···iN = (N −1)! δik に注意すると、
Akj A˜ij = δki det A
∴ AA˜T = det A δ
( δ は単位行列).
またこれと同様にして、A˜ij Aik = δjk det A ∴ A˜T A = det A δ がわかるので、A
の逆元 (AB = BA = δ を満たす行列 B) は、
A−1 =
1 ˜T
A
det A
と一意的に定まり、これを A の逆行列といいます。A˜T は A の余因子行列と呼ば
れます。det A = 0 のときは、A の逆行列は存在しません。
(余談) 行列式を扱った教科書は応用系の目的のものが多いため、このように簡潔かつ明瞭に説
明しているものは少ないと思われます。レビ・チビタの記号 (符号関数) を用いればこれだけの話
なのです。ちなみに、Akj A˜ij = δki det A において、特に k = i = 1 とおくと、
det A = A1j A˜1j
ですが、これは行列式の余因子展開と呼ばれ、手計算で行列式を求めるときに重宝するものです。
例えば 3 次正方行列について、


µ
¶
µ
¶
µ
¶
a b c
e
f
d
f
d
e
det d e f  = a det
+ b det
×(−1) + c det
h i
g i
g h
g h i
= a(ei − f h) − b(di − f g) + c(dh − eg)
同様に 4 次以上の正方行列の行列式も再帰的に計算できます。
1.4
合同変換と相似変換
ユークリッド幾何学の話に戻りましょう。
あるデカルト座標 xi から、
x0i = xi − ai
( ai は任意の定数)
で新しい座標 x0i を定義します。これを並進変換といいます。このとき、∆x0i = ∆xi
なので、
∆x0i ∆x0i = ∆xi ∆xi = s2
がわかり、新しい座標もデカルト座標であることがわかります。
一方、今度は、
x0i = Λij xj ,
Λij Λik = δjk
で新しい座標 x0i を定義します。これを直交変換といいます。このとき、∆x0i =
Λij ∆xj なので、
∆x0i ∆x0i = Λij Λik ∆xj ∆xk = δjk ∆xj ∆xk = ∆xj ∆xj = s2
14
がわかり、やはり新しい座標はデカルト座標です。ユークリッド空間において、デ
カルト座標は無数に存在することがわかります。
直交変換の条件: Λij Λik = δjk は、行列表記で、
ΛT Λ = δ
( δ は単位行列)
であり、これを満たす実正方行列 Λ は直交行列と呼ばれます。両辺において行列
式をとると、
(det Λ)2 = 1 ∴ det Λ = ±1
ですが、det Λ = +1 の場合の直交変換を回転変換といい、det Λ = −1 の場合の
直交変換を、反転 (パリティ) を含む直交変換といいます。並進変換と直交変換を
合わせて合同変換といいます。合同変換で一致する 2 つの図形 (点の集合) は互い
に合同であると呼ばれます。
また、合同変換にスケール変換、
x0i = kxi
( k は 0 でない実数)
を付加し拡張したものを相似変換といいます。相似変換で一致する 2 つの図形は
互いに相似であると呼ばれます。
特に 3 次元の場合、図 2 のように右手の親指、人差し指、中指を互いに直交させ
たとき、これらの指の方向が順に x1 , x2 , x3 軸の正の方向となるように合わせら
れるデカルト座標を右手系といいます。左手でこれが成り立つ系を左手系といい
ます。反転を含む直交変換は右手系と左手系を入れ換えます。
図 2: 右手系
(余談) 中学校で習う初等幾何では、まず三角形に関する合同条件や相似条件を与え、そのとき
の性質を公理と考え図形や空間に関する定理を導いていきます。これは簡単でよいのですが、ユー
クリッド幾何学が何を仮定した数学であるかがわかりにくくなってしまいます。このためユーク
リッド幾何学が唯一無二の幾何学であると勘違いしてしまいがちです。非常によくできた数学 (数
理世界) を現実世界と混同してしまう病を ピグマリオン症 と呼びますが、ユークリッド幾何学や
ニュートン力学は現実の世界においてかなり高い精度で成り立っているため、ピグマリオン症の
温床になっています。ユークリッド幾何学もニュートン力学も、数理世界であり、けっして現実世
界ではない、ということを肝に銘じることが大事です。現実世界は原理的にいって我々には永遠に
悟ることができないものであり、理論物理の全ては、現実世界に極力類似した数理世界 (モデル)
の創作と探求であるという当たり前の事実を、特に留意すべきなのです。
15
1.5
スカラーとベクトル
合同変換、
x0i = Λij xj − ai
に対し不変な量をスカラーといいます。例えば、2 点間の距離 s =
カラーです。また、合同変換に対し、
√
∆xi ∆xi はス
A0i = Λij Aj
のように変換される量 Ai をベクトルといいます。例えば、デカルト座標の差 ∆xi
は、∆x0i = Λij ∆xj と変換されるのでベクトルです。これを変位ベクトルといい
ます。
一方、デカルト座標 xi 自体は、厳密にはベクトルではありませんが、直交変換
に限っていえばベクトルとして振舞います。この意味でベクトルとして考えるこ
とがあり、これを位置ベクトルといいます。
ベクトル Ai を順序付けられた組 (A1 , A2 , · · · , AN ) で表すとき、あるいは行列
記法で表すときは、A と太字で書くことがあります。成分を抜き出すときは (A)i
と書きます。すなわち、
A = (A1 , A2 , · · · , AN ),
(A)i = Ai
ということです。ベクトル方程式 A = B は、Ai = Bi (∀i) を意味します。3 次元
ユークリッド空間の位置ベクトル xi に関しては r という記号を用いることが慣
習としてあります。すなわち、
(r)i = xi
ということです。
(余談) 座標に立脚しない立場ではベクトルやテンソルをもっと抽象的なものとして考えます。
例えば微分幾何学ではベクトルは曲線上の微分演算子として定義します。しかしここではそれは
採用しません。ここではあくまで座標ありきであり、よってベクトルは成分表示が第一義的なもの
と考えます。最初に述べたように、色々な流儀があるので混乱しないようにしてください。座標あ
りきの方法は、物理においては便利であり、それゆえ物理の世界では今もって標準的です。
1.6
テンソルと擬テンソル
テンソルはスカラーやベクトルを一般化した概念です。M 個の添字を持つ量
Tij···k があって、合同変換 x0i = Λij xj − ai に対し、
0
Tij···k
= Λil Λjm · · · Λkn Tlm···n
のように変換されるとき、Tij···k を M 階のテンソルといいます。ベクトルは 1 階
のテンソルであり、スカラーは 0 階のテンソルということになります。
16
Λij は直交行列だったので、
δij = Λil Λjm δlm
がわかりますが、これはクロネッカーデルタ δij が 2 階のテンソルであることを意
味しています。特に定数のテンソルです。
テンソル同士の積は再びテンソルになります。これを積の定理といいます。例え
ば、任意の 2 つのベクトル Ai , Bi に対し、
(Ai Bj )0 = A0i Bj0 = Λil Λjm Al Bm
なので、Ai Bj は 2 階のテンソルであり、
(Ai Bi )0 = A0i Bi0 = Λil Λim Al Bm = δlm Al Bm = Al Bl
なので、Ai Bi はスカラーになります。
一方、
0
Tij···k
= det Λ Λil Λjm · · · Λkn Tlm···n
のように変換される量 Tij···k は M 階の擬テンソルと呼ばれます。特に 1 階の擬テ
ンソルは軸性ベクトル、0 階の擬テンソルは擬スカラーと呼ばれます。
(det Λ)2 = 1 と行列式の定義に注意すると、
²ij···k = det Λ Λil Λjm · · · Λkn ²lm···n
がわかるので、N 次元レビ・チビタは N 階の擬テンソルということになります。
特に定数の擬テンソルです。疑テンソルとテンソルの積は擬テンソルになり、擬
テンソルと擬テンソルの積はテンソルになることは容易にわかるでしょう。
しかし合同変換に反転が含まれない、つまり det Λ = +1 の場合は、テンソルと
擬テンソルは同義になるため、特に区別する必要がない場合、擬テンソルもテン
ソルと呼び、一緒くたに扱います。位置ベクトルがベクトルかという問題と同様
に、この辺は少し融通をきかせるわけです。
1.7
ベクトルの内積とノルム
2 つのベクトル A, B に対し、
A·B = Ai Bi
で 2 つのベクトルの内積を定義します。積の定理からこれはスカラーです。明ら
かに B ·A = A·B. すなわち内積は可換です。
17
また、
|A| =
√
A·A
をベクトル A の大きさ (ノルム) といいます。これもスカラーで、特に A が変位
ベクトルの場合、2 点間の距離を意味することになります。明らかに |A| ≥ 0 で
すが、等号成立は A の成分が全て 0 のときに限られます。このようなベクトルを
零ベクトルといい、太字で 0 と書きます。
A が零ベクトルでないとき、
¯ = A
A
|A|
は大きさ 1 のベクトルになりますが、これを A の方向ベクトルといいます。零ベ
クトルの方向ベクトルは定義されません。
大きさ 1 のベクトルは一般に単位ベクトルと呼ばれます。
1.8
角度と三角関数
2 次元以上のユークリッド空間に零ベクトルでない 2 つのベクトル A, B がある
とき、適当な回転変換によって、これらの方向ベクトルを、
¯ = (1, 0, 0, · · · , 0),
A
¯ = (a, b, 0, · · · , 0),
B
a 2 + b2 = 1
と表すことができます (図 3)。
図 3: 角度
このとき 2 つの方向ベクトルが作る弧の長さ θ を、2 つのベクトルが成す角度と
いいます。弧は、
p
C = { (x1 , x2 ) | x1 = 1 − t2 , x2 = t, 0 < t < b }
18
という点の集合で与えられるので、弧の長さ、すなわち角度 θ は、a ≥ 0, b ≥ 0
の場合、
sµ
¶2 µ
¶2 Z b
Z
Z b
dx1
dx2
dt
√
θ=
ds =
dt
+
=
dt
dt
1 − t2
C
0
0
のように、解析的に (定積分として) 与えられます。
a = 1 のとき、2 つのベクトルは平行であるといいます。a = −1 のとき、2 つの
ベクトルは反平行であるといいます。a = 0 のとき、2 つのベクトルは直交してい
るといいます。また、このときの角度を直角といいます。直角を π/2 とおくこと
で円周率 π を定義します。すなわち、
Z 1
dt
√
π=2
∼ 3.14159.
2
1
−
t
0
これにより半径 R の円周の長さは 2πR であることがわかります。
一方、
a = cos θ,
b = sin θ,
tan θ =
で三角関数を定義します。明らかに、
cos2 θ + sin2 θ = 1.
三角関数のグラフを図 4 に示します。
図 4: 三角関数
¯ B
¯ = 1a + 0b = a = cos θ から、
A·
A·B = |A||B| cos θ.
19
sin θ
cos θ
よって、
|A − B|2 = (A − B)·(A − B) = A·A + B ·B − 2A·B
= |A|2 + |B|2 − 2|A||B| cos θ
です。これは 2 つのベクトルが変位ベクトルであるとすると、三角形の 3 辺の長さ
の関係になっていて、余弦定理と呼ばれます (図 5)。特に A, B が直交する場合
は cos θ = 0 なので、余弦定理は、
|A − B|2 = |A|2 + |B|2
となり、これは三平方の定理 (ピタゴラスの定理) と呼ばれます。
図 5: 余弦定理
1.9
三角関数の性質
三角関数の性質については高校の数学で嫌になるほど習うものですが、ここで
簡単に導出し、まとめておきましょう。
2 次元ユークリッド空間において、図 6 のような 3 つの単位ベクトルを考えると、
p = (cos α, sin α),
q = (− sin α, cos α),
r = cos β p + sin β q = (cos α cos β − sin α sin β, sin α cos β + cos α sin β)
であり、一方で、r = (cos(α + β), sin(α + β)) ですから、これらを比較して、
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β,
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
を得ます。これを三角関数の加法定理といいます。
加法定理から、例えば、
³π
´
sin
− θ = cos θ,
2
cos
20
³π
2
´
− θ = sin θ.
図 6: 加法定理
また、
cos(2α) = cos2 α − sin2 α, sin(2α) = 2 sin α cos α,
1 + cos(2α)
1 − cos(2α)
cos2 α =
sin2 α =
2,
2
がわかり、これらは、倍角公式、半角公式と呼ばれます。
Z sin θ
dt
√
一方、角度と三角関数の定義から θ =
ですが、両辺 θ で微分し、
2
1
−
t
0
Z sin θ
dt
d sin θ
1
d sin θ d
d sin θ
√
p
=
1=
∴
= cos θ
dθ d sin θ 0
dθ
dθ
1 − t2
1 − sin2 θ
³π
´
³π
´
d cos θ
d
さらに
=
sin
− θ = − cos
− θ = − sin θ
dθ
dθ
2
2
といった微分公式を得ることができます。
(余談) 高校の数学では、極限公式 :
lim
θ→0
sin θ
=1
θ
の証明が曖昧で、このため三角関数の微分公式の証明がちゃんとなされていません。これは幾何学
や三角関数の単元が教育的理由から微分積分 (解析学) より前にあって、それゆえ角度の定義を定
積分として表示することをしないためと考えられます。純粋に論理的に考えれば、「集合論 → 自
然数論 → 解析学 → 幾何学 (及び三角関数) → 複素関数論」の順に展開されるのが自然なのです
が、基礎的な分野の方が難易度が高いこともあって、このようには教わらないわけです。ちなみに
ここでの立場では、ロピタルの定理 :
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
x→0 g(x)
x→0 g (x)
f (0) = g(0) = 0 ⇒ lim
sin θ
= lim cos θ = 1 です。ロピタルの定理の証明は簡単でしょう。
θ→0
θ→0 θ
から、lim
21
1.10
テンソル積
2 つのベクトル A, B に対して、
(A B)ij = Ai Bj
をテンソル積といいます。これは積の定理から 2 階のテンソルになります。また、
2 階のテンソル Tij とベクトル Ai の内積は、
(T ·A)i = Tij Aj ,
(A·T )i = Aj Tji
のように定義され、これはベクトルになります。よって例えば、
B ·T ·A = Bi Tij Aj
です。これは行列記法における B T T A を意味します。
(余談) テンソル積は多くの教科書で ⊗ のような記号で表されます。すなわち、(A⊗B)ij = Ai Bj .
しかしながら、テンソル積と内積が結合則を持つことに注意すると、ここでの記法の方が便利で
す。例えば、多くの教科書で (A ⊗ B)(C) = (B·C)A のように書かれる公式は、ここでの記法で
は (A B)·C = A(B·C) = A B·C という結合則になり、ことさら覚えておく必要はないわけです。
1.11
外積とスカラー 3 重積
一方、3 次元ユークリッド空間を考えると、2 つのベクトル A, B に対し、
(A×B)i = ²ijk Aj Bk
= (A2 B3 − A3 B2 , A3 B1 − A1 B3 , A1 B2 − A2 B1 )i
は (軸性) ベクトルになります。これを 2 つのベクトルの外積といいます。外積は
反可換な積になります :
B ×A = −A×B.
適当な回転変換により、A = (|A|, 0, 0), B = (|B| cos θ, |B| sin θ, 0) とでき、
ここで θ は 2 つのベクトルの成す角度です。このとき A×B = (0, 0, |A||B| sin θ)
がわかるので、一般に、
A×B は A と B の両方に直交し、大きさが |A||B|| sin θ| のベクトル
ということになります。特にその方向は、0 < θ < π で、かつ、3 次元デカルト座
標が右手系の場合、A から B の方向に回したときに右ねじが進む方向になりま
す。これを右ねじの規則と呼びます (図 7)。
3 つのベクトル A, B, C に対して、

A1 A2 A3
[A, B, C] = A·(B ×C) = ²ijk Ai Bj Ck = det B1 B2 B3 
C1 C2 C3

22
図 7: 外積の向き
は (擬) スカラーになります。これをスカラー 3 重積といいます。これはサイクリッ
ク対称性 :
[A, B, C] = [C, A, B] = [B, C, A]
を持つことがわかります。
外積の計算においては、しばしば、
²ijk ²ilm = δjl δkm −δjm δkl
という公式が有用になります。例えばこれを用いると、
A×(B ×C) = A·C B − A·B C
がわかるでしょう。前者の公式だけ覚えておけば、後者のような式を覚えておく
必要はまったくありません。
1.12
無限小角度ベクトル
3 次元ユークリッド空間において、任意の図形をある軸において無限小角度 dθ だ
け回転し、この回転で右ねじが進む方向の単位ベクトルを n とします。このとき、
dθ = dθ n
で無限小角度ベクトルを定義します。
無限小角度ベクトルが dθ = dθ n で与えられる無限小回転によって、ベクトル
A が A0 に変化したとすると、その変分 dA = A0 − A は、大きさが |A| sin φ dθ
で、方向が n×A と同じなので (図 8)、
dA = |A| sin φ dθ
n×A
n×A
= |A| sin φ dθ
|n×A|
|A| sin φ
= dθ×A
23
図 8: 無限小回転
と表せます。
このような無限小回転の表現は、特に物理において、角速度ベクトルと関連し
て重要になります。
1.13
座標の接ベクトルと基底
N 次元ユークリッド空間における適当な座標 (一般座標) を ξi としたとき、
ti =
∂r
∂ξi
ei =
ti
|ti |
をこの座標の接ベクトル、
をこの座標の基底といいます。明らかに、|ei | = 1. すなわち基底はすべて単位ベ
クトルです。
例えば、2 次元ユークリッド空間において、
r = (r cos θ, r sin θ)
で極座標 ξ1 = r, ξ2 = θ を定義したとき、その接ベクトルは、
t1 =
∂r
= (cos θ, sin θ),
∂r
t2 =
∂r
= (−r sin θ, r cos θ)
∂θ
となり、|t1 | = 1, |t2 | = r に注意して、基底は、
e1 = (cos θ, sin θ),
e2 = (− sin θ, cos θ)
となります。極座標とその基底においては、位置ベクトルは r = re1 と書けるこ
とになります。r は動径座標と呼ばれます。
24
極座標のように、基底 ei が空間の点に依存する座標は、特に曲線座標と呼ばれ
ます。依存しない場合は直線座標と呼ばれます。また極座標においては、e1 ·e2 = 0
がわかりますが、一般に ei ·ej = δij となる座標は直交座標と呼ばれます。極座標
は曲線座標でかつ直交座標だというわけです。デカルト座標は直線座標でかつ直
交座標です。
いま、基準となるデカルト座標を xi , 任意のデカルト座標を x0i = Λij xj − ai と
すると、
Λij xj = x0i + ai ∴ Λik Λij xj = Λik (x0i + ai ) ∴ xk = Λik (x0i + ai )
に注意して、ダッシュ系の接ベクトルは、
µ
¶
∂r
∂xj
0
(ti )j =
=
= Λij .
∂x0i j
∂x0i
このとき、t0i · t0j = δij がわかり、特に |t0i | = 1 なので、ダッシュ系の基底は、
(e0i )j = Λij で与えられます。よって、
(A0i e0i )j = Λik Ak Λij = Aj = (A)j
∴ A = A0i e0i .
これは任意のデカルト座標とその基底において、ベクトル A を、
A = A i ei
と展開できることを意味しています。この基底を用いた表示により、ベクトルを
特定のデカルト座標から離脱させ、大きさと方向を持つ量という抽象的な概念と
して捉えられることに注意してください。
同様に、2 階のテンソル T に対し、任意のデカルト座標とその基底において、
T = Tij ei ej
がいえます。
1.14
体積と面積
3 次元ユークリッド空間における体積要素は、デカルト座標を xi として、
d3 r = dx1 ∧ dx2 ∧ dx3
で定義されます。∧ はくさび積 (ウェッジ積) と呼ばれる積演算で、双線形性、お
よび反可換性 :
dx ∧ dy = −dy ∧ dx
25
を持つものとします。このため例えば、dx ∧ dx = 0 です。微分量をくさび積によ
り n 個かけわせたものは n 形式と呼ばれます。体積要素 d3 r は 3 形式です。
一般座標を ξi とすると、
∂x1 ∂x2 ∂x3
∂x1 ∂x2 ∂x3
dξi ∧ dξj ∧ dξk = ²ijk
dξ1 ∧ dξ2 ∧ dξ3
∂ξi ∂ξj ∂ξk
∂ξi ∂ξj ∂ξk
∂x
dξ1 ∧ dξ2 ∧ dξ3 .
= det
∂ξ
d3 r =
ここで det(∂x/∂ξ) は ∂xi /∂ξj を成分とする行列の行列式で、ヤコビアンと呼ば
れます。ヤコビアンはスカラー 3 重積を用いて、
·
¸
∂x
∂xi ∂xj ∂xk
∂r ∂r ∂r
det
= ²ijk
=
∂ξ
∂ξ1 ∂ξ2 ∂ξ3
∂ξ1 , ∂ξ2 , ∂ξ3
と表すこともできます。例えば、3 つのベクトル a, b, c で張られる平行六面体 V
は、
r = ξ1 a + ξ2 b + ξ3 c (0 ≤ ξi ≤ 1)
と表されるので、その体積は、
Z
Z 1
Z
Z 1
dξ2
d3 r =
dξ1
V
0
0
·
1
dξ3
0
¸
∂r ∂r ∂r
= [a, b, c ]
∂ξ1 , ∂ξ2 , ∂ξ3
ということになります。
一方、3 次元ユークリッド空間における面積要素 (2 次元的体積要素) は、
(d2 r)i =
1
²ijk dxj ∧ dxk
2
という 2 形式で定義されます。面上の一般座標 ξi (i = 1, 2) においては、
µ
¶
1
∂xj ∂xk
∂r ∂r
2
(d r)i = ²ijk
dξl ∧ dξm =
×
dξ1 ∧ dξ2
2
∂ξl ∂ξm
∂ξ1 ∂ξ2 i
と書けます。例えば、2 つのベクトル a, b で張られる平行四辺形 S は、
r = ξ1 a + ξ2 b (0 ≤ ξi ≤ 1)
と表されるので、その面積 (ベクトル) は、
Z
Z 1
Z 1
∂r ∂r
2
×
= a×b
dr=
dξ1
dξ2
∂ξ
∂ξ
1
2
S
0
0
となります。
26
一般に N 次元ユークリッド空間においては、デカルト座標を xi として、N 次
元体積要素は、
1
²i i ···i dxi1 ∧ dxi2 ∧ · · · ∧ dxiN
N! 1 2 N
= dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxN
dN r =
で定義され、これは合同変換に対し擬スカラーとみなせます。一方、(N −1) 次元
体積要素は、
1
(dN−1 r)i =
²ii ···i dxi2 ∧ · · · ∧ dxiN
(N −1)! 2 N
で与えられ、これは軸性ベクトルとみなせます。同様にして、(N −2) 次元体積要
素は 2 階の反対称擬テンソル、(N −3) 次元体積要素は 3 階の完全反対称疑テンソ
ルとみなせます。一般に完全反対称テンソルにレビ・チビタを乗じ作ったテンソ
ルを元のテンソルの双対などと呼びますが、体積要素はデカルト座標の微分形式
の双対として定義されるわけです。
(余談) dx ∧ dy を単に dxdy と略記することが多いです。その場合でも、dx と dy の積は本当は
くさび積であり、反可換の積であるということを忘れてはいけません。すなわち dxdy = −dydx.
大学で最初にくさび積について学ぶと、何か抽象的で得体の知れない感覚に陥りますが、このよ
うなことは、実は “義務教育で習ったか習っていないか” に依るところが大きいといえます。義務
教育で習えば、例えば (−1) × (−1) = 1 もすんなり認めてしまい、当たり前だと思ってしまうわ
けです。整数や四則演算の定義は、数学基礎論や算術の教科書を見ればわかるように、実はあまり
簡単でないにもかかわらずです。
1.15
3 次元極座標と球の計量
3 次元ユークリッド空間において、
r = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ),
0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ ≤ 2π
で 3 次元極座標 r, θ, φ を定義します (図 9)。これは 3 次元ユークリッド空間の全
てを覆う座標になっています。
このとき、|r| = r. また、
r
∂r
= (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) =
∂r
r,
∂r
= (r cos θ cos φ, r cos θ sin φ, −r sin θ),
∂θ
∂r
= (−r sin θ sin φ, r sin θ cos φ, 0)
∂φ
27
図 9: 3 次元極座標
ですから、
∂r ∂r
×
= (r2 sin2 θ cos φ, r2 sin2 θ sin φ, r2 sin θ cos θ) = r sin θ r,
∂θ ∂φ
¸
·
r
∂r ∂r ∂r
= ·(r sin θ r) = r2 sin θ
∂r, ∂θ, ∂φ
r
がわかります。
そうすると、例えば、半径 R の球の体積は、
·
¸
Z
Z R Z π Z 2π
∂r ∂r ∂r
3
dr=
dr
dθ
dφ
∂r, ∂θ, ∂φ
球内部
0
0
0
Z R Z π Z 2π
4
=
dr
dθ
dφ r2 sin θ = πR3
3
0
0
0
一方、表面積は、
Z
Z
|d2 r| =
Z
π
dθ
0
球表面
2π
Z
=
Z
π
0
2π
dθ
0
¯
¯
¯ ∂r ∂r ¯
¯
dφ ¯¯
×
∂θ ∂φ ¯r=R
dφ R2 sin θ = 4πR2
0
となることがわかります。
1.16
ナブラ
デカルト座標 xi による偏微分演算子 ∂i = ∂/∂xi は、合同変換に対して、
∂xj ∂
∂
= Λij ∂j
∂i0 = 0 =
∂xi
∂x0i ∂xj
28
と変換されるのでベクトルです。この偏微分演算子をベクトルの記法で ∇ と書い
てナブラと呼びます。すなわち、
(∇)i = ∂i .
スカラー場 φ(r) に関して、ベクトル場 ∇φ(r) をその勾配といいます。また、
ベクトル場 A(r) に関して、スカラー場 ∇·A(r) をその発散といいます。また、
3 次元ユークリッド空間においては、軸性ベクトル場 ∇×A(r) を A(r) の回転と
いいます。
¶2 µ
¶2
µ
¶2
µ
∂
∂
∂
+
+ ··· +
4 = ∇·∇ = ∂i ∂i =
∂x1
∂x2
∂xN
はラプラシアンと呼ばれます。これは合同変換に対して不変な微分演算子になり
ます。
特に 3 次元ユークリッド幾何学においては、
gradφ = ∇φ,
divA = ∇·A,
rotA = curlA = ∇×A
という表記もよく用いられます。
1.17
外微分とストークスの定理
一般に N 次元空間 (計量空間でなくてもよい) において、任意の n 次元領域を
V , その境界の (n−1) 次元閉領域を ∂V , 任意の (n−1) 形式を α としたとき、
Z
Z
α=
dα
∂V
V
という、極めてシンプルな定理が成り立ちます。これをストークスの定理といい
ます。
ここで d は外微分 (演算子) で、これは微分を表す記号 d を拡張したものです。
外微分は、線形性、及び次の性質を持つものとします :
∂φ
dφ =
dξi , d2 = 0, d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)s α ∧ dβ.
∂ξi
( ここで φ は 0 形式、α は s 形式、s ≥ 0 )
ストークスの定理の証明は以下の通りです。少し難しいのでじっくり読む必要
があります。
[証明] まず、任意の向き付けられた曲線を C とし、その始点を A, 終点を B と
R
すると、空間上の任意の関数 (0 形式) φ に対し、 C dφ = φ(B) − φ(A) ですから、
Z
φ = φ(B) − φ(A)
∂C
29
と定義することで、n = 1 の場合のストークスの定理が成立します。これは初等
的にはあまり見かけない表記法なので注意してください。
次に n ≥ 2 の場合ですが、n 次元の可縮領域 V とその境界 ∂V が、
V = { (ξ1 , · · · , ξN ) | 0 ≤ ξ1 ≤ 1, −π ≤ ξp ≤ π, ξq = 0 }
∂V = { (ξ1 , · · · , ξN ) |
ξ1 = 1,
−π ≤ ξp ≤ π, ξq = 0 }
( ただし p = 2, · · · , n, q = n + 1, · · · , N )
となるように一般座標 ξi を選びます。ただし、各々の ξ1 の値に対し、いずれか
の p について ξp = π または ξp = −π となる点は全て同一とします。このような
座標を領域 V の葉層座標といいます (∗) 。このとき (n−1) 形式、
α = ξ1k f (ξ2 , · · · ξN ) dξ2 ∧ · · · ∧ dξn
(k = 0, 1, 2, · · · )
に対し、
dα = kξ1k−1 f (ξ2 , · · · ξN ) dξ1 ∧ dξ2 ∧ · · · ∧ dξn + ( dξq を含む項 )
R
R
R
ですから、 ∂V α および V dα は、共に f (ξ2 , · · · , ξn ) dξ2 ∧ · · · ∧ dξn となり、定
理が成立します。ただし k = 0 のときは k = ² → +0 という極限として理解しま
R
R
す。一方、α に dξ1 や dξq が含まれる場合は、 ∂V α および V dα は共に 0 とな
R
R
るので、やはり定理が成り立ちます。以上の事柄と、 ∂V α および V dα が線形
性を持つことから、任意の (多項式的な) (n−1) 形式 α と可縮領域 V に対して定
理が成立します。V が可縮でない場合は、複数の可縮領域の連結を考えることで、
やはり定理が成り立ちます。[証明終]
(*注) 正方形の 4 辺を全て 1 点に縮めると、正方形の内部は球面のようになるでしょう。風呂敷
で物を包む様子をイメージしてください。一般に、n 次元超立方体の境界を 1 点に縮めたものは n
次元超球面 (S n ) と大域的に同相です。よって ∂V は S n−1 と同相です。例えば、2 次元ユークリッ
ド空間の極座標 r, θ に対し、ξ1 = r/R, ξ2 = θ で定義される座標は、原点を中心とする半径 R の
円に対する葉層座標になります。また、3 次元ユークリッド空間の極座標 r, θ, φ に対し、ξ1 = r/R,
ξ2 = 2 arctan(tan(θ/2) cos φ), ξ3 = 2 arctan(tan(θ/2) sin φ) で定義される座標は、原点を中心とす
る半径 R の球に対する葉層座標になります。ここで arctan は tan の逆関数です。
1.18
ガウスの定理
3 次元ユークリッド空間においては、空間上の任意の関数 (0 形式) を φ = φ(r)
として、
dφ = dxi ∂i φ,
d(dxi φ) = −dxi ∧ dφ = −dxi ∧ dxj ∂j φ = −²ijk d2 xk ∂j φ = ²ikj d2 xk ∂j φ,
1
d(d2 xi φ) = d2 xi ∧ dφ = ²ijk dxj ∧ dxk ∧ dxl ∂l φ
2
1
= ²ijk ²jkl dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∂l φ = δil d3 x ∂l φ = d3 x ∂i φ.
2
30
ここで、d3 x = d3 r, d2 xi = (d2 r)i です。また、面積要素の定義からすぐにわかる
関係式、dxi ∧ dxj = ²ijk d2 xk を用いました。
よってストークスの定理は、1 次元領域 C, 2 次元領域 S, 3 次元領域 V に対
して、
Z
Z
Z
Z
Z
Z
2
2
=
dr·∇,
dr =
d r×∇,
dr=
d3 r ∇
∂C
C
∂S
S
∂V
V
を与えます。2 番目の式はやはりストークスの定理と呼ばれ、最後の式はガウスの
定理と呼ばれます。
ここで境界 ∂S の向きですが、図 10 左のように葉層座標を取ると、面 S の面積
∂r ∂r
要素
×
dξ1 ∧ dξ2 は図の上向きとなり、S と ∂S の関係は右ねじの規則に
∂ξ1 ∂ξ2
より与えられることがわかります。一方、∂V の向きは、図 10 右のように葉層座
標を取ることで、V の体積要素は (右手系の場合) 正となり、このとき、∂V の面
∂r ∂r
×
dξ2 ∧ dξ3 は領域 V から外向きということになります。
積要素
∂ξ2 ∂ξ3
図 10: 境界の向き
これら 3 次元空間における積分の定理は、物理においては特に電磁気学において
多用され、重要です。
(余談) 3 次元におけるガウスの定理やストークスの定理に限っていえば、もう少し直接的に導
出することもできますが、ここでは一般的なストークスの定理から演繹しました。初学者には少
し難しいかもしれませんが、3 次元のみ知っていて、一般次元においてどうなるのかわからないと
いうのも気持ち悪いことだと思うので、頑張ってフォローしてください。
31
2
関数論と応用数学
複素関数論やこれを応用した数学は物理においてよく用いられ、重要です。ここ
に手短にまとめておきます。関数論の簡単な説明の後、微分方程式の解法、ガン
マ関数、デルタ関数、フーリエ変換について説明し、理論物理学の準備とします。
2.1
指数関数と対数関数
極限値、
e = lim (1 + h)1/h ∼ 2.71828
h→0
を自然対数の底、あるいはネイピア数といいます。また、実数 x に対し、
exp x = ex
を指数関数といいます。指数関数の逆関数を対数関数 (log) といい、
y = log x ⇔ x = ey
で定義します。対数関数の定義域は x > 0 です (図 1)。
log(xy) = log x + log y,
log(xy ) = y log x
という性質が確かめられるでしょう。また、
³
´
log(1 + h)
1/h
lim
= lim log (1 + h)
= log e = 1
h→0
h→0
h
がわかるので、これを用いて、微分公式、
1
d
log x =
dx
x,
d x
e = ex
dx
を得ます。これらはあくまで実数における関数です。三角関数、指数関数、対数
関数は初等関数と呼ばれ、高校においても必ず習う、必須の関数です。
また、高校では習いませんが、
ex + e−x
cosh x =
2,
ex − e−x
sinh x =
2,
32
tanh x =
sinh x
cosh x
図 1: 指数対数関数と双曲線関数
で定義される双曲線関数も物理ではよく登場します。このとき、
cosh2 x − sinh2 x = 1,
d
cosh x = sinh x,
dx
d
sinh x = cosh x.
dx
曲線 {(cosh θ, sinh θ)| θ は実数 } が双曲線を意味するため、この名前で呼ばれま
す。三角関数 cos θ, sin θ はこの意味で ‘円関数’ であり、そう呼ばれることもあり
ます。
(余談) 特に工学の方面においては、自然対数を ln と表すことがあります。この場合、log は常
用対数を意味することが多く、すなわち、y = log x ⇔ x = 10 y です。例えば Excel ではこのよう
な用法になっています。一方、Excel に付属されている VBA では log は自然対数を意味します。
ややこしいですね。傾向として、理論方面に行けば行くほど、常用対数を使うことがなく、log は
自然対数を意味するようです。
2.2
複素数と複素関数
実数 x, y に対し、
z = x + iy
で与えられる数を複素数といいます。ここで i は虚数単位と呼ばれる代数で、
i2 = −1
を満たすものとします。複素数の集合は加減乗除の演算において閉じていて、実
数と同様、結合法則、交換法則、分配法則を持ちます。すなわち体を成すわけで
33
す。z = x + iy に対し、x を z の実部といい、Re z と書きます。また、y を z の
虚部といい、Im z と書きます。(x, y) が作る 2 次元空間を複素平面といいます。
複素数 z = x + iy の指数関数を、
ez = ex (cos y + i sin y)
で定義します。このとき、複素数 z, w に対し、
ez ew = ez+w
が以下のようにしてわかります。
[証明] z = x + iy, w = u + iv とすると、三角関数の加法定理に注意して、
ez ew = ex (cos y + i sin y) eu (cos v + i sin v)
¡
¢
= ex+u cos y cos v − sin y sin v + i(sin y cos v + cos y sin v)
¡
¢
= ex+u cos(y + v) + i sin(y + v) = ex+u+i(y+v) = ez+w . [証明終]
特に、実数 θ に対し、
eiθ = cos θ + i sin θ
ですが、これはオイラーの式と呼ばれます。
複素数 z = x + iy は、x = r cos θ, y = r sin θ で極座標 r, θ を導入すると、
z = reiθ
と書けますが、これを複素数の極形式といいます (図 2)。
図 2: 複素数の極形式
p
r = x2 + y 2 を z の大きさ (ノルム) といい、|z| と書きます。θ = arctan(y/x)
を z の偏角といい、Arg z と書きます。複素数の積において、大きさは乗法的で
偏角は加法的になること、すなわち、
|zw| = |z||w|,
Arg(zw) = Arg z + Arg w
34
が確かめられるでしょう。
複素数においても、指数関数の逆関数として対数関数を定義します。すなわち、
w = log z ⇔ z = ew .
一般に、n を整数としたとき、ei2πn = 1 であることに注意すると、r, θ を実数と
して、elog r+i(θ+2πn) = reiθ がわかるので、
log(reiθ ) = log r + i(θ + 2πn)
を得ます。複素数の対数関数は多価であること (複数の値を持つこと) がわかります。
複素数 z の三角関数は、
eiz + e−iz
eiz − e−iz
, sin z =
cos z =
2
2i
で定義されます。双曲線関数の定義は実数の場合と同じです。よって、
cos z = cosh(iz),
sin z = −i sinh(iz).
一方、複素数による “べき” は、
az = ez log a
で定義されます。a, z は複素数です。このとき、
az aw = az+w ,
(az )w = azw ,
log(zw) = log z + log w,
log(az ) = z log a
が確かめられます。指数法則や対数関数の性質が、複素数の世界においても保持
されるわけです。あるいは、そうなるように考慮し関数の定義域を複素数に拡張
したともいえます。
[例題] 2 次方程式 z 2 = i を解け。
1
1
1
[解] z = i 2 = e 2 log i = e 2 log e
2.3
iπ/2
π
π
1
1+i
= e 2 i( 2 +2πn) = ei( 4 +πn) = ± √
[解終]
2.
複素微分と正則
複素数から複素数への写像 f , および複素平面の領域 S に対し、
³
´
∀z ∈ S lim f (z + ∆z) = f (z)
∆z→0
のとき、f は S において連続であるといいます。∆z は複素数で、上式は ∆z を
任意の方向から 0 に近づけ、その極限が全て関数の値 f (z) に一致するという意味
です。このときさらに、
¶
µ
f (z + ∆z) − f (z)
= f 0 (z)
∀z ∈ S lim
∆z→0
∆z
35
を満たす関数 f 0 が存在するとき、f は S において正則 (微分可能) であるといい、
f 0 を f の導関数といいます。
いま、u + iv = f (x + iy) とおくと、実数 u, v は共に、実数 x, y の 2 変数関数
とみなせますが、∆z = h ( h は実数) のとき、
f (z + ∆z) − f (z)
f (x + iy + h) − f (x + iy)
= lim
∆z→0
h→0
∆z
h
u(x + h, y) + iv(x + h, y) − u(x, y) − iv(x, y) ∂u
∂v
= lim
=
+i
h→0
h
∂x
∂x.
lim
同様に、∆z = ih のとき、
f (z + ∆z) − f (z) ∂v
∂u
=
−i
∆z→0
∆z
∂y
∂y
lim
が示せるので、考えている領域において f が正則である条件は、
∂u ∂v
=
∂x ∂y
∂u
∂v
=−
∂y
∂x
かつ
となり、これをコーシー・リーマン方程式といいます。
実数の場合と同様に、次の微分公式を証明できます。
d a
d z
d
1
z = az a−1 ,
a = az log a,
log z =
dz
dz
dz
z,
d
d
sin z = cos z,
cos z = − sin z.
dz
dz
(余談) コーシー・リーマン方程式から、実 2 変数関数 u, v は、それぞれ、4u = 0, 4v = 0 を
満たします。ここで 4 = (∂/∂x)2 + (∂/∂y)2 は 2 次元ラプラシアンです。一般に 4φ = 0 を満た
す 2 変数関数 φ は調和関数と呼ばれます。よって u, v は調和関数ということになります。
2.4
マクローリン展開とテイラー展開
正則な関数 f を次のように多項式展開したとしましょう :
2
f (z) = c0 + c1 z + c2 z + · · · =
∞
X
ck z k .
k=0
ここで ck (k = 0, 1, 2, · · · ) は複素数の定数です。この式を n 回微分し z = 0 とお
けば、f の n 階導関数を f (n) として、f (n) (0) = cn n! を得るので、
f (z) =
∞
X
f (k) (0)
k=0
36
k!
zk.
これを f のマクローリン展開といいます。例えば f (z) = ez とすると、f (k) (0) = 1
なので、
∞
X
1 k
z
e =
z .
k!
k=0
また、マクローリン展開の式において g(z) = f (z − a) とおくと、
g(z) =
∞
X
g (k) (a)
k=0
k!
(z − a)k
を得ますが、これを関数 g の a におけるテイラー展開といいます。
2.5
複素積分とコーシーの定理
複素数による積分は一般に複素平面上の経路に依存した概念であり、経路を C
としたとき、
Z
dz f (z)
C
と書きます。ここで dz は、x, y を実数として、dx + idy という微分形式として
理解します。
複素平面のある領域 S において関数 f が正則であるとき、
Z
dz f (z) = 0
∂S
です。これをコーシーの定理といいます。∂S は S の境界を成す閉曲線で、反時
計周りの向きを持つものとします。
[証明] z = x + iy, f (z) = u + iv とすると、
d(dz f (z)) = −dz ∧ df (z) = −(dx + idy) ∧ (du + idv)
µ
¶
∂u
∂u
∂v
∂v
= −(dx + idy) ∧
dx +
dy + i
dx + i
dy
∂x
∂y
∂x
∂y
µ
¶
∂u ∂v ∂u
∂v
= dx ∧ dy i
−
−
−i
∂x ∂x ∂y
∂y
ですが、コーシー・リーマン方程式からこれは S のどの点においても 0 です。よっ
R
R
てストークスの定理 : ∂S α = S dα において α = dzf (z) とおくことにより与題
を得ます。[証明終]
コーシーの定理から、領域 S において関数 f が正則なら、図 3 に示す 2 つの経
路 C, C 0 における f の積分値は同じです。このことから一般に、複素積分の値は、
37
図 3: 積分経路の変形
積分経路を被積分関数が正則な領域を掃くよう変形しても変わらないことになり
ます。
領域 S において関数 g が正則のとき、
Z
g(z)
2πi
=
g (n−1) (a)
dz
n
(z − a)
(n−1)!
∂S
(a ∈ S,
n = 1, 2, · · · )
がいえます。これをコーシーの積分定理、あるいはグルサの公式といいます。
R
[証明] まず ∂S dz g(z)/(z − a) という積分を考えると、被積分関数は領域 S に
おいては点 a を除き正則なので、積分経路を a の周りの小さな円にすることがで
きます。そこで、積分変数を z = a + reiθ (r → 0) とおいて、
Z
Z 2π
g(z)
g(a + reiθ )
dz
= lim
= 2πi g(a).
ireiθ dθ
z − a r→0 0
reiθ
∂S
この式を a で (n−1) 回微分して与題を得ます。[証明終]
2.6
留数定理
複素数 z の (1 価の) 関数 f (z) が z = a で発散するとき、a を f の極といいま
す。またこのとき、lim(z − a)n f (z) が収束する最小の整数 n をこの極の位数とい
z→a
z
います。例えば、f (z) =
は i に 3 位の極、−2 に 2 位の極を持つ
(z − i)3 (z + 2)2
というわけです。
関数 f が領域 S においていくつかの極 ai (i = 1, 2, · · · , N ) を持ち、その他の
点において正則なら、
Z
dz f (z) = 2πi
∂S
N
X
i=1
1
lim
Res(a) =
(n−1)! z→a
Res(ai ),
µ
d
dz
¶n−1
(z − a)n f (z)
( n は極 a の位数)
がいえます。Res(a) を留数といい、この定理を留数定理といいます。
38
R
[証明] コーシーの定理から積分 ∂S dz f (z) は S 内で f が持つ極の周りの積分
の和になります (図 4 参照。×印は極を意味します)。特に極 a の周りの積分は
f (z) = g(z)/(z − a)n とおけば g(z) は a の近傍で正則とみなされるため、ちょう
どグルサの公式に帰着し、よって与題が得られます。[証明終]
図 4: 留数定理
留数定理により、閉曲線における複素積分は、閉曲線内部にある極の情報だけ
から求められるわけです。またその応用により、通常計算が困難とされる実積分
を計算することもできます。以下に例を 2 つあげます。
Z ∞
dx
[例題] 広義積分 : I =
の値を求めよ。
4
x +1
0
[解] まず、十分大きな実数 R に対し図 5 のような周回経路 C を考え、
Z
dz
I0 =
4
C z +1
とおきます。
図 5: 閉曲線 C
C の内部における極は、eiπ/4 , ei3π/4 にあり、共に位数は 1 です。留数は、
Res(e
iπ/4
z − eiπ/4
1
e−i3π/4
) = lim
= lim
=
4.
z→ eiπ/4 z 4 + 1
z→ eiπ/4 4z 3
39
途中、計算を手早く行うためロピタルの定理を用いました。同様に Res(ei3π/4 ) =
e−iπ/4 /4 がわかるので、留数定理から、
¶
µ −i3π/4
−iπ/4
e
e
π
I 0 = 2πi
+
=√
4
4
2.
一方、
Z
R
dx
I =
+
4
−R x + 1
0
Z
π
0
iReiθ dθ
(Reiθ )4 + 1
ですが、R → ∞ で前の項は 2I, 後ろの項は 0 になるので、I 0 = 2I. よって、
I0
π
I= = √
2
2 2.
Z
2π
[例題] 定積分 : I =
0
[解終]
dφ
の値を求めよ。ただし 0 < ² < 1.
(1 + ² cos φ)2
[解] z = eiφ とおくと、dφ = dz/(iz), cos φ = (z + z −1 )/2 に注意して、
Z
Z
1
dz
4
z
I=
= 2
dz µ
¶2
µ
¶
2
i² C
2
z + z −1
C iz
z2 + z + 1 .
1+²
²
2
ここで C は 0 を中心とする単位円です。2 次方程式 z 2 + (2/²)z + 1 = 0 の解が、
√
−1 ± 1 − ²2
α± =
²
で、このうち α+ のみが C の内部にあるとわかるので、留数定理を用いて、
Z
4
z
4
d
z
I= 2
dz
=
2πi
lim
z→α+ dz (z − α− )2
i² C
(z − α+ )2 (z − α− )2
i²2
−z − α−
8π −α+ − α−
8π
2/²
8π
= 2
= 2 ¡ √
= 2 lim
¢
3
3
² z→α+ (z − α− )
² (α+ − α− )
² 2 1 − ²2 /² 3
=
2.7
2π
(1 − ²2 )3/2 .
[解終]
複素共役とエルミート共役
複素数 z = x + iy に対し、
z ∗ = x − iy
で z の複素共役を定義します。このとき、
z ∗ z = |z|2 ≥ 0 ( 等号成立は z = 0 ).
40
また、2 つの複素数 z, w に対して、(z + w)∗ = z ∗ + w∗ , (zw)∗ = z ∗ w∗ . さらに、
∗
(ez )∗ = ez などが確かめられるため、一般に複数の複素数 z1 , z2 , · · · とその任意の
多変数関数 f に関して、
f (z1 , z2 , · · · )∗ = f (z1∗ , z2∗ , · · · )
です。
一方、複素数を成分とする行列 A に対して、
(A∗ )ij = A∗ij
で行列の複素共役を定義します。すなわち行列の複素共役は、その各成分を複素
共役とした行列です。また、複素共役の転置、
A† = A∗T
でエルミート共役を定義します。性質、
(A + B)† = A† + B † ,
(cA)† = c∗ A† ,
(AB)† = B † A†
が確かめられるでしょう。ここで c は複素数です。
複素数を成分とするベクトル ( N × 1 行列) a, b について、
a·b = a† b = a∗i bi
で内積を定義します。このとき、
(a·b)∗ = b·a, a·a ≥ 0 ( 等号成立は a = 0 )
√
が確かめられます。|a| = a·a でベクトルの大きさ (ノルム) を定義するのは実
ベクトルと同じです。
A† = A を満たす行列 A はエルミート行列と呼ばれます。A† A = δ を満たす行
列 A はユニタリ行列と呼ばれます ( δ は単位行列)。エルミート行列は対称行列の
複素数版、ユニタリ行列は直交行列の複素数版と考えることができます。
ユニタリ行列による線形変換 (ユニタリ変換) は複素ベクトルの内積を保存する
ことが確かめられるでしょう :
( a0 = Aa かつ b0 = Ab かつ A† A = δ ) ⇒ a0 · b0 = a·b.
これは直交行列が実ベクトルの内積を保存することの複素数版です。
41
2.8
行列の固有方程式と対角化
N 次正方行列 A に対し、方程式、
Av = λv
(v 6= 0)
を A の固有方程式といい、複素数 λ を固有値、v をその固有値に関する固有ベ
クトルといいます。
いま、行列 A の固有値が N 個求まり、固有値 λk (k = 1, 2, · · · , N ) に関する固
有ベクトルを v k とすると、
A(v 1 , v 2 , · · · , v N ) = (λ1 v 1 , λ2 v 2 , · · · , λN v N )
= (v 1 , v 2 , · · · , v N ) diag(λ1 , λ2 , · · · , λN ).
ここで B = (v 1 , v 2 , · · · , v N ) は縦ベクトル v k を横に並べて作った行列であり、ま
た、diag(λ1 , λ2 , · · · , λN ) は λ1 , λ2 , · · · , λN を対角成分とする対角行列です (非対
角成分が全て 0 の行列)。よってもし B の逆行列が存在するなら、
A = B diag(λ1 , λ2 , · · · , λN )B −1
がわかりますが、この式を行列 A の対角化といいます。簡単な例で確認しておき
ましょう。
µ
¶
0 1
[例題] 2 次正方行列 A =
を対角化せよ。
1 0
[解] 固有方程式は、
µ
¶
µ
¶
µ
¶
0 1
λ 0
−λ 1
Av = λv ∴
v=
v ∴
v = 0.
1 0
0 λ
1 −λ
µ
¶
−λ 1
v 6= 0 より det
= λ2 − 1 = 0 ∴ λ = ±1.
1 −λ
µ ¶
1
このとき v =
(複号同順) で固有方程式が満たされるので、
±1
µ
¶
1
1
A = B diag(1, −1)B −1 , ここで B =
. [解終]
1 −1
ただし固有ベクトル v にはそれぞれ定数倍の不定性があるため、行列 B にもこ
れに関連した不定性があることに注意してください。
42
2.9
行列の指数関数
正方行列 A の指数関数は、
∞
X
1 n
e =
A
n!
n=0
A
により定義されます。すなわち指数関数のマクローリン展開式を正方行列に適用
し、定義するわけです。
二項定理 :
s
(a + b) =
s
X
n=0
s!
an bs−n
n!(s−n)!
に注意すると、正方行列 A, B が互いに可換なとき、
A B
e e =
=
∞ X
∞
X
n=0 m=0
∞
X
s=0
∞
s
XX
1
1
n m
A B =
An B s−n
n!m!
n!(s−n)!
s=0 n=0
1
(A + B)s = eA+B
s!
がわかります。よって eA の逆行列は e−A です。また、A がエルミート行列のと
き eiA がユニタリ行列になることもわかるでしょう。
一方、正方行列 A, B に対して一般に (BAB −1 )n = BAn B −1 であることに注意
すると、
−1
eBAB = B eA B −1 .
また、diag(λ1 , λ2 , · · · , λN )n = diag(λn1 , λn2 , · · · , λnN ) に注意すれば、
ediag(λ1 ,λ2 ,··· ,λN ) = diag(eλ1 , eλ2 , · · · , eλN )
が確かめられます。
µ
¶
0 1
[例題] A =
のとき U = eiθA を求めよ。
1 0
[解] 先の例題の結果と上の性質に注意して、
−1
U = eiθB diag(1,−1)B = B ediag(iθ,−iθ) B −1 = B diag(eiθ , e−iθ )B −1
µ
¶ µ
¶
µ
¶ µ iθ
¶
1 −1 −1
cos θ i sin θ
1 1
e
0
=
. [解終]
=
i sin θ cos θ
1 −1
0 e−iθ −2 −1 1
(余談) 固有方程式や対角化は高校数学の教科書に系統的な形では書かれていませんが、事実上、
大学受験生は知っているとしたものです。一方、行列の指数関数を高校で習うことはないでしょう。
43
2.10
1 階の微分方程式
微分方程式は、微分を含んだ方程式のことで、それを満たす関数を求めること
を、その微分方程式を解くといいます。物理では微分方程式を解くことが必要に
なってきます。代表的な形と解き方について、ここで簡単に説明します。
1 階の微分方程式は、1 階微分だけを含んだ微分方程式のことで、
dy
= f (x, y)
dx
という形です。これを一般に解析的に解くことは難しいですが、
dy
= p(x)q(y)
dx
のように、右辺が x, y それぞれの関数の積に分離する場合は、変数分離形と呼ば
れ、基本的に、
Z
Z
dy
= dx p(x)
q(y)
と変形され、すなわち不定積分に帰着します。不定積分はそれ自体解析的とみな
されるので、これで微分方程式が解けたと考えられます。変数分離形は容易に解
けるわけです。
また、
³y ´
dy
=f
dx
x
という形の微分方程式は、同次形と呼ばれ、u = y/x とおくことで変数分離形に
帰着し、解けます。例をもって確認しておきましょう。
[例題] 微分方程式
dy
y
=
を解け。
dx y + x
[解] 右辺の分母分子を x で割るとわかるように、これは同次形です。u = y/x
とおくと、
xu
d(xu)
=
dx
xu + x
du
u
∴ u+x
=
dx u + 1
du
u2
∴ x
=−
dx
u+1
となって、これは変数分離形です。右辺が 0 になるのは u = 0 のときで、u = 0 (∀x)
は上式の解になっています。u 6= 0 のときは、
Z
Z
u+1
1
dx
du 2 = −
∴ log u − = − log x + C
u
x
u
と変形され、ここで C は積分定数です。u = y/x だったので、変数を y に戻し
て、x = y log y − Cy と整理されます。また u = 0 ⇔ y = 0 なので、与えられた
微分方程式の解は、y = 0 または x = y log y − Cy です。[解終]
44
2.11
定係数線形微分方程式
x による微分演算子を D = d/dx とし、また、φ を N 次の多項式としたとき、
φ(D)y = f (x)
という形の微分方程式は、N 階の定係数線形微分方程式と呼ばれ、容易に解くこ
とができます。ここで f は任意の関数です。もう少し具体的に書けば、N 次多項
式 φ の n 次の係数を an として、
(aN DN + aN −1 DN −1 + · · · + a1 D + a0 ) y = f (x)
という形です。an が x に依存せず定数なので、定係数といい、微分方程式が y に
ついて 1 次なので、線形というわけです。特に f (x) = 0 のときは斉次 (同次) であ
るといい、このため右辺の f (x) は非斉次項と呼ばれます。
上の微分方程式の解が 1 つ見つかると、線形性から、それに φ(D)y = 0 の解を
加えてもやはり解になっています。よって上の微分方程式の一般解は、特殊解 (特
解) 1 つと、斉次方程式 φ(D)y = 0 の一般解を加えたものになります。
斉次方程式 φ(D)y = 0 の一般解は y = eλx とおくことで得られます。この
とき φ(λ) = 0 ですが、これを特性方程式といいます。特性方程式は N 次方程式
で、これを解くことで N 個の解 λ1 , λ2 , · · · , λN が得られ、このとき y = eλn x
(n = 1, 2, · · · , N ) は全て解なので、これらの線形結合、
y = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x + · · · + CN eλN x
も解です。ここで Cn は任意の定数ですが、これらが N 個あって自由に選べるの
で、これは一般解といえます。
ただし特性方程式が重解を持つときは注意が必要です。例えば、λ が m 重解の
ときは、(D − λ)f (x)eλx = f 0 (x)eλx ∴ (D − λ)m f (x)eλx = f (m) (x)eλx に注意し、
eλx ,
x eλx ,
··· ,
xm−1 eλx
がそれぞれ独立な解であることがわかります。よってこれらの線形結合により、や
はり一般解を構成できることになります。
例を見るのが早いでしょう。
[例題] 微分方程式 y (4) − y (3) − 3y (2) + 5y (1) − 2y = 0 を解け。ただし y (n) は x に
よる y の n 階微分。
[解] 与式は (D4 − D3 − 3D2 + 5D − 2)y = 0 ∴ (D − 1)3 (D + 2)y = 0 なので、
特性方程式は (λ − 1)3 (λ + 2) = 0 で、その解は λ = 1 (3 重解) および λ = −2
45
です。よって一般解は、y = C1 ex + C2 x ex + C3 x2 ex + C4 e−2x と書けます。ここ
で、C1 , C2 , C3 , C4 は任意定数です。[解終]
[例題] 微分方程式 y 00 − 5y 0 + 6y = x2 + 1 を解け。
[解] 右辺が 0 のときは、(D2 − 5D + 6)y = 0 ∴ (D − 2)(D − 3)y = 0 なので、
斉次一般解は、y = C1 e2x + C2 e3x . 一方、特解は、
y=
1
1 2
5
37
2
(x
+
1)
=
x
+
x
+
D2 − 5D + 6
6
18
108
18x2 + 30x + 37
なので、一般解は、y =
+ C1 e2x + C2 e3x です。[解終]
108
ここで (D2 − 5D + 6)−1 (x2 + 1) は、(D2 − 5D + 6) を演算すると (x2 + 1) にな
る式という意味で、図 6 のように割り算と同様な逆算により導出できます。
図 6: 微分演算子による割り算
一方、非斉次項に指数関数や三角関数が含まれる場合は、
1
1
eαx f (x) = eαx
f (x)
φ(D)
φ(D + α)
という公式が有用になります。
[証明] D eαx f (x) = eαx (D + α)f (x) が簡単に確かめられるので、これにより、任
意の多項式 φ について、φ(D)eαx f (x) = eαx φ(D + α)f (x) がわかります。よって、
φ(D)eαx
1
1
f (x) = eαx φ(D + α)
f (x) = eαx f (x)
φ(D + α)
φ(D + α)
46
ですが、これは与題と等価です。[証明終]
三角関数を非斉次項に持つ例を見ておきましょう。
[例題] 微分方程式 y 00 + y = cos(Ax) を解け。ただし A は正の実数とする。
[解] 右辺が 0 のときは、(D2 + 1)y = 0 で、λ2 + 1 = 0 の解は λ = ±i なので、
斉次一般解は、y = C1 eix + C2 e−ix . これはオイラーの式に注意すると、
y = B1 cos x + B2 sin x
と書くこともできます。B1 , B2 は任意定数です。一方、特解は、cos(Ax) = Re eiAx
に注意して、
1
1
y= 2
Re eiAx = Re eiAx
1
D +1
(D + iA)2 + 1

cos(Ax)
1


=
(A 6= 1)
Re eiAx

2
1
1−A
1 − A2
iAx
= Re e
1=

1 − A2 + 2iAD + D2

 Re eix x = x sin x (A = 1)
2i
2
と計算されるので、一般解は、

cos(Ax)


(A 6= 1)

1 − A2
y = B1 cos x + B2 sin x +


 x sin x
(A = 1)
2
となります。[解終]
微分方程式の解き方は以上です。特に物理においては、これくらい知っていれ
ば基礎知識として十分です。
(余談) 物理においては対称性から保存則が得られるので、対称性が十分ある系は 1 階の微分方
程式に帰着し、多くの場合、それは変数分離形です。そうでない場合でも、線形近似と摂動論によ
り計算することが多く、非線形で高階な微分方程式の解を知ることは、それ自体が 1 つの数理的分
野となっていて、非線形物理などと呼ばれます。
2.12
ガウス積分とガンマ関数
広義積分、
Z
∞
I=
2
dx e−x
−∞
をガウス積分といいます。自乗を作ると、
Z ∞
Z ∞
Z
2
−x2
−y 2
I =
dx e
dy e
=
−∞
−∞
∞
dx
−∞
47
Z
∞
−∞
2
dy e−x
−y 2
ですが、積分変数を極座標に変換し、
Z ∞ Z 2π
Z
2
−r2
I =
dr
dθ r e = 2π
0
0
∞
2
dr r e−r .
0
この積分は積分変数を s = r2 に置換すれば実行できて、結果、I 2 = π を得ます。
よって、
Z ∞
√
2
dx e−x = π.
−∞
あるいはここから、
Z
∞
r
2
dx e−ax =
−∞
π
a
(a > 0)
という公式を得ます。
一方、x > 0 に対して、
Z
∞
Γ(x) =
dt tx−1 e−t
0
でガンマ関数を定義します。容易に、
Γ(1) = 1,
Γ(x + 1) = xΓ(x)
が確かめられるので、正の整数 n に対して、
Γ(n) = (n − 1)!
です。すなわちガンマ関数は階乗の定義域を正の実数にまで拡張した関数になっ
ています。Γ(1/2) はガウス積分に帰着することがわかり、
³1´ √
Γ
= π.
2
また、
Γ(1 + ²) = ² Γ(²)
∴ lim ² Γ(²) = 1.
²→0
すなわち Γ(x) は x → 0 において発散し、その留数は 1 です。
(余談) “x > 0” のように定義域を不等式で表したときは、暗黙に x は実数と考えます。複素
数には大小関係 (順序関係) がないことに注意。ただしガンマ関数は、性質 Γ(x + 1) = xΓ(x) を
用いて、容易にその定義域を 0 以下の整数を除く実数全体に拡張することができます。例えば、
√
Γ(−1/2) = Γ(1/2)/(−1/2) = −2 π.
2.13
n 次元球の体積
ガウス積分およびガンマ関数の風変わりな応用として、n 次元球の体積の問題が
あります。
Z
Z
Z
∞
I=
∞
dx1
−∞
∞
dx2 · · ·
−∞
−∞
48
2
2
2
dxn e−(x1 +x2 +···+xn )
という n 重積分を考えると、ガウス積分の結果から、
I = π n/2 .
一方、半径 R の n 次元球の体積を、
Vn (R) = Cn Rn
とすると、半径 R の n 次元球面の表面積が Sn (R) =
るはずなので、I は、
Z
I=
d
Vn (R) = n Cn Rn−1 とな
dR
Z
n Cn ∞
dr n Cn r e =
ds sn/2−1 e−s
2
0
0
³
´
³
´
n
n
n Cn
Γ
= Cn Γ
+1
=
2
2
2
∞
n−1 −r2
と評価することもできます。2 つの I の結果を比較して、Cn = π
すなわち、
n/2
/Γ
³n
2
´
+1 .
π n/2 Rn
´
Vn (R) = ³ n
Γ
+1
2
を得ます。
4
πR3 が得られることを確認してみてくださ
3
1
い。また、半径 R の 4 次元球の体積は V4 (R) = π 2 R4 となることがわかります。
2
上式から、V2 (R) = πR2 , V3 (R) =
(余談) 4 次元デカルト座標 (x, y, z, w) に対し、
x = r cos ψ, y = r sin ψ cos θ, z = r sin ψ sin θ cos φ, w = r sin ψ sin θ sin φ
( 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ ψ < π, 0 ≤ θ < π, 0 ≤ φ < 2π )
で 4 次元極座標を定義すると、これは原点を除き 4 次元ユークリッド空間の全領域を 1 対 1 に覆い
ます。この極座標のヤコビアンを計算すると、


∂x/∂r ∂x/∂ψ ∂x/∂θ ∂x/∂φ
 ∂y/∂r ∂y/∂ψ ∂y/∂θ ∂y/∂φ 
3
2

det 
 ∂z/∂r ∂z/∂ψ ∂z/∂θ ∂z/∂φ  = r sin ψ sin θ
∂w/∂r ∂w/∂ψ ∂w/∂θ ∂w/∂φ
となるので、半径 R の 4 次元球の体積は、
Z π
Z π
Z
Z R
2
3
dψ sin ψ
dθ sin θ
V4 (R) =
dr r
0
0
0
2π
dφ =
0
これはもちろん上の結果と一致しています。
49
R4 π
1
· · 2 · 2π = π 2 R4 .
4 2
2
2.14
スターリングの式
ガンマ関数は、
Z
Γ(x + 1) =
Z
∞
x −t
dx t e
∞
=
0
dx e−f (t) ,
f (t) = t − x log t
0
と表せますが、この積分で特に効くのは f (t) の最小値を与える t の近辺だけのは
ずなので、他の区間の積分を無視するという近似が考えられます (漸近展開)。f (t)
は t = x で最小値を持つことがわかり、f (t) を t = x のまわりでテイラー展開す
ると、
1
f (t) = x − x log x +
(t−x)2 + · · · .
2x
よって、
Z
2
Γ(x + 1) ∼ e−x+x log x
dt e−(t−x) /(2x)
Z
∼ e−x+x log x
=
√
x の周辺
∞
2
dt e−(t−x)
/(2x)
−∞
2πx xx e−x
という近似式を得ます。これをスターリングの式といい、非常に精度のよい近似
式として知られています。
x Γ(x + 1)
2
4
6
8
10
2
24
720
40320
3628800
√
2πx xx e
−x
1.9190044
23.506175
710.07818
39902.395
3598695.6
比
1.0422071
1.0210083
1.0139728
1.0104657
1.0083654
スターリングの式から、正の整数 n に対して、
log(2πn)
log n!
∼ log n − 1 −
n
2n
ですが、n が十分大きいときは最後の項を無視でき、
log n! ∼ n log n − n
と評価されます。
50
2.15
二項分布と正規分布
1 回の試行で事象 A が起こる確率が p であるとき、n 回の試行で A が k 回起こ
る確率は、
n!
pk q n−k ( q = 1 − p )
P (k) =
k!(n−k)!
と書けます。これを二項分布といいます。
特に n, k, n−k が十分大きいときは、スターリングの式を用いて、
log P (k) ∼ n log n − n − k log k + k − (n−k) log(n−k) + (n−k)
+ k log p + (n−k) log q
= −k log k − (n−k) log(n−k) + k log
p
+ (定数)
q
ですが、k = np + x で変数を x に変えると、
µ
¶
µ
¶
x
x
log P (k) ∼ −(np + x) log 1 +
− (nq − x) log 1 −
+ (定数)
np
nq
と整理されます。ここで log(1 + x) = x − (1/2)x2 + · · · に注意すると、1/n の高
次を無視して、
µ
¶
x2
(k−np)2
log P (k) ∼ −
+ (定数) ∴ P (k) ∼ (定数) × exp −
.
2npq
2npq
定数の因子は全確率が 1 となることから定まり、結果、二項分布は、
µ
¶
1
(x−µ)2
√
P (k) ∼ N (k; np, npq) , N (x; µ, σ) = √
exp −
2σ 2
2π σ
と近似されることがわかります。N (x; µ, σ) は正規分布もしくはガウス分布と呼
ばれ、確率分布関数として代表的なものです。パラメータ µ は期待値、σ は標準
偏差と呼ばれます (図 7)。
図 7: 正規分布
51
一般に変数 x の確率分布が正規分布 N (x; µ, σ) で与えられる場合、|x−µ| < sσ
が満たされる確率は、


r

Z µ+sσ
Z s
 0.6827 (s = 1)
2
2
M(s) =
dx N (x; µ, σ) =
dt e−t /2 ∼ 0.9545 (s = 2)

π 0
µ−sσ

 0.9973 (s = 3)
で与えられます。よって二項分布 P (k) において、特にいまの近似が適用できる
場合、
√
| k − np | < s npq が満たされる確率は M(s)
ということがわかり、これは統計学の基本となる定理です。
2.16
デルタ関数
実数 x に対して、
1
2 2
δ(x) = N (x; 0, 0) = lim √ e−x /²
²→+0
π²
でデルタ関数を定義します。このとき、δ(x) = 0 (x 6= 0). また、δ(0) → ∞ です。
デルタ関数は x = 0 で無限に尖った関数ということです。
デルタ関数は明らかに偶関数です :
δ(−x) = δ(x).
また、0 でない実数 a に対して、
δ(ax) =
1
δ(x)
|a|
が確かめられるでしょう。
R∞
0 以上の整数 n に対して、 −∞ dx xn δ(x) という積分を考えてみると、n が奇数
のときは奇関数の積分となるため明らかに 0 で、偶数のときは、
µ
¶
Z ∞
Z ∞
n
²
n
+
1
1
2 2
(² → 0)
dx xn δ(x) = 2
dx xn √ e−x /² = √ Γ
2
π²
π
−∞
0
と評価されます。よって、
Z
∞
dx xn δ(x) = δn0
−∞
52
を得ます。ここで δnm はクロネッカーデルタです。この性質を用いると、任意の
微分可能な関数 f (x), 任意の実数 y に対して、
Z ∞
Z ∞
∞
X
f (n) (y)
dx f (x)δ(x−y) =
dx
(x−y)n δ(x−y)
n!
−∞
−∞
n=0
=
∞
X
f (n) (y)
n!
n=0
δn0 = f (y)
P
がわかります。この式はクロネッカーデルタの性質 :
n an δnm = am の連続変数
版と捉えることができ、すなわちデルタ関数 δ(x−y) はクロネッカーデルタ δnm
の連続版とみなせます。
次の積分表示があります :
Z
δ(x) = lim
²→+0
∞
dk ikx−²2 k2
e
.
−∞ 2π
これは指数関数の中を k に関して平方完成し、ガウス積分として実行すれば確か
められるでしょう。形式的に ² → +0 の極限をとれば、
Z ∞
dk ikx
δ(x) =
e
−∞ 2π
と表現されることになります。
2.17
フーリエ変換
実数 k, x に対して、
1
φk (x) = √ eikx
2π
で定義される関数は、規格直交性および完全性 :
Z ∞
Z ∞
∗
0
dk φk (x)φ∗k (x0 ) = δ(x−x0 )
dx φk (x)φk0 (x) = δ(k−k ),
−∞
−∞
を満たします (∗) 。このため、
f˜(k) =
Z
∞
−∞
dx φ∗k (x)f (x)
により、関数 f (x) のフーリエ変換を定義すると、
Z ∞
Z ∞
Z ∞
dk f˜(k)φk (x) =
dk φk (x)
dx0 φ∗k (x0 )f (x0 )
−∞
−∞
Z−∞
∞
=
dx0 δ(x−x0 )f (x0 ) = f (x).
−∞
53
すなわち、もとの関数は、
Z
∞
dk f˜(k)φk (x)
f (x) =
−∞
と展開されます。このとき、
Z ∞
Z
2
∞
dx |f (x)| =
−∞
dk |f˜(k)|2
−∞
が確かめられますが、これをパーセバルの等式といいます。
(*注) 複素ベクトルの系 v k (k = 1, 2, · · · ) に対し、規格直交性は、
X
(v ∗k )x (v k0 )x = δkk0 .
v †k v k0 = δkk0 ∴
x
完全性は、
X
v k v †k = δ
∴
X
(v k )x (v ∗k )x0 = δxx0
k
k
ですが、関数における規格直交性および完全性はこれの連続版と捉えることができます。
2.18
有限区間のフーリエ変換
整数全体の集合を Z と書きます。実数 x に対して、
1 X inx
D(x) =
e
2π
n∈Z
という関数を考えると、
Z π
dx D(x) = 1,
D(x + 2π) = D(x)
−π
が簡単にわかります。また、少しテクニカルですが、
2πD(x) = 1 + 2
∞
X
cos(nx) = 1 + 2
n=1
=1+
∞
X
cos(nx) sin( x )
sin( x2 )
n=1
∞
X
sin((n+ 1 )x) − sin((n− 1 )x)
2
n=1
sin( x2 )
2
2
sin(Λx)
x
Λ→∞ sin( )
2
= lim
と展開され、これは x = 2πn (n ∈ Z) に特異性を持ち、他で無限に高周波な関数
であることがわかります。すなわち超関数論的 (∗) に D(x) = 0 (x 6= 2πn). 以上の
事柄から、
X
D(x) =
δ(x−2πn)
n∈Z
54
とみなせます。
そうすると、n ∈ Z, および x ∈ (−π, π) に対して、
1
φn (x) = √ einx
2π
で定義される関数は、規格直交性および完全性 :
Z π
X
dx φ∗n (x)φn0 (x) = δnn0 ,
φn (x)φ∗n (x0 ) = δ(x−x0 )
−π
n∈Z
を満たすことがわかります。このため、
Z π
f˜n =
dx φ∗n (x)f (x)
−π
で関数 f (x) のフーリエ変換 (フーリエ係数) を定義すると、もとの関数は、
X
f (x) =
f˜n φn (x)
n∈Z
と展開されます。このとき、
Z
π
2
dx |f (x)| =
−π
X
|f˜n |2
n∈Z
が確かめられ、やはりパーセバルの等式と呼ばれます。
こちらのパーセバルの等式は右辺が級数のため、級数に関する面白い式を生じ
ることがあります。例えば f (x) = x とすると、フーリエ係数は、
√
i
2π (−1)n
˜
fn =
(n 6= 0), f˜0 = 0
n
と計算されますが、これをパーセバルの等式に入れると、
∞
X
1
π2
=
2
n
6
n=1
を得ます。これは初等的には評価の難しい級数です (バーゼル問題)。
ちなみに、n = 1, 2, · · · に対し、ユニタリ変換、
µ 0
¶
µ
¶µ
¶
µ
¶
1
1 cos(nx)
φn (x)
1 1
φn (x)
=√
=√
φ0−n (x)
φ−n (x)
π sin(nx)
2 −i i
を行っても規格直交性は保たれます。よって、
1
φ00 (x) = φ0 (x) = √
2π
55
として、φ0n (x) (n ∈ Z) もまた x ∈ (−π, π) における完全規格直交系です。こちら
の系は実関数を展開するときに便利です。また、x ∈ (0, π) のときは、仮想的に偶
関数もしくは奇関数であることを仮定して、
{cos(nx) | n = 0, 1, 2, · · · } および {sin(nx) | n = 1, 2, · · · }
がそれぞれ完全系とみなせることになります。
Rb
(*注) 区間 (a, b) で連続な任意の関数 φ に対し、
を容認 (仮定) する数学は超関数論と呼ばれます。
56
a
dx φ(x)f (x) = 0 ⇔ ∀x ∈ (a, b) (f (x) = 0)
3
ニュートン力学
ニュートン力学のまとめです。ユークリッド幾何学や大学教養程度の応用数学
を既知とします。運動の法則を出発点とし、そこから順に実用的な定理を導いて
いきます。例題として、落下運動、ロケットの推進、立てかけられた棒、回転ゴ
マ、単振り子、段差を乗り越える回転体、惑星の運動を取り上げます。
3.1
運動の法則
質量を持つ点を質点といい、これが多数あるものとし、物質の構成要素と考え
ます。質点 a の質量を ma , その質点の位置ベクトルを r a , その質点に働く力のベ
クトルを F a と書きます。また、時間 t による微分をドットで表すことにします。
¨ a を加速度といいます。
位置ベクトルの時間微分 r˙ a を速度、時間 2 階微分 r
(1) 力の働かない全ての質点の速度が一定となる系、すなわち、
F a = 0 ⇔ r¨ a = 0
を満たす系が少なくとも 1 つ存在するものとします。このような系を慣性系とい
います。この要請を慣性の法則といいます。
(2) 慣性系においては、各々の質点は、
F a = ma r¨ a
に従います。これを運動方程式といいます。つまり各々の質点に関し、力は質量
と加速度の積に等しくなります。
(3) 質点は互いに力を及ぼし合い、質点 a が質点 b から受ける力を F ab と書き
ます。このとき、
F ab = −F ba // (r a − r b ).
すなわち、質点が及ぼしあう力は大きさが同じで互いに逆向き、また、2 質点を結
ぶ線分と平行になります。これを作用反作用の法則といいます (図 1)。
(4) 質点 a に働く力 F a は他の質点から与えられる力の和になります。すなわち、
X
Fa =
F ab .
b
これを合力の法則といいます。
57
図 1: 作用反作用の法則
以上を公理とし、時間、質量、力の概念とします。この公理を用いる物理理論
を、ニュートン力学といいます。
(余談) 力や質量や時間の定義を気にする人をたまに見かけますが、公理をもってそれが定義さ
れていると考えます。公理には無定義語が含まれるのが常で、それらの用語は公理により関連や
運用が示されることで初めて意味を持つと考えるわけです。例えば上の公理において、力を ”ハニ
タラ”、質量を ”ガテマク” などと適当に置き換えても、別に構いません。ここでの公理以前には
力や質量という用語には何の意味もないと考えているからです。これはヒルベルトのビールジョッ
キ思想と形式主義 (公理主義) に代表される、数理科学における大事な考え方です。かつてマッハ
がニュートン力学を批判したことは有名ですが、この種の批判は形式主義に対する無理解による
ものと今日ではみなすことができます。
3.2
慣性系とガリレイ変換
ある慣性系から、変換、
r ⇒ r0 = r − V t
¨ 0 = r¨ なので慣性の法則が満た
により等速度 V で運動する別の系に移っても、r
されます。すなわち新しい系も慣性系です。この変換をガリレイ変換といいます。
ニュートン力学においては慣性系は無数に存在することになります。
図 2: ガリレイ変換
地球の静止系はおおよそ慣性系とみなせますが、実際には地球は自転や公転を
しているため、これはあくまで近似です。太陽の中心の静止系はどうかというと、
これも銀河系において公転しているため、完全に正確に慣性系であるとはいえな
58
いでしょう。このように突き詰めていくと、では本当に慣性系なんてあるのか? と
いうことになりそうですが、“それが確かに存在する” ということを公理としてか
かげたものが慣性の法則であるわけです。
3.3
非慣性系とみかけの力
慣性系から、
r ⇒ r0 = r − R
¨ ですから、
¨ = r¨ 0 + R
で新しい系に移ったとき、R が一般に時間に依存すると、r
新しい系における質点 a の運動方程式は、
¨
F a = ma (r¨0 a + R)
¨ = ma r¨0 a
∴ F a − ma R
¨ は系が加速していることにより生じるみかけの力で、慣性力と
となります。−ma R
呼ばれます。慣性系でない系を非慣性系といいますが、非慣性系においてはみか
けの力が生じると考えることで運動方程式が成り立つ、と考えることができるわ
けです。
一方、あるデカルト座標の基底 ei (i = 1, 2, 3) が慣性系において時間的に変化
しているとき、すなわち系が回転しているときは、基底の微小変化分 dei が無限
小角度ベクトル dθ を用いて dei = dθ×ei と書けることに注意して、
e˙ i = ω×ei ,
ω=
dθ
dt
です。ω は回転系の角速度と呼ばれます。そうすると任意のベクトル A = Ai ei に
関して、
◦
˙ = A˙ i ei + Ai e˙ i = A + ω×A.
A
◦
ここで A = A˙ i ei は基底が静止していると考えた場合の時間微分で、すなわち回
転系における時間微分を意味します。これを回転系時間微分と呼びましょう。
特に位置ベクトル r について、
◦
r˙ = r + ω×r.
この式をさらに時間で微分すると、
d ◦
◦◦
◦
◦
˙
˙
r + ω×r
+ ω× r˙ = r + ω× r + ω×r
+ ω×(r + ω×r)
dt
◦◦
◦
˙
= r + 2ω× r + ω×(ω×r) + ω×r
r¨ =
を得るので、回転系における質点 a の運動方程式は、
◦
◦◦
˙
F a − 2ma ω× r a − ma ω×(ω×r a ) − ma ω×r
a = ma r a
59
◦
となります。−2ma ω× r a はコリオリの力、−ma ω×(ω×r a ) は遠心力と呼ばれま
す。−ma ω˙ ×r a は角速度 ω が変動する場合に生じるみかけの力ですが、特に決
まった名称はないようです。
(余談) 大学 2 年の時だったか、この回転系時間微分という概念を思いつき、学友に見せてまわっ
たのを覚えています。遠心力やコリオリ力の導出は、特に初等的な教科書では説明が煩雑である
ことが多いです。
3.4
万有引力の法則
基本的な力の 1 つに、万有引力 (重力)、
F gab = −
Gma mb (r a −r b )
|r a −r b |3
があり、ここで G は万有引力定数と呼ばれ、その近似値は、
G ∼ 6.674 × 10−11 m3 /(kg s2 )
です。これを万有引力の法則といいます。万有引力が作用反作用の法則を満たし
ていることに注意してください。万有引力の大きさは、
|F gab | =
Gma mb
|r a −r b |2
というように、2 質点間の距離の 2 乗に反比例します。このような力は一般に逆 2
乗力 (逆自乗力) と呼ばれます。
力は万有引力以外にもありますが、多くの場合その詳細には触れず、作用反作
用の法則だけで済ませます。それでもマクロな現象を一通り扱えるのがニュート
ン力学の秀逸なところです。
(余談) 電磁力もクーロン力 (電気力、静電気力) だけならニュートン力学の枠内で取り扱うこと
ができます :
qa qb (r a −r b )
F eab =
²0 ∼ 8.854 × 10−12 s2 C2 /(kg m3 ).
4π²0 |r a −r b |3 ,
ここで ²0 は真空の誘電率、qa は質点 a の電荷です。C(クーロン) は電荷の単位です。一方、磁力
は相対論的な現象であるため、これをニュートン力学で扱うことはできません。磁石に働く力な
ど、部分的もしくは近似的に扱うことはできるでしょうが、深く追求すると矛盾が見出されるこ
とになります。
3.5
地球の重力
ある点 r の近傍の微小体積要素 d3 r に含まれる質量の総和を dm としたとき、
dm = ρ(r)d3 r で与えられる ρ(r) を質量密度といいます。
60
地球の質量密度を ρ(r) とすると、質点 a に働く地球の重力は、
Z
X g
X mb (r a −r b )
ρ(r)(r a −r)
d3 r
F ab = −Gma
= −Gma
3
|r a −r b |
|r a −r|3
地球
b∈ 地球
b∈ 地球
と書けます。いま、地球の中心を原点とし、質点 a の位置を r a = (0, 0, h) としま
す。また、積分変数を 3 次元極座標を用いて r = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ)
と表すと、ヤコビアンが r2 sin θ となることに注意して (ユークリッド幾何学の章
参照)、
Z R Z π Z 2π
X g
F ab = −Gma
dr
dθ
dφ r2 sin θ
0
b∈ 地球
×
0
0
ρ(r)(−r sin θ cos φ, −r sin θ sin φ, h−r cos θ)
¡
¢3/2
r2 sin2 θ + (h−r cos θ)2
.
ここで R は地球の半径です。球対称性から ρ(r) が r にしか依存しないものとし、
これを ρ(r) と書くと、φ 積分を実行できて、
Z R
Z π
X g
sin θ (h−r cos θ)
F ab = −2πGma (0, 0, 1)
dr r2 ρ(r)
dθ 2 2
(h +r −2hr cos θ)3/2 .
0
0
b∈ 地球
θ 積分の部分は、素朴に積分変数を h2 +r2 −2hr cos θ に置換することで実行でき、
h ≥ r のとき 2/h2 を与えます。結果、
Z
X g
4πGma (0, 0, 1) R
GM ma r a
F ab = −
dr r2 ρ(r) = −
2
h
|r a |3
0
b∈ 地球
RR
となり、ここで M = 0 dr 4πr2 ρ(r) は地球の全質量です。このことは一般に、球
対称な物体が及ぼす重力は、その物体の質量が全て中心に集まった場合と同じで
あることを示しています。またこの性質は、今の導出からわかるように、逆 2 乗
力一般に成り立ちます。
特に地表近く (|r a | ∼ R) では、
X
F gab = ma g,
g = g e下 ,
e下 = −
b∈ 地球
ra
R,
g=
GM
∼ 9.8 m/s2
2
R
と整理され、e下 は地球の中心に向かう単位ベクトル、g は重力加速度と呼ばれま
す。これが地上において感じる地球の重力です。
(余談) 重力加速度 g や万有引力定数 G はそれぞれ実験で測定でき、地球の半径は R ∼ 6380 km.
これらと g = GM/R2 から地球の質量の近似値が M ∼ 6.0×1024 kg であるとわかります。万有引
力定数 G に相当する量を歴史上最初にきちんと測定したとされる実験に、キャヴェンディッシュ
の実験があります。
61
3.6
運動量と角運動量
ある質点系 S において、
P =
X
ma r˙ a
a∈S
を S の運動量といいます。これを時間で微分し、運動方程式を用いると、
XX
XX
X
X
˙
ma r¨ a =
Fa =
F ab +
F ab .
P =
a∈S
a∈S
a∈S b∈S
/
a∈S b∈S
1 XX
前の項は
(F ab + F ba ) と書けるので作用反作用の法則から消え、
2
a∈S b∈S
P˙ = F ,
F =
XX
F ab
a∈S b∈S
/
を得ます。F は外力と呼ばれます。外力はマクロな意味での力を意味します。外
力が 0 なら P˙ = 0 となり、これを運動量保存の法則といいます。
質点系 S がその外部から影響を受けない場合、すなわち外部と相互作用がない
と考えられる場合、S を孤立系といいます。S が孤立系、もしくは宇宙全体であ
る場合、運動量 P は保存するというわけです。
同様に質点系 S において、
J=
X
ma r a × r˙ a
a∈S
を S の角運動量といいます。時間で微分すると、
X
X
XX
XX
˙
J=
ma r a ר
ra =
r a ×F a =
r a ×F ab +
r a ×F ab .
a∈S
a∈S
a∈S b∈S
a∈S b∈S
/
前の項は、作用反作用の法則から、
1 XX
1 XX
(r a ×F ab + r b ×F ba ) =
(r a − r b )×F ab = 0.
2
2
a∈S b∈S
よって、
a∈S b∈S
J˙ = N ,
N=
XX
r a ×F ab
a∈S b∈S
/
を得ます。N はトルクと呼ばれます。トルクが 0 なら J˙ = 0 となり、これを角
運動量保存の法則といいます。
62
3.7
重心
質点系 S の重心 r G を、
rG =
X
ma r a /M,
M=
a∈S
X
ma
a∈S
で定義します。M は質点系の全質量を意味します。そうすると運動量の定義式
から、
X
P =
ma r˙ a = M r˙ G
a∈S
がわかります。P˙ = F を用いると、
F = M r¨ G
を得ます。これは外力 F に対して、系の重心が運動方程式に従うことを意味して
います。一方、
r 0a = r a − r G
X
で重心からの相対位置を定義すると、
ma r 0a = 0 がわかりますから、これに注
a∈S
意して角運動量の式は、
X
X
J=
ma r a × r˙ a =
ma (r G − r 0a )×(r˙ G − r˙ 0a )
a∈S
= M r G × r˙ G +
X
a∈S
ma r 0a × r˙ 0a
a∈S
となります。第 1 項は重心に全ての質量が集まったと考えた場合の角運動量と等
価で、軌道角運動量と呼ばれます。第 2 項は重心を基準にした系、すなわち重心
系における角運動量で、スピン角運動量と呼ばれます。質点系の角運動量はこれ
らの和になるわけです。
地表近くの重力が質点系 S に及ぼす外力は、
X X g
X
Fg =
F ab =
ma g = M g
a∈S b∈ 地球
a∈S
となります。これを質点系 S の重さといいます。一方、トルクは、
X X
X
Ng =
r a ×F gab =
r a ×(ma g) = M r G ×g = r G ×F g
a∈S b∈ 地球
a∈S
となります。これは重心に全ての質量が集まったと考えた場合のトルクと等価で
す。重心の概念は非常に有用であることがわかります。
63
3.8
落下運動
ここで、地表近くで物体を空中に放ったときに物体がどのような運動をするか
を考えてみましょう。物体の質量 (質点系の総質量) を M , 物体の重心を r G とす
¨G で
ると、物体が受ける重力は F g = M g. 一方、重心の運動方程式は F g = M r
したから、
g
M g = M r¨ G ∴ r¨ G = g ∴ r G = t2 + vt + a.
2
ここで v, a は積分定数ですが、v は重心の初速度、a は重心の初期位置を意味す
ることがわかります。
いま、r G = (x, y, z) とし、特に上方を z 方向とすると、g = (0, 0, −g). ここで
g は重力加速度です。また、初期位置を原点とし (a = 0)、水平方向の回転対称性
を利用して v = (vx , 0, vz ) となるように座標を選んだとすると、
g
x = vx t, y = 0, z = − t2 + vz t
2
となります。時間 t を消去して、
g
vz
z = − 2 x2 + x
2vx
vx
を得ます。これが物体の重心の軌跡を表す式で、上方に凸の放物線であることが
わかります (図 3)。
図 3: 放物線
一般には物体はクルクルとまわりながら、あるいは柔らかい場合はさらに振動
などしながら複雑に運動しますが、その重心に注目すると、それは放物線を描く
というわけです。また、物体の重心の運動は物体の質量 M に依存しないことが
わかります。
(余談) 重い物体も軽い物体も真空中 (空気抵抗を無視できる場合) では同じように落下するとい
うことを最初に明確に指摘したのはガリレオ・ガリレイといわれています。当時、アリストテレス
派の人たちは、重い物体の方が早く落下すると考え、ガリレオの主張に反論しますが、しかしガ
リレオは「では 2 物体をつないで落下させたらどうなるのか」という簡単な思考実験を提示してこ
れを論破しました。つながれた 2 物体を 1 つの物体と考えれば、質量が足され、より質量の大きな
物体とみなせることに注意。
64
3.9
ロケットの推進
次に、無重力状態の宇宙においてガスを後方に噴出し推進するロケットの運動
を考えてみましょう。ただし時刻 0 におけるロケットの速度を v, 質量を M0 と
し、単位時間あたりに噴出するガスの質量を α, ロケットに対するガスの噴出速度
を β とします。
時刻 t におけるロケットの重心位置を r(t) とすると、時刻 t におけるロケット
の運動量は、
˙
P (t) = M (t)r(t).
ここで M (t) = M0 − αt です。また、微小時間 ∆t 後の運動量は、この間に噴出
したガスの運動量も含めて、
¡
¢
˙ + ∆t) + α∆t r(t)
˙ +β
P (t + ∆t) = M (t + ∆t)r(t
と書けるので、運動量保存からこれらは等しく、
d
˙ + α(r˙ + β) = 0
(M r)
dt
を得ます。そうすると、M˙ = −α に注意して、
M r¨ = −αβ
∴ r¨ =
−αβ
M0 − αt
∴ r˙ = β log(M0 − αt) + C.
初速度が v であることから積分定数 C が定まり、
r˙ = v − β log
M0
M0 − αt
を得ます。これが時刻 t におけるロケットの速度です。さらに時間で積分すれば
時刻 t におけるロケットの位置が求まります。
3.10
接触力と摩擦
2 物体 A, B が互いに接触している場合、接触面を通じて互いに力 (外力) を及ぼ
します。2 物体の接触面の近傍をそれぞれ A0 , B 0 とすると、物体 A が物体 B か
ら受ける接触力は、
XX
接触
F AB =
F ab
a∈A0 b∈B 0
と書けます。作用反作用の法則から、
接触
F 接触
BA = −F AB
です。
65
接触力のうち、接触面と垂直な成分を垂直抗力、水平な成分を摩擦力と呼びま
す。接触面が互いに静止している場合の摩擦力を静止摩擦力、接触面を擦りなが
ら運動している場合の摩擦力を動摩擦力と呼びます。動摩擦力は運動の方向と反
対の方向に働きます。
垂直抗力の大きさを N , 静止摩擦力の大きさを f と書くと、
f < µN
という関係があり、µ は 2 物質の表面の性質だけで決まります。µ は静摩擦係数と
呼ばれます。また、動摩擦力の大きさ f については、
f = µ0 N
という関係があり、µ0 も 2 物質の表面の性質だけで決まります。µ0 は動摩擦係数と
呼ばれます。一般に µ0 < µ です。
3.11
立てかけられた棒
例えば、図 4 のように、壁に立てかけられた細い棒について考えてみましょう。
棒は十分に丈夫で、その密度が一様であるとします。また、壁は十分に滑らかで、
摩擦を生じないものと仮定します。(壁と棒との接点に軽くて小さなローラーが組
み込まれていると考えてもよいです。)
図 4: 立てかけられた棒
棒の質量を M , 長さを L, 壁との角度を θ とし、この状態で棒が静止している
とします。棒と床との接点を原点にとり、図 4 のように垂直抗力と摩擦力を定義
すると、外力 F とトルク N が共に 0 であること (釣り合いの条件) から、
N = M g,
F = f,
L
M g sin θ = LF cos θ
2
66
がいえます。ここで棒の密度が一様であることから、その重心が棒の中央にある
ことを用いました。
棒が滑らずに静止していられる条件は、床と棒の静摩擦係数を µ として f < µN
ですが、上式を用いて、
tan θ < 2µ
となることがわかります。
(余談) 壁が滑らかでない場合は一般に壁からの摩擦力もあり、力に関する未知数は全部で 4 つ
となり、釣り合いの条件を用いてもこれらを決定できなくなります。これは床と壁の間に棒がどれ
くらい食い込んでいるかということに関連した不定性です。私は大学生の頃この不定性になかな
か気がつかず三日ほど悩んだことがあります。
3.12
剛体と慣性モーメント
合同変換 (並進と回転変換) において同一視される物体は合同と呼ばれますが、
時間的に合同であり続ける物体、すなわち変形しない物体は、剛体と呼ばれます。
剛体の重心もしくは固定点を原点に選び、原点のまわりの剛体の角速度を ω と
すると、剛体の各素片 α の速度は r˙ α = ω ×r α と表されます。よって素片 α の
質量を mα とし、そのスピン角運動量を無視できるものとすると、剛体の角運動
量は、
X
X
mα r α ×(ω×r α ) =
mα (|r α |2 ω − r α r α ·ω).
J=
α∈ 剛体
α∈ 剛体
あるいはテンソルを用いて、
J = I ·ω,
I=
X
¡
¢
mα |r α |2 δ − r α r α
α∈ 剛体
と書けます。I は剛体の慣性モーメントと呼ばれます。
慣性モーメントは、剛体に固定された系で考え、剛体の質量密度を ρ(r) とす
れば、
Z
¡
¢
I=
d3 r ρ(r) |r|2 δ − r r
剛体


y 2 + z 2 −xy
−zx
=
d3 r ρ(r)  −xy z 2 + x2 −yz  ,
剛体
−zx
−yz x2 + y 2
Z
r = (x, y, z)
となります。これは対称行列ですから回転変換 (直交行列) で対角化することがで
き、対角化されたときの座標系を剛体の主軸系といいます。
67
図 5: 円柱の慣性モーメント
例として、質量密度が一定値 ρ, 半径 R, 高さ L の円柱の慣性モーメントを求
めてみましょう。重心を原点とし、図 5 のように円柱に固定されたデカルト座標
(x, y, z) を選びます。円柱座標 r, θ, s を、
r = (x, y, z) = (r cos θ, r sin θ, s)
で定義すると、ヤコビアンが、
·
¸
¡
¢
∂r ∂r ∂r
= (cos θ, sin θ, 0) × (−r sin θ, r cos θ, 0) ·(0, 0, 1) = r
∂r, ∂θ, ∂s
となることに注意して、
Z
Z
Izz =
d3 r ρ (x2 + y 2 ) =
円柱
2π
dr
0
Z
M R2
=
2.
Z
R
0
Z
L/2
ρπR4 L
dθ
ds r ρ r =
2
−L/2
2
d3 r ρ = ρπR2 L は円柱の質量.
ここで M =
円柱
同様に、
Z
Z
3
Ixx =
2
2
d r ρ (y + z ) =
4
2
3
Z
2π
dr
0
円柱
=
Z
R
dθ
0
2
L/2
ds r ρ (r2 sin2 θ + s2 )
−L/2
2
ρπR L ρπR L
M (3R + L )
+
=
4
12
12.
また、Iyy = Ixx , Ixy = Iyz = Izx = 0 がわかるでしょう。すなわち (x, y, z) はこの
円柱の主軸系です。
剛体に固定された系は、通常、回転系であり、このため一般に慣性モーメント I
は、その成分は時間に依存しませんが、テンソル自体は時間に依存することにな
ります。すなわち I = Iij ei ej において、Iij は時間に依存しませんが、基底であ
る ei が時間に依存し、このため I は時間に依存すると考えられるわけです。
68
一般に質点系について J˙ = N であったことに注意して、
N=
d
(I ·ω).
dt
これはオイラー方程式と呼ばれ、この方程式により剛体の回転運動が決定します。
特に回転の方向が 1 方向に限られている場合は問題が簡単になります。ある慣
性系の基底を eX , eY , eZ とし、剛体が Z 方向に回転している場合、角速度は
ω = ωeZ . 一方、剛体に固定された基底を ex , ey , ez とすると、剛体は Z 方向に
しか回転しないので ez = eZ とできます。このとき角運動量の Z 成分は、
JZ = eZ ·(I ·ω) = eZ ·(I ·eZ )ω = ez ·(I ·ez )ω = Izz ω
のように、Izz だけで表されるわけです。
3.13
コマの運動
剛体の回転運動の例題として、比較的難しいと考えられる回転ゴマの運動につ
いて触れておきましょう。
地上の静止系のデカルト座標を (X, Y, Z), コマの軸の方向を z 軸、これに合わ
せて回転座標 (x, y, z) をとります。ただし y 軸は常に X-Y 平面内にあるとします。
図 6 のように角 θ, φ を定義し、z 軸まわりのコマの自転角を ϕ とします。これら
3 つの角度は一般に剛体の姿勢を完全に記述し、オイラー角と呼ばれます。
図 6: コマの運動
コマの角速度は、
ω = ϕ˙ ez + θ˙ ey + φ˙ eZ
69
ということになりますが、コマの自転角速度の大きさ ϕ˙ が θ˙ や φ˙ に比べ十分大
きいとし、
ω = ϕ˙ ez
と近似します。コマの慣性モーメントは (x, y, z) 系で対角化されているはずで、
I = Ixx ex ex + Iyy ey ey + Izz ez ez . よって角運動量は、
J = I · ω = Izz ϕ˙ ez
と書けます。時間で微分すると J˙ = Izz (ϕ
¨ ez + ϕ˙ e˙ z ) ですが、ここで、
e˙z = θ˙ ey ×ez + φ˙ eZ ×ez = θ˙ ex + φ˙ sin θ ey
に注意して、
³
´
˙
˙
˙
J = Izz ϕ˙ θ ex + ϕ˙ φ sin θ ey + ϕ¨ ez
となります。一方、コマに対するトルクは、コマの全質量を M とし、床との接点
(原点) からコマの重心までの距離を l, 重力加速度を g とすると、
N = lez ×(−M g eZ ) = M gl sin θ ey
ですから、N = J˙ より、
θ˙ = ϕ¨ = 0,
M gl
φ˙ =
(一定)
Izz ϕ˙
を得ます。すなわち自転するコマの自転軸先端は円を描いて動くわけで、これを
歳差運動 (首振り運動、すりこぎ運動) といいます。歳差運動の角速度 φ˙ は、自転
角速度 ϕ˙ に反比例することがわかりますが、このことはコマで遊んだことがある
人なら皆経験していることでしょう。勢いよく回っているコマほどゆっくりと歳
差運動するわけです。
3.14
力のポテンシャル
質点 a の位置ベクトル r a = (x1a , x2a , x3a ) に関するナブラを ∇a と書きます。す
なわち、
∂
(∇a )i = i
∂xa .
一般に、質点 a が質点 b から受ける力が、
F ab = −∇a Uab
と書けるとき、Uab をこの力のポテンシャルといいます。
70
例えば、万有引力のポテンシャルは、
g
Uab
=−
Gma mb
|r a −r b |
と書けます。実際このとき、
g
F gab = −∇a Uab
= Gma mb ∇a
ですが、
µ
1
∇a
|r a −r b |
¶
1
|r a −r b |
¢
∂ ¡
2 −1/2
|r
−r
|
a
b
∂xia
¢−3/2 ∂
1¡
= − |r a −r b |2
(xja −xjb )(xja −xjb )
i
2
∂xa
µ
¶
1
r a −r b
j
j
=−
2(xa −xb )δij = −
2 |r a −r b |3
|r a −r b |3 i
=
i
に注意して、万有引力の法則 :
F gab = −
Gma mb (r a −r b )
|r a −r b |3
が導かれます。
多くの力はポテンシャルにより記述でき、力はポテンシャルの現れと考えるこ
とができます。一般に力のポテンシャル Uab が a, b について対称で、特に 2 質点
の距離 |r a −r b | だけの関数で与えられるとき、その力は作用反作用の法則を自動
的に満たすことに注意してください。
3.15
エネルギー
質点系 S の運動エネルギー K, およびポテンシャルエネルギー U を、
K=
X ma
a∈S
2
1 XX
U=
Uab
2
2
|r˙ a | ,
a∈S b∈S
で定義します。それぞれの時間的変化分を考えると、
X
X
X
dK =
ma r˙ a ·dr˙ a =
ma dr a ·¨
ra =
F a ·dr a
a∈S
a∈S
a∈S
´
XX
1 X X³
F ab ·dr a
dU =
∇a Uab ·dr a + ∇b Uab ·dr b = −
2
a∈S b∈S
a∈S b∈S
71
となるので、
dE = dW,
E = K + U,
dW =
XX
F ab ·dr a
a∈S b∈S
/
R
を得ます。E を系 S のエネルギーといいます。 dW を系 S がされた仕事といい
ます。dW/dt を仕事率 (power) といいます。系の外部と相互作用がなく dW = 0
のときは、dE = 0 がわかり、これをエネルギー保存の法則といいます。
重心からの相対位置 r 0a = r a − r G を用いると、系 S の運動エネルギーは、
K=
X ma
a∈S
2
|r˙ a |2 =
X ma
M
|r˙ G |2 +
|r˙ 0 a |2
2
2
a∈S
となります。すなわち質点系の運動エネルギーは、重心に全ての質量が集まった
場合の重心の運動エネルギーと、重心系における運動エネルギーの和になります。
特に剛体の場合、剛体の重心系における運動エネルギー (上式第 2 項) は、
X X ma
X mα
|r˙ α |2 +
|r˙ a − r˙ α |2
2
2
a∈α
α∈ 剛体
α∈ 剛体
のように、各素片の重心の運動エネルギーと、各素片の重心系における運動エネ
ルギーの和になるでしょう。後者を KI と書きましょう。前者は、
´
X mα
X mα
X mα ³
2
2
2
2
2
|r˙ α | =
|ω×r α | =
|r α | |ω| − |r α ·ω|
2
2
2
α∈ 剛体
α∈ 剛体
=
α∈ 剛体
1
ω·(I ·ω)
2
と、慣性モーメントと角速度を使って表せます。よって剛体の運動エネルギーは、
K=
M
1
|r˙ G |2 + ω·(I ·ω) + KI
2
2
となります。
KI は熱や振動による微視的な運動エネルギーを意味します。ポテンシャルエネ
ルギーにも微視的な部分があり、これを UI と書き、微視的ポテンシャルと呼びま
しょう。EM = E − KI − UI を力学的エネルギーといいます。力学的エネルギーは
巨視的に想定されるエネルギーですが、摩擦や衝突など、熱や振動への変換があ
る場合は保存しません。力学的エネルギーが保存しない系は散逸系と呼ばれます。
(余談) あるエネルギーが微視的エネルギーかそうでないかは、問題の取り扱い方に依存します。
微視的と巨視的の境界を決めているのは、結局のところ、問題を考えている “人間” であることに
注意してください。このことは系の内部と外部の境界についてもいえます。質点系のニュートン力
学がやや複雑に見えるのは、実用の際にこの境界の設定を行う必要性があるからです。
72
3.16
外部ポテンシャル
質点系 S の外部が定常的 (静止している) とみなせるとき、
XX
U0 =
Uab
a∈S b∈S
/
で S の外部ポテンシャルを定義します。このとき、
XX
XX
0
F ab ·dr a = −dW
∇a Uab ·dr a = −
dU =
a∈S b∈S
/
a∈S b∈S
/
なので、dE = dW は、
dE 0 = 0,
E0 = E + U 0
を与えます。E 0 を外部ポテンシャルを含むエネルギーといいます。dE 0 = 0 はや
はりエネルギー保存の法則と呼ばれます。外部からの仕事の効果をエネルギー E
にくりこむことで、くりこまれたエネルギー E 0 は保存するというわけです。外部
ポテンシャルによる力は保存力と呼ばれます。
例えば地表近くでは、系の外部から働く力が地球の重力だけと考えられる場合、
X X g
X
dU 0 = −
F ab ·dr a = −
ma g·dr a = −d(M g·r G )
a∈S b∈ 地球
a∈S
∴ U 0 = −M g·r G .
この式には定数を加える不定性がありますが、簡単のためその定数を 0 に選びま
した。特に r G = (x, y, z), g = (0, 0, −g) のときは、U 0 = M gz です。
3.17
単振り子
エネルギー保存の法則を用いる簡単な例題として、単振り子を紹介します。
図 7 のように、長さ l の軽くて丈夫な棒に質量 m のおもりが繋がれた振り子を
考えます。おもりの大きさは l に比べて十分小さいとし、よってスピンによる運
動エネルギーは無視できるものとします。また、振り子の支点 O は摩擦なく自由
に回転できるとします。
おもりの位置は、x = l sin θ, y = −l cos θ と表されるので、外部ポテンシャルを
含む系のエネルギーは、重力加速度を g として、
E=
ml2 ˙2
m 2
(x˙ + y˙ 2 ) + mgy =
θ − mgl cos θ
2
2
となり、これは保存量です。最大の振れ角 (振幅) を Θ とおけば、
E = −mgl cos Θ
73
図 7: 単振り子
ですから、これらより、
2g
θ˙2 =
(cos θ − cos Θ)
l
を得ます。この微分方程式は変数分離形であり、t = 0 ⇔ θ = Θ および θ˙ ≤ 0 の
仮定のもとで、
Z Θ
p
dφ
1
√
t = l/g I(θ, Θ), I(θ, Θ) = √
cos φ − cos Θ
2 θ
と解けます。
振動の周期 T は、θ = 0 を与える時刻の 4 倍のはずですから、
T =4
p
l/g I(0, Θ) =
2T0
I(0, Θ),
π
となります。グラフを図 8 に示します。
図 8: 単振り子の周期
74
T0 = 2π
p
l/g
振幅が十分小さく Θ ¿ 1 のときは、cos x = 1−x2 /2+· · · に注意して、I(θ, Θ) ∼
arccos(θ/Θ) が確かめられるので、解と周期はそれぞれ、
p
θ ∼ Θ cos( g/l t), T ∼ T0
と近似されます。このように力学変数が時間変数の三角関数として与えられる運
動は、一般に単振動と呼ばれます。
周期が一定なので単振り子は時計として機能します。また、単振り子の実験に
より重力加速度 g を精度よく決定することができます。
(余談) 定積分 I(θ, Θ) は積分の境界 (φ = Θ) に特異性を持つ、いわゆる広義積分ですが、cos φ =
1 − 2 sin2 (φ/2) に注意し、x = sin(φ/2)/ sin(Θ/2) で積分変数を x に変換すると、
Z 1
dx
p
I(θ, Θ) =
√
1 − x2 1 − sin2 (Θ/2) x2 .
sin(θ/2)/ sin(Θ/2)
さらに x = cos ψ で積分変数を ψ に変換すると、
Z arccos(sin(θ/2)/ sin(Θ/2))
p
I(θ, Θ) =
dψ
2
1 − sin (Θ/2) cos2 ψ
0
となり、特異性を回避できます。特に、
Z
I(0, Θ) =
π/2
dψ
p
0
2
1 − sin (Θ/2) cos2 ψ.
これは楕円積分と呼ばれるものの 1 つです。数値積分の際にはこちらの表示の方が境界の処理をし
なくて済むので便利です。
3.18
段差を乗り越える回転体
次にエネルギー保存則と角運動量保存則の両方を用いる例題として、段差を乗
り越える回転体の問題を紹介します。
質量 M , 半径 R, 回転軸の周りの慣性モーメント kM R2 の回転体が、スリップ
せず、またころがり摩擦なく水平な平面上を転がり、図 9 のような高さ h (< R) の
段差を乗り越える運動を考えます。ただし点 O との衝突時、回転体は O から離れ
ず、スムーズに段差を乗り越えるものとします。回転体の中心の初速度を v0 とし
たとき、段差を乗り越えた後の中心の速度 v を求めてみましょう。重力加速度を
g とします。
O との衝突時、力学的エネルギーは一般に保存しませんが、O のまわりの角運
動量は保存します。衝突時に回転体に作用する撃力 (ごく短時間に作用する大きな
力) は、力の作用点が O にあるため、そのトルクは 0 だからです。衝突直後の回
転体の中心の速度を図 9 のように v 0 とすると、O のまわりの角運動量保存則は、
M (R − h)v0 + kM R2
v0
v0
= M Rv 0 + kM R2
R
R
75
図 9: 段差を乗り越える回転体
と書けます。v0 /R や v 0 /R は、それぞれ衝突前後の回転体の自転角速度を意味し
ていることに注意。これを v 0 について解いて、
µ
¶
h
0
v = 1−
v0 .
(1+k)R
一方、衝突後は、重力による外部ポテンシャルを含めた力学的エネルギーが保
存するはずなので、段差を乗り越えた後の回転体の中心速度を v として、
µ 0 ¶2
³ ´2
1
1
1
1
02
2 v
2
2 v
+ M g(R − h) = M v + kM R
+ M gR
M v + kM R
2
2
R
2
2
R
µ
¶1/2
2gh
02
です。これを v について解くと v = v −
ですが、v 0 の式を代入して、
1+k
!1/2
õ
¶2
2gh
h
v02 −
v=
1−
(1+k)R
1+k
を得ます。これが求めたかった式です。
3.19
惑星の運動
もう一つ重要な例題として、太陽系における惑星の運動を考えてみましょう。
太陽の質量を M とし、ある惑星の質量を m とします。M À m を仮定すると、
近似的に太陽の中心の静止系の 1 つを慣性系とみなすことができます。そこで太
陽の中心を原点とし、考えている惑星の中心の位置ベクトルを r とします。(惑星
の半径) ¿ |r| の場合、惑星の重心 r は、惑星の全ての質量が r にあると考えた
場合の運動方程式に従うので、惑星をそのような 1 つの質点と仮想した場合の力
学的エネルギー、
C
m 2
˙ −
C = GM m
E = |r|
2
|r|,
76
が保存するはずです。また、同じ仮想のもとでの角運動量、すなわち惑星の軌道
角運動量、
J = mr× r˙
も保存するはずです。角運動量の全体は保存するため、惑星のスピン角運動量も
保存し、すなわち惑星の自転の角速度が一定であることがわかります。
惑星の軌道角運動量 J が一定であることから、惑星の軌道は太陽を含むある面
内に限られ、この面を θ = π/2 とするように 3 次元極座標 (r, θ, φ) を張ります。
このとき、
˙ φ
r = rer ,
r˙ = re
˙ r + re˙ r = re
˙ r + rφe
に注意して、エネルギーと軌道角運動量の大きさは、それぞれ、
E=
C
m 2
(r˙ + r2 φ˙ 2 ) −
2
r,
J = |J | = mr2 φ˙
と書けます。J の式から、
φ˙ =
J
mr2 ,
dr
J dr
r˙ = φ˙
=
dφ mr2 dφ
ですから、E の式にこれらを代入して整理すれば、
µ ¶2
dr
2mE 4 2mC 3
=
r + 2 r − r2
2
dφ
J
J
あるいは、r = 1/u で変数を置換して、
µ ¶2
du
2mE 2mC
=
+ 2 u − u2
2
dφ
J
J
となります。この微分方程式は変数分離形ですから解くことができ、結果、
µ
¶1/2
1
l
J2
2EJ 2
r= =
ここで l =
²= 1+
.
u 1−² sin(φ+α),
mC,
mC 2
これが惑星の軌道の式です。α は積分定数です。
• E > 0 のとき ² > 1. このとき軌道は双曲線
• E = 0 のとき ² = 1. このとき軌道は放物線
• E < 0 のとき ² < 1. このとき軌道は楕円
となることに注意 (図 10)。l は軌道の半直弦、² は離心率と呼ばれます。図の点線
の 1 目盛りは半直弦の長さを意味します。
77
図 10: 惑星の軌道
E < 0 の場合の惑星の公転周期は、J = mr2 φ˙ に注意して、
Z
Z
Z T
ml2 2π
dφ
m 2π
2
dφ r =
T =
dt =
J 0
J 0 (1 − ² sin φ)2
0
ですが、この積分は、例えば留数定理により実行できます (関数論と応用数学の章
を参照)。結果、
µ
¶3/2
2π
l
ml2
2π
T =
=√
J (1 − ²2 )3/2
GM 1 − ²2
となります。l/(1 − ²2 ) は楕円の長半径を意味することに注意。
太陽系における各惑星の軌道や周期は、ティコ・ブラーエとケプラーにより詳
しく観測され、次のような性質が指摘されていました。
(1) 惑星は太陽を 1 つの焦点とする楕円軌道を描く。
˙
(2) 各惑星ごとに面積速度 (r2 φ/2)
が一定である。
(3) 惑星の公転周期の 2 乗はその軌道の長半径の 3 乗に比例する。
これをケプラーの法則といいます。これら観測結果を運動の法則および万有引力
の法則で説明できることを示したのはニュートンで、ニュートン力学は地上のみ
ならず、太陽系という大きなスケールにおいてもよく成り立っていることがわかっ
たわけです。
78
(余談) 「リンゴは木から落ちるのに、月はなぜ落ちてこないのか? 月も落ちているのではない
か? しかし地球の丸みに沿って落ちているため空中に永遠にとどまっているのだ。そのような引
力とはどのようなものか?」というような推察を経て、ニュートンは万有引力の法則を発見したと
いわれています。ちなみに、ニュートンがハレーに勧められるまでこの発見の公表をためらったの
は、星の大きさの効果についてよくわからなかったためといわれています。つまり、この節の最初
の部分で説明した、星を質点と仮想してよいとする理屈が、当時よくわかっていなかったわけで
す。ニュートンは 1687 年「自然哲学の数学的諸原理」(通称「プリンキピア」) を書き上げ、ニュー
トン力学の公理的体系を世に知らしめました。現在でも宇宙探査機の軌道計算はニュートン力学
で行われ、それで十分な精度が得られます。すなわち、探査機の太陽系における速さや、太陽の重
力においては、相対論的な補正は運行のために必要な精度より小さいと考えられるわけです。
79
4
解析力学
解析力学は一般に力学を数学的に見通しの良い形に整理したものです。最初に
その一般論を説明します。次にニュートン力学のラグランジアンを提示し、そこ
からニュートンの運動方程式が導出されることを確かめます。また、ラグランジュ
方程式の例題として、二重振り子、変分法に関する例題として、最速降下曲線、お
よび懸垂曲線を取り上げます。最後に無限自由度の系を一例紹介します。
4.1
最小作用の原理
時間変数を t とし、複数の力学変数を一般に qi (t) (i = 1, 2, · · · , N ) と書きます。
N は力学変数の個数で、力学系の自由度と呼ばれます。いま、力学変数の汎関数
S[q] を考え、これを作用汎関数、あるいは単に作用と呼びます。作用が停留値性
を持つという要請 :
δS[q] = 0
は、最小作用の原理、あるいは単に作用原理と呼ばれます。
作用は通常 qi とその時間微分 q˙i の関数の時間積分で表されます。すなわち、
Z
S[q] = dt L(q, q).
˙
このとき関数 L(q, q)
˙ をラグランジアンと呼びます。ラグランジアンを具体的に与
えることで力学系 (モデル、理論) が決定します。
ラグランジアンの変分を作ってみると、
µ
¶
¶
µ
∂L
∂L
∂L
d ∂L
d ∂L
δL =
δqi +
δ q˙i =
−
δqi +
δqi .
∂qi
∂ q˙i
∂qi dt ∂ q˙i
dt ∂ q˙i
1 つの項に同じ添字があるときはその添字について和をとります。時間で積分す
れば、
µ
¶
·
¸
Z
∂L
d ∂L
∂L
δS[q] = dt
−
δqi +
δqi
∂qi dt ∂ q˙i
∂ q˙i
ですが、時間積分の境界で δqi = 0 を仮定すれば後ろの項は消えて、また δqi (t)
は任意ですから、作用原理より、
d ∂L
∂L
−
=0
∂qi dt ∂ q˙i
80
を得ます。これをラグランジュ方程式といいます。この方程式から、力学変数の時
間的振る舞いが決定されることになり、このような方程式を一般に運動方程式と
いいます。
(余談) 特に相対論や場の量子論など、ニュートン力学を超え、より広い物理体系を考える場合、
最小作用の原理を出発点 (第一義的) とすることが普通で、その方が色々と見通しが良くなります。
そこでは作用汎関数の単純さや対称性が、理論の美しさとして評価されることになります。
4.2
ネーターの定理
力学変数 qi に関する無限小変換 :
δqi = ²a Gai (q, q)
˙
を考えます。ここで ²a は無限小の変換パラメータ、Gai は変換の生成子と呼ばれ、
一般に qi , q˙i の関数です。もしこの変換において作用が不変なら、ラグランジア
ンの変分は少なくとも時間の全微分で与えられるはずなので、
δL = ²a X˙ a (q, q)
˙
とおきます。一方、前節の δL の式から、ラグランジュ方程式のもとで、
¶
µ
d ∂L
δqi .
δL =
dt ∂ q˙i
以上、3 つの式から、
∂L
Gai − Xa
∂ q˙i
という保存則がわかり、ネーターの定理と呼ばれます。この定理はラグランジア
ンの対称性に対応して保存量が存在することをいっています。
Q˙ a = 0,
Qa =
例えば、ラグランジアンはあらわに時間変数を含まないので、時間並進変換 :
t = t − ² に関して作用は不変です。このとき、qi0 (t0 ) = qi (t) = qi (t0 + ²) に注意し、
力学変数の無限小変換は、
0
δqi (t) = qi0 (t) − qi (t) = qi (t + ²) − qi (t) = ²q˙i (t).
同様に、ラグランジアンの無限小変換は δL = ²L˙ となるので、ネーターの定理
より、
∂L
q˙i − L
E=
∂ q˙i
が保存します。作用の時間並進対称性に付随したこの一般的な保存量は、エネル
ギーと呼ばれます。
81
4.3
正準形式
力学変数 qi に対して、
∂L
∂ q˙i
で定義される pi をその正準共役と呼び、qi , pi を正準変数と呼びます。正準変数
が作る 2N 次元の空間 {(q, p)} は位相空間と呼ばれます。
pi =
エネルギーを正準変数だけで書いた関数 :
H(q, p) = pi q˙i − L(q, q)
˙
をハミルトニアンと呼びます。このときラグランジュ方程式に注意して、
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∂H
∂pj
∂ q˙j
∂L ∂qj
∂L ∂ q˙j
∂L
=
q˙j + pj
−
−
=−
= −p˙i ,
∂qi
∂qi p
∂qi p ∂qj ∂qi p ∂ q˙j ∂qi p
∂qi
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∂pj
∂ q˙j
∂L ∂qj
∂L ∂ q˙j
∂H
=
q˙j + pj
−
−
= q˙i
∂pi
∂pi q
∂pi q ∂qj ∂pi q ∂ q˙j ∂pi q
ですから、まとめると、
∂H
∂H
p˙i = −
∂pi ,
∂qi .
これを正準方程式といいます。正準変数の時間発展はこれにより決定され、それ
はラグランジュ方程式と等価です。
q˙i =
正準変数を用い、運動方程式を時間の 1 階微分までに限定したこの力学の形式
は、正準形式と呼ばれます。正準形式は数学的に美しく、特に形式的な議論に適
しています。また、量子論の土台として不可欠になります。
4.4
ニュートン力学のラグランジアン
ニュートン力学において、質点系 S の運動エネルギー K, ポテンシャルエネル
ギー U , 外部ポテンシャル U 0 は、それぞれ、
K=
X ma
a∈S
2
x˙ ia x˙ ia ,
1 XX
Uab ,
U=
2
a∈S b∈S
0
U =
XX
Uab
a∈S b∈S
/
でした。ここで xia は a 番目の質点のデカルト座標、Uab は力のポテンシャルで、
対称性 Uab = Uba を持つものとします (ニュートン力学の章を参照)。そうすると、
a ∈ S において、
∂K
∂ X mb j j X
x˙ b x˙ b =
mb x˙ jb δij δab = ma x˙ ia
= i
i
∂ x˙ a
∂ x˙ a
2
b∈S
b∈S
82
および、
¶
µ
1 X X ∂Ubc
1 XX
∂Ubc
∂U
∂Ubc
=
=
δab i + δac i
∂xia
2
∂xia
2
∂xc
∂xb
b∈S c∈S
b∈S c∈S
Ã
!
X ∂Uab
1 X ∂Uac X ∂Uba
=
+
=
2
∂xia
∂xia
∂xia ,
c∈S
b∈S
b∈S
∂U 0 X X ∂Ubc X X ∂Ubc X ∂Uac
=
=
δab i =
∂xia
∂xia
∂xia
∂xb
b∈S c∈S
/
b∈S c∈S
/
c∈S
/
がわかります。よって、系 S のラグランジアンを、
L = K − U − U0
で定義すると、
X ∂Uab
∂L
∂U
∂U 0
=
−
−
=
−
∂xia
∂xia ∂xia
∂xia
∂K
∂L
= i = ma x˙ ia ,
i
∂ x˙ a
∂ x˙ a
なので、ラグランジュ方程式：
b
∂L
d ∂L
−
= 0 は、
∂xia dt ∂ x˙ ia
−
X ∂Uab
b
∂xia
= ma x¨ia
を与え、これは質点 a に関するニュートンの運動方程式です。すなわちニュート
ン力学のラグランジアンは、L = K − U − U 0 で与えられるというわけです。
また、質点系 S のエネルギーは、
E=
X ∂L
X
i
x
˙
−
L
=
ma x˙ ia x˙ ia − L = 2K − L = K + U + U 0
∂ x˙ ia a
a∈S
a∈S
と見積もられますが、これは確かにニュートン力学の (外部ポテンシャルを含む)
エネルギーになっています。
4.5
孤立系のニュートン力学
考えている系がその外部と物理的に関与しない場合、すなわち孤立系の場合、
ニュートン力学のラグランジアンは、
X ma
p
1X
|x˙ a |2 −
Uab ( |A| = Ai Ai ).
L=K −U =
2
2
a
ab
83
例えば、力が万有引力と電気力の場合、
Uab = −
qa qb
G ma mb
+
|xa −xb |
4π²0 |xa −xb |
であり、ここで G は万有引力定数、²0 は真空の誘電率、qa は a 番目の質点の電荷
です。もし他に力があれば、Uab にそのポテンシャルを追加すればよいわけです。
このときラグランジアン L は、無限小並進変換 : δxia = ²i = ²j δji において不変
なので、ネーターの定理から、
X ∂L
X
Pj =
δji =
ma x˙ ja
i
∂ x˙ a
a
a
が保存することがわかります。これは系の運動量に他なりません。一方、ラグラ
ンジアン L は、無限小回転 : δxia = ²ijk ²j xka においても不変であり、そうすると
やはりネーターの定理から、
X
X
X ∂L
k
i
k
²
x
=
m
x
˙
²
x
=
ma ²jki xka x˙ ia
Jj =
ijk a
a a ijk a
i
∂ x˙ a
a
a
a
が保存することがわかります。これは系の角運動量に他なりません。運動量と角
運動量はそれぞれ空間における、並進対称性、回転対称性に付随した保存量とい
うわけです。
作用原理に従えば、ニュートン力学は、結局、
X ma
1X
L=
|x˙ a |2 −
Uab
2
2
a
ab
に尽きるということが重要です。系の内部や外部、微視的や巨視的など、人間が
実用上の都合で分離するから色々と複雑になりますが、理論自体はこのラグラン
ジアンで完全に尽くされています。第一義的なのは力ではなく、質点間のポテン
シャル Uab であることも、この形式により明確です。上式の右辺の初項は運動項と
呼ばれ、第 2 項はポテンシャル項、もしくは相互作用項と呼ばれます。相互作用
というのは文字通り、互いに作用 (影響) を及ぼすことで、力よりも一般的な概念
です。
4.6
二重振り子
ラグランジュ方程式の例題として、図 1 のような二重振り子を考えてみましょ
う。2 つの棒の長さを共に l とし、2 つのおもりの質量を共に m とします。おも
りは十分小さいとし、また、摩擦は生じないものとします。重力加速度を g とし
ます。
84
図 1: 二重振り子
2 つのおもりの位置ベクトルは、それぞれ、
¶
µ ¶ µ
¶
µ ¶ µ
l sin θ + l sin φ
l sin θ
x2
x1
=
=
,
−l cos θ − l cos φ
−l cos θ
y2
y1
と表されるので、系のラグランジアンは、
m
m
L = (x˙ 21 + y˙ 12 ) + (x˙ 22 + y˙ 22 ) − mgy1 − mgy2
2
2
´
2 ³
¡
¢
ml
2
2
˙
˙
˙
˙
2θ + φ + 2 cos(θ + φ) θφ + mgl 2 cos θ + cos φ
=
2
と計算されます。いま、簡単のため、特に振れ幅が小さい場合を考え、θ ¿ 1,
φ ¿ 1 とすると、ラグランジアンは、θ, φ の 3 次以上を無視し、
¶
µ
´
ml2 ³ ˙2 ˙ 2
1
L=
2θ + φ + 2θ˙φ˙ + mgl 3 − θ2 − φ2
2
2
と近似され、そうすると、
∂L
∂L
˙
˙
= ml2 (2θ˙ + φ),
= ml2 (θ˙ + φ),
˙
˙
∂θ
∂φ
∂L
= −2mglθ,
∂θ
∂L
= −mglφ
∂φ
ですから、ラグランジュ方程式は、
(
¶µ ¶
µ 2
2θ¨ + φ¨ + (2g/l)θ = 0
θ
2dt + 2g/l
d2t
=0
∴
2
2
dt
dt + g/l
φ
θ¨ + φ¨ + (g/l)φ = 0
と整理されます。ここで
µ d¶t は時間微分演算子です。これは定係数の線形微分方程
θ
式ですから、解として
= u cos(ωt) を想定し、代入すると、
φ
¶
µ
−2ω 2 + 2g/l
−ω 2
u = 0.
−ω 2
−ω 2 + g/l
85
u 6= 0 から上式の行列の行列式は 0 であり、このことから、
¶
µ
³
√ ´g
1
2
√
ω = 2± 2
このとき u ∝
∓ 2
l
を得ます (複号同順)。よって線形性と時間並進不変性に注意すると、解として、
µ ¶
µ
¶
µ ¶
θ
1
√ cos(ω+ t + α) + B √1 cos(ω− t + β)
=A
φ
− 2
2
q
√
を得ます。ここで ω± = (2 ± 2) g/l. また、A, B, α, β は定数です。自由度 2
の 2 階微分方程式の解で、独立な積分定数が 4 つあるので、これは一般解といえま
す。前の項は 2 つのおもりが逆方向に振れる高振動数モード (くねくねと速く振動
するモード)、後ろの項は 2 つのおもりが同じ方向に振れる低振動数モード (ゆっ
たりと振動するモード) を意味します。一般解はこの 2 つのモードの線形結合にな
るわけです。
力学系の自由度が 2 であるのに対し、保存量がエネルギーの 1 つしか見当たらな
いため、この系を保存則だけで解くことはできません。また、元々の力の概念か
ら運動方程式を作るのも、実に骨の折れる作業です。こういった場合にラグラン
ジュ方程式は、少なくとも計算上、有効なわけです。
4.7
変分法
未定の関数 y = y(x) があって、その導関数を y 0 (x) とします。定積分、
Z b
I[y] =
dx F (y, y 0 )
a
が、積分の境界 x = a, x = b において固定された任意の変分 δy(x) に関し停留値
性を持つとき、すなわち δI[y] = 0 のとき、
∂F
d ∂F
−
=0
∂y
dx ∂y 0
が成り立ちます。またこのとき、
∂F 0
y − F = 一定
∂y 0
です。これを変分法といいます。導出はラグランジュ方程式のそれとまったく同
じなので、説明の必要はないでしょう。変分法を用いないと解くことが難しい物
理の問題がいくつか存在します。以下に有名な例題を 2 つ示します。
86
4.8
最速降下曲線
地上に摩擦のない滑り台があり、ある物体を初速 0 で点 O から出発させ滑ら
せ、点 A に到達するまでの時間を最小にしたいとします。このとき曲線 OA をど
のように選べば良いでしょうか？
図 2: 曲線 OA
図 2 のように下方を y 方向として座標を設定します。滑らす物体の質量を m, 位
置ベクトルを r = (x, y), 重力加速度を g とすると、エネルギー保存則から、
m 2
|dr| p
˙ − mgy = 0 ∴
|r|
= 2gy.
2
dt
一方、降下曲線を y = y(x) とすると、
p
p
|dr| = dx2 + dy 2 = dx 1 + y 02
ですから、これらから到達時間は、
Z T
Z
T =
dt =
0
s
d
dx
0
1 + y 02
2gy
と表せます。d は点 A の x 座標です。この T を最小にしたいわけですから、δT = 0
であり、上式の被積分関数を F として、
s
−1
dy
∂F 0
C −y
p
y
−
F
=
=
一定
∴
=
±
∂y 0
dx
y.
2gy(1 + y 02 )
ここで C は定数です。この微分方程式は変数分離形で、以下のように積分され
ます：
r
Z
y
x = ± dy
ここで、y = C sin2 θ とおいて、
C − y.
µ
¶
Z
Z
¡
¢
sin(2θ)
x = ±2C dθ sin2 θ = ±C dθ 1 − cos(2θ) = ±C θ −
+ D.
2
87
曲線が原点 O を通ることから積分定数 D は 0 と決まり、また、θ = ±φ/2 とお
けば、
x = R (φ − sin φ) , y = R (1 − cos φ)
と整理されます。ここで R = C/2 とおきました。この曲線は、半径 R の円が直
線上を転がった場合に円周上の 1 点が描く軌跡になっていて、サイクロイドと呼
ばれます。最速降下曲線は一般にサイクロイドになるわけです。定数 R は曲線が
点 A を通るという条件で決まります。
4.9
懸垂曲線
次に、定まった 2 点を端点とし、密度が一様で十分に細いひもが垂れ下がり静止
しているとき、ひもがどのような曲線を描くかを考えてみましょう。端点を O, A
とし、やはり図 2 のように座標をとります。ひもの長さを L とすると、
Z A
Z d p
L=
|dr| =
dx 1 + y 02 .
O
0
また、ひもの線密度を ρ とすると、ひものポテンシャルエネルギーは、
Z A
Z d
p
U=
|dr| (−ρgy) =
dx (−ρgy) 1 + y 02
O
0
曲線に対する変分を考えたとき、L が一定という条件のもとでは、U が停留値
をとるはずですから、δL = 0 ⇒ δU = 0. この命題は、ある実数 λ が存在して
δU + λδL = 0 という命題と同値です (∗) 。すなわち、
Z d
p
δ
dx (−ρgy + λ) 1 + y 02 = 0
0
となります。被積分関数を F とおくと、
∂F 0
ρgy − λ
p
y
−
F
=
= 一定.
∂y 0
1 + y 02
p
これは結局、 1 + y 02 が、y のある 1 次式に等しいということを意味しているので、
p
1 + y 02 = αy + β
とおきます。α, β は定数です。そうすると、
p
dy
= ± (αy + β)2 − 1
dx
Z
∴ x=±
88
p
dy
(αy + β)2 − 1.
この積分は、双曲線関数を用いて、αy + β = cosh θ とおけば実行できて、
αy + β = cosh(αx + γ)
を得ます。cosh が偶関数であることにより ± の不定性が消えました。γ は積分定
数です。これを懸垂曲線 (カテナリー曲線) といいます。α, β, γ は、ひもの長さが
L ということと、O, A を通るという条件により決定されるべきものです。
(*注) 実数 a, b に対し、2 つの命題、b = 0 ⇒ a = 0 および ∃λ ∈ R (a + λb = 0) は、b = 0 の
ときは共に a = 0 を意味し、b 6= 0 のときは共に真です。よってこれらは同値です。前提が偽の命
題は結論が何であれ真になることに注意。この論理的置換により未定乗数 λ を導入し計算を行う
手法は、ラグランジュの未定乗数法と呼ばれます。多くの初等的な教科書において説明があまり明
瞭でないため、λ が導入される理由をきちんと理解している人は少ないかもしれません。
4.10
無限連成振動子
章の最後に、相互作用のある無限自由度の系として、無限連成振動子のモデル
を紹介しておきます。
図 3: 無限連成振動子
図 3 のように無数にある質量 m の小球 (振動子) がばねで一直線上に繋がれてお
り、これら振動子はこの直線上のみを動くものとします。n 番目の振動子の時刻
t における変位を φ(n, t) とし、n 番目の振動子と (n+1) 番目の振動子を繋ぐばね
が、ポテンシャルエネルギー、
k
(φ(n+1, t) − φ(n, t))2 (k > 0)
2
を有するものとすると、系のラグランジアンは、
¶
X µm
k
˙ t)2 − (φ(n+1, t) − φ(n, t))2
φ(n,
L=
2
2
n∈Z
で与えられます。このとき、
∂L
˙ t),
= mφ(n,
˙
∂ φ(n, t)
∂L
= k(φ(n+1, t) + φ(n−1, t) − 2φ(n, t)).
∂φ(n, t)
また、テイラー展開により一般に、
µ
¶n
µ
¶
∞
∞
X
X
1 (n)
1
d
d
f (x + a) =
f (x)an =
a
f (x) = exp a
f (x)
n!
n!
dx
dx
n=0
n=0
89
であることに注意すると、ラグランジュ方程式は、
¨ t) = k(e∂ + e−∂ − 2)φ(n, t),
mφ(n,
∂=
∂
∂n
あるいは少し整理して、
¨ t) = 4ω 2 sinh2 ∂ φ(n, t),
φ(n,
0
2
r
ω0 =
k
m
となります。これが運動方程式です。
n ∈ Z, p ∈ (−π, π) において {eipn } が完全系であることに注意すると (関数論
と応用数学の章参照)、一般性を失うことなく、
Z π
φ(n, t) =
dp c(p, t) eipn
−π
とおくことができますが、これを運動方程式に入れると、
c¨(p, t) = −4ω02 sin2 (p/2) c(p, t)
を得ます。よって ω(p) = 2ω0 | sin(p/2)| とおけば、解は、
c(p, t) = a(p) e−iω(p)t + b(p) eiω(p)t
と表され、これを φ(n, t) の式に戻すと、
Z π ³
´
ipn−iω(p)t
−ipn+iω(p)t
φ(n, t) =
dp a(p) e
+ b(−p) e
.
−π
後ろの項では積分変数 p を符号を逆にして再定義しました。φ(n, t) が実数である
ことから b(−p) = a∗ (p) がわかるので、結局、一般解は、
Z π ³
¯
´
p ¯¯
¯
ipn−iω(p)t
∗
−ipn+iω(p)t
φ(n, t) =
dp a(p) e
+ a (p) e
, ω(p) = 2ω0 ¯ sin ¯
2
−π
です。ここから、
X
X
φ(n, 0)e−ipn = 2π(a(p) + a∗ (−p)),
n∈Z
˙ 0)e−ipn = −2πi ω(p)(a(p) − a∗ (−p))
φ(n,
n∈Z
が確かめられるので、これらを a(p) について解くと、
µ
¶
i ˙
1 X
φ(n, 0) +
φ(n, 0) e−ipn .
a(p) =
4π
ω(p)
n∈Z
90
a(p) はこの式により、系の初期条件から決定されるわけです。
例えば t = 0 で、全ての振動子の変位が 0 で、かつ、0 番目の振動子だけが速
˙ 0) = vδn0 ですから、
度 v を持ち、他が静止していたとすると、φ(n, 0) = 0, φ(n,
a(p) = iv/4πω(p). これを一般解に代入して、
Z π
v
sin(ω(p)t − pn)
dp
φ(n, t) =
2π −π
ω(p)
を得ます。特に 0 番目の振動子の時刻 t における変位は、
Z
v
1 π sin(x sin(p/2))
φ(0, t) =
F (2ω0 t), F (x) =
dp
2ω0
π 0
sin(p/2)
です。F (∞) = 1 が以下のように確かめられるので、十分時間が経過した後、0 番
目の振動子は v/2ω0 だけ移動し静止することがわかります。t = 0 で 0 番目の振動
子が持っていた運動エネルギーは、無限にある他の振動子へと順に伝わり散逸し
てしまいます。これは無限自由度の系の、有限自由度の系にはない特徴です。
[F (∞) = 1 の証明] 積分変数を q = x sin(p/2) に置換すると、
Z
2 x
sin q
F (x) =
dq p
π 0
q 1 − (q/x)2
p
となりますが、1/ 1 − (q/x)2 を q/x でマクローリン展開し、
Z ∞
Z x
sin q
π
1
dq
=
lim n+1
dq q n sin q = 0 (n = 1, 2, · · · )
x→∞
q
2,
x
0
0
に注意すれば与題を得ます。ここで前式はディリクレ積分と呼ばれる有名な式で、
例えば複素関数 f (z) = eiz /z の図 4 の経路上の積分がコーシーの定理から 0 であ
ることから確かめられるでしょう。一方、後式は積分部を部分積分することによ
り確かめられます。[証明終]
図 4: 積分経路
91
5
連続体力学
物質の中でも弾性体と流体はそのニュートン力学的な取り扱いが比較的容易で
す。これらは連続体と総称されます。連続体の力学をここに簡単にまとめておき
ます。ただし、ユークリッド幾何学、応用数学、およびニュートン力学を既知と
仮定します。
5.1
応力テンソル
物体の内部のある領域 V が、その境界面 ∂V 上の微小断面積 d2 xi を通じて受
ける力を考えましょう。それは微小断面積 d2 xi に比例するはずなので、一般に、
dFj = d2 xi Tij
と書けます。このとき Tij を応力テンソルといいます。
図 1: 応力テンソル
例えば、棒状の物体を左右に引張ったとき、引張った方向を x1 方向として、T11
が正になることに注意。すなわちここでは引張応力が正になるよう定義している
わけです。符号を逆にし、圧縮応力を正とする定義もよく見かけるので注意して
ください。
そうすると、物体のある領域 V がその境界面 ∂V から受ける力は、ガウスの定
理を用いて、
Z
Z
2
Fj =
d xi Tij =
d3 x ∂i Tij
∂V
V
と書けるので、∂i Tij は応力による力の密度と考えることができます。
92
また、物体の領域 V が受けるトルクを考えると、3 次元レビ・チビタを ²ijk と
して、
Z
Z
Ni =
²ijk xj dFk =
²ijk xj d2 xl Tlk
∂V Z
Z∂V
=
d3 x ∂l (²ijk xj Tlk ) =
d3 x (²ilk Tlk + ²ijk xj ∂l Tlk ).
V
V
一方トルクは、力の密度が ∂i Tij であることから、
Z
Ni =
d3 x ²ijk xj ∂l Tlk
V
と書くこともできます。これらを比較し、V が任意の領域であることに注意する
と、²ilk Tlk = 0. よって、
Tij = Tji
を得ます。すなわち応力テンソルは 2 つの添字について対称です。
5.2
弾性体と弾性率
物体の各部が本来の位置 xi から
x0i = xi + ui (x)
に移動した時、ui (x) を変位といいます。変位の勾配 ∂j ui は十分小さいとし、そ
の高次を無視すると、物体の各部の距離変化は、
dx0i dx0i − dxi dxi = (dxi + ∂j ui dxj )(dxi + ∂k ui dxk ) − dxi dxi
= ∂j ui dxj dxi + ∂k ui dxi dxk = (∂i uj + ∂j ui )dxi dxj .
そこで、
1
(∂i uj + ∂j ui )
2
で物体のひずみ (の場) を定義します。ひずみが物体の各部で 0 ならば、物体は変
形していないことになります。すなわち変位 ui が存在しても、ひずみ ²ij が 0 な
らば、物体は並進や回転をしているだけということです。
²ij =
応力がひずみに比例するいう仮定 :
Tij = Eijkl ²kl
はフックの法則と呼ばれ、フックの法則を満たす物体を弾性体といいます。比例
係数 Eijkl は弾性率と呼ばれます。剛体は変形しない物体だったので、剛体は弾性
93
率が無限大の弾性体として特徴づけられます。応力テンソルとひずみが 2 つの添
字について対称であることに注意すると、一般性を失うことなく、
Eijkl = Ejikl = Eijlk
を仮定できます。
ちなみに大気中にある弾性体を考える場合、通常、大気圧下の定常状態の 1 つを
変位場の基準 (本来の位置) にとります。そうするとフックの法則は線形であるた
め、物体の表面における大気圧の効果は無視してよいことになります。大気圧の
効果を変位場にくりこんでしまうわけです。
(余談) もし弾性体の内部に散逸がなく、すなわちひずみに対するポテンシャルエネルギーが存
在すると仮定すると、弾性率に関してさらに、
Eijkl = Eklij
という対称性が得られるため、3 次対称行列の独立な成分は 6 個、6 次対称行列の独立な成分が 21
個であることに注意して、弾性率 Eijkl の 34 = 81 個の成分のうち、独立なものは 21 個というこ
とになります。上式の証明は以下の通りです。
[証明] 弾性体の仮想的な微小変形 δui に対し、領域 V が外部からされる仕事は、
Z
Z
Z
2
δW =
δuj dFj =
δuj d xi Tij =
d3 x ∂i (δuj Tij ).
∂V
∂V
V
いま、系が定常的で、かつ応力以外の力 (外力) がないとすると、釣り合いの条件から ∂i Tij = 0 で
あることに注意して、
Z
Z
d3 x δ²ij Tij =
δW =
V
d3 x δ²ij Eijkl ²kl
V
となります。よって弾性体のポテンシャルエネルギー密度を A とすると、
δA = δ²ij Eijkl ²kl ∴
5.3
δ2A
= Eijkl ∴ Eijkl = Eklij . [証明終]
δ²ij δ²kl
一様等方弾性体
弾性体が一様で等方な場合、弾性率は定数のテンソルのはずなので、λ, µ, µ0 を
実数として、
Eijkl = λδij δkl + µδik δjl + µ0 δil δjk
と書けますが、弾性率の対称性から µ0 = µ がわかり、
Eijkl = λδij δkl + µ(δik δjl + δil δjk )
です。このとき λ, µ をラメの定数といいます。一様等方弾性体の弾性率の独立な
成分は 2 個というわけです。
94
このとき弾性体の応力は、Tij = Eijkl ²kl および ²ij = (1/2)(∂i uj + ∂j ui ) から、
Tij = λδij ∂ ·u + µ(∂i uj + ∂j ui )
となることがわかります。ここで ∂ ·u = ∂i ui は内積です。
弾性体の運動方程式は、その質量密度を ρ, 応力以外の力 (外力) の密度を fj と
して、
ρ¨
uj = ∂i Tij + fj .
あるいは上の応力の式を代入して、
ρ¨
uj = (λ + µ)∂j ∂ ·u + µ4uj + fj
と書かれます。4 = ∂ ·∂ はラプラシアンです。
5.4
弾性体における波動
ここで一様等方弾性体の波動解を求めてみましょう。
外力の密度を 0 とすると、弾性体の運動方程式は、
ρ¨
uj = (λ + µ)∂j ∂ ·u + µ4uj
ですが、これに波動解 :
uj = aj sin(k·x−ωt)
を代入すれば、
ρω 2 aj = (λ + µ)kj k·a + µk 2 aj
を得るでしょう。波数ベクトルの大きさ |k| と角振動数 ω の関係式を、一般に分
散関係といいます。
もしこの波動解が横波で、k·a = 0 なら、上の分散関係の式から ρω 2 = µk 2 を得
るので、横波の速さは、
r
ω
µ
vt =
=
|k|
ρ
と求まります。一方、k·a 6= 0 のときは、分散関係の式に kj をかけ、k·a で割る
ことにより、ρω 2 = (λ + 2µ)k 2 を得ます。このとき aj ∝ kj がわかるので、この
波動解は縦波です。その速さは、
s
λ + 2µ
ω
=
vl =
|k|
ρ
となります。一様等方弾性体には横波と縦波しか存在しないことがわかり、また、
それぞれの伝播速度 (位相速度) がラメの定数で表されました。
95
5.5
ヤング率とポアソン比
形状が直方体の弾性体があり、この弾性体のある辺に沿った方向にだけ外圧 p
をかけたとします。この辺の方向を x1 方向とし、また p は引張りを正とします。
このとき弾性体の各方向の伸縮率を ai として、
E=
p
a1 ,
ν=−
a2
a1
を、順に、ヤング率、ポアソン比といいます。これらは実験で容易に測ることが
できる弾性体の性質です。一様等方弾性体のヤング率とポアソン比を求めてみま
しょう。
まず、
u1 = a1 x1 + b1 ,
u2 = a2 x2 + b2 ,
u3 = a3 x3 + b3
という変位場を考えます。ai , bi は定数です。特に ai は xi 方向の伸縮率を意味し
ています。応力の式 : Tij = λδij ∂ ·u + µ(∂i uj + ∂j ui ) に代入すると、
T11 = (λ + 2µ)a1 + λa2 + λa3 ,
T22 = λa1 + (λ + 2µ)a2 + λa3 ,
T33 = λa1 + λa2 + (λ + 2µ)a3 ,
Tij = 0 (i 6= j)
を得ます。これらは全て定数なので、考えている変位場は弾性体の運動方程式 (た
だし fj = 0) の定常解になっています。
x1 方向にだけ外圧 p がかかっているとすると、境界条件は、
T11 = p,
T22 = T33 = 0
なので、

   
λ + 2µ
λ
λ
p
a1
 λ
λ + 2µ
λ  a2  = 0
λ
λ
λ + 2µ
a3
0
 


 

a1
4µ(λ+µ) ∗ ∗
2(λ+µ)
p
1
p
 −2λµ ∗ ∗ 0 =
 −λ  .
∴ a2  = 2
4µ (3λ+2µ)
2µ(3λ+2µ)
a3
−2λµ ∗ ∗
−λ
0
よってヤング率とポアソン比は、それぞれ、
E=
µ(3λ + 2µ)
λ + µ,
と、ラメの定数を用いて表されます。
96
ν=
λ
2(λ + µ)
多くの場合、ヤング率とポアソン比は共に正であり、また、横波と縦波が存在
します。このことからラメの定数は共に正とわかります。また、縦波 (P 波) が横
波 (S 波) より速いことがわかるでしょう。地震においても、最初に到達するのは
P 波で、その後 S 波が来るわけです。
ちなみに、ポアソン比が特に大きい物質はゴムで、押しつぶすと横に大きく膨
らみます。そのポアソン比は 0.4 ∼ 0.5 程度です。
5.6
天井からはがれ落ちる弾性体
教育的で面白い例として、図 2 のように天井に張り付いた直方体状の一様等方弾
性体を考えてみましょう。ただし簡単のため、λ = 0 (ポアソン比 0) とします。
図 2: 天井に張り付いた弾性体
下方を x1 = x 方向とし、重力加速度を g とします。また、x 方向の弾性体の
自然長を L とします。運動方程式は、ρ¨
uj = µ∂j ∂·u + µ4uj + fj ですが、これは
u1 = u = u(t, x), u2 = u3 = 0 において、
ρ¨
u = 2µu00 + ρg
∴ u¨ = c2 u00 + g.
p
を与えます。ダッシュは x 微分を意味し、c = 2µ/ρ は弾性体内部における縦波
の速さ (音速) です。特に定常状態では、
g
u =− 2
c
00
gx2
∴ u = − 2 + Ax + B
2c
(A, B は定数)
ですが、x = 0 で u = 0 (固定端条件)。また、x = L では応力が存在しないはず
なので u0 = 0 です (自由端条件)。これらから定数 A, B が定まり、
u=
gx
(2L − x)
2c2
97
が解です。定常状態では重力により弾性体の長さが gL2 /2c2 だけ伸びることがわ
かります。
次に、時刻 t = 0 に弾性体の上端が天井から瞬時にはがれた場合を考えます。こ
のとき、0 ≤ x ≤ L では { cos(nπx/L) | n = 0, 1, 2, · · · } が完全系を成すことに注
意して、
∞
X
nπx
u(t, x) = a(t) +
an (t) cos
L
n=1
とおくことができます。これを運動方程式 u
¨ = c2 u00 + g に代入すると、
³ nπc ´2
an (t)
a
¨(t) = g, a
¨n (t) = −
L
nπct
nπct
gt2
∴ a(t) =
+ αt + β, an (t) = αn cos
+ βn sin
2
L
L
ですが、u(0,
˙ x) = 0 から α = 0, βn = 0 がわかるので、
∞
X
gt2
nπct
nπx
u(t, x) =
+β+
αn cos
cos
2
L
L.
n=1
さらに u(0, x) = (gx/2c2 )(2L − x) から β, αn をフーリエ変換の手法で定めるこ
とができ、結果、
∞
gt2 gL2 2gL2 X 1
nπct
nπx
u(t, x) =
+ 2 − 2 2
cos
cos
2
2
3c
π c n=1 n
L
L
となります。この式は自由端条件 : u0 (t, 0) = u0 (t, L) = 0 を自動的に満たしてい
て、よってこれがはがれ落ちる弾性体の解です。
弾性体の下端の加速度を計算してみましょう :
¶
µ
∞
X
nπct
ct + L
cos(nπ) = g + 2g
cos nπ
u¨(t, L) = g + 2g
cos
L
L
n=1
n=1
Ã
!
¶
¶
X µ ct + L
X µ ct + L
1
= g + 2g π
δ π
− 2nπ −
=g
δ
−n .
L
2
2L
∞
X
n∈Z
n∈Z
途中で公式、
∞
X
n=1
cos(nx) = π
X
δ(x − 2nπ) −
n∈Z
98
1
2
および
δ(ax) =
1
δ(x)
|a|
を用いました。δ(x) はデルタ関数です (関数論と応用数学の章参照)。そうすると、
下端の速度は、
¶
Z t
Z t
X µ ct0 + L
u(t,
˙ L) =
dt0 u¨(t0 , L) = g
dt0
δ
−n
2L
0
0
n∈Z
·
¸
Z (ct+L)/2L
X
2gL ct + L
2gL
ds
δ(s − n) =
=
c 1/2
c
2L
n∈Z
と見積もられます。ここで [x] は x の最大整数 (ガウス記号) です。
下端は 0 < t < L/c では静止したままで、t = L/c で急激に 2gL/c の速度を持
ち、その後、階段状に加速されることがわかります。上端が天井からはがれたこ
とが弾性体中の縦波を通じ下端に伝わるまで、下端は静止しているわけです。ま
た、この階段的加速を粗く見ると (ct À L)、下端を含め弾性体全体が加速度 g で
落ちているように見えることになります。
5.7
流体とナビエ・ストークス方程式
次に流体について考えます。
水槽に入った水などの流体の状態は、流体の各部における質量密度 ρ(t, x), およ
び速度場 vi (t, x) によって表されます。いま、d2 xi ρvi という量を考えると、これ
は断面積 d2 xi を単位時間当たりに通過する流体の質量なので、質量の保存から、
Z
Z
d
3
d xρ = −
d2 xi ρvi ∴ ρ˙ + ∂i (ρvi ) = 0
dt V
∂V
を得ます。これを連続の式といいます。
また、流体の運動方程式を導くため、流体の運動量変化について考えてみましょ
う。pi = ρvi が流体の運動量密度であることに注意すると、
Z
Pi (t) =
d3 x pi (t, x)
V
は、領域 V が時刻 t に持つ運動量です。微小時間 δt 後、流体の各部 xi は x0i =
xi + vi δt に移動しますが、そうしてできる新しい領域を V 0 とします。そうする
と、微小時間 δt 後の運動量は、
Z
Pi (t + δt) =
d3 x0 pi (t + δt, x0 )
V0
と表されます。この式の積分変数を x に置換する際、
∂x0i
= δij + ∂j vi δt より、
∂xj
∂x0
det
= ²ijk (δi1 + ∂1 vi δt)(δj2 + ∂2 vj δt)(δk3 + ∂3 vk δt) = 1 + ∂ ·vδt
∂x
99
であることに注意して、
Z
d3 x(1 + ∂ ·vδt)(pi + p˙i δt + ∂j pi vj δt)
Pi (t + δt) =
Z V
Z
3
= Pi (t) +
d x(p˙i + ∂j pi vj + pi ∂ ·v)δt = Pi (t) +
d3 x(ρv˙ i + ρv·∂vi )δt.
V
V
よって、ρv˙ i + ρv ·∂vi が力の密度に等しいはずで、流体の応力を Tij , 外力の密度
を fj として、
ρv˙ j + ρv·∂vj = ∂i Tij + fj
が成り立ちます。これをナビエ・ストークス方程式といいます。
ただし流体の応力は、
Tij = −pδij + λδij ∂ ·v + µ(∂i vj + ∂j vi )
で与えられ、p は流体の圧力、µ, λ は粘性率で、多くの場合、
2µ + 3λ = 0
という関係式が成り立ちます (ストークスの関係式)。
ナビエ・ストークス方程式は非線形であるため、解析的に解くのは非常に困難
であり、多くの場合、数値計算に頼ることになります。ナビエ・ストークス方程
式の解の存在証明はミレニアム懸賞問題の 1 つになっています。
5.8
レイノルズ数
流速が十分に遅い場合、流体は規則正しい流れを作りますが、流速が速い場合、
境界層がはがれて渦などを生じ、流体の流れは複雑化します。前者を層流、後者
を乱流といいます。
いま、流体中に大きさのスケールが l の物体があるとしましょう。その物体が
流体から受ける力は、層流においては粘性によるため µlv に比例しますが、乱流
においては、流体の運動量を変化させる反作用として考えられるため、ρl2 v 2 に比
例します。前者を粘性抵抗、後者を慣性抵抗といいます。
粘性抵抗と慣性抵抗の比、
ρlv
µ
をレイノルズ数と呼びます。レイノルズ数が同じである 2 つの流体の流れは相似に
なると考えられ、これを力学的相似則と呼びます。相似則は流体模型の作成の際
に重要になります。層流と乱流の境は、物体や壁の滑らかさにも依りますが、十
Re =
100
分滑らかな場合で Re∼103 付近になります。滑らかでない場合はもっと小さなレ
イノルズ数で乱流を生じます。
(余談) もし小さな人間がいたら、その人にとって水は我々よりねっとりしたものに感じられま
す。このことはレイノルズ数の式からも読み取れるはずです。このことを無視していた映画が、例
えば「ミクロの決死圏」や「ミクロキッズ」。ちゃんと考慮していた映画が「借りぐらしのアリエッ
ティ」です。
5.9
完全流体とベルヌーイの定理
ρ が一定の流体を非圧縮性流体といいます。さらに粘性が無視できる流体を完全
流体といいます (∗) 。このときナビエ・ストークス方程式は、
ρv˙ i + ρv·∂vi = −∂i p + fi
となり、これをオイラー方程式といいます。
特に定常的な完全流体を考えると、オイラー方程式は、
ρv·∂vi = −∂i p + fi
ですが、外力の密度が、
fi = −∂i φ
と、外部ポテンシャルの密度 φ を用いて表される場合、
ρv·∂vi + ∂i p + ∂i φ = 0
となります。この式に vi をかけ、v·∂v 2 = 2vi v·∂vi に注意すると、
µ
¶
1 2
v·∂
ρv + p + φ = 0
2
を得ます。この式は流体の流線にそって括弧内の量が不変であることを意味し、ベ
ルヌーイの定理と呼ばれます。ベルヌーイの定理は完全流体におけるエネルギー
保存則を意味しています。
(*注) 実際の流体には必ず粘性があるため、粘性率 µ を 0 とおいてしまうのは実は乱暴です。完
全流体の理論にはこのことに伴ったパラドックスがいくつか存在します。
5.10
水面波
章の最後に、オイラー方程式の近似解の例として、水面波を取り上げておきます。
完全流体の速度場 vi が十分小さいと考え、その 2 次の項を無視すると (線形近
似)、連続の式とオイラー方程式は、それぞれ、
∂ ·v = 0,
ρv˙ i = −∂i p − ρg∂i x3
101
となります。ただし外力は重力だけとし、重力の方向を −x3 方向としました。g
は重力加速度です。さらに、速度場 vi (t, x) の回転 (²ijk ∂j vk ) が 0 で、速度ポテン
シャル Φ(t, x) が存在すると仮定すれば、
vi = ∂i Φ
であり、連続の式とオイラー方程式は、それぞれ、
µ
¶
p
4Φ = 0, ∂i Φ˙ + + gx3 = 0
ρ
となります。前式は一般にラプラス方程式と呼ばれる式です。
ここで図 3 のように座標を設定し、振幅が極めて小さな水面波 (さざ波) を考え
てみることにしましょう。水面の式を x3 = η(t, x1 ) とし、η ¿ h を仮定します。
h は水深です。
図 3: 水面波
底においては v3 = 0 なので、
¯
¯
∂3 Φ ¯
x3 =−h
=0
(1)
˙ + (p/ρ) + gx3 という量は空間座標に依存しませんが、特に遠方で
です。また、Φ
定常的になっているとすれば、遠方の水面においてこれは p0 /ρ となります。ここ
˙ + (p/ρ) + gx3 = p0 /ρ が成り立
で p0 は大気圧です。よって流体の各部において Φ
ち、この式を水面に適用すると、
¯
¯
+ gη = 0
(2)
Φ˙ ¯
x3 =η
です。一方、水面にある水の粒子は微小時間 δt 後にも水面にあるはずですが、そ
の微小変位を図 4 のように考えると、v3 |x3 =η = η˙ + (∂1 η)v1 という関係式がわか
り、後ろの項を高次の微小量として無視すると、
¯
¯
∂3 Φ ¯
= η˙
(3)
x3 =η
102
が成り立ちます。(1)∼(3) が流体の境界条件で、この境界条件のもとでラプラス方
程式 4Φ = 0 を解こうというわけです。
図 4: 水面における粒子の移動
いま、x1 方向の波動解を考え、速度ポテンシャルを、
Φ = F (x3 ) sin(kx1 −ωt)
とおいてみましょう。k は波数、ω は角振動数を意味します。そうすると、ラプ
ラス方程式 4Φ = 0 は F 00 (x3 ) = k 2 F (x3 ) を与え、また (1) は F 0 (−h) = 0 を与え
ます。よって解は、積分定数を A として、
F (x3 ) = A cosh (k(x3 +h))
であり、これを Φ の式に戻して、
Φ = A cosh (k(x3 + h)) sin(kx1 −ωt)
となります。これと (2)(3) から、η ¿ h に注意して、
η = C cos(kx1 −ωt),
C=
Aω
cosh(kh),
g
ω 2 = gk tanh(kh)
が得られるでしょう。速度場の回転が 0 という仮定はかなり強い仮定ですが、そ
れでも幸運にも全ての境界条件を満たす近似解が見つかったというわけです。
最後の式は分散関係であり、ここから水面波の位相速度は、
r
g tanh(kh)
ω
vp = =
k
k
で与えられることがわかります。特に水深が十分にあり、kh À 1 のときは、vp ∼
p
g/k であり、このとき波長の長い波ほど速く進むことがわかります。また、一
定の波長の波を考え、水深を変化させた場合は、浅い場合ほど位相速度が遅くな
ることも確かめられるでしょう。
103
6
リーマン幾何学
リーマン幾何学は一般的な空間を記述するための数学です。特別な場合に従来
のユークリッド幾何学に帰着します。特殊相対論はミンコフスキー空間を、一般
相対論は曲がった時空を前提とするため、いずれにせよリーマン幾何学の理解が
必須になります。表記法の紹介もかねてここにまとめておきます。
6.1
計量空間
N 個の実数の組から成る集合を RN と書きます。局所的に RN と同相な点の
集合は N 次元空間 (多様体) と呼ばれます。空間のある点に対応する RN の元は、
その点の座標と呼ばれます。
いま N 次元空間の隣接した 2 点 P, Q を考え、それらの座標を (x1 , · · · , xN ),
(x1 + dx1 , · · · , xN + dxN ) としましょう。座標の添字を上に付けるのは単なる慣習
で、もちろん累乗の意味ではありません。このとき PQ 間の微小距離 ds は、
ds2 = gµν (x)dxµ dxν
で定義されます。縮約規則を用いています。係数行列 gµν を計量といいます。一
般性を失うことなく、対称性 gµν = gνµ を仮定できるのでこれを仮定しましょう。
計量の定義された空間は、一般に計量空間と呼ばれます。
計量は座標の取り方によって変わりますが、空間の全体で定数になるとき、す
なわち ∂gµν /∂xλ = 0 のとき、この座標を直線座標といいます。直線座標でない座
標は曲線座標と呼ばれます。直線座標を取ることができる空間は平らであると呼
ばれます。特に gµν = δνµ を採用できる空間はユークリッド空間と呼ばれ、このと
きの座標をデカルト座標といいます。ここで δνµ はクロネッカーデルタです。
計量 gµν の逆行列を添字を上付きにして g µν と表します。すなわち、
gµν g νλ = δµλ .
いま、適当な上付き添字を持つ量 Aµ があるとき、計量を用いて、
Aµ = gµν Aν
で下付き添字の量 Aµ を定義します。この式の両辺に g λµ をかければ、
g λµ Aµ = g λµ gµν Aν = δνλ Aν = Aλ
104
ですから、一般に下付き添字は上付き添字の計量をかけることで上付き添字に戻
せます。これらの操作を添字の上げ下げといいます。添字の位置が定義と異なる
場合、暗黙にこの操作を行ったものと理解して下さい。
6.2
一般座標の例
一例として、2 次元ユークリッド空間を考え、デカルト座標を (x, y) とします。
x0 = x − ay,
y0 = y
(a は定数)
で斜交座標 (x0 , y 0 ) を定義すると、微小距離の式は、
ds2 = dx2 + dy 2 = (dx0 + ady 0 )2 + dy 02 = dx02 + (1 + a2 )dy 02 + 2a dx0 dy 0
ですから、x1 = x0 , x2 = y 0 という対応において、斜交座標の計量は、
g11 = 1,
g22 = 1 + a2 ,
g12 = g21 = a
となります。この計量は座標に依存しないので、斜交座標は直線座標というわけ
です。
また、3 次元ユークリッド空間を考え、デカルト座標を (x, y, z) とします。
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
で 3 次元極座標 (r, θ, φ) を定義すると、微小距離の式は、
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2
= (sin θ cos φ dr + r cos θ cos φ dθ − r sin θ sin φ dφ)2
+ (sin θ sin φ dr + r cos θ sin φ dθ + r sin θ cos φ dφ)2
+ (cos θ dr − r sin θ dθ)2
= dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θ dφ2
と計算されるので、x1 = r, x2 = θ, x3 = φ という対応において、極座標の計
量は、
g11 = 1, g22 = r2 , g33 = r2 sin2 θ
(他の成分は 0)
となります。この計量は座標に依存しているので、極座標は曲線座標というわけ
です。
計量の非対角成分 (µ 6= ν における gµν ) が全て 0 になる座標は直交座標と呼ば
れます。上の例において、極座標は直交座標ですが、斜交座標 (a 6= 0) は直交座
標でないことがわかります。デカルト座標は直交座標です。
105
いま、3 次元ユークリッド空間の中に埋め込まれた半径 r の 2 次元球面を考える
と、この 2 次元空間は、3 次元極座標の角度変数 (θ, φ) により張られ、微小距離の
式は、
ds2 = r2 dθ2 + r2 sin2 θ dφ2
(r は定数)
ということになります。(θ, φ) は 2 次元球面座標と呼ばれます。
6.3
テンソル
一般座標変換を考えると、座標微分 dxµ は、偏微分の性質から、
∂x0µ ν
dx =
dx
∂xν
0µ
という変換則に従います。また、座標微分演算子 ∂µ = ∂/∂xµ は、
∂µ0
∂xν
= 0µ ∂ν
∂x
という変換則に従います。そこで一般に、
T 0µν··· λ··· =
∂xκ
∂x0µ ∂x0ν
·
·
·
· · · T ρσ··· κ···
ρ
σ
0λ
∂x ∂x
∂x
という変換則に従う量 T µν··· λ··· をテンソルと呼びます。特に添字が 1 つの場合、そ
れが上付きなら反変ベクトル、下付きなら共変ベクトルと呼びます。座標微分 dxµ
は反変ベクトルです。添字を持たないテンソルは不変量を意味することになりま
すが、これはスカラーと呼ばれます。微小距離 ds は座標に依らない不変量なので
スカラーです。
テンソル同士の積は再びテンソルになります。例えば、テンソル Aµν , Bν があっ
て、これらをかけあわせ、C µ = Aµν Bν を定義します。いうまでもなく、この式
の右辺は添字 ν について和を取るわけですが、このような添字の対は上下に現れ
るように配置されているものとします。このとき、
∂x0µ ∂xλ ρσ
∂x0µ ∂x0ν ρσ ∂xλ
A
B
=
A Bλ
λ
∂xρ ∂xσ
∂x0ν
∂xρ ∂xσ
∂x0µ λ ρσ
∂x0µ ρ
∂x0µ ρσ
=
δ A Bλ =
A Bσ =
C
∂xρ σ
∂xρ
∂xρ
C 0µ = A0µν Bν0 =
ですから、確かに C µ はテンソルです。これを積の定理といいます。逆に C µ , Bν
がテンソルなら Aµν がテンソルであることも証明できます。これを商の定理とい
います。
商の定理と計量の定義から、計量 gµν はテンソルです :
0
gµν
=
∂xρ ∂xσ
gρσ .
∂x0µ ∂x0ν
106
このため計量は、計量テンソルとも呼ばれます。さらに、
δµν
∂xρ ∂x0ν σ
= 0µ σ δρ
∂x ∂x
が成立するため、クロネッカーデルタ δµν もテンソルです。このことと商の定理か
ら上付き添字の計量 g µν もテンソルであることがわかります。また、積の定理と
添字の上げ下げの規則から、テンソルの添字を上げ下げして得られる量が、再び
テンソルになることもわかるでしょう。
6.4
共変微分と接続係数
スカラー場 φ(x) の座標微分 ∂µ φ を作ると、これは共変ベクトルになります :
∂µ0 φ0 =
∂xν
∂ν φ.
∂x0µ
しかし反変ベクトル Aµ (x) の座標微分はテンソルになりません :
µ 0ν ¶
ρ
∂x
∂x σ
∂xρ ∂x0ν
∂xρ ∂ 2 x0ν σ
σ
∂µ0 A0ν = 0µ ∂ρ
A
=
∂
A
+
A .
ρ
∂x
∂xσ
∂x0µ ∂xσ
∂x0µ ∂xρ ∂xσ
第 2 項があるためこれはテンソルではないわけです。そこでこの第 2 項を打ち消す
ような新しいベクトルの座標微分を次のように定義します :
∇µ Aν = ∂µ Aν + Γν λµ Aλ .
∇µ を共変微分 (演算子) といい、Γν λµ を接続係数 (クリストッフェル記号) といい
ます。接続係数がしかるべき変換をすることで、∇µ Aν がテンソルになると考え
るわけです。このため接続係数はテンソルではあり得ません。接続係数の変換式
を求めてみましょう。
共変微分の式はダッシュ系において (∇µ Aν )0 = ∂µ0 A0ν + Γ0ν λµ A0λ . よって、
µ 0ν ¶
0λ
∂xρ ∂x0ν
∂xρ
∂x σ
σ
0ν ∂x
∇ρ A = 0µ ∂ρ
A + Γ λµ σ Aσ
0µ
σ
σ
∂x ∂x
∂x
∂x
∂x
0λ
¢
∂xρ ∂ 2 x0ν σ
∂xρ ∂x0ν ¡
∂xρ ∂x0ν
σ
0ν ∂x
σ
σ
λ
∴
∂ρ A + Γ λρ A = 0µ σ ∂ρ A + 0µ ρ σ A + Γ λµ σ Aσ .
0µ
σ
∂x ∂x
∂x ∂x
∂x ∂x ∂x
∂x
左辺の括弧を展開すると、第 1 項は右辺第 1 項と相殺し、第 2 項においては添字 σ,
λ を入れ換えて、
0λ
∂xρ ∂x0ν λ
∂xρ ∂ 2 x0ν σ
0ν ∂x
σ
Γ σρ A = 0µ ρ σ A + Γ λµ σ Aσ
0µ
λ
∂x ∂x
∂x ∂x ∂x
∂x
107
となります。Aσ は任意のベクトルであり、全ての項に共通なので消すことができ、
∂x0λ 0ν
∂xρ ∂x0ν λ
∂xρ ∂ 2 x0ν
Γ λµ = 0µ λ Γ σρ − 0µ ρ σ
∂xσ
∂x ∂x
∂x ∂x ∂x .
辺々に ∂xσ /∂x0κ を乗じて、
0ν
Γ
κµ
∂x0ν ∂xσ ∂xρ λ
∂xσ ∂xρ ∂ 2 x0ν
=
Γ σρ − 0κ 0µ σ ρ
∂xλ ∂x0κ ∂x0µ
∂x ∂x ∂x ∂x
を得ます。これが接続係数の変換式で、右辺第 2 項の存在により、接続係数はテン
ソルではないわけです。ただし線形変換に限って考えれば、あたかもテンソルの
ように変換されることもわかります。
6.5
一般のテンソルの共変微分
一般のテンソルの共変微分を作るために、次の要請をします :
• スカラーの共変微分は座標微分と等価 : ∇µ φ = ∂µ φ.
• ライプニッツ則 : ∇µ (AB) = (∇µ A)B + A∇µ B.
例えば Aν と Bν を共にベクトルとすると Aν Bν はスカラーだから、要請より、
∇µ (Aν Bν ) = ∂µ (Aν Bν ).
この式の左辺は、共変微分のライプニッツ則の要請と反変ベクトルの共変微分の
式から、(∂µ Aν + Γν λµ Aλ )Bν + Aν ∇µ Bν . 一方、右辺は (∂µ Aν )Bν + Aν ∂µ Bν とな
るので、
Γν λµ Aλ Bν + Aν ∇µ Bν − Aν ∂µ Bν = 0.
後ろ 2 項の添字 ν を λ に取り替えれば Aλ をくくり出せて、Aλ は任意だから、
∇µ Bλ = ∂µ Bλ − Γν λµ Bν
を得ます。これが共変ベクトルの共変微分です。
2 階テンソル C µν については Aµ , B ν を共にベクトルとして、C µν = Aµ B ν とお
けば、やはり共変微分の公式を作れます。このようにして、結果、一般に次のよ
うになります :
∇µ T νρ··· σ··· = ∂µ T νρ··· σ··· + Γν λµ T λρ··· σ··· + Γρ λµ T νλ··· σ··· · · ·
− Γλ σµ T νρ··· λ··· · · · .
添字の位置がややこしいですが、よく眺めると簡単な規則性があります。テンソ
ルでない量の共変微分は定義されません。
108
6.6
リーマン空間とテンソル定理
空間に直線座標が張れるなら、その座標において接続係数は 0 に定義されるの
が普通で、これを自然な接続といいます。任意の点の近傍で局所的に直線座標が
採用でき、このときその点において接続係数が 0 になると仮定された計量空間は、
リーマン空間と呼ばれます。すなわちリーマン空間とは、座標変換により、任意
の 1 点で ∂λ gµν = 0 かつ Γλµν = 0 を実現できる空間です。例えばユークリッド空
間に埋め込まれた空間はリーマン空間とみなすことができます。以下、リーマン
空間について考えていきます。
あるテンソルがあって、それが ∂λ gµν や Γλµν をあらわに (微分なしで) 含む項だ
けに展開できるとき、そのテンソルは全空間で 0 です。なぜなら仮定から、任意
の 1 点でそのテンソルが 0 になるような座標を選ぶことができますが、テンソル
の変換性から、ある座標で 0 ならばどの座標でもそれは 0 になるはずです。このこ
とは空間上の全ての点についていえるので、そのテンソルは恒等的に 0 であると
わかります。これをテンソル定理と呼びましょう。
6.7
計量条件と計量接続空間
計量はテンソルなので、その共変微分を考えることができます。それは、
∇λ gµν = ∂λ gµν − Γρ µλ gρν − Γρ νλ gµρ = ∂λ gµν − Γνµλ − Γµνλ
となります。テンソル定理からこれは 0 です :
∇λ gµν = 0 または ∂λ gµν = Γµνλ + Γνµλ .
これは計量条件と呼ばれます。計量条件は、計量が共変微分に対して “定数なみ”
であることをいっています。
次にスカラー場 φ の 2 階共変微分を考えましょう。∇ν φ = ∂ν φ が共変ベクトル
であることに注意して、
∇µ ∇ν φ = ∂µ ∂ν φ − Γλ νµ ∂λ φ.
この式の添字 µ, ν を交換した式を考え、この式から引くと、偏微分は可換だから、
(∇µ ∇ν − ∇ν ∇µ )φ = (Γλ µν − Γλ νµ )∂λ φ.
テンソル定理からこれは 0 で、∂λ φ は任意だから、
Γλµν = Γλνµ
がいえます。すなわち接続係数は後ろの 2 つの添字について対称です。
109
計量条件の式 (後式) の添字をサイクリックに入れ換えた式を 2 つ作り、それら
の和から元の式を引き、接続係数の対称性に注意すれば、
Γλµν =
1
(−∂λ gµν + ∂ν gλµ + ∂µ gνλ )
2
を得ます。これがリーマン空間における接続係数の式です。計量だけから接続係
数を導くことができる空間を、一般に計量接続空間といいます。リーマン空間は
計量接続空間の一例です。
(余談) リーマン空間の仮定をせず、計量条件だけを仮定した計量空間は、リーマン・カルタン
空間と呼ばれます。リーマン・カルタン空間では接続係数の添字の対称性が成り立たず、このため
接続係数を計量だけで書き表すことができなくなります。すなわちリーマン・カルタン空間は計量
接続空間ではありません。このような空間には “捩れ” と呼ばれる構造があると考えられ、スピノ
ルを含む重力理論、例えば超重力理論などではこのような時空が仮定されます。
6.8
リーマンテンソル
反変ベクトル Aρ の 2 階共変微分の式を作ってみましょう。µν の対称項を随時
まとめて、
∇µ ∇ν Aρ = ∂µ ∇ν Aρ − Γλ νµ ∇λ Aρ + Γρ λµ ∇ν Aλ
= ∂µ (∂ν Aρ + Γρ λν Aλ ) + Γρ λµ (∂ν Aλ + Γλ σν Aσ ) + ( µν の対称項)
= ∂µ Γρ λν Aλ + Γρ λµ Γλ σν Aσ + ( µν の対称項)
= (∂µ Γρ σν + Γρ µλ Γλ νσ )Aσ + ( µν の対称項).
よって µν を交換した式と差をとれば、
(∇µ ∇ν − ∇ν ∇µ )Aρ = Rρ σµν Aσ ,
Rρ σµν = ∂µ Γρ σν + Γρ µλ Γλ νσ − ( µν を交換した項)
を得ます。商の定理から Rρ σµν はテンソルで、これをリーマンテンソルと呼び
ます。
直線座標においては明らかにリーマンテンソルは 0 になります。テンソル性を加
味すれば、直線座標を張ることのできる空間においてはリーマンテンソルは全空
間で 0 になります。対偶をとれば、リーマンテンソルが 0 でない空間には直線座標
を張れない、すなわちその空間は平らでなく曲がっているということです。この
意味で、リーマンテンソルは曲率テンソルとも呼ばれます。
リーマンテンソルの最初の添字を下付きにすれば、
Rρσµν = gρλ Rλ σµν = gρλ ∂µ Γλ σν + gρλ Γλ µτ Γτ νσ − (µν 交換)
= ∂µ Γρσν − (∂µ gρλ )Γλ σν + Γρµτ Γτ νσ − (µν 交換)
110
1
∂µ (−∂ρ gσν + ∂ν gρσ + ∂σ gνρ )
2
− (Γρλµ + Γλρµ )Γλ σν + Γρµλ Γλ νσ − (µν 交換)
1
1
= − ∂µ ∂ρ gσν + ∂µ ∂σ gρν − Γλρµ Γλ σν − (µν 交換).
2
2
=
この式を注意深く眺めれば、次の対称性がわかるでしょう :
Rρσµν = −Rρσνµ = −Rσρµν = Rµνρσ ,
Rρσµν + Rρνσµ + Rρµνσ = 0.
これら対称性のため、リーマンテンソルの独立な成分はみかけほどは多くありま
せん。
n 次元の場合、少なくとも左式より、Rρσµν は ρ, σ および µ, ν についてそれぞ
れ反対称で、(ρ, σ) と (µ, ν) の組について対称ですから、n(n − 1)/2 次の対称行
列と同じで、その独立な成分は、n(n − 1)(n2 − n + 2)/8 個です。よって n = 2 で
1 個, n = 3 で 6 個, n = 4 で 21 個という具合です。n = 4 のときは上の右式に
よりさらに 1 個減ります。
6.9
ビアンキ恒等式
次にリーマンテンソルの共変微分を作ってみましょう。それは、
∇λ Rρ σµν = ∂λ ∂µ Γρ σν − ∂λ ∂ν Γρ σµ + ( Γ をあらわに含む項)
という形になります。よって、∇λ Rρ σµν + ∇ν Rρ σλµ + ∇µ Rρ σνλ という式を考えれ
ば、それは Γ をあらわに含む項だけで表され、テンソル定理から 0 です :
∇λ Rρ σµν + ∇ν Rρ σλµ + ∇µ Rρ σνλ = 0.
これはビアンキ恒等式と呼ばれます。
リーマンテンソルから、
Rµν = g ρσ Rρµσν ,
R = g µν Rµν
で定義される量を、順に、リッチテンソル、スカラー曲率と呼びます。リッチテ
ンソルは対称テンソルであることがわかります。(文献によってはリッチテンソル
を Rµν = g ρσ Rρµνσ で定義します。これはここでの定義と符号だけ異なります。)
ビアンキ恒等式に δρµ g νσ をかけて、丁寧に整理すれば、
∇µ Gµν = 0,
Gµν = Rµν −
1 µν
g R
2
を得るでしょう。Gµν はアインシュタインテンソルと呼ばれるので、左の恒等式
は、アインシュタインテンソルに関するビアンキ恒等式と呼ばれます。
111
6.10
体積要素
N 次元計量空間の体積要素は、通常、
√
dv = dNx
で定義されます。ここで、
√
=
p
| det g|.
g は計量が作る行列、det g はその行列式です。また、
dNx = dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxN
√
です。 および dN x は、一般座標変換に対し、
¯
¯
∂x ¯¯ √
∂x0 N
√ 0 ¯¯
および dN x0 = det
= ¯ det 0 ¯
d x
∂x
∂x
と振舞うため、体積要素 dv は符号の不定性を除き座標に依存しません。特に N
次元ユークリッド空間においてはデカルト座標を xµ として dv = dN x です。
6.11
計量の微分公式
ここで計量に関する微分公式をいくつか紹介しておきます。
gµν g νλ = δµλ の微分をとることで、上付き計量の微分は、
δg µν = −g µρ g νσ δgρσ
となるでしょう。また、一般に行列式の行列各成分による微分は、その行列の余
因子になるから、δ det g = det g g µν δgµν . よって、
δ
√
1
1 √ µν
1
= √ δ| det g| = √ | det g| g µν δgµν =
g δgµν
2
2
2
です。特に座標微分において、
√
∂
1 √ ρσ
1 √ ρσ
√
√
∂µ gρσ =
∂µ =
g ∂µ gρσ =
g (Γρσµ + Γσρµ ) = Γρ ρµ
∂gρσ
2
2
を得ます。
これを用いると、一般にベクトル Aµ に対して、
√
√
√
√
√
∇µ Aµ = (∂µ Aµ + Γµ νµ Aν ) = ∂µ Aµ + (∂ν )Aν = ∂µ ( Aµ ).
同様に、2 階の反対称テンソル F µν について、
√
√
∇µ F µν = ∂µ ( F µν ).
112
さらに、2 階の対称テンソル Tλµ について、
√
1√
√
∇µ Tλµ = ∂µ ( Tλµ ) −
∂λ gµν T µν
2
という関係が示せるでしょう。
6.12
測地線
リーマン空間における曲線の長さは、微小距離の積分、
r
Z
Z
dxµ dxν
I = ds = dλ gµν
dλ dλ
で与えられます。ここで λ は曲線上のパラメータです。
いま、曲線の端の 2 点が定まっているとし、曲線の長さを最小にしたいとしま
す。そのような曲線はどのように与えられるでしょうか？これは変分法の問題で
す。そのためには、曲線 xµ (λ) に任意の仮想変分 δxµ (λ) を与え、このとき積分が
停留値性 : δI = 0 を持っていることが必要です。このような停留値性をもつ曲線
を測地線といいます。測地線が満たすべき方程式を導出してみましょう。
上式の被積分関数の変分を計算すると、
r
µ
¶−1/2 µ
¶
dxµ dxν
1
dxρ dxσ
dxµ dxν
δ gµν
δ gµν
=
gρσ
dλ dλ
2
dλ dλ
dλ dλ
µ
¶
ν
µ
dxµ dδxν
1 dλ
λ dx dx
=
∂λ gµν δx
+ 2gµν
2 ds
dλ dλ
dλ dλ
µ
ν
µ
1
dx dx
dx dδxν
λ
= ∂λ gµν
δx + gµν
2
ds dλ
µds dλ µ ¶
µ
ν
dx dx
dx
1
d
d
= ∂λ gµν
δxλ −
gµλ
δxλ + (· · · ).
2
ds dλ
dλ
ds
dλ
最後の全微分項は積分をとったときに落ちます。そこで δxλ の係数をさらに整理
していきます。
µ
¶
dxµ dxν
d
dxµ
1
∂λ gµν
−
gµλ
2
ds dλ
dλ
ds
1
dxµ dxν
dxν dxµ
d 2 xµ
= ∂λ gµν
− ∂ν gµλ
− gµλ
2
ds dλ
dλ ds
dλds
µ
ν
dx dx
d2 xµ
1
− gµλ
= (∂λ gµν − ∂ν gµλ − ∂µ gνλ )
2
ds dλ
dλds
µ
2 µ
ν
dx dx
dx
= −Γλµν
− gµλ
ds dλ
dλds.
113
よって結局、
µ
Z
d 2 xµ
dxµ dxν
dλ gλµ
+ Γλµν
dλds
dλ ds
δI = −
¶
δxλ
を得たことになります。δxλ (λ) は任意ですから、測地線の満たすべき方程式は、
d2 x µ
dxµ dxν
gλµ
+ Γλµν
= 0.
dλds
dλ ds
あるいはこれに g ρλ dλ/ds をかけて、
ν
µ
d 2 xρ
ρ dx dx
=0
+
Γ
µν
ds2
ds ds
となります。特にユークリッド座標においては、d2 xρ /ds2 = 0 となり、これは直
線の方程式に他なりません。測地線は、ユークリッド空間における直線を拡張し
た概念なのです。
6.13
2 次元球面
簡単で自明でないリーマン空間の例として 2 次元球面を考えてみましょう。球面
座標を (θ, φ) とすると、線素の式は、
ds2 = r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2
でした。r は球の半径で定数です。θ = x1 , φ = x2 という対応で、計量は、
g11 = r2 ,
上付き計量は、
1
r2 ,
g22 = r2 sin2 θ,
1
r2 sin2 θ,
です。計量の座標微分で 0 でないものが、
g 11 =
∂1 g22
g 22 =
g12 = g21 = 0.
g 12 = g 21 = 0
∂r2 sin2 θ
= 2r2 sin θ cos θ
=
∂θ
だけであることに注意すると、接続係数は、
1
Γ122 = − ∂1 g22 = −r2 sin θ cos θ,
2
Γ212 = Γ221 =
1
∂1 g22 = r2 sin θ cos θ
2
で、他の成分は 0 です。添字を上付きにしたものは、
Γ1 22 = g 11 Γ122 = − sin θ cos θ,
Γ2 12 = Γ2 21 = g 22 Γ212 =
で、他の成分は 0 です。
114
cos θ
sin θ
2 次元ですからリーマンテンソルの成分で独立なものは R1212 だけですが、これ
は、リーマンテンソルの定義式に注意して、
¡
¢
R1212 = g11 R1 212 = g11 ∂1 Γ1 22 − ∂2 Γ1 21 + Γ1 1λ Γλ 22 − Γ1 2λ Γλ 12
です。括弧内第 2 項と第 3 項は 0 であるとわかり、第 4 項は λ = 2 の寄与だけ残り
ます。結果、
¡
¢
R1212 = g11 ∂1 Γ1 22 − Γ1 22 Γ2 12 = r2 sin2 θ.
これが 0 でないことは、この 2 次元空間が曲がっていることを意味しています。
リッチテンソルは、
R11 = g 22 R2121 = g 22 R1212 = 1,
R22 = g 11 R1212 = sin2 θ
で、他の成分は 0. スカラー曲率は、
R = g 11 R11 + g 22 R22 =
2
r2
と計算されます。球面ですからスカラー曲率が定数になるのは当然と考えられます。
2
µ
ν
d xρ
ρ dx dx
+
Γ
= 0 は θ = 一定 のもとで、
測地線の方程式
µν
ds2
ds ds
µ ¶2
d2 φ
dφ
= 0,
=0
sin θ cos θ
ds
ds2
を与えるでしょう。よって地球表面の緯度線を考えると、赤道 (θ = π/2) は測地線
ですが、他の緯度線は測地線でないことがわかります。
(余談) 2 次元球面座標のアインシュタインテンソル Gµν = Rµν − (1/2) gµν R を計算すると、そ
の成分が全て 0 であることが確かめられますが、これはたまたまではありません。一般に 2 次元
リーマン空間のアインシュタインテンソルは恒等的に 0 なのです。なぜなら 2 次元リーマン空間の
リーマンテンソルは、その対称性から、2 次元レビ・チビタ ²µν を用いて Rρµσν = R1212 ²ρµ ²σν と
表されるので、リッチテンソルは、Rµν = g ρσ R1212 ²ρµ ²σν = R1212 (˜
g −1 )µν . ここで g˜−1 は計量の逆
−1 −1
−1
行列の余因子行列で、余因子行列の性質から、g g˜ = det(g ) δ ∴ g˜−1 = (det g)−1 g. よって、
Rµν =
R1212
gµν ,
det g
R = g µν
2R1212
R1212
gµν =
det g
det g
がわかり、Gµν = 0 が確かめられます。アインシュタインテンソルが 0 でない成分を持つのは、3
次元以上のリーマン空間においてであるわけです。
115
7
特殊相対論
量子論以前の物理学は古典物理学と呼ばれます。古典物理学は相対論によって
完成された体系をなし、特に重力を無視したときの相対論は実験的にも完全に確
立したものであり、特殊相対論と呼ばれます。ここでは特殊相対論の基礎事項を
まとめておきます。リーマン幾何学を既知とします。
7.1
相対論の歴史的背景
1864 年、マックスウェルは電気と磁気の統一理論を完成し、そこから波動解を
導きました。これを電磁波といいます。理論から導かれる電磁波の伝播速度は、光
の速さ、
c ∼ 2.9979 × 108 m/s
に等しく、光の正体は電磁波であることが判明します。しかしニュートン理論に
よれば、一般に物体の速さは観測者の運動状態によって異なります。そうすると
必然的に、
光の速さは、一体、何に対しての速さなのか？
という疑問を生じます。当時多くの学者は、電磁現象はエーテルと呼ばれる媒質
の現われであり、宇宙はこのエーテルで満たされていて、光の速さはエーテルに
対するものであろうと考えていました。
1905 年、アインシュタインは、エーテルなど仮定しなくても次の 2 つの事柄を
同時に満たす理論を作ることができることを示し、エーテルの概念は余分である
としました。
• 物理法則はどの基準系においても同じ形で表される (相対性原理)
• 光の速さは光源の運動状態に依らず一定である (光速一定の原理)
これら 2 つの原理から光の速さはどの基準系においても同じということになり、こ
れを光速の不変性といいます。光速の不変性は、ニュートン理論、特にガリレイ
変換と矛盾するわけですが、アインシュタインはニュートン理論における時間概
念を間違いだとしました。上の 2 つの原理に忠実に従えば、時間は宇宙全体で一
様に進むものではなく、基準系によって進み方が異なることになります。また、離
れた地点における 2 つの出来事 (事象) が同時刻かそうでないかは、基準系に依存
することになります。
116
こうして構築された理論は、すでにローレンツやポアンカレにより提示されて
いた式に合理的な説明を与え、相対論 (相対性理論) と命名されます。また、ミン
コフスキーにより 4 次元時空に基づくわかりやすい形に整理されました。後にア
インシュタインは相対論的な重力理論を提唱し、これを一般相対論と呼びます。対
して重力を含まないそれまでの相対論は、特殊相対論と呼ばれることになったわ
けです。
(余談) 特殊相対論に関するアインシュタインの最初の論文は、
「運動する物体の電気力学につい
て」(1905) ですが、この論文は論述がわかりにくいことで有名です。これは当時、アインシュタイ
ンがマッハの哲学に傾倒し、形式主義の視点からかけ離れていたためとも考えられます。この論文
の発表後、アインシュタインは多くの質問の手紙を受け、それら質問に丁寧に回答してゆきます。
そうしたやり取りの中で、アインシュタインの新しい概念は形式主義的な形に焼直され、他の科
学者達に受け入れられていったと考えられます。ミチオカクは、映画「E = mc2 ∼ アインシュタ
インの世界一美しい方程式」の中で、アインシュタインの発想の転換について次のように述べて
います :
それまで時間とは神の手に握られた腕時計のようなもので、宇宙のどこにいようと常
に一定していると考えられていました。しかしアインシュタインは、
「違う、神の腕時
計のチクタクいう音の正体は、電気が磁気を生み、磁気が電気を生む音なのだ。すな
わち唯一一定なのは光である」と気が付いたのです。
これはアプリオリな概念と考えられていた時間を、光の運動に立脚して逆に構成することができ
るという、光時計のアイディアをみごとに言い表しています。
7.2
自然単位系
以下、真空中の光の速さ c, および真空の透磁率 µ0 を 1 とする自然単位系を採
用します。
このような自然単位系にとまどう人がいるかもしれませんが、だとしたらそれ
は、長さと時間が異なる単位を持たなければいけないという勝手な思い込みによ
るものか、もしくは SI 単位系 (MKSA 単位系) に慣れすぎているためと考えられ
ます。SI は米国を除きよく普及している国際単位系で、日常的には便利ですが、
相対論や量子論等の現代物理学を記述する際には、様々な普遍定数が式のあちこ
ちに現れ便利とはいえません。
例えば、基本単位を eV (エレクトロンボルト) だけとし、
m(メートル) = 5.0677×106 eV−1 ,
s(秒) = 1.5193×1015 eV−1 ,
kg(キログラム) = 5.6096×1035 eV,
A(アンペア) = 1.2441×103 eV,
K(ケルビン) = 8.6173×10−5 eV
のように換算してしまうのが自然単位系の一つで、このとき真空中の光の速さ c
を含め、SI における多くの普遍定数が 1 になります (物理定数表を参照)。これは
117
原子核物理や素粒子論においてはすでによく用いられている、比較的よく普及し
た単位系です。eVn の単位を持つ物理量を、質量次元 n であるといいます。質量
やエネルギーや温度は質量次元 1 で、長さや時間は質量次元 −1 です。速さや電
荷は質量次元 0, すなわち無次元量になります。
また、普遍定数を 1 とすることは、実は SI においてもすでに行っていると考え
ることができます。例えば、力の単位を仮に ri とすると、ニュートンの運動方程
式は、F = kma であり、ここで k は ri kg−1 m−1 s2 を単位とするある普遍定数で
す。この場合、力学の方程式のあちこちに k が現れて鬱陶しいことになります。
そこで SI では k = 1 とおいている、と考えることができるわけです。自然単位
系はこうした操作の延長上にあります。
どこか別の惑星に住む宇宙人 (知的生命体) は、ri のような力の単位を基本単位
として採用しているかもしれないし、また一方で、c = 1 の単位系を日常的に用
いている宇宙人もいるかもしれません。もし、ri を採用するある宇宙人が、
「力の
単位が質量と長さと時間の組合せで表されるなんてあり得ない。力はこれらと独
立な物理量です。F = ma では両辺の次元が合っていません」などと文句を言っ
てきたらどうでしょう? 独自の単位系を元に酷い固執をしていると思うはずです。
しかし c = 1 を受け入れられない人は、この宇宙人とまったく同様の固執をして
いるわけです。
(余談) 工学や実験系の人の中には専門家でも自然単位系に拒絶反応を示したり、「自然単位系
はあくまで形式的なもの。c や µ0 や ~ を次元解析により復活させて、ようやく次元の合う正しい
式になるのだ」などと勘違いしている人が多いようなので、ここで詳しく説明しました。
7.3
時空とローレンツ座標
4 次元の計量空間を考え、その座標を xµ (µ = 0, 1, 2, 3) としましょう。計量 gµν
を、ローレンツ計量 :


1 0 0 0


 0 −1 0 0 
ηµν = 

 0 0 −1 0 
0 0 0 −1
µν
になるように座標を選ぶことができるとき、この計量空間をミンコフスキー空間と
いい、この座標をローレンツ座標といいます。特殊相対論においては、この 4 次
元計量空間を時空と呼びます。
粒子の運動は時空上の曲線として表され、これを世界線といいます。世界線上
の線素の式、
dτ 2 = gµν dxµ dxν
118
における τ は固有時間と呼ばれ、世界線にそって運動する時計が測る時間と考え
ます。特にローレンツ座標においては、
dτ 2 = ηµν dxµ dxν = (dx0 )2 − (dx1 )2 − (dx2 )2 − (dx3 )2
となります。上式で dxi = 0 (i = 1, 2, 3) とおくと、dτ = dx0 が得られるので、x0
は系に静止した時計が測る時間を意味します。x0 は時間座標と呼ばれます。残り
の x1 , x2 , x3 は空間座標と呼ばれます (図 1)。以後、i, j, k · · · などの添字は空間
成分 1, 2, 3 を走るものとします。
図 1: 時空と粒子の世界線
世界線の座標 xµ の時間座標微分 :
dxµ
v = 0
dx
µ
で粒子の (4 元) 座標速度を定義します。明らかに v 0 = 1. また、v i は粒子の速度
を意味し、
√
|v| = v i v i
は粒子の速さを意味します。このとき、
p
p
p
dτ
µ
ν
0
2
i
i
= ηµν v v = (v ) − v v = 1 − |v|2
dx0
がわかります。すなわち、固有時間 τ は座標時間 x0 よりもゆっくり進むわけで、
これは運動する時計の遅れと呼ばれる性質です。時計の遅れを日常的に認識でき
ないのは、日常的な速さが光の速さ 1 に比べてずっと遅いからです (|v| ¿ 1)。
上式から、ローレンツ座標において、
|v| = 1 ⇔ dτ = 0
119
ですが、これは光速で運動する粒子があれば、その粒子の固有時間はまったく経
過しないことを意味しています。また、あるローレンツ座標で粒子が光速で運動
していれば、dτ = 0 であり、dτ はスカラーですから、別のローレンツ座標にお
いてもその粒子は光速で運動していることになります。これは光速の不変性を意
味しています。
(余談) 例えば地球にある双子がいて、その片方が光速に近い速さで飛ぶロケットに乗って宇宙
旅行をしたのち地球に帰ってきたとします。このとき地球の静止系においてはロケットの時計は地
球の時計に比べてゆっくり進んだと考えられるため、双子が対面したとき、地球に残っていた方
は老人、旅行してきた方は若いまま、なんてことが考えられます。これは実際に起こり得る現象
で、ウラシマ効果と呼ばれます。一方、このことをロケットの静止系で考えると、運動していたの
は地球であり、そうすると地球の時計の方が遅れるということになって、おかしいと思うかもし
れません (双子のパラドックス)。しかし地球の静止系が近似的にローレンツ座標系と考えられる
のに対し、地球に対して光速近くで運動し加減速するロケットの静止系の方は、あからさまに非
ローレンツ座標系で、運動する時計の遅れの性質を単純には適用できないことに注意してくださ
い。それゆえウラシマ効果に矛盾はないわけです。
7.4
ローレンツ変換
ローレンツ座標間の変換をローレンツ変換といいます。線形変換 :
x0µ = Λµ ν xν
(行列表記で x0 = Λ x)
を考え、これがローレンツ計量を不変にすると仮定すれば、
dτ 2 = dx0T η dx0 = dxT η dx
∴ dxT ΛT η Λ dx = dxT η dx
∴ ΛT η Λ = η
を得ます。これがローレンツ変換の条件式です。この式は群論を用いると一般的
に解けますが、特に重要な解は、


γ
−γV 0 0


1
γ
0 0
−γV
Λ=
γ=√
,
0
1 0
 0
1−V2
0
0
0 1
です。ここで −1 < V < 1. γ はローレンツ因子と呼ばれます。これが ΛT ηΛ = η
を満たしていることを確認して欲しいです。
ローレンツ座標を xµ = (t, x, y, z)µ と書けば、変換式 x0 = Λ x は、
t0 = γ(t − V x),
x0 = γ(−V t + x),
120
y 0 = y,
z0 = z
となります。このように時間座標と空間座標が混ざる変換は、相対的に運動する
系への変換を意味し、ブーストと呼ばれます。次の点に注意しましょう :
(1) x0 = 0 ⇔ x = V t
(2) x0 = L ⇔ x = V t + γ −1 L
(3) t0 = 0 ⇔ t = V x
(1) から、V は元の系からみた新しい系 (ダッシュ系) の速度であるとわかります。
√
また、(2) から、速度 V で運動する棒の長さが γ −1 = 1 − V 2 の比で収縮するこ
とがわかります。この性質はローレンツ収縮と呼ばれます。
(3) は、2 つの系における同時刻の定義が異なることを意味し、この性質は同時
刻の相対性と呼ばれます。例えば図 2 で、2 つの時空点 O と A は、ダッシュ系で
は同時刻の事象とみなされますが、元の系ではそうではないわけです。
図 2: ローレンツ変換
運動する時計の遅れから、2 つのローレンツ座標系においては互いに相手の時計
が遅れることになり、少し不思議に思われるかもしれません。しかし図 2 の 2 系
において時計の進みを比較すると、元の系においては、例えば C と D を比較し、
OC > OD なので相手の時計の方が遅れると認識します。ミンコフスキー空間な
ので斜めになっている線分の方が短くなることに注意。一方、ダッシュ系におい
ては D と同時刻なのは C ではなく E であり、D と E を比較し、OD > OE が
確かめられるので、やはり相手の時計の方が遅れると認識するわけです。これら
2 つの意見に矛盾はありません。
121
ローレンツ変換の逆変換式は、
t = γ(t0 + V x0 ),
x = γ(V t0 + x0 ),
y = y0,
z = z0
となり、元のローレンツ変換式と比較して V の符号が逆なだけです。このことは、
2 つのローレンツ系が互いに対等な関係になっていることを示しています。
ちなみに、双曲線関数、
ex + e−x
cosh x =
2,
ex − e−x
sinh x =
2,
tanh x =
sinh x
cosh x
を用いると、cosh2 x − sinh2 x = 1 に注意して、x 方向のブーストは、


cosh θ − sinh θ 0 0


− sinh θ cosh θ 0 0
Λ=

0
1 0
 0
0
0
0 1
と媒介変数表示することもできます。ここで −∞ < θ < ∞ です。このときダッ
シュ系の速度は V = tanh θ と表されます。回転とのアナロジーで、このような
表示が便利になることがあります。
7.5
ガレージのパラドックス
運動する時計の遅れ、ローレンツ収縮、同時刻の相対性という 3 つの性質は、日
常的な時間概念に訂正をせまるため、その理解には特に慎重を要します。ここで
は新しい時間概念に慣れるため、ガレージのパラドックスと呼ばれる問題を紹介
します。
図 3: ガレージのパラドックス
図 3 のように、長さ Lc の車と、長さ Lg のガレージがあり、ガレージ (および
地上) に対して車が速さ V で走っているとします。ガレージの静止系においては
122
√
車はローレンツ収縮によって縮んでおり、その長さは 1 − V 2 Lc となります。い
ま、車がガレージの中に突入し、ガレージの中に納まった瞬間、ガレージの前後
の扉 A, B を同時に瞬時に閉じ、すぐに開きます (∗) 。そうして車が扉にぶつかる
√
ことなく通過したとします。これが可能なのは Lg ≥ 1 − V 2 Lc のときですが、
衝突をぎりぎり回避したとして、
p
Lg = 1 − V 2 Lc
であったとします。すなわち、もし車とガレージをともに静止させれば、車の方
√
が 1/ 1 − V 2 倍だけ長いと仮定します。
この事柄を車の静止系で考えると、ローレンツ収縮しているのはガレージの方
√
であり、その長さは 1 − V 2 Lg となります。この系では明らかに車の方がガレー
ジより長く、車がガレージに収まる瞬間などあり得ません。車と扉はどうして衝
突しないのでしょう? というパラドックスです。
答えは簡単で、ガレージの静止系において 2 つの扉 A, B を同時に閉じたという
ことは、同時刻の相対性から、車の静止系においては A, B を閉じたのは同時で
はないということです。B が先に閉じてすぐさま開き、その後少し経って A が閉
じてすぐさま開いたというわけです。これなら車は扉にぶつかることなく通過す
ることが可能です。実際、その時間差を ∆t0 とすると、ローレンツ変換式から、
V Lg
∆t0 = γ(∆t − V ∆x), ∆t = 0, ∆x = −Lg ∴ ∆t0 = √
1−V2
と評価され、車と 2 つの扉がぎりぎり接触しない条件は、
p
1 − V 2 Lg + V ∆t0 = Lc
√
と書けます。∆t0 を消去すれば Lg = 1 − V 2 Lc を得ますが、これはガレージの
静止系における仮定と一致しています。
(*注) 扉を瞬時に閉じて開くということをイメージしにくければ、扉の代わりにタイヤストッ
パーなり赤外線センサーなどを想定してもよいでしょう。
7.6
速度の変換と光行差
x 方向への速度 V のブースト変換は、
t0 = γ(t − V x), x0 = γ(−V t + x),
√
で、ここで γ = 1/ 1 − V 2 でした。ここから、
y 0 = y,
γ(−V dt + dx)
(dx/dt) − V
dx0
=
=
dt0
γ(dt − V dx)
1 − V (dx/dt),
√
dy 0
dy
1 − V 2 (dy/dt)
=
=
dt0
γ(dt − V dx)
1 − V (dx/dt)
123
z0 = z
を得るので、このブースト変換における粒子の速度 (vx , vy , vz ) の変換式は、
√
√
2v
1
−
V
1 − V 2 vz
v
−
V
x
y
0
0
0
vx =
vy =
vz =
1 − V vx ,
1 − V vx ,
1 − V vx
です。
いま、あるローレンツ系において、x 軸と角 θ を成す方向からやってくる光を考
え、その光の速度を特に (vx , vy , vz ) = (− cos θ, − sin θ, 0) としましょう。一方、こ
のローレンツ系に対し、x 方向に速度 V で運動する別のローレンツ系において、
同じ光の速度が (vx0 , vy0 , vz0 ) = (− cos θ0 , − sin θ0 , 0) であったとします。このとき速
度の変換式から、
√
cos
θ
+
V
1 − V 2 sin θ
0
0
cos θ =
sin θ =
1 + V cos θ,
1 + V cos θ
sin θ
θ
=
に注意すれば、
2 1 + cos θ
r
θ0
1−V
θ
tan =
tan
2
1+V
2
ですが、tan の半角公式 : tan
を得ます。この式は観測者の運動状態の違いにより光のやってくる方向が変わっ
て見えることを意味していますが、この現象を光行差といいます。
(余談) あるロケットが地球のすぐ近くを太陽の方向に向かって光の速さに匹敵する速さで通過
した場合、ロケットに乗っている人がその瞬間に見る太陽は、地球にいる人が見る太陽よりも小さ
く見えます。このことは地球の静止系で考えれば光行差で説明されます。一方、ロケットの静止系
で考えた場合は、光の到達に時間がかかることを考慮したみかけの位置により説明されます。ロ
ケットの静止系においては、地球と太陽がともに運動していて、地球と太陽の間の距離はローレン
ツ収縮により短くなります。また、地球がロケットのところまでやって来た瞬間にロケットに乗っ
ている人が見る太陽の光は、太陽がその瞬間にある位置よりももっと遠くにあったときに発せら
れたものです。結果、小さく見えると考えられるわけです。もちろんこのことは定量的にも確かめ
られます。光行差とみかけの位置の概念が、系の違いによる裏腹の関係になっていることに注意し
てください。
7.7
特殊相対論の作用
粒子には、質量と電荷と呼ばれる、固有の物理量が付随しているものとします。
n 番目の粒子の質量を mn , 電荷を qn と書きます。また、n 番目の粒子の世界線
を xµ = xµn (λn ), 固有時間を τn と表します。λn は世界線上の適当なパラメーター
です。
各粒子の世界線上の積分和、
Sm = −
X
Z
mn
n
124
dτn
は粒子の作用と呼ばれます。この式は座標の選び方に依存しません。
一方、時空上に共変ベクトル場 Aµ (x) があるものとし、これを 4 元ポテンシャ
ルと呼びます。
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
を定義すると、
∇µ Aν − ∇ν Aµ = ∂µ Aν − Γλ νµ Aλ − ∂ν Aµ + Γλ µν Aλ
= ∂µ Aν − ∂ν Aµ = Fµν
なので、Fµν は反対称テンソルです。これを電磁場、あるいは電磁テンソルとい
います。時空積分、
Z
1
√
Sem = −
d4 x Fµν F µν
4
√
√
は電磁場の作用と呼ばれます。ここで
= − det g で、g は計量の行列です。
Sem も座標に依存しない量です。
また、4 元ポテンシャルの各世界線上における線積分和、
X Z
Sq = −
qn dxµn Aµ (xn )
n
は電磁相互作用の作用と呼ばれます。これも座標に依存しません。
以上、3 つの作用の和、
S = Sm + Sq + Sem
Z
Z
X Z
X
1
√
µ
qn dxn A(xn ) −
=−
mn dτn −
d4 x Fµν F µν
4
n
n
が特殊相対論の作用であり、粒子の世界線 xµn (λn ), および 4 元ポテンシャル Aµ (x)
の仮想変分に対して、停留値性 :
δS = 0
を持つものと仮定されます。このような仮定は一般に作用原理と呼ばれます。こ
の主張は座標に依存していないため、そこから得られる物理法則は座標に依存し
ません。この性質を共変性、あるいは一般相対性原理といいます。
(余談) 初等的な特殊相対論の教科書においては、ローレンツ座標だけを扱い、一般座標を一切
考えないことが多いです。ここでは特殊相対論の枠内において一般座標も扱います。このため難易
度は少し高くなりますが、論理的に自然で、また、一般相対論への拡張も容易になります。以下、
少し難しくなりますが、現代物理学を理解するための登竜門です。頑張ってフォローして欲しい
です。
125
7.8
粒子の運動方程式
粒子の作用 Sm を丁寧に書けば、
¶1/2
µ
Z
X
dxµn dxνn
Sm = −
mn dλn gµν (xn )
.
dλ
dλ
n
n
n
xλn に関する変分を計算すれば、結果、
µ
¶
δSm
dτn
duµn
µ ν
= mn
gλµ
+ Γλµν un un
δxλn
dλn
dτn
となります。導出は測地線の方程式の導出と同じなので、リーマン幾何学の章を
参照してください。ここで、
dxµn
µ
un =
dτn
dxµn
は粒子の固有速度と呼ばれます。固有速度 uµn は、座標速度 vnµ =
と異なり、
dx0n
反変ベクトルです。
一方、電磁相互作用の作用 Sq に関して、
Ã
!
µ
X Z
dx
δSq = δ −
qn dλn n Aµ (xn )
dλn
n
µ
¶
X Z
dδxµn
dxµn
Aµ (xn ) +
δAµ (xn )
=−
qn dλn
dλ
dλ
n
n
n
µ
¶
ν
µ
X Z
dx
dx
=−
qn dλn −δxµn n ∂ν Aµ (xn ) + n δxνn ∂ν Aµ (xn )
dλn
dλn
n
Z
X
dxµn ν
δSq
dxµn
=−
qn dλn Fνµ (xn )
δxn ∴
= −qn Fλµ
λ
dλ
δx
dλn
n
n
n
を得るので、作用原理 δS/δxλn = 0 より、粒子の運動方程式として、
µ λ
¶
dun
+ Γλ µν uµn uνn = qn F λ µ uµn
mn
dτn
を得ます。Γλ µν を含む項は座標が直線座標でないことから生じる仮想的な力で、
例えば加速系における慣性力はこれに該当します。ローレンツ座標を選べばこれ
は消えます。一方、F λ µ を含む項は電磁場から来る力で、ローレンツ力と呼ばれ
ます。
(余談) 汎関数に不慣れな人へ。複数の独立変数 xt (t = 1, 2, · · · ) があったとき、その多変数関
数 f (x1 , x2 , · · · ) を f (x) などと書くことはおなじみでしょう。このとき ∂f (x)/∂xt という偏微分
126
を考えることができます。ではもし xt の添字 t が自然数でなく実数だったらどうでしょう? 通常
それは x(t) と書かれ、t の関数とみなされますが、実数 t で特徴づけられる連続無限個の独立変
数 x(t) と考えてもいいでしょう。その多変数関数を f [x] などと書いて x(t) の汎関数といいます。
また、偏微分 ∂f (x)/∂xt に相当するものを δf [x]/δx(t) と書いて汎関数微分といいます。
∂xt
= δts
∂xs
δx(t)
= δ(t−s).
δx(s)
R
P
クロネッカーデルタの連続版がデルタ関数であるわけです。同時に t → dt というように和を
積分として考えます。例えば、
Z
X ∂f (x)
δf [x]
df (x) =
dxt に対応して δf [x] = dt
δx(t)
∂xt
δx(t)
t
に対応して
ということになります。これで不慣れ卒業でしょう。
7.9
マックスウェル方程式
次に 4 元ポテンシャル Aµ (x) に関する変分ですが、
Z
Z
1
1
√
4 √ µν
δSem = −
d x F δFµν = −
d4 x F µν (∂µ δAν − ∂ν δAµ )
2
Z 2
Z
δSem
√
√
√
= ∂µ ( F µν ).
= − d4 x F µν ∂µ δAν = d4 x ∂µ ( F µν )δAν ∴
δAν
一方、
X
δSq
=−
qn
δAν (x)
n
Z
X
δAµ (xn )
dxµn
=−
qn
δAν (x)
n
Z
dxνn δ 4 (x−xn )
ですから、作用原理 δS/δAν = 0 より、電磁場の運動方程式は、
√
√
∂µ ( F µν ) = j ν
となり、マックスウェル方程式と呼ばれます。ここで、
Z
√ µ X
j =
qn dxµn δ 4 (x−xn )
n
√
は 4 元電流密度と呼ばれる量です。 を付けて定義したのは、そうすることで j µ
を反変ベクトル場とみなせるからです。また、
δ 4 (x) = δ(x0 )δ(x1 )δ(x2 )δ(x3 )
は 4 元デルタ関数です。
電磁場の反対称性 Fµν = −Fνµ に注意すれば、マックスウェル方程式から、
√
∂µ ( j µ ) = 0
127
がわかります。すなわち、4 元電流密度は保存カレントです。実際、ガウスの定理
に注意して、
Z
Z
Z
√
√
√
d3 x ∂0 ( j 0 ) = − d3 x ∂i ( j i ) = −
d2 xi j i
V
V
∂V
√
ですが、もし空間領域 V の境界面 ∂V で j i = 0 なら上式は 0 となり、
Z
¯
X Z
¯
3 √ 0
3
3
Q=
dx j =
qn
d x δ (x−xn )¯
V
V
n
x0n =x0
R
が時間座標に依らないことになります。 V d3 x δ 3 (x−xn )|x0n =x0 は n 番目の粒子が
時刻 x0 に V 内にあるときは 1 を与え、無いときは 0 を与えることに注意する
と、Q は時刻 x0 において V 内にある電荷の総和を意味しています。すなわちこ
れは電荷保存則であり、この場合は自明な内容になっています。
ちなみに、計量に関する微分公式 (リーマン幾何学の章を参照) に注意すれば、
マックスウェルの方程式と電荷保存則は共変微分 ∇µ を用いて、それぞれ、
∇µ F µν = j ν ,
∇µ j µ = 0
と書くこともできます。こうすると座標に依らない方程式であること、すなわち
共変性が明らかになります。
7.10
エネルギー運動量テンソル
次に、無限小の一般座標変換、
x0µ = xµ − ²µ (x)
0
を考えてみましょう。この変換に対する計量の変分 (∗) δgµν (x) = gµν
(x) − gµν (x)
ρ
σ
∂x ∂x
0
は、計量のテンソル性、gµν
(x0 ) = 0µ 0ν gρσ (x) を用いて、
∂x ∂x
δgµν = gµλ ∂ν ²λ + gνλ ∂µ ²λ + ²λ ∂λ gµν
と計算されます。汎関数微分で書けば、
δgµν (y)
= gµλ (y)∂ν δ 4 (x−y) + gνλ (y)∂µ δ 4 (x−y) + δ 4 (x−y)∂λ gµν (y).
λ
δ² (x)
一方、この無限小座標変換に対する作用の変分は、作用原理から δS/δxµn = 0,
δS/δAµ = 0 であることに注意すると、計量の場だけで展開され、
Z
δS δgµν (y)
δS
4
=
d
y
δ²λ (x)
δgµν (y) δ²λ (x)
128
と書けますが、
δS
1 √ µν
=−
T
δgµν
2
で T µν を定義すれば、これは添字 µ, ν について対称と仮定できます。
以上の式から、
δS
1√
√ µ
√
µν
=
∂
(
T
)
−
∂
g
T
=
∇µ Tλµ
µ
λ
µν
λ
λ
δ²
2
を得ますが、作用は座標に依らないのでこれは 0 のはずです。すなわち、
∇µ T µν = 0.
特にローレンツ座標においては、∂µ T µν = 0 となり、T µν は保存カレントである
とわかります。
作用の計量に関する変分を計算すれば、それぞれ、
Z
1X
δSm
=−
mn dxµn uνn δ 4 (x−xn ),
δgµν
2 n
δSem
1√
=−
δgµν
2
µ
F µλ Fλ
ν
δSq
= 0,
δgµν
1
+ g µν Fρσ F ρσ
4
¶
となるため、T µν の具体的な形は、
Z
1
ν
√ −1 X
µν
T =
mn dxµn uνn δ 4 (x−xn ) + F µλ Fλ + g µν Fρσ F ρσ
4
n
となります。これをエネルギー運動量テンソルといいます。
(*注) 場 φ(x) の同座標値における変分 δφ(x) = φ0 (x) − φ(x) は数学においてはリー微分と呼ば
れます。同じ点における変分 φ0 (x0 ) − φ(x) と区別して、リー微分を δL φ(x) のように書くこともあ
ります。汎関数における微分 (変分) はリー微分によるものであることに注意してください。
7.11
4 元運動量
ローレンツ座標においては T µν は保存カレントでした。よってある空間的領域
V の境界面で T iν = 0 ならば、
¶
µ
Z
Z
X
1
ν
Pν =
d3 x T 0ν =
mn uνn |x0n =x0 +
d3 x F 0λ Fλ + g 0ν Fρσ F ρσ
4
V
V
n
は時間座標に依りません。すなわち保存量です。P µ を領域 V の 4 元運動量とい
います。その時間成分 P 0 はエネルギー、空間成分 P i は運動量と呼ばれます。
129
各々の粒子の寄与が、
Pnµ = mn uµn = mn vnµ
mn vnµ
dx0
=p
dτn
1 − |vn |2
であることに注意して下さい。粒子の速さ |vn | が光速 1 に近づけば、その 4 元運
動量は限りなく大きくなります。4 元運動量は保存量ですから、正常な初期条件か
ら出発した場合、粒子は決して光速には到達できないと考えられます。
また、|vn | ¿ 1 という非相対論的極限においては、粒子のエネルギーと運動量
は、それぞれ vn の最低次で、
1
mn |vn |2 , Pni ∼ mn vni
2
と近似されることに注意してください。運動量 Pni はニュートン理論の運動量に
近似され、エネルギー Pn0 は、“質量 + ニュートン理論の運動エネルギー” に近似
されるわけです。
Pn0 ∼ mn +
4 元運動量 P µ はローレンツ変換において反変ベクトルとして振舞います。この
ことを証明しておきましょう。
[証明] 無限小のローレンツ変換を、
x0µ = xµ + ²µ ν xν
と書きます。ここで ²µ ν は無限小の変換パラメータです。これがローレンツ計量
を不変とすることから、ηµλ ²λ ν + ηνλ ²λ µ = 0 が得られます。すなわち、
²0 0 = 0,
²i j = −²j i .
²0 i = ²i 0 ,
一方、T µν がテンソルであることに注意すると、無限小ローレンツ変換に対する
変分 (リー微分) は、δT µν = ²µ λ T λν + ²ν λ T µλ − ²ρ σ xσ ∂ρ T µν と書けます。µ = 0 と
おけば、
δT 0ν = ²0 λ T λν + ²ν λ T 0λ − ²ρ σ xσ ∂ρ T 0ν .
この式の最後の項は、∂µ T µν = 0 に注意し、
−²ρ σ xσ ∂ρ T 0ν = −²0 σ xσ ∂0 T 0ν − ²i σ xσ ∂i T 0ν = ²0 σ xσ ∂i T iν − ²i σ xσ ∂i T 0ν
= ∂i (· · · ) − ²0 i T iν + ²i i T 0ν = ∂i (· · · ) − ²0 i T iν
となるので、空間の全微分項 ∂i (· · · ) を除き初項と相殺します :
δT 0ν = ²ν λ T 0λ + ∂i (· · · ).
よって、
Z
Z
δP ν =
d3 x δT 0ν = ²ν λ
V
d3 x T 0λ = ²ν λ P λ
V
ν
がわかり、これは P が反変ベクトルであることを示しています。[証明終]
130
7.12
複合粒子
一般に複数の粒子と電磁場が空間の局所にあるとき、系のエネルギーと運動量
がそれぞれ P 0 = m, P i = 0 となるローレンツ座標が存在するでしょう。この座
標を系の重心系といい、このときの m を系の有効質量といいます。一方、4 元運
動量 P µ はローレンツ変換に対して反変ベクトルとして振舞うため、重心系から
ブーストした他のローレンツ座標における 4 元運動量は、
∂x0µ ν ∂x0µ
P =
P =
m.
∂xν
∂x0
ここで ∂x0µ /∂x0 は系の重心の固有速度とみなせるので、これを uµ と書けば、
0µ
P 0µ = muµ
となります。この式は 1 粒子の 4 元運動量と同形であるため、複数の粒子と電磁場
からなる複雑な系も、巨視的には 1 粒子とみなすことができ、このような粒子は
複合粒子と呼ばれます。
しかし複合粒子が多数あったとき、全体のエネルギーが保存する一方で、それ
ら有効質量の総和は保存しません。このことは例えば複合粒子同士の非弾性衝突
を考えればわかるでしょう。また、ある 1 個の粒子があったとき、それが複合粒子
で ‘ないこと’ を知る術もありません。これが質量の非保存性の意味であり、有名
な式 E = mc2 (P 0 = m) の実効的な意味でもあります。
(余談) よく教科書に見かける E = mc2 の説明は、単に 1 粒子の静止時のエネルギーが mn c2
であることです。しかしこれはもちろん核反応などで生じる質量欠損の説明にはなっていません。
多くの教科書においてこの種のごまかしが横行しているのは、4 元運動量のローレンツベクトル性
の一般的証明が、特殊相対論の他の事項と比べてやや敷居が高いからと考えられます。
7.13
一般座標の性質
ここで一般的な座標の性質について少し考えてみましょう。
空間の各場所に無数の時計があると想定します。これらの時計は正確に時を刻
む必要はありませんが、稠密に配列されていて、また、それぞれの時計には空間
座標を意味する指標が付いているものとします。ある 1 つの事象 (時空点) に対し、
そこにある時計の指標をその事象の空間座標 xi (i = 1, 2, 3) とし、その時計が示
す時刻を、その事象の時間座標 x0 だと考えます。
このような想定により、時空に座標 xµ (µ = 0, 1, 2, 3) が張られると考えること
ができ、計量 gµν (x) が決定します。計量 gµν (x) が時間座標 x0 に依存しないと
き、その座標は定常的であるといいます。
いま、定常的な座標において、空間座標がそれぞれ xi , xi + dxi である接近した
2 つの世界線 L1 , L2 を考えます。そして、L2 において時刻 t1 に光を発し、それ
131
を L1 において時刻 t2 に受け取り、即座に光を送り返し、それを L2 において時
刻 t3 に受け取るという光通信過程を考えます。光の世界線においては、
g00 (dx0 )2 + 2g0i dxi dx0 + gij dxi dxj = 0
であり、これを dx0 について解くと、その 2 解は、
p
i
−g
dx
±
(g0i g0j − g00 gij )dxi dxj
0i
dx0± =
g00 .
また、このとき上の光通信過程において、
t1 = t2 + dx0− ,
t3 = t2 + dx0+
となります。もし t2 = (t1 + t3 )/2 なら、L1 , L2 における 2 つの時計は同期されて
いることになります。また、δt = (t1 + t3 )/2 − t2 という量を定義すれば、これは
2 つの時計のずれを意味します。t1 , t3 の式を代入し dx0± の式を用いれば、
g0i
dxi .
δt = −
g00
空間の各場所で隣接した時計が同期されているような座標は、静的であると呼ば
れます。座標が静的であるための必要十分条件は g0i = 0 ということになります。
もし δt の式が完全微分形式で、−g0i /g00 = ∂i φ を満たす場 φ が存在すれば、時
間座標の変換 x00 = x0 − φ により静的な座標を得ることができます。しかしそう
でない場合、すなわち g0i /g00 の回転が 0 でない場合、これは不可能となります。
この場合、各時計をどのように調整しても大域的にこれらを同期させることはで
きないのです (!)
時空の座標が定常的ならば、静的であろうとなかろうと、接近した 2 点間の空間
的距離を考えることができます。上の光通信過程において、L2 における時計 (座
√
標時間) の進み方が、本当の時計 (固有時間) の進み方の 1/ g00 倍であることに注
√
意すれば、L1 , L2 間の空間的距離は、dl = g00 (t3 − t1 )/2 であると考えられます。
t1 , t3 の式を代入し dx0± の式を用いれば、
g0i g0j
dl2 = γij dxi dxj , γij =
− gij .
g00
γij を空間計量と呼びます。特に静的な座標においては g0i = 0 なので、γij = −gij
となります。
7.14
回転系
ローレンツ座標を (t, x, y, z) とし、x = r cos θ, y = r sin θ で r, θ を定義しま
す。このとき時空の線素の式は、
dτ 2 = dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 = dt2 − dr2 − r2 dθ2 − dz 2
132
となり、(t, r, θ, z) は円柱座標と呼ばれます。さらに z 軸を軸として角速度 ω で
回転する回転系を考え、θ0 = θ − ωt とおきます。上式は、
dτ 2 = (1 − ω 2 r2 )dt2 − dr2 − r2 dθ02 − dz 2 − 2ωr2 dtdθ0
となります。計量の成分を読み取れば、この回転系座標 (t, r, θ0 , z) は定常的です
が静的でないことがわかるでしょう。しかも時計のずれは、
ωr2 dθ0
δt =
1 − ω2r2
となり、これは完全微分形式ではありません。実際、r = 0 を囲む閉経路におい
て積分すればそれは 0 になりません。この事実は、回転系においては大域的に時
計を同期できないことを意味しています。
回転系の空間計量は、
γ11 = 1,
γ22
r2
=
1 − ω 2r2,
γ33 = 1 (他の成分は 0)
と計算されます。曲率テンソルを計算すればわかりますが、この 3 次元空間は曲
がっています。ニュートン理論では、回転系は運動学的にしか判別できなかった
のですが、特殊相対論においては計量構造からしてローレンツ座標とは異なると
いうことに注意して下さい。
(余談) 例えばグリニッジ天文台の時計と正確に同期された時計があるとおっしゃるなら、我々
はこう問うことができます。
「それは西回りでですか？ それとも東回りでですか？」これは冗談で
はありません。地上の静止系は回転系なのです。ただし実際には重力によるローレンツ系のひき
ずり効果で、この性質は少し弱まります。
7.15
一方向に加速する系
ローレンツ系 (t, x, y, z) において、ある粒子が、
t = f (τ ),
x = g(τ ),
y = 0,
z=0
と、x 方向に運動しているとします。ここで τ は粒子の固有時間です。よって、
dτ 2 = dt2 − dx2 = f 0 (τ )2 dτ 2 − g 0 (τ )2 dτ 2
∴ f 0 (τ )2 − g 0 (τ )2 = 1
ですから、
f 0 (τ ) = cosh θ(τ ),
g 0 (τ ) = sinh θ(τ )
と媒介変数表示することができます。このとき、粒子の各瞬間における座標速度
が、dx/dt = g 0 (τ )/f 0 (τ ) = tanh θ(τ ) と書けることに注意。
133
粒子の静止系 (x 方向の加速系) として、(t0 , x0 , y, z) を、
t = f (t0 ) + x0 sinh θ(t0 ),
x = g(t0 ) + x0 cosh θ(t0 )
で定義すると、線素の式として、
¡
¢2
dτ 2 = dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 = 1 + θ0 (t0 )x0 dt02 − dx02 − dy 2 − dz 2
が示せるでしょう。元のローレンツ系でみると、x0 一定の曲線に、t0 一定の直線
が、ミンコフスキーの意味で常に直交する格好になっていて、それゆえ計量が対
角的になっているわけです (図 4 参照)。しかし一般に定常的ではありません。
図 4: 一方向に加速する系
計量が定常的になる必要十分条件は、上式から、θ0 (t0 ) ＝一定、すなわち、
θ(τ ) = aτ + b (a, b は定数)
ですが、このとき、
dt
= f 0 (τ ) = cosh(aτ + b),
dτ
dx
= g 0 (τ ) = sinh(aτ + b)
dτ
であり、これは、
d dx dτ d2 x
=
=a
dt dτ
dt dτ 2
という意味で、等加速度運動を意味します (∗) 。また、線素の式は、
dτ 2 = (1 + ax0 )2 dt02 − dx02 − dy 2 − dz 2
134
となり、このときの座標 (t0 , x0 , y, z) はリンドラー座標と呼ばれます。
リンドラー座標にせよ、一般に一方向の加速系にせよ、遠方のどこかで g00 = 0
となり、座標が破綻してしまうことに注意してください。これは計量の非対角成
分を嫌ったためです。しかし実際の計算においては、非対角成分があっても、大
域的に破綻しない座標の方が便利であり、対角計量に固執する意味はありません。
ここでは一般に、一方向に加速する基準系において定常かつ静的な座標が張れ
るのは、等加速度運動の場合に限られるという事実がわかったわけです。
d dx
で定義される加速度は x 方向のブーストに関して不変です。以下はその証明です。
dt dτ
µ
¶
d dx
d dx0
dt
d γ(dx − V dt)
1
d dt
.
=
=
−V
dt0 dτ
γ(dt − V dx) dt
dτ
1 − V dx/dt dt dτ
dt dτ
√
V は 2 系間の相対速度、また γ = 1/ 1 − V 2 です。一方、dt2 = dτ 2 + dx2 に注意して、
(*注)
s
d
d dt
=
dt dτ
dt
µ
1+
dx
dτ
¶2
dx d dx
2
dx d dx
= q dτ dt dτ
=
dt dt dτ
2 1 + (dx/dτ )2
d dx0
d dx
d dx
=
を得ます。この性質ゆえ、
= 一定 は相対論的な等加
0
dt dτ
dt dτ
dt dτ
速度運動とみなされるわけです。
なので、これらから、
7.16
リンドラー座標における粒子の運動
リンドラー座標 (t, x, y, z) における線素の式は、
dτ 2 = h(x)dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 ,
h(x) = (1 + ax)2
でした。この時空における粒子の運動を考えてみましょう。
粒子の運動方程式は、
duλ
+ Γλ µν uµ uν = 0
dτ
ですが、今の計量においては、接続係数 Γλ µν は添字に 2 か 3 があると 0 になる
ので、
du3
du2
=
= 0 ∴ u2 = A, u3 = A0 .
dτ
dτ
0
ここで A, A は運動の定数です。また、運動方程式の λ = 0 成分は、
du0
+ 2Γ0 01 u0 u1 = 0
dτ
135
を与えますが、Γ0 01 = g 00 Γ001 = g 00
1
h0 (x)
∂1 g00 =
に注意すると、
2
2h(x)
h0 (x) 0
du +
u dx = 0 ∴ h(x)du0 + u0 dh(x) = 0
h(x)
∴ d(h(x)u0 ) = 0 ∴ h(x)u0 = B (定数)
0
を得ます。一方、線素の式を dy 2 で割ると、運動が x-y 平面内 (z = 0) に限られ
ると仮定して、
µ ¶2
µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2
dτ
dt
dτ
dx
= h(x)
−
−1
dy
dτ
dy
dy
ですが、上の結果から、dy/dτ = u2 = A および dt/dτ = u0 = B/h(x) なので、
これらを代入して、
µ ¶2
µ ¶2
1
B2
dx
dx
C
=
−
−
1
∴
=
−D
A2
A2 h(x)
dy
dy
h(x)
を得ます。ここで C = (B/A)2 > 0, D = A−2 + 1 > 1 はやはり定数で、これが粒
子の軌道を与える微分方程式になります。
上の微分方程式は、
Z
y=±
s
dx
h(x)
C − Dh(x)
と変形されますが、この積分は素朴に ξ = C − Dh(x) で積分変数を ξ に置換す
れば実行できて、結果、
y=∓
1 p
C − Dh(x) + E
Da
となります。E は積分定数です。この式は、
C
(x + a−1 )2
+ (y − E)2 = 2 2
D
D a
( C > 0, D > 1 )
と変形してみればわかるように、中心が座標の特異面 (地平面) x = −a−1 上にあっ
て x 方向に長い楕円を意味しています。
ただし、地平面に到達するには無限の座標時間を要するため (∗) 、軌道は事実上
x > −a−1 に限られ、すなわち半楕円になります。粒子はリンドラー座標 (等加速
系) において楕円を描きながら地平面へと落下していき、地平面の近傍においては
軌道は地平面と垂直になります (図 5)。
136
図 5: リンドラー座標における粒子の軌道
ちなみに、粒子でなく光の場合を考えると、それは高エネルギー極限の粒子と
同様のはずで、dτ → 0 と考えればよいです。このとき A, B は共に限りなく大き
くなり、D は 1 に収束します。よって軌道の式は、
(x + a−1 )2 + (y − E)2 =
C
a2
となり、すなわち軌道は真円になります。
これら結果自体は、ローレンツ座標における直線的な世界線をリンドラー座標
に変換することで、もっと簡単に確かめられますが、ここでは計算演習をかねて、
リンドラー座標において運動方程式を解きました。
2
2
2
2
2
2
(*注) 線素の式から、
B = h(x)(dt/dτ ) なので、粒
p dτ = h(x)dt − dl , dl = dx + dy . また、
−1
−2
子の速さは dl/dt = h(x)(1 − B h(x)) です。これは x → −a で 0 に漸近します。
137
8
電磁気学
ここでは特殊相対論から空間ベクトル表記の電磁気学を演繹します。また、マッ
クスウェル方程式の一般解と巨視的な電磁気学について簡単に触れ、電磁気学の
基礎を与えます。電磁気学は歴史的には相対論の発見より先にほとんど確立して
いたのですが、その整合性には相対論が必要であり、よって理論的には相対論の
中に属すると考えます。真空における光の速さ、および透磁率を 1 とする自然単
位系を採用します。
8.1
特殊相対論の基礎方程式
時空のローレンツ座標を xµ = (t, r)µ とします。t は時間座標、r は空間座標で
す。粒子の運動方程式は、ローレンツ座標において、
mn
duµn
= qn F µ ν (xn )uνn .
dτn
ここで uµn = dxµn /dτn は粒子の固有速度、τn は固有時間です。
Fµν (x) = ∂µ Aν (x) − ∂ν Aµ (x)
は電磁場で、マックスウェル方程式、
∂µ F µν (x) = j ν (x)
に従います。ここで、
X Z
X
¯
µ
µ 4
j (x) =
qn dxn δ (x−xn ) =
qn vnµ δ 3 (r−r n )¯t
n
n
n =t
は 4 元電流密度であり、これは保存カレントでした : ∂µ j µ = 0. このことは電荷の
保存を意味します。vnµ = dxµn /dtn は粒子の座標速度です。
これら方程式は、ローレンツ変換に対して不変 (共変) であるのみならず、
A0µ (x) = Aµ (x) + ∂µ χ(x)
という 4 元ポテンシャルの変換に対しても不変です。これをゲージ変換といいま
す。実際、ゲージ変換は電磁場 Fµν を変えないので、特殊相対論の基礎方程式は
明らかに不変です。観測等により決定されるのは電磁場であり、4 元ポテンシャル
ではないわけです (少なくとも古典論においては)。
138
χ(x) はゲージ関数と呼ばれますが、これは任意の場であり、よってこの変換は
時空の各点で自由に行えます。このような変換は局所的 (ローカル) であると呼ば
れます。対してローレンツ変換のように、変換パラメータが時空の座標に依らな
い場合、その変換を大域的 (グローバル) であるといいます。局所的変換において
不変な理論は、力学的な場の自由度がその分だけ余計だと考えられます。この自
由度を利用して、場を減らしたり束縛することができます。
8.2
電場と磁場
電磁場 Fµν は定義から反対称テンソルであるため、その独立な成分は 6 個です。
これを、


0
E1
E2
E3


−E 1 0 −B 3 B 2 
Fµν = 

0 −B 1 
−E 2 B 3
−E 3 −B 2 B 1
0
µν
とおき、E i を電場、B i を磁場 (あるいは磁束密度) といいます。これはすなわち、
F0i = E i ,
Fij = −²ijk B k
k
j k
ということです。²ijk は 3 次元レビ・チビタ。公式 ²ijk ²ilm = δlj δm
− δm
δl に注意
すれば、
²ijl Fij = −²ijl ²ijk B k = −(δjj δkl − δkj δjl )B k = −(3δkl − δkl )B k = −2B l
これらと電磁場の定義 Fµν
1
∴ B k = − ²kij Fij
2
= ∂µ Aν − ∂ν Aµ から、
E i = ∂0 Ai − ∂i A0 = −∂0 Ai − ∂i A0 ,
1
B k = − ²kij (∂i Aj − ∂j Ai ) = −²kij ∂i Aj = ²kij ∂i Aj .
2
あるいはこれらは、空間ベクトル表記で、
E = −∇A0 −
∂A
∂t,
B = ∇×A
となります。上付き添字を標準位置として空間ベクトル表記したことに注意。た
だしナブラは例外で、(∇)i = ∂i です。A0 はスカラーポテンシャル、A はベクト
ルポテンシャルと呼ばれます。
139
8.3
電磁場のローレンツ変換
ローレンツ座標 xµ に対して、x1 方向への速度 v のブーストは、


γ −γv 0 0


1
0 0
−γv γ
0µ
x =
γ=√
 xν ,
0
1 0
 0
1 − v2
0
0
0 1
µν
でした。逆変換式は、


γ γv 0 0


γv γ 0 0 
µ
x =

 0 0 1 0
0 0 0 1
x0ν .
µν
電磁場 Fµν はテンソルなので、その変換式は、
0
Fµν
∂xρ ∂xσ
= 0µ 0ν Fρσ
∂x ∂x
ですが、行列表記すると、


0
E 01
E 02
E 03


0
−B 03 B 02 
−E 01


0
−B 01 
−E 02 B 03
−E 03 −B 02 B 01
0

T 


γ γv 0 0
0
E1
E2
E3
γ γv 0 0

 


γv γ 0 0  −E 1 0 −B 3 B 2  γv γ 0 0 
=
 

.
0 −B 1   0 0 1 0 
 0 0 1 0  −E 2 B 3
0 0 0 1
−E 3 −B 2 B 1
0
0 0 0 1
これを計算して、電場と磁場のローレンツ変換式として、
E 01 = E 1 ,
E 02 = γ(E 2 − vB 3 ),
E 03 = γ(E 3 + vB 2 ),
B 01 = B 1 ,
B 02 = γ(B 2 + vE 3 ),
B 03 = γ(B 3 − vE 2 )
を得るでしょう。電場と磁場はローレンツ変換においてこのように入り混じって
変換されます。例えばあるローレンツ系である点に電場がなく磁場だけという場
合でも、別のローレンツ系ではその点に電場があったりするわけです。
140
8.4
運動方程式の空間ベクトル表記
粒子の運動方程式に dτn /dt をかければ、
duµn
mn
= qn F µ ν vnν
dt
ですが、その空間成分 (µ = i) は、
F i ν vnν = F i 0 vn0 + F i j vnj = F0i − vnj Fij = E i + vnj ²ijk B k
に注意して、
dun
= qn E + qn v n ×B
dt
となります。これが粒子の運動方程式の空間ベクトル表記です。これと、
mn
uin
dxin
dxin dt
vni
=
=
=p
dτn
dt dτn
1 − vnj vnj
vn
∴ un = p
1 − |v n |2
という関係を用いれば、与えられた電場と磁場の中での粒子の運動が決定します。
このとき運動方程式の時間成分 (µ = 0) は自動的に満たされます。運動方程式の時
間成分の代わりに上式を用いるわけです。
8.5
マックスウェル方程式の空間ベクトル表記
次はマックスウェル方程式を電場と磁場で表してみましょう。マックスウェル方
程式 ∂µ F µν = j ν の時間成分 (ν = 0) と空間成分 (ν = i) は、それぞれ、
∇·E = j 0 ,
∂E
=j
∂t
∇×B −
となり、順に、ガウスの法則、アンペールの法則と呼ばれます。ここで j 0 は電荷
密度、j は電流密度と呼ばれます。また、B = ∇ × A, E = −∇A0 − ∂A/∂t から、
∇·B = 0,
∇×E +
∂B
=0
∂t
がわかり、順に、磁場に関するガウスの法則、ファラデーの法則と呼ばれます。こ
れら 4 つの式がマックスウェル方程式の空間ベクトル表記で、歴史的には相対論
に先だって発見され、相対論発見の礎になった方程式群です。
一方、電荷の保存則 ∂µ j µ = 0 は空間ベクトル表記で、
∂j 0
+ ∇·j = 0
∂t
141
となります。この式を空間のある領域 V で積分すれば、V に含まれる総電荷を
R
QV = V d3 r j 0 として、
Z
Z
dQV
dQ
V
d3 r ∇·j = 0 ∴
d2 r·j = 0
+
+
dt
dt
V
∂V
を得ます。ここでガウスの定理を用いました (ユークリッド幾何学の章参照)。∂V
は領域 V の境界面です。V は任意であることに注意すると、一般に、
Z
IS =
d2 r·j
S
は、単位時間当たりに面 S を通過する総電荷量と解することができ、電流と呼ば
れます。
このことを用いると、マックスウェル方程式はそれぞれ積分表示で、
Z
Z
Z
d
d2 r·E = QV ,
dr·B −
d2 r·E = IS ,
dtZ S
Z∂V
Z ∂S
d
d2 r·B = 0
d2 r·B = 0,
dr·E +
dt S
∂V
∂S
と表すことができます。ここでガウスの定理およびストークスの定理を用いまし
た。あるいは、
Z
Z
ΦE
S =
で、面 S を貫く電束
ΦE
∂V
ΦB
∂V
S
E
ΦS 、磁束
d2 r·E,
ΦB
S =
d2 r·B
S
ΦB
S
を定義すれば、
Z
= QV (ガウス),
dr·B = IS + Φ˙ E
S (アンペール),
∂SZ
= 0 (磁場ガウス),
dr·E = −Φ˙ B
S (ファラデー)
∂S
と書くこともできます。ドットは時間微分を意味します。
˙ E の項が必要であることを指摘したのはマックスウェル
アンペールの法則に Φ
S
˙ E は変位電
で、マックスウェルはこれにより電磁気学の体系を完成させました。Φ
S
流あるいは電束電流と呼ばれます。
8.6
クーロン力とアンペール力
ガウスの法則 ΦE
∂V = QV に注意すると、原点に静止した 1 つの電荷 q が周囲に
作る電場は、球対称性から放射状で、
q
r
E=
4π|r|2 |r|
142
となることがわかるでしょう (図 1 左)。よって、この電荷が位置 r に静止した電
荷 q 0 に及ぼす力は、
qq 0 r
0
F =qE=
4π|r|2 |r|
となり、この力をクーロン力あるいは静電気力といいます。クーロン力はニュー
トン力学における万有引力と同様、逆 2 乗力ですが、同符号の電荷間で斥力、異
符号の電荷間で引力になります。
図 1: 点電荷と直線電流
R
˙E
一方、ΦB
∂V = 0 およびアンペールの法則 ∂S dr·B = IS + ΦS に注意すると、十
分に長い定常的な直線電流 I が周囲に作る磁場は、軸対称性から渦状になり、
B=
I
e
2πr
となることがわかるでしょう (図 1 右)。ここで r は直線電流からの距離、e は電
流の方向に対し右ねじの規則で決まる周回方向の単位ベクトルです。
ところで導線を流れる電流は、電荷 q, 個数密度 n の荷電粒子 (キャリア) の集
団が速さ v で一様に動いているモデルで表すことができます。このとき、導線の
断面を時間 ∆t の間に通過する電荷量は、断面積を S として ∆Q = qnSv∆t です
から、電流の大きさは、
∆Q
= qnSv
I=
∆t
と表せます。そうすると、電流 I が流れている導線が磁場 B 内にある場合、導
P
線の各部が磁場から受けるローレンツ力 ( n qn v n ×B) は、導線の各部の位置ベ
クトルを l として、
dF = qnS|dl| v×B = qnSv dl×B = Idl×B
となります。これをアンペール力 (電流が磁場から受ける力) といいます。
アンペール力の方向ですが、外積の規則からもわかるように、左手の親指、人
差し指、薬指を互いに直交させたとき、順に F , B, I の方向になります。これを
143
フレミングの左手の法則といい、特に外積を教わらない高校生がその代わりに重
宝するものです。外積を知っているなら必要のない話です。
以上の事柄から、距離 r だけ離れた 2 本の平行な電流 I, I 0 が単位長さあたりに
受ける力は、その大きさが、
|dF |
II 0
=
|dl|
2πr
であり、電流が同じ向きの場合は引力、反対向きの場合は斥力になることがわか
るでしょう。
ちなみに、自然単位系では A2 = 4π × 10−7 N (∼ 1.547697 × 106 eV2 ) という関係
が成り立つため、上式から 1A 流れている直線電流が 2 本、1m 離れてある場合、
これら電流が単位長さあたり受ける力の大きさはちょうど 2 × 10−7 N/m となる
ことがわかります。これは A (アンペア) という電流の単位をそのように定義した
ためです。
(余談) ここでの電流モデルですが、キャリアとは別に静止した別の荷電粒子 (イオン) があって
中和しているとします。このとき速さ v で運動するキャリアが静止してみえる系においては、ロー
レンツ収縮とその逆効果により、この導線は帯電し、電場を発していることになります。ちなみに
ガリレイ変換ではローレンツ収縮は起こらないため、ニュートン理論 (非相対論的理論) では導線
は新しい系でも帯電していないことになりますが、この場合、ローレンツ力の式 F = qE + qv×B
と矛盾することがわかります。電磁気学は相対論を前提として初めて無矛盾になり得るわけです。
また、電流が磁場を作るという現象が、すでに相対論的効果であることに注意。導線を流れる電
流は、莫大な数のキャリアとイオンの中和により帯電していませんが、もしイオンがなくキャリ
アだけだと考えると、その電荷密度は日常的にはあり得ないくらい大きなものになります。この
意味で、導線を流れる電流密度は非常に大きく、その大きさが相対論的効果を日常的世界に露呈
させているわけです。もしこの世に導体がなかったら相対論の発見は著しく遅れたことでしょう。
8.7
電圧とオームの法則
ある経路 C における電場の線積分、
Z
dl·E
V =
C
を、この経路における電位差あるいは電圧といいます。電池などの電源は安定し
た電圧を作り出す装置といえます。
いま、導体の内部に電場 E があるとします。また、キャリアが導体に対し速度
v で運動したとき、その速さに比例し反対向きの抵抗力 −kv を受けると仮定し
ます。電流が定常的であるとすると、キャリアに対する合力は 0 のはずですから、
キャリアの電荷を q として qE − kv = 0. 一方、キャリアの個数密度を n とする
と、電流密度は j = qnv と書けますから、これらから、
E = ρj,
ρ=
144
k
q2n
を得ます。すなわち導体の内部では電場と電流密度は比例します。これをオーム
の法則といいます。比例係数 ρ は抵抗率 (電気抵抗率) と呼ばれ、これは導体の種
類や温度によって決まる量と考えられますが、ちゃんとした導出には量子論と統
計力学が必要です。抵抗率の逆数は導電率 (電気伝導率) と呼ばれます。
特に導体が線状で、すなわち導線の場合、上式をその導線に沿って線積分すれ
ば、導線の長さを l, 断面積を S として、
ρl
S
を得ます。V は導線にかかる電圧、I は導線を流れる電流です。R は導線の抵抗と
呼ばれます。
V = RI,
R=
ちなみに導体が磁場 B 中で非相対論的な速さで運動している場合は、導体の速
度を u として、力のつりあいの式は qE + qv×B − k(v − u) = 0. また、電流密
度は j = qnv − qnu と書けるので、
1
E = ρj −
j ×B − u×B
qn
を得ます。これをここでは拡張されたオームの法則と呼びましょう。導線の場合、
導線に沿って線積分すると、
Z
V = RI −
dl·(u×B)
導線
となります。
(余談) 導線が磁場中で運動している問題が与えられた場合、特に高校生はファラデーの法則を
使って解くよう習い、そうするでしょうが、これは厳密には間違いで、拡張されたオームの法則を
用いるのが本当なのです。あまり知られていないようですが重要です。
8.8
キルヒホッフの法則
導線で結ばれた電気回路があったとき、電荷保存則から、任意の分岐点に流入
する電流の和は 0 になります :
X
Ii = 0.
i
ただし電流が分岐点から流出する方向に定義されているときは、その電流の符号
を逆にします。これをキルヒホッフの第 1 法則といいます。
R
一方、ファラデーの法則
dr·E = −Φ˙ B から、ある閉回路における電圧の和
S
∂S
(誘導起電力という) は、その閉回路を貫く磁束 ΦB の時間微分の逆符号に等しく
なります :
X
Vi = −Φ˙ B .
i
145
これをキルヒホッフの第 2 法則といいます。
図 2: キルヒホッフの法則
例えば図 2 のような電気回路があり、磁場の変動がない場合、キルヒホッフの法
則とオームの法則から、
I1 − I2 − I3 = 0,
−V + R1 I1 + R2 I2 = 0
がいえるわけです。電池においては、プラス極からマイナス極の方向に電場があ
ることに注意してください。
8.9
電磁場のエネルギーと運動量
エネルギー運動量テンソル T µν はローレンツ座標で保存カレントでした。すな
R
R
わち ∂µ T µν = 0. ここで、P 0 = d3 r T 00 がエネルギー、P j = d3 r T 0j が運動
量でしたから、T 00 はエネルギー密度、T i0 はエネルギー流密度、T 0j は運動量密
度、T ij は運動量流密度と解釈できます。
電磁場のエネルギー運動量テンソルに対する寄与は、
ν
µν
Tem
= F µλ Fλ +
1 µν
g Fρσ F ρσ
4
でした。Fρσ F ρσ = −2|E|2 + 2|B|2 が確かめられることに注意すると、電磁場の
エネルギー密度は、
1
00
Tem
= (|E|2 + |B|2 )
2
と表されます。また、電磁場のエネルギー流密度と運動量密度は同じで、
0i
Tem
= (E ×B)i
146
となります。これはポインティングベクトルとも呼ばれます。さらに、電磁場の
運動量流密度 (応力テンソルの逆符号) は、
ij
00 i
Tem
= −E i E j − B i B j + Tem
δj
と計算されます。
8.10
ダランベルシアンとその逆
∂2
− 4,
4 = ∂i ∂i
∂t2
と書き、□ をダランベルシアン、4 をラプラシアンといいます。話はやや数学的
になりますが、
(4 − µ2 )G(r) = δ 3 (r)
□ = ∂ µ ∂µ =
という微分方程式を考えてみましょう。µ は正の定数です。このとき G(r) は演算
子 4 − µ2 の主要解、あるいは逆と呼ばれます。逆と呼ばれるのは、2 変数関数を
行列とみなす立場で、(4 − µ2 )δ 3 (r −r 0 ) の逆行列が G(r −r 0 ) になっているから
です。
R
上式の解は、3 次元デルタ関数が δ 3 (r) = (2π)−3 d3 k eik·r と書けることに注意
して、
Z
d3 k
−1
G(r) =
eik·r
3
2
2
(2π) |k| + µ
ですが、この積分は実行できます。r の方向を北極として k 空間の積分を 3 次元
極座標 (κ, θ, φ) で表せば、
Z 2π Z π Z ∞
−1
1
2
G(r) =
dφ
dθ
dκ
κ
sin
θ
eiκ|r| cos θ
3
2
2
(2π) 0
κ +µ
0
0
Z ∞
i
κ
dκ 2
(eiκ|r| − e−iκ|r| ).
= 2
2
4π |r| 0
κ +µ
e−iκ|r| の項を含む方の積分は、積分変数 κ の符号を逆にして再定義し、
Z ∞
i
κ
G(r) = 2
dκ 2
eiκ|r|
2
4π |r| −∞
κ +µ
となります。ここで κ を複素数に拡張すると、上半円における積分が消えるので、
κ = iµ における留数を拾って、
G(r) =
−1 −µ|r|
e
4π|r|
147
を得ます。これは湯川ポテンシャルと呼ばれる式です。
では、
□ F (x) = δ 4 (x)
はどう解けるでしょう? 同様に考えれば、
Z
1
dωd3 k
eiωt+ik·r
F (x) =
4
2
2
(2π) |k| − ω
Z
Z
dω iωt
d3 k
1
=
e lim
eik·r
3
2
2
²→+0
2π
(2π) |k| + (² ± iω)
Z
Z
dω iωt
1
dω iω(t∓|r|)
1
=
e lim
e−(²±iω)|r| =
e
²→+0 4π|r|
2π
4π|r|
2π
=
δ(t ∓ |r|)
4π|r|.
これがダランベルシアンの逆です。
(余談) ちなみに 1 次元の場合、(d/dx)2 − µ2 の逆は、
Z ∞
−1 −µ|x|
dk −1
eikx =
e
.
G1 (x) =
2
2
2µ
−∞ 2π k + µ
積分の際、x > 0 のときは上半円の複素積分が消えるので k = iµ の、x < 0 のときは下半円の積
分が消えるので k = −iµ の留数を拾っています。また、2 次元の場合、4 − µ2 の逆は留数定理で
は計算できず、
Z ∞ Z
Z
d2 k ik·r−(|k|2 +µ2 )s
−1
d2 k
ik·r
ds
e
=
−
e
G2 (r) =
(2π)2 |k|2 + µ2
(2π)2
0
Z ∞ Z
Z
d2 k −s|k−ir/(2s)|2 −|r|2 /(4s)−µ2 s −1 ∞ ds −|r|2 /(4s)−µ2 s
=−
ds
e
=
e
.
(2π)2
4π 0 s
0
途中、k 積分をガウス積分として実行しました。s = (|r|/2µ) eθ で積分変数を θ に置換すれば、
Z
−1 ∞
G2 (r) =
dθ e−µ|r| cosh θ
2π 0
と表すこともできます。これはベッセル関数の一種です。いずれにせよ初等関数では表せず、(2+1)
次元ダランベルシアンの逆は複雑です。それゆえ (2 + 1) 次元の、特に非定常的な場の理論の問題
は、(3 + 1) 次元よりも難しいものになります。
8.11
遅延ポテンシャル
マックスウェル方程式 ∂µ F µν = j ν を 4 元ポテンシャルで書くと、
□ Aµ − ∂ µ ∂ ·A = j µ .
148
ここで ∂·A = ∂µ Aµ はローレンツ計量による内積を意味します。4 元ポテンシャル
には、ゲージ不変性、すなわち関数 1 個分の不定性があるので、この不定性を利
用し、
∂ ·A = 0
を仮定します。実際、∂ · A0 = ∂ · A + □χ ですから、ゲージ関数として χ(x) =
R
− d4 xF (x−x0 )∂·A(x0 ) を選ぶことによって、常に ∂·A0 = 0 を実現できます。こ
のゲージ固定の方法はローレンツゲージ、あるいは共変ゲージと呼ばれます。こ
の固定法においては、いまだ、□χ = 0 を満たすような χ によるゲージ不変性が
残っていることに注意して下さい。
ローレンツゲージにより、マックスウェル方程式は、
□ Aµ = j µ
となります。ダランベルシアンの逆 F (x) を使って解けば、
Z
Z
0
0
µ
4 0
0 µ 0
0 3 0 δ(t − t ∓ |r−r |) µ 0 0
A (x) = d x F (x−x )j (x ) = dt d r
j (t , r )
4π|r−r 0 |
Z
µ
0
0
3 0 j (t ∓ |r−r |, r )
= dr
4π|r−r 0 |
となります。これはローレンツゲージ条件も満たします。なぜなら、
Z
Z
4 0
0 µ 0
∂ ·A = d x ∂µ F (x−x )j (x ) = − d4 x0 ∂µ0 F (x−x0 )j µ (x0 )
Z
= d4 x0 F (x−x0 )∂µ0 j µ (x0 )
は電荷保存則により 0 になるからです。
R = r − r 0 とおけば、
Z
µ
A (t, r) =
j µ (t ∓ |R|, r 0 )
dr
4π|R|.
3 0
複号において、t − |R| の場合を遅延ポテンシャル、t + |R| の場合を先進ポテン
シャルといいます。これらはマックスウェル方程式の特殊解にすぎませんが、空
間の遠方で 0 に漸近する特徴を持っているため重要です。
8.12
クーロンの法則とビオ・サバールの法則
もし 4 元電流密度が時間に依存せず、すなわち考えている系が定常的なら、遅延
(先進) ポテンシャルは、
Z
j µ (r 0 )
µ
R = r − r0
A (r) = d3 r 0
4π|R|,
149
となって、4 元ポテンシャルも定常的になります。この式は、系が定常的な場合、マッ
クスウェル方程式が 4Aµ = −j µ となり、ラプラシアンの逆が G(r) = −1/4π|r|
であったことからもただちにわかるでしょう。
j
j 1/2
∂i |R| = ∂i (R R )
Ri
1 k k −1/2 j
j
2R ∂i R =
= (R R )
2
|R|
∇
∴ ∇|R| =
R
|R|,
1
1
R
=−
∇|R|
=
−
|R|
|R|2
|R|3
に注意すると、電場は、
Z
0
E = −∇A = −∇
µ 0
3 0 j (r )
dr
=
4π|R|
Z
j 0 (r 0 )R
dr
4π|R|3
3 0
となり、これをクーロンの法則といいます。一方、磁場は、
µ
¶
Z
Z
k 0
k 0
Rj
3 0 j (r )
3 0 j (r )
i
k
B = ²ijk ∂j A = ²ijk ∂j d r
= ²ijk d r
−
4π|R|
4π
|R|3
Z
Z
k 0
j
0
²
j
(r
)R
ikj
3 0 j(r )×R
= d3 r 0
∴
B
=
d
r
4π|R|3
4π|R|3
となり、これをビオ・サバールの法則といいます。電荷密度や電流密度が定常的
な場合、これらの法則によって電場と磁場を決定できるわけです。
特に、電流密度が導線にそってだけ存在する場合、導線に流れる電流を I, 導線
の各部の位置ベクトルを r 0 として、d3 r 0 j(r 0 ) = Idr 0 ですから、ビオ・サバール
の法則は、
Z
Idr 0 ×R
B=
3
導線 4π|R|
となります。
例えば、無限に長い直線電流がその周囲に作る磁場を考えてみると、r = (x, y, z),
r 0 = (0, 0, s) (−∞ < s < ∞) として、
Z
I(−y, x, 0) ∞
ds
B=
¡
¢3/2
4π
−∞ x2 + y 2 + (z −s)2
.
p
この積分は、s−z = x2 + y 2 tan θ で積分変数を θ に置換すれば実行できて、
B=
I(−y, x, 0)
Ie
=
2π(x2 + y 2 ) 2πr,
r=
p
x2 + y 2 ,
e=
(−y, x, 0)
r
を得ます。r は直線電流からの距離、e は右ねじの規則によるできる周回方向の
単位ベクトルを意味していて、この結果は先にみたものともちろん同じです。
150
8.13
電磁波
真空、すなわち 4 元電流密度が 0 のとき、マックスウェル方程式とローレンツ
ゲージ条件は、
□ Aµ = 0, ∂ ·A = 0
です。これは波動解、
Aµ = αµ sin(k·x + β),
k 0 = |k|,
k·α = 0
を持ちます。k 0 は角振動数、k は波数ベクトル、αµ は振幅、β は初期位相を意味
します。ところがこのとき、□χ = 0 を満たす χ = (α0 /k 0 ) cos(k·x + β) をゲージ
関数としてゲージ変換 A0µ = Aµ + ∂ µ χ を行えば α00 = 0 となるので、一般性を失
うことなく α0 = 0 を仮定できます。そうすると上の波動解は、
A0 = 0,
A = α sin(k·x + β),
k 0 = |k|,
k·α = 0
と書けます。この波動は電磁波と呼ばれます。
いま、波動の進む方向を x1 = x 方向とし、k = (k, 0, 0) とすると、位相一定の
条件は、
dx
k 0 dt − kdx = 0 ∴
=1
dt
を与えるので、一般に電磁波は k の方向に速さ 1 (光の速さ) で伝わることがわ
かります。
対応する電場と磁場は、
∂A
= −k 0 α cos(k·x + β),
∂t
B = ∇×A = −k×α cos(k·x + β)
E=−
であり、よって、
k·E = 0,
k·B = 0,
E ·B = 0,
|E| = |B|
が確かめられます。すなわち電磁波は電場と磁場が直交した横波です。
電磁波のポインティングベクトルは、
E ×B = k 0 α×(k×α) cos2 (k·x + β) = |α|2 k 0 k cos2 (k·x + β)
と計算されるので、cos2 (k ·x + β) の一周期平均が 1/2 であることに注意すると、
電磁波が単位時間当たりに運ぶエネルギーは、電磁波の進む方向と垂直な単位面
積当たりで、|α|2 (k 0 )2 /2 であることがわかります。
様々な k, α, β に関する電磁波の重ね合わせは、フーリエ解析の観点から、真
空におけるマックスウェル方程式の一般解になります。線形微分方程式の一般解
は、特殊解と斉次型一般解の重ね合わせなので、遅延ポテンシャルと様々な電磁
波の重ね合わせはマックスウェル方程式の一般解になります。
151
8.14
分極と磁化
実際の物質の多くは、電場や磁場をかけるとこれに応答し、その内部で電荷の
偏りや電流を生じます。これらの現象をそれぞれ、分極、磁化といいます。
図 3: 電気双極子と磁気双極子
物質分子の分極は、おおざっぱに、位置ベクトル差 d だけ離れた 2 点に +q と
−q の電荷が配置されたモデル (図 3 左) で近似でき、これを電気双極子、p = qd
をそのモーメントといいます。これらが多数あるとき、モーメントの密度、
X
P (r) =
pn δ 3 (r−r n )
n
は分極ベクトルと呼ばれます。pn は n 番目の電気双極子のモーメント、r n はそ
の中心の位置ベクトルです。発散をとると、各々の双極子は小さいとして、
X
∇·P (r) =
qn dn ·∇δ 3 (r−r n )
=
n
X
¡
¢
qn δ 3 (r−r n +dn /2) − δ 3 (r−r n −dn /2)
n
ですから、これは電気双極子が有する電荷密度と符号が逆で等しいことがわかり
ます。電気双極子の電荷密度を分極電荷密度と呼び、jP0 と書けば、
∇·P = −jP0 .
∂jP0
+ ∇·j P = 0 を適用す
また、この式を時間で微分し、分極電荷の電荷保存則
∂t
れば、
∂P
= jP
∂t
を得るでしょう。上式には本来、任意のベクトル場の回転 ∇×α を加える不定性
がありますが、それは P が定常的なとき j P = 0 という条件で消しました。
152
一方、物質分子の磁化は、おおざっぱに、内面積 a の円周に電流 I が流れてい
るモデル (図 3 右) で近似でき、これを磁気双極子、m = Ia をそのモーメントと
いいます。これらが多数あるとき、モーメントの密度、
X
M (r) =
mn δ 3 (r−r n )
n
は磁化ベクトルと呼ばれます。今度は回転をとって、
X
X Z
3
∇×M (r) = −
In an ×∇δ (r−r n ) = −
In
=
X
n
d2 r 0 ×∇0 δ 3 (r−r 0 ) =
In
n
an
n
Z
an
X
n
d2 r 0 ×∇δ 3 (r−r 0 )
Z
dr 0 δ 3 (r−r 0 ).
In
∂an
各々の磁気双極子の円周 ∂an に微小な断面積があるとすると、それらは 3 次元体
積を持つ環とみなせますが、その内部領域を Vn とし、磁気双極子が有する電流
密度を j M (r) と書けば、上式は
XZ
∇×M (r) =
d3 r 0 j M (r 0 )δ 3 (r−r 0 )
n
Vn
と書けます。環の外では j M が 0 であることを考慮すると、
変形できるので、結局、
∇×M = j M
P R
n Vn
→
R
全空間
と
を得ます。
(余談) ここでの導出は、特に磁化ベクトルの方は数学的にかなり高度であるため、ほとんどの
教科書においてちゃんと説明されていません。ある種のごまかしが横行していて、それにより頭
をひねる学生が多いところだと思われます。
8.15
巨視的電磁気学
物質がある場合、全体の電荷密度 j 0 は、分極による電荷密度 jP0 とそれ以外の
電荷密度 jT0 の和になり、また、全体の電流密度 j は、分極による電流密度 j P ,
磁化による電流密度 j M , それ以外の電流密度 j T の和になります。
そうすると、マックスウェル方程式のうち、ガウスの法則、およびアンペール
の法則は、
∂E
= jT + jP + jM
∇·E = jT0 + jP0 , ∇×B −
∂t
∂P
∂E
∴ ∇·E = jT0 − ∇·P , ∇×B −
= jT +
+ ∇×M
∂t
∂t
ですが、これは、
D = E + P, H = B − M
153
により、くりこまれた場 D と H を定義すると、
∇·D = jT0 ,
∇×H −
∂D
= jT
∂t
と簡単になります。マックスウェル方程式の残りの 2 式は変更ありません :
∇·B = 0,
∇×E +
∂B
= 0.
∂t
物質の応答の効果がくりこまれたこの形式を巨視的電磁気学といいます。
また、
D = ²E,
B = µH
とおき、² を誘電率、µ を透磁率と呼ぶと、これらは多くの場合、物質固有の定数
になります。ただし温度や圧力には依存します。値の範囲は、誘電率については
1 ≤ ² であり、透磁率については 0 ≤ µ です。真空は ² = µ = 1 です。0 ≤ µ < 1
の場合を反磁性といい、特に µ = 0 は完全反磁性と呼ばれ、超伝導に伴って現れ
ます。一方、µ > 1 は常磁性と呼ばれます。
また、これとは別に強磁性と呼ばれる性質を持つ物質があり、その場合、µ は物
質固有の定数とはみなせなくなり、B と H の関係は変化の時間的履歴などにも
依存します。この現象をヒステリシスといいます。この辺りの事情をきちんと理
解するためには、統計力学の知識が必要になります。強磁性体には、鉄、ニッケ
ルがあります。
(余談) E を電場、B を磁束密度と呼ぶのに対し、D を電束密度、H を磁場と呼ぶことが多い
です。これは歴史的な E −H 対応による、あまり好ましくない慣習です。
8.16
コンデンサとコイル
電気を貯蓄する装置の一つにコンデンサがあります (図 4 左)。断面積 S の接近
した 2 枚の導体が、それぞれ +Q, −Q だけ帯電しているとします。コンデンサ内
部に生じる電場の大きさを E とすると、内部に挟まれた物質の誘電率を ² とし
て、ガウスの法則から、DS = Q, D = ²E. また、2 枚の導体間の距離を d, 電圧
を V とすると、V = Ed です。一般に、
Q = CV
でコンデンサの電気容量 C を定義すると、
C=
²S
d
が得られるでしょう。誘電率が大きい物質を挟むことで、コンデンサの電気容量
は大きくなるわけです。
154
図 4: コンデンサとコイル
一方、磁場を作る装置にソレノイドコイル (電磁石) があります (図 4 右)。コイ
ルの長さを l, 芯の断面積を S, 導線の巻数を N とします。また、コイルはその
半径に比べ十分長いと仮定し (∗) 、導線に流れる電流の大きさを I とします。コイ
ル内部に生じる磁場の大きさを B とすると、芯である物質の透磁率を µ として、
アンペールの法則から、Hl = N I, B = µH. また、回路を貫く磁束を Φ とする
と、Φ = N BS です。一般に、
Φ = LI
でコイルのインダクタンス L を定義すると、
L=
µSN 2
l
が得られるでしょう。透磁率が大きい物質を芯とすることで、コイルのインダク
タンスは大きくなるわけです。コイルの芯には強磁性体である鉄がよく用いられ
ます。
(*注) 実際のソレノイドコイルはもちろんこの条件を満たさないため、そのようなコイルのイ
ンダクタンスにはある種の補正が必要になります。これは長岡係数と呼ばれる補正因子により与
えられます。
8.17
双極子が受ける力とポテンシャル
電気双極子が電場から受ける力は、電気双極子の中心位置を r として、
µ
¶
µ
¶
d
d
F = qE r +
− qE r −
= qd·∇E(r) = p·∇E.
2
2
また、トルクは、
µ
¶
d
d
×(−qE) = d×(qE) = p×E
N = ×(qE) + −
2
2
と評価されます。
155
一方、磁気双極子が磁場から受ける力は、磁気双極子の中心位置を r, 中心から
円周に向かうベクトルを r 0 として、
Z
Z
Z
0
0
0
0
F =
Idr ×B(r + r ) = I
dr ×(r ·∇B) = I (d2 r 0 ×∇0 )×(r 0 ·∇B).
∂a
∂a
a
成分表示すると、
Z
0 0n
i
k i
F i = I ²ijk ²jlm d2 x0l ∂m
x ∂n B k = I (δlk δm
−δm
δl ) al ∂m B k = I (ak ∂i B k −ai ∂k B k )
a
ですが、ここで磁場に関するガウスの法則 ∇·B = 0 に注意して、
F = I ∇B ·a = ∇B ·m
と整理されます。トルクは、
Z
Z
N=
r 0 ×(Idr 0 ×B) = I
∂a
Z
(d2 r 0 ×∇0 ) r 0 ·B
dr 0 r 0 ·B = I
∂a
a
= Ia×B = m×B
となります。
磁気双極子の移動に関して、
dr·F = dr·∇B ·m = dB ·m = d(m·B).
また、回転に関して、
dθ·N = dθ·(m×B) = B ·(dθ×m) = B ·dm = d(m·B)
であることに注意すると、
U = −m·B
は定常磁場 B 内における磁気双極子のポテンシャルということになります。
一方、電気双極子については、場の定常性を仮定し、E = −∇A0 と書けること
に注意すれば、
dr·F = dr·(p·∇E) = −dr·(p·∇∇A0 ) = −dr·∇(p·∇A0 ) = d(p·E).
回転に関しては磁気双極子と同様なので、
U = −p·E
は定常電場 E 内における電気双極子のポテンシャルということになります。これ
らは特に量子論や物性物理学において重要になります。
(余談) 磁気双極子が磁場から受ける力の式は、電気双極子が電場から受ける力の式とは微妙に
異なることに注意。成分表示で、F i = pj ∂j E i と F i = mj ∂i B j です。例えば磁気双極子を磁気単
極子 2 つの結合とみなすようなインチキにおいては、このことを正しく導けません。
156
8.18
双極子が作る電磁場
原点にモーメント p の静止した電気双極子があるとき、これによって生じるス
カラーポテンシャルは、
Z
Z
Z
0
0
0
0
j
(r
)
−∇
·P
(r
)
1
A0 (r) = d3 r 0 P
= d3 r 0
= d3 r 0 P (r 0 )·∇0
4π|R|
4π|R|
4π|R|
Z
R
p·r
= d3 r 0 (p δ 3 (r 0 ))·
=
R = r − r0.
3
4π|R|
4π|r|3 ,
よって生じる電場は、
E = −∇A0 = −∇
r
·p
4π|r|3
と書けますが、ここで、
r
|r|2 δ − 3 r r
∇r
1
δ
−3 r
∇
=
+ r∇
=
+r
=
4π|r|3
4π|r|3
4π|r|3
4π|r|3
4π|r|4 |r|
4π|r|5
に注意して、
3 p·r r − p |r|2
E=
4π|r|5
となります (図 5)。
図 5: 双極子が作る場
一方、原点にモーメント m の静止した磁気双極子があるとき、これによって生
じるベクトルポテンシャルは、
Z
Z
Z
0
0
0
1
j
(r
)
∇
×M
(r
)
A(r) = d3 r 0 M
= d3 r 0
= d3 r 0 M (r 0 )×∇0
4π|R|
4π|R|
4π|R|
Z
m×r
R
=
= d3 r 0 (m δ 3 (r 0 ))×
4π|R|3
4π|r|3 .
157
よって生じる磁場は、
µ
r
B = ∇×A = ∇× m×
4π|r|3
¶
= m∇·
r
r
− m·∇
3
4π|r|
4π|r|3
と展開されますが、前の項は r 6= 0 においては消え、
3 m·r r − m |r|2
B=
4π|r|5
となります。電気双極子が作る電場と磁気双極子が作る磁場は、完全に同形にな
るわけです。
8.19
リエナール・ヴィーヘルトポテンシャル
マックスウェル方程式の特殊解である遅延ポテンシャルは、
Z
µ
0
µ
3 0 j (t−|R|, r )
R = r − r0
A (t, r) = d r
4π|R|,
でした。ここでは一般に複数の運動する荷電粒子が作る 4 元ポテンシャルを求める
R
P
ために、遅延ポテンシャルの式に 4 元電流密度の式 j µ (x) = n qn dxµn δ 4 (x−xn )
を代入してみましょう :
Z
Z
1 X
µ
3 0
A (t, r) = d r
qn dxµn δ(t−|R|−tn ) δ 3 (r 0 −r n )
4π|R| n
X Z
δ(t−|Rn |−tn )
=
qn dxµn
ここで Rn = r − r n .
4π|R
|
n
n
残っている積分は各粒子の世界線上の積分ですが、積分変数を sn = tn + |Rn | − t
に置換すると、
dsn
d p
Rn ·v n
1
dRn
=1+
=1−
2Rn ·
Rn ·Rn = 1 +
dtn
dtn
2|Rn |
dtn
|Rn |
∴
dxµn
vnµ dsn
dxµn dtn
dsn =
=
dtn dsn
1 − Rn ·v n /|Rn |
に注意して、
Aµ (t, r) =
X
n
¯
¯
qn vnµ
¯
4π(|Rn | − Rn ·v n ) ¯tn =t−|Rn |
を得ます。これが一般に運動する荷電粒子が作る 4 元ポテンシャルで、リエナー
ル・ヴィーヘルトポテンシャルと呼ばれます。
(余談) リエナール・ヴィーヘルトポテンシャルの導出は、多くの初等的あるいは工学的な教科
書において、ごまかしていたり煩雑であったりします。それはそのような教科書では 4 元電流密度
の定義が不明瞭だからです。ここでは 4 元電流密度を 4 次元デルタ関数を用いて明瞭に定義したこ
とにより導出が簡潔になっています。
158
8.20
質量のくりこみとローレンツ摩擦力
荷電粒子の速さが光の速さより十分遅い場合を考えると、v n の高次項が無視で
き、リエナール・ヴィーヘルトポテンシャルの時間成分、すなわちスカラーポテ
ンシャルは、
¶¯
X qn µ 1
¯
R
·v
n
n
¯
A0 =
+
2
4π |Rn |
|Rn | ¯tn =t−|Rn |
n
です。これを tn = t において展開すると、
µ ¶k µ
¶¯
∞
k
X qn X
(−|R
|)
d
1
R
·v
n
n n ¯¯
A0 =
+
4π
k!
dtn
|Rn |
|Rn |2 ¯tn =t
n
k=0
ですが、
d 1
dr n
1
Rn ·v n
·∇n
=
=
dtn |Rn |
dtn
|Rn |
|Rn |3
に注意して、やはり v n の高次を無視すると、
¶¯
X qn µ 1
¯
˙
¨
R
·
v
R
·
v
n
n
n
n
A0 =
−
+
+ · · · ¯¯
4π |Rn |
2|Rn |
3
tn =t
n
と計算されます。同様に、ベクトルポテンシャルについて、
¯
¶¯
X qn µ v n
X qn v n ¯
¯
¯
¯
˙
−
v
+
·
·
·
=
A=
n
¯
¯
4π|R
|
4π
|R
|
n tn =t−|Rn |
n
tn =t
n
n
ですから、これらの式から、
¶¯
X qn µ Rn
¯
˙
˙
¨
v
R
R
·
v
v
n
n
n
n
n
¯
−
∇A0 =
−
+
+
+
·
·
·
¯
3
3
4π
|Rn |
2|Rn |
2|Rn |
3
tn =t
n
∂A X qn
=
∂t
4π
n
および
µ
¶¯
¯
v˙ n
¨ n + · · · ¯¯
−v
|Rn |
tn =t.
よって、電場 E は、
∂A X
E = −∇A −
=
E n,
∂t
n
¶¯
µ
¯
qn
Rn Rn · v˙ n 2¨
vn
Rn
v˙ n
¯
En =
−
−
+
+
·
·
·
¯
4π |Rn |3 2|Rn |
2|Rn |3
3
tn =t
0
となります。
159
E n の式は、n 番目の荷電粒子が周囲に作る電場を意味していますが、荷電粒子
自身の位置 r = r n においては、第 1 項、第 3 項、そして実は · · · の部分も、特異
性は強いものの、ベクトル場の “つむじ” になっていて、0 とみなされます。しか
し一方、第 2 項の −v˙ n /2|Rn | は真に発散し、第 4 項の 2¨
v n /3 も 0 にはなりませ
ん。遅延効果によって、荷電粒子がそれ自身の位置に無限に大きな電場を作って
しまうわけです :
E n (tn , r n ) = −
¨n
qn v˙ n
qn v
+
8π|0|
6π.
このような自己に影響を及ぼす無限大の電場は、一見まずいようですが、無限大
部分は粒子の加速度 v˙ n に比例しているため、運動方程式 mn v˙ n = qn E + qn v n×B
の質量にくりこむことが可能です。すなわち、
˙n
m(r)
n v
¨n
qn2 v
= qn (E −E n ) + qn v n ×B +
6π,
m(r)
n
qn2
= mn +
8π|0|
(r)
とすることができるわけです。mn はくりこまれた質量と呼ばれ、実際に観測さ
れる質量と考えられます。対してもとの質量 mn は裸の質量と呼ばれ、これはマ
イナス無限大と考えます。マイナス無限大 + プラス無限大で、結果有限というわ
けです。
¨ n /6π はローレンツ摩擦力と呼ばれ、加速度の時間微分に比例した力
一方、qn2 v
です。例えば荷電粒子が振動や円運動等をすると、これに伴って電磁波が遠方に
伝わり、このとき電磁波がエネルギーを持ち去るため、荷電粒子はその分のエネ
ルギーを失うはずです。このような現象を放射減衰といいますが、実際に荷電粒
子はローレンツ摩擦力を通じてエネルギーを失うわけです。
ここで、原点に静止した荷電粒子の系のエネルギーを考えてみましょう :
Z
Z
1
0
3
00
Pn = mn + d r Tem = mn + d3 r |E|2
2
µ
¶2
Z
1
qn2
qn
d3 r
=
m
+
lim
= mn + lim
n
²→+0 8π².
²→+0 |r|>²
2 4π|r|2
(r)
後ろの項はやはり無限大で、Pn0 はくりこまれた質量 mn と同定できるように思
われます。しかしきちんと評価するには何らかの正則化が必要です。電磁気学の
正則化についてはスカラー場と正則化の章で述べることにします。
160
9
一般相対論
特殊相対論を拡張し重力を含むようにした理論はいくつかありますが、その中
で観測と矛盾がなく、もっとも簡単な理論が、特殊相対論の創始者アインシュタ
イン本人による一般相対論です。ここではニュートンの重力理論について簡単に
復習した後、一般相対論の基礎事項について解説します。後半では少し難しいか
もしれませんが重力場のエネルギーについて詳しく触れます。
9.1
ニュートンの重力理論
まず、ニュートンの重力理論の復習です。
空間のデカルト座標を xi (i = 1, 2, 3), n 番目の粒子のデカルト座標を xin , 重力
ポテンシャルを φ(x) として、ニュートン理論のラグランジアンは、
Z
X
1X
1
2
d3 x |∂φ(x)|2
L=
mn |x˙ n | −
mn φ(xn ) −
2 n
8πG
n
√
と表されます。ここでドットは時間微分、|A| = Ai Ai は 3 元ベクトルの大きさ、
G は万有引力定数で、
G ∼ 6.67 × 10−11 m3 /(kgs2 ) ∼ 6.71 × 10−57 eV−2 .
このとき、
∂L
∂L
i
=
m
x
˙
,
= −mn ∂i φ(xn )
n
n
∂ x˙ in
∂xin
ですから、粒子の運動方程式 (ラグランジュ方程式) は、
x¨in = −∂i φ(xn )
となります。これは粒子に作用する重力が、Fni = −mn ∂i φ(xn ) で与えられること
を意味しています。
一方、
δL
= 0,
˙
δ φ(x)
X
δL
1
=
4φ(x) −
mn δ 3 (x−xn )
δφ(x) 4πG
n
ですから、重力ポテンシャルの運動方程式 (場の方程式) は、
X
4φ(x) = 4πGρ(x), ρ(x) =
mn δ 3 (x−xn )
n
161
となります。これはポアソン方程式と呼ばれます。ρ(x) は質量密度を意味してい
ます。
ラプラシアン 4 の逆が −1/(4π|x|) であることに注意すると (電磁気学の章参
照)、ポアソン方程式は、
Z
X
X mn
−1
3 0
φ(x) = d3 x0
4πG
m
δ
(x
−x
)
=
−G
n
n
4π|x−x0 |
|x−xn |
n
n
と解けてしまいます。ラグランジアンに時間微分項がなく独立な力学的自由度を
持たない場は、一般に補助場と呼ばれ、遠隔力を表すことになります。上式をラ
グランジアン L に代入し、重力ポテンシャルを消去すれば、
Z
Z
d3 x |∂φ(x)|2 = − d3 x φ(x)4φ(x)
Z
X
X
= − d3 x φ(x) 4πG
mn δ 3 (x−xn ) = −4πG
mn φ(xn )
n
n
に注意して、
1X
1X
1X
1 X G mn mn0
L=
mn |x˙ n |2 −
mn φ(xn ) =
mn |x˙ n |2 +
2 n
2 n
2 n
2 0 |xn −xn0 |
nn
となります。これは解析力学の章で紹介した形式に他なりません。
重力のポテンシャルエネルギーが、
Z
1 X G mn mn0
1X
1
d3 x |∂φ(x)|2
Ug = −
=
mn φ(xn ) = −
2 0 |xn −xn0 |
2 n
8πG
nn
であり、負定値であるのに対し、重力場のエネルギーと呼ぶべきものは、元のラ
グランジアンからわかるように、
Z
1
Eφ =
d3 x |∂φ(x)|2
8πG
であり、これは正定値になることに注意してください。重力場のエネルギーに、相
P
互作用エネルギー EI =
mn φ(xn ) を加えたものが重力のポテンシャルエネル
ギー Ug になるわけです。
9.2
星が作る重力ポテンシャル
球対称な系を考えると、重力ポテンシャルは r =
∂i φ(r) = φ0 (r)
√
xi xi だけの関数であり、
φ0 (r)xi
∂r
=
∂xi
r
162
µ
¶
φ0 (r)xi
φ00 (r)xi xi φ0 (r)δii φ0 (r)xi xi
∴ 4φ(r) = ∂i
=
+
−
r
r2
r
r3
3φ0 (r) φ0 (r)
2
00
= φ (r) +
−
= φ00 (r) + φ0 (r).
r
r
r
よって、ポアソン方程式 : 4φ = 4πGρ は、
φ00 (r) +
2 0
φ (r) = 4πGρ(r)
r
∴
d ¡ 2 0 ¢
r φ (r) = 4πGr2 ρ(r)
dr
と書けますが、これを積分して、
GM(r)
φ0 (r) =
r2,
Z
r
M(r) = 4π
dr0 r02 ρ(r0 )
0
を得ます。M(r) は原点を中心とした半径 r の球体内部における総質量を意味し
ています。
いま、座標の原点に、半径 R, 質量 M の星がある場合を考えると、星の外部
(r > R) においては M(r) = M なので、
φ0 (r) =
GM
r2
∴ φ(r) = −
GM
r.
積分定数は φ(∞) = 0 により定めました。この結果は、星が球対称である限りは正
しく、星内部の質量分布に依らずに定まっていることに注意してください。(ニュー
トン力学の章でもより直接的な方法で確かめました。)
一方、星の内部 (r < R) の重力ポテンシャルは質量分布がわからないと定まり
ませんが、ここでは仮に密度が一定だとし、ρ(r) = ρ0 (r < R) とおきます。これ
は十分に硬い星を意味します。そうすると、
Z r
4
4
dr0 r02 = πρ0 r3 , M = M(R) = πρ0 R3
M(r) = 4πρ0
3
3
0
に注意して、
φ0 (r) =
4
GM
πGρ0 r = 3 r
3
R
∴ φ(r) =
GM 2
r +C
2R3
を得ます。C は積分定数ですが、星の表面 r = R で外部解と連結するとすれば、
C = −3GM/(2R) と定まります。
結果をまとめると、

GM


−
(r > R)

r
φ(r) =


 GM (r2 − 3R2 ) (r < R)
2R3
163
図 1: 星が作る重力ポテンシャル
となります (図 1)。
このとき重力場のエネルギーは、
Z
Z ∞
1
1
3
2
d x |∂φ(x)| =
dr 4πr2 φ0 (r)2
Eφ =
8πG
8πG 0
µ
µ
¶
¶2
Z R
Z ∞
2
GM
r
GM
1
1
=
dr r2
+
dr r2
3
2G 0
R
2G R
r2
=
GM 2 GM 2
3GM 2
+
=
10R
2R
5R
と見積もられます。重力のポテンシャルエネルギーはこれと符号が逆で、Ug =
−3GM 2 /(5R) ということになります。
9.3
アインシュタイン方程式
では一般相対論に進みましょう。
一般相対論は、特殊相対論における計量テンソル gµν を力学変数とみなし、作
用に、
Z
1
√
d4 x R
Sg = −
16πG
を追加することで得られます。ここで R は時空のスカラー曲率です。この作用 Sg
を、アインシュタイン・ヒルベルト作用、あるいは単にヒルベルト作用といいま
す。スカラー曲率はスカラーなので、Sg は座標に依存しません。よって基礎方程
式の共変性、すなわち一般相対性原理が保持されるわけです。
164
計量による変分をとれば、R = g µν Rµν に注意して、
Z
1
√ √
√
δSg = −
d4 x (Rδ + Rµν δg µν + g µν δRµν ).
16πG
δRµν を含む項は実のところ消えます。なぜならリッチテンソルと曲率テンソルの
定義から δRµν = ∂λ δΓλ µν − ∂ν δΓλ λµ + ( Γ をあらわに含む項 ) ですが、接続係数の
変分 δΓλ µν がテンソルであることに注意すると、共変微分を用いて
δRµν = ∇λ δΓλ µν − ∇ν δΓλ λµ + ( Γ をあらわに含む項 )
と書けます。テンソル定理によれば ( Γ をあらわに含む項) は 0 であり、計量が共
√
√
変微分に対し定数並みであること、および ∇µ Aµ = ∂µ ( Aµ ) に注意すれば、
√
g µν δRµν =
√
∇λ δΓλν ν −
√
√
√
∇ν δΓλ λ ν = ∂λ ( δΓλν ν ) − ∂ν ( δΓλ λ ν )
となり、これは座標の全微分なので積分をとることで消えます。
δSg の残りの 2 つの項の計算は、計量の微分公式 :
δg µν = −g µρ g νσ δgρσ ,
を用いれば簡単で、結果、
1
δSg =
16πG
δ
√
Z
d4 x
√
=
1 √ µν
g δgµν
2
Gµν δgµν
を得ます。ここで Gµν = Rµν − (1/2)g µν R はアインシュタインテンソルです (リー
マン幾何学の章を参照)。
また、特殊相対論の作用、
´ 1Z
³
XZ
√
µ µ
Ssr = −
dτn mn + qn un A (xn ) −
d4 x Fµν F µν
4
n
の計量に関する変分は、エネルギー運動量テンソルを T µν として、
Z
1
√
δSsr = −
d4 x T µν δgµν
2
でした (特殊相対論の章参照)。よって、計量に関する作用原理から、
Gµν = 8πGT µν
を得ます。これをアインシュタイン方程式といいます。時空にエネルギー運動量
テンソルが存在すれば、それに応じて時空が曲がり、ローレンツ座標はとれなく
165
なります。この時空の曲がりが重力の正体であると考えるわけです。アインシュ
タインテンソルに関するビアンキ恒等式 : ∇µ Gµν = 0 から、
∇µ T µν = 0
がわかります。
一方、アインシュタイン・ヒルベルト作用は粒子の座標や 4 元ポテンシャルを含
まないため、粒子の運動方程式とマックスウェル方程式に変更はありません :
³ duλ
´
n
λ
µ ν
mn
+ Γ µν un un = qn F λ µ uµn , ∇µ F µν = j ν .
dτn
粒子の運動方程式の Γλ µν を含む項は、ここでは一般に慣性力を含む重力を意味す
ることになります。時空はリーマン空間であると考えているため、この項は座標
を上手く選ぶことで局所的に 0 にできることに注意して下さい。その座標とは、す
なわち自由落下系のことで、要するに、重力は加速系において生じる慣性力とい
つでも相殺できるということです。重力が持つこの性質は等価原理と呼ばれます。
(余談) ニュートン理論においては、運動方程式に現れる質量と万有引力の法則に現れる質量が
等価 (常に同じ) であることが等価原理に対応し、このことは等価原理の名前の由来でもあります。
P
P
ラグランジュ形式においては、運動項 (1/2) mn |x˙ n |2 と相互作用項 −(1/2) mn φ(xn ) の mn が
同じであることに対応します。このようにニュートン理論においては等価原理は人為的に仮定さ
れているわけですが、一般相対論では自動的に成り立つというわけです。
9.4
宇宙項
一般相対論の作用に、さらに、
λ
Sc = −
8πG
Z
d4 x
√
を加えても、作用全体の座標不変性は保たれ、共変性は保持されます。λ は定数
で、宇宙定数と呼ばれます。一般相対論において宇宙全体を考えるときは、一般
にこの作用があるものとします。Sc は計量だけの汎関数であるため、変更される
方程式はアインシュタイン方程式だけであり、それは、
Gµν − λg µν = 8πGT µν
となります。−λg µν は宇宙項と呼ばれます。計量条件 : ∇µ g µν = 0 に注意すると、
いぜんとして ∇µ T µν = 0 が成り立つことがわかります。
しかし少なくとも太陽系のスケールにおいては宇宙項なしで一般相対論がよく
成り立っていることがわかっているため、宇宙定数 λ はそのようなスケールに
おいては無視できる程度と考えられます。実際、宇宙論における考察によれば、
λ ∼ (100 億光年)−2 です。
166
結局、一般相対論の作用は、
Sgr = Ssr + Sg + Sc
³
´
XZ
µ
=−
dτn mn + qn un Aµ (xn )
n
1
−
4
Z
4
dx
√
Fµν F
µν
1
−
16πG
Z
d4 x
√¡
R + 2λ
¢
ということになります。これだけで古典論の全てを記述しています。よくできた
理論は葉書一枚に書けると言われます。特に電磁場や宇宙項がない場合は、
Z
Z
X
1
√
Sgr = −
mn dτn −
d4 x R
16πG
n
です。一般相対論の美しさがよくわかるでしょう (∗) 。
以下しばらくは宇宙項は小さいとして無視することにします。
(*注) 16πG はただの定数です。作用汎関数や場の方程式に π が現れることを嫌う有理系の立
場を重視し、κ = 8πG ∼ 1.686 × 10−55 eV−2 でアインシュタインの重力定数を定義することも多
いです。ちなみに自然単位系においてさらに κ = 1 とすれば全ての物理量は無次元になりますが、
これは普通しません。重力が電磁力などの他の相互作用と比べて少し異質であり、量子論的にき
ちんと解明されていないことが理由の一つとして考えられます。
9.5
弱い重力場
アインシュタイン方程式は非線形であるため解くことが困難です。ここでは物
質が十分希薄であると仮定し、線形近似を行うことにします。このとき、計量 gµν
の、ローレンツ計量 ηµν からのずれはわずかであると考えられるので、
gµν = ηµν + φµν
で摂動 φµν (¿ 1) を定義します。計量が 2 つの添字について対称だから、φµν も
2 つの添字について対称です。また、φµν の 2 次の項は無視されるので、その添字
の上げ下げはローレンツ計量で行ってよいことになります。さらに便宜上、
ψµν = φµν −
1
ηµν φλλ
2
で ψµν を定義します。両辺に η µν をかければ ψλλ = −φλλ が得られることに注意し
て、逆に解いた式は、
1
φµν = ψµν − ηµν ψλλ
2
となります。
167
曲率テンソルを考えると、Γ の 2 次の項は無視できることになり、
1
1
Rρσµν = − ∂µ ∂ρ φσν + ∂µ ∂σ φρν − (µν 交換).
2
2
ここから丁寧に計算し、アインシュタイン方程式 Gµν = 8πGT µν は、
□ψ µν − ∂ µ ∂λ ψ λν − ∂ ν ∂λ ψ λµ + η µν ∂ρ ∂σ ψ ρσ = −16πGT µν
となります。これをアインシュタインの線形近似式といいます。
アインシュタイン方程式は座標変換に対し不変だから、我々は座標を適当に選
ぶ任意性を持っています。いま、
x0µ = xµ + ξ µ (x)
という座標変換を考え、ξ µ は φµν 程度の小さい量とし、その 2 次以上は無視でき
るとします。この座標変換により計量は、
0
gµν
= gµν − ∂µ ξ λ gλν − ∂ν ξ λ gλµ − ξ λ ∂λ gµν
と変換されます。よって φµν , ψµν の変換式は、順に、
φ0µν = φµν − ∂µ ξν − ∂ν ξµ ,
0
= ψµν − ∂µ ξν − ∂ν ξµ + ηµν ∂ ·ξ
ψµν
となることがわかります。このとき、∂µ ψ 0µν = ∂µ ψ µν − □ξ ν ですから、これが 0
になるように ξ ν を選ぶことで ∂µ ψ 0µν = 0 を実現できます。つまり適当に座標を
選ぶことで、
∂µ ψ µν = 0
を実現できるわけです。この座標条件のもとでは、いまだ □ξ µ = 0 を満たす ξ µ
を用いた変換が許されることに注意して下さい。
この座標条件により、アインシュタインの線形近似式は、
□ψ µν = −16πGT µν
と極めて簡単になります。マックスウェル方程式の場合と同様、ダランベルシア
ンの逆を用いれば、解は、
Z
µν
0
0
µν
3 0 T (t−|r−r |, r )
ψ (t, r) = −4G d r
|r−r 0 |
であり、これが重力の遅延ポテンシャルです。この解が座標条件を満たすことは、
今の近似では ∂µ T µν = ∇µ T µν = 0 がいえることに注意すれば、マックスウェル方
程式のときと同様な方法でわかります。
168
9.6
ニュートン近似
上の近似で、さらに電磁場は十分弱いものとし (あるいは粒子にくりこまれてい
るものとし)、粒子の速さが光速 1 より十分小さい場合を考えます。この近似を
ニュートン近似といいます。太陽系の惑星の運動においては、およそこの近似が
当てはまります。
このときエネルギー運動量テンソル、
¯
√ X
T µν (t, r) = −1
mn vnµ uνn δ 3 (r−r n )¯t
n =t
n
は、00 成分 :
00
T (t, r) =
X
n
¯
mn δ 3 (r−r n )¯tn =t
が質量密度を意味し、これ以外の成分は全て 0 と近似できるので、重力の遅延ポ
テンシャルの式から、
X mn ¯¯
00
¯
ψ = 4φ, φ(t, r) = −G
|r − r | ¯
n
n
tn =t
で、他の成分は 0 です。φ はニュートンの重力ポテンシャルを意味しています。ま
たこのとき φµν = ψµν − (1/2)ηµν ψλλ は対角成分が全て 2φ で、非対角成分は 0 に
なります。すなわち、
φµν = 2φ δνµ
∴ gµν = ηµν + 2φ δνµ .
一方、粒子の運動方程式は、いまの近似のもとで、
x¨in + Γi 00 = 0
となりますが、
Γi 00 = g ij
1
−1
∂j g00 = − η ij ∂j (2φ) = ∂i φ
2
2
ですから、
x¨in + ∂i φ = 0.
これはニュートンの運動方程式に他なりません。
すなわち一般相対論は、ニュートン近似のもとでニュートンの重力理論に帰着
するわけです。これによりニュートン理論の成功は、そのまま一般相対論の成功
と考えることができます。
(余談) 太陽の表面における重力ポテンシャルは、G ∼ 6.67×10−11 m3 /kgs2 , M ∼ 2.0×1030 kg,
R ∼ 70 万 km より、|φ| = GM/R ∼ 1.9×1011 m2 /s2 ∼ 2.1×10−6 ¿ 1 です。当然、惑星や衛星の
太陽に対する相対速度は光速よりずっと小さいので、太陽系においてはニュートン理論で十分な
わけです。
169
9.7
弱い重力場のローレンツ変換
定常的な弱い重力場があったとき、これに対し運動する系において重力場がど
のようになるか考えてみましょう。
重力場が定常的になる系を xµ とし、これに対し x1 の方向に速さ v で運動する
系を x0µ とします。このとき、


γ γv 0 0


∂xµ
1
γv γ 0 0
µ
Λν := 0ν = 
γ=√

∂x
 0 0 1 0
1 − v2
0 0 0 1
µν,
ですが、接続係数 Γλµν が線形変換に対してはテンソルと振舞うこと、および対
称性 Γλµν = Γλνµ に注意すると、
Γ0100 = Λ01 Λ00 Λ00 Γ000 + 2Λ01 Λ00 Λ10 Γ001 + Λ01 Λ10 Λ10 Γ011
+ Λ11 Λ00 Λ00 Γ100 + 2Λ11 Λ00 Λ10 Γ101 + Λ11 Λ10 Λ10 Γ111 .
ここでさらに、Γλµν = (1/2) (−∂λ gµν + ∂ν gλµ + ∂µ gνλ ), gµν = ηµν + 2φ δνµ に注意
すると、
Γ000 = Γ011 = Γ101 = 0,
Γ100 = −Γ001 = −Γ111 (= −∂1 φ)
がわかるので、
¡
¢
Γ0100 = −2Λ01 Λ00 Λ10 + Λ11 Λ00 Λ00 − Λ11 Λ10 Λ10 Γ100 = γ 3 (1 − 3v 2 )Γ100 .
同様に考えて、
Γ0200 = Λ22 Λ00 Λ00 Γ200 + 2Λ22 Λ00 Λ10 Γ201 + Λ22 Λ10 Λ10 Γ211
¡
¢
= Λ22 Λ00 Λ00 + Λ22 Λ10 Λ10 Γ200 = γ 2 (1 + v 2 )Γ200 ,
Γ0300 = γ 2 (1 + v 2 )Γ300
です。すなわち運動する系において重力場は、運動の水平方向の成分が γ 3 (1−3v 2 )
倍、垂直方向の成分が γ 2 (1 + v 2 ) 倍されるわけです。
√
例えばある物体が 1/ 3 より大きな速度で我々に接近あるいは遠ざかっている
場合、我々はその物体から斥力の重力を受けることになります (図 2)。万有が引
力を生じるというのは、相対速度が光速に比べて十分に小さい場合の常識であり、
一般相対論ではこれは成り立たないわけです。
170
図 2: 運動する物体が作る重力場の向き
9.8
重力赤方偏移
次に、定常的な時空における光の通信を考えてみましょう。
送信者を A, 受信者を B とします。ある瞬間に A を出発した光の世界線と、そ
の 1 周期後に出発した光の世界線は、計量が定常的であることから時間方向に並
進することで重なるはずです。そうすると光の周期は、時間座標 x0 においては場
所に依らず一定と考えられます。このことは取りも直さず、光の周期は、固有時
間においては一般に場所に依るということを意味します。
いま、A における光の周期を TA , B における周期を TB , 時間座標における周
期を T とすると、A, B は座標に静止しているとして、
TA2 = g00 (r A )T 2 ,
TB2 = g00 (r B )T 2 .
r A , r B はそれぞれ A, B の空間座標です。よって、
s
TA
g00 (r A )
=
TB
g00 (r B ).
あるいは光の振動数をそれぞれ νA , νB として、
s
νB
g00 (r A )
=
∼ 1 + φ(r A ) − φ(r B )
νA
g00 (r B )
と近似されます。φ はニュートンの重力ポテンシャルです。
重力ポテンシャルの違いにより、光の振動数が変化するこの現象は、重力赤方
偏移と呼ばれます。例えば送信者 A の方が低い位置にあり、φ(r A ) < φ(r B ) とす
ると、νB /νA < 1 がわかるので、光は低振動数側、すなわち赤方側にずれるわけ
です。これはメスバウアー効果を利用した塔における精密実験や人工衛星におけ
る実験ですでに確認されている現象で、カーナビ等で利用されている GPS もこ
の効果を補正として取り入れています。
171
(余談) 重力赤方偏移は計量型の相対論的重力理論でないと説明ができないもので、重力の正体
を時空の曲がりとしない非計量型の重力理論はこれにより全て排除されます。例えば時空をミン
コフスキー空間とし、重力場をスカラー場やテンソル場として導入しても駄目なわけです。重力
は時空の構造と密接なわけで、このことを等価原理の視点から早々と見抜いたアインシュタイン
の洞察力は類い稀と言えるでしょう。特殊相対論はアインシュタインがいなくても 10 年と遅れる
ことなく誰かが発見していただろうと考えられますが、一般相対論の発見は、リーマン幾何学を
用いていることからも想像されるように、アインシュタインの天才 (およびグロスマンの助言) に
依るところが大きいわけです。
9.9
重力波
真空、すなわちエネルギー運動量テンソル T µν が 0 の場合、アインシュタイン
の線形近似式、および座標条件は、
□ψ µν = 0,
∂µ ψ µν = 0.
これは波動解、
ψ µν = aµν e−ik·x + c.c.
k 0 = |k|,
kµ aµν = 0
を持ち、重力波と呼ばれます。振幅 aµν は 2 つの添字について対称だからその独
立な成分は本来 10 個ですが、kµ aµν = 0 により 4 個減り、6 個になります。しか
しさらに □ξ µ = 0 を満たす ξ µ = cµ e−ik·x + c.c. という座標変換が許されます。こ
のとき aµν は、
a0µν = aµν + i(k µ cν + k ν cµ − η µν k·c)
と変換され、その独立な成分は cµ の自由度である 4 個分減り、結果、2 個になる
はずです。
このことを具体的に見るために、x3 の正の方向に進む重力波を考え、
k µ = (κ, 0, 0, κ)µ
としてみましょう。このとき条件式 kµ aµν = 0 から、a0ν = a3ν を得るので、
aµν の添字の 3 は 0 に取り替えることができます。よって aµν の独立な成分は、
a00 , a01 , a02 , a11 , a12 , a22 の 6 個ですが、座標変換により、
a000 = a00 + iκ(c0 + c3 ),
a001 = a01 + iκc1 ,
a002 = a02 + iκc2 ,
a012 = a12 ,
a011 = a11 + iκ(c0 − c3 ),
a022 = a22 + iκ(c0 − c3 )
となるので、cµ を適当に選ぶことで a00 = a01 = a02 = a22 = 0 とできます。この
とき 0 でない独立な成分は a11 と a12 の 2 個になるわけです。重力波は、電磁波
同様、自由度 2 の波動であることがわかりました。
172
9.10
シュヴァルツシルト解とブラックホール
次に、真空におけるアインシュタイン方程式の厳密解を求めてみましょう。
真空 (T µν = 0) において、アインシュタイン方程式は、
Rµν −
1
gµν R = 0
2
ですが、この式に g µν をかけると R − 2R = 0 ∴ R = 0 を得るので、
Rµν = 0
となります。いま、静的であることと空間の等方性を仮定し、
x0 = t,
x1 = r,
x2 = θ,
x3 = φ
dτ 2 = f (r)dt2 − g(r)dr2 − r2 dθ2 − r2 sin2 θdφ2
という座標および計量を考えます。f (r) と g(r) は未定関数です。このとき接続係
数は、
f0
f0
g0
r
Γ1 00 =
Γ1 11 =
Γ1 22 = −
2f,
2g,
2g,
g,
2
r sin θ
1
=−
Γ2 12 = Γ2 21 =
Γ2 33 = − sin θ cos θ,
g,
r,
1
cos θ
= Γ3 31 =
Γ3 23 = Γ3 32 =
(他の成分は 0).
r,
sin θ
Γ0 01 = Γ0 10 =
Γ1 33
Γ3 13
また、Γµ = Γρ ρµ を定義すると、
Γ1 =
f0
g0
2
+
+
2f 2g r,
Γ2 =
cos θ
sin θ,
Γ0 = Γ3 = 0.
ここからリッチテンソル : Rµν = Rρ µρν = ∂ρ Γρ µν − ∂ν Γµ + Γρ Γρ µν − Γρ µσ Γσ νρ は、
R00
R22
f 02
f 0g0
f0
f 00
−
− 2 +
=
2g 4f g
4g
rg,
0
0
rg
1
rf
+ 2 − + 1,
=−
2f g 2g
g
R11
f 00
f 02
f 0g0
g0
=− + 2+
+
2f 4f
4f g rg,
R33 = sin2 θ R22
(非対角成分は 0)
と計算されます (∗) 。
(*注) µ 6= ν のとき、Γ1 µν = 0, ∂ρ Γρ µν = 0, ∂ν Γµ = 0 が簡単にわかるので、このときは特に、
Rµν = Γ2 Γ2 µν − Γρ µσ Γσ νρ ですが、µ, ν の一方だけが 0, もしくは 3 のときはこの式の 2 項は共に
0 とわかります。よって Rµν の非対角項で 0 でない可能性があるのは R12 = R21 だけですが、
R12 = R21 = Γ2 Γ2 12 − Γρ 1σ Γσ 2ρ = Γ2 Γ2 12 − Γ3 13 Γ3 23 =
173
cos θ 1 1 cos θ
−
= 0.
sin θ r r sin θ
よって非対角成分は全て 0 です。
真空のアインシュタイン方程式は Rµν = 0 でしたが、特に R00 = R11 = 0 から
f 0 g + f g 0 = 0 が導かれます。すなわち f g = 一定. 空間の遠方でミンコフスキー
空間に漸近していると仮定し、f (∞) = g(∞) = 1 とすれば、
fg = 1
です。そうすると R22 = 0 から rf 0 + f = 1 が得られ、これは、
a
f (r) = 1 −
r
と解けます。ここで a は積分定数。
よって結局、
³
a´ 2 ³
a ´−1 2
dt − 1 −
dτ = 1 −
dr − r2 dθ2 − r2 sin2 θdφ2
r
r
2
が真空のアインシュタイン方程式の厳密解で、シュヴァルツシルト解と呼ばれま
す。この解は r = a の球面に特異性を持ち、そこでは g00 = 0 です。これは固有
時間の凍結を意味します。a をシュヴァルツシルト半径といいます。
粒子や光がシュヴァルツシルト半径より内部に入ったら、もはや外部に戻るこ
とはできません。なぜなら粒子や光の世界線においては dτ 2 ≥ 0 ですが、これが
回帰するならば dr = 0 となる点が存在し、その点において、
µ ¶2
µ ¶2
dφ
a
2
2
2 dθ
+ r sin θ
1− ≥r
r
dt
dt
です。r < a においては左辺が負になるため、そのような解はあり得ません。いっ
たん中に入ったら光さえ外に出られないため、シュヴァルツシルト半径より内部
の領域はブラックホールと呼ばれ、境界面 r = a は事象の地平面と呼ばれます。
ただし地平面の時間凍結性のため、ブラックホールに近づく物質の運動は緩慢に
なり、外部の時間においては地平面に到達するまでに無限の時間を要します。
9.11
等方座標と重力質量
シュヴァルツシルト解において、
µ
r=
a
1+
4ρ
¶2
ρ
という変数変換を行えば、新しい変数 ρ を改めて r と書いて、
¶2
µ
³
a ´4
r
−
a/4
2
2
dt − 1 +
(dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 )
dτ =
r + a/4
4r
174
を得ます (∗) 。ここでさらに、x1 = r sin θ cos φ, x2 = r sin θ sin φ, x3 = r cos θ を
定義すれば、
µ
¶2
³
√
r
−
a/4
a ´4 i i
2
2
dτ =
dt − 1 +
dx dx , r = xi xi
r + a/4
4r
となります。(t, x1 , x2 , x3 ) は等方座標と呼ばれます。
等方座標は遠方においてほとんどローレンツ座標であり、その摂動は、
a
φµν = − δνµ
r
です。これを、ニュートン近似における質量 M の球対称物体周囲の重力ポテン
シャル : φµν = 2φ δνµ = −(2GM/r) δνµ と比較すると、
a = 2GM
を得ます。遠方の重力ポテンシャルで推察される質量 M を、一般に系の重力質
量といいます。シュヴァルツシルト解の重力質量は M = a/2G ということになり
ます。
(*注) 一般に変換 r → ρ を r = f (ρ) とすると、シュヴァルツシルト解の空間的線素の式は、
dl2 =
dr2
f 0 (ρ)2 dρ2
+ r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 ) =
+ f (ρ)2 (dθ2 + sin2 θdφ2 )
1 − a/r
1 − a/f (ρ)
ですが、これが (dρ2 + ρ2 dθ2 + ρ2 sin2 θdφ2 ) でくくられるとすると、
p
f (f − a)
f 0 (ρ)2
f (ρ)2
df
=
∴
=
2
1 − a/f (ρ)
ρ
dρ
ρ.
µ
¶
Z
dx
2x
この微分方程式は変数分離形で、 p
= arccosh
− 1 + C に注意すれば、
a
x(x − a)
µ
¶2
Caρ
1
f (ρ) =
1+
( C は積分定数 )
4
Cρ
と解けます。特に C = 4/a としたのがここで用いた変換式です。
9.12
シュヴァルツシルト時空における粒子の軌道
シュヴァルツシルト時空における粒子の軌道を考えてみましょう。そのために
は、粒子の運動方程式 : duλ /dτ + Γλ µν uµ uν = 0 をシュヴァルツシルト時空にお
いて解けばよいのですが、実は作用原理に立ち戻った方が簡単です。
1 粒子の作用は、
Z
S1 = −m
Z
dτ = −m
175
q
dλ gµν (x)x˙ µ x˙ ν .
ここでドットは世界線上のパラメータ
λ による微分を意味します。よって粒子の
p
ラグランジアンは L = −m gµν (x)x˙ µ x˙ ν であり、
∂L
dxν
= −mgρν (x)
∂ x˙ ρ
dτ
ですが、シュヴァルツシルト解の計量 gµν (x) は x0 = t と x3 = φ を含まず、すな
わちこれらは循環座標なので、
∂L
dt
=
−mf
(r)
∂ x˙ 0
dτ,
∂L
2
2 dφ
=
mr
sin
θ
∂ x˙ 3
dτ
が保存量になります。よって、粒子の軌道が平面 θ = π/2 にあると仮定すると、
A = f (r)
dt
,
dτ
B = r2
dφ
dτ
は共に運動の定数です。一方、シュヴァルツシルト時空の線素の式を (dφ)2 で割
れば、
µ ¶2
µ ¶2
µ ¶2
dt
dτ
1
dr
= f (r)
−
− r2
dφ
dφ
f (r) dφ
ですから、これらより、
µ
dr
dφ
¶2
¡ 2
¢
A − f (r) r4
=
− f (r)r2 .
2
B
f (r) = 1 − a/r だったので、
µ ¶2
dr
= Cr4 + Dr3 − r2 + ar
dφ
となります。ここで、C = (A2 − 1)/B 2 , D = a/B 2 はやはり運動の定数です。
u = 1/r で変数変換すれば、
µ ¶2
du
= C + Du − u2 + au3 .
dφ
あるいは両辺を φ で微分して、
d2 u D
3a 2
=
−
u
+
u
dφ2
2
2
を得ます。これが粒子の軌道を与える微分方程式です。
右辺の u2 の項 (非線形項) が、いわば一般相対論的な効果であり、もしこの項が
なければ、ニュートン理論同様、解は 2 次曲線 u = (1 + ² sin φ)/l で与えられま
す。しかし実際にはこの項があるので軌道はより複雑になります。
176
9.13
惑星の近日点移動
粒子の軌道の近似解として、離心率 ², 半直弦 l の近日点移動する楕円軌道、
1 + ² sin(ηφ)
( ², l, η は定数 )
l
を考え (図 3)、これを軌道の微分方程式に代入します。ただし離心率 ² は十分小
さいものとし、その 2 次を無視するものとします。
u=
図 3: 近日点移動する楕円軌道
そうすると、sin(ηφ) に関する係数比較から、
r
3a
η = 1−
l
を得るでしょう。よって、一周における近日点移動は、その角度において、
Ã
!
2π
1
∆φ =
− 2π = 2π p
−1
η
1 − 3a/l
です。特に太陽系のように重力が弱く、a/l ¿ 1 のときは、
3πa 6πGM
=
l
l
と評価されます。この効果は太陽系第一惑星である水星の近日点移動の誤差を上
手く説明することが知られています (∗) 。
∆φ ∼
(*注) 水星の近日点移動の主原因は他の惑星の存在ですが、これら他の惑星の効果を丁寧に取
り入れても観測値と一致せず、一般相対論以前、その原因は謎とされていました。水星の内側に未
知の天体があるのではないか等という説も真面目に検討されていたくらいです。しかしここで述
べた一般相対論的効果を取り入れるとよく合うというわけです。
9.14
光の湾曲
光は高エネルギー極限の粒子 (ほぼ光の速さで進む粒子) と等価のはずですから、
シュヴァルツシルト時空内における光の軌道は、同時空内の粒子の軌道において
177
dτ /dt → 0 という極限により与えられます。このとき A, B は共に無限大になり、
D = a/B 2 → 0 です。よって光の軌道を与える微分方程式は、
3a 2
d2 u
= −u +
u
2
dφ
2
となります。
u = 2/(3a) すなわち r = 3a/2 が解になっていることに注意。ブラックホール
の近傍では強力な重力場により光の軌道が曲げられ、シュヴァルツシルト半径の
ちょうど 1.5 倍の半径の円上を光は周回できるというわけです。また、重力がなく
a = 0 のときは、直線 u = sin φ/l が解になることに注意。このとき l は原点と直
線の距離を意味します。
いま、重力が非常に弱い場合を考え、a を小さな摂動とみなします。このとき、
sin φ
u=
+ α + β sin2 φ
l
という軌道を考え、上の微分方程式に代入します。ただし a, α, β の 2 次以上は無
視します。そうすると、 sin φ に関する係数比較から、α = a/l2 , β = −a/(2l2 ) を
得るので、近似解として、
µ
¶
sin φ a
1
u=
+ 2 1 − sin2 φ
l
l
2
を得ます。これは原点付近でわずかに湾曲し、遠方で直線に漸近する軌道を意味
しています (図 4)。
図 4: 光の湾曲
u = 0 (r → ∞) とおくと、−1 ≤ sin φ ≤ 1 に注意し、
sin φ = −a/l
∴ φ ∼ −a/l, π + a/l
と解かれるので、これは弱い重力場の影響で、光の進む方向が、
2a 4GM
=
∆φ ∼
l
l
178
だけ曲がることを意味しています。この現象は重力レンズ効果と呼ばれ、観測的
にも正しいことが確かめられています。
(余談) アインシュタインによる一般相対論の定式化は 1916 年ですが、1919 年に早くも皆既日
食を利用した重力レンズ効果の検証が行われ、一般相対論の正しさが確認されました。
「もし理論
が間違いだと判明したらどうされましたか」という質問に、アインシュタインは「その時は神様の
ことを気の毒に思ったでしょう」と答えたそうです。一般相対論はとても美しいので、もし間違っ
ていたなら、この理論を採用しなかった神様の美的センスのなさを哀れに思っただろう、というこ
とです。
9.15
エネルギー運動量テンソルの巨視的表示
ここでエネルギー運動量テンソル T µν について少し整備しておきます。
いま、時空上のある 1 点 A と、その近傍の領域 V を考えます。そして、V に
おける T µν の平均値を A における T µν の値として採用するという、一種の巨視
化を行います。このとき、T 0i = 0 となるような A における局所ローレンツ座標
xµ があるはずで、これを A の重心系と呼びます。A の重心系においては V 内の
物質の運動が平均として等方的になっているから、
T 00 = ρ,
T ij = P δji
とおけます。このとき ρ は物質のエネルギー密度、P は圧力を意味します。
一般座標 x0µ に移ると、
T 0µν =
∂x0µ ∂x0ν i
∂x0µ ∂x0ν
ρ
+
Pδ .
∂x0 ∂x0
∂xi ∂xj j
一方、計量に関しては、
g
0µν
∂x0µ ∂x0ν ∂x0µ ∂x0ν i
=
−
δ.
∂x0 ∂x0
∂xi ∂xj j
これらから、
∂x0µ ∂x0ν
T =
(ρ + P ) − g 0µν P.
∂x0 ∂x0
さらに uµ := ∂x0µ /∂x0 は一般座標系における重心系の固有速度とみなせます。プ
ライムをはずして書けば、
0µν
T µν = (ρ + P )uµ uν − g µν P
となります。これがエネルギー運動量テンソルの巨視的表示です。
179
9.16
トールマン方程式
シュヴァルツシルト解は真空におけるアインシュタイン方程式の解で、その中
心付近には事象の地平面と呼ばれる特異面があります。すなわちブラックホール
を表す解になっています。ここではその中心付近に有限の大きさの球体 (星) があ
るとして、その内部においてアインシュタイン方程式を考えましょう。ただしい
ぜんとして静的であることと等方性を仮定します :
dτ 2 = f (r)dt2 − g(r)dr2 − r2 dθ2 − r2 sin2 θdφ2 .
リッチテンソルはシュヴァルツシルト解のところですでに求めました。添字を
上げると、
f 00
f 02
f 0g0
f0
f 00
f 02
f 0g0
g0
1
−
−
R1 =
−
−
=
+
−
2f g 4f 2 g 4f g 2 rf g,
2f g 4f 2 g 4f g 2 rg 2 ,
f0
g0
1
1
R22 = R33 =
−
−
+
(非対角成分は 0).
2rf g 2rg 2 r2 g r2
R00
よってスカラー曲率は、
R=
Rµµ
f 00
f 02
f 0g0
2f 0
2g 0
2
2
=
− 2 −
+
− 2+ 2 − 2
2
f g 2f g 2f g
rf g rg
r g r
となり、アインシュタインテンソル : Gµν = Rνµ − (1/2) δνµ R は、
g0
1
1
f0
1
1
1
= 2− 2 + 2
G1 = −
− 2 + 2
rg
r g r ,
rf g r g r ,
f 00
f 02
f 0g0
f0
g0
G22 = G33 = −
+ 2 +
−
+
2f g 4f g 4f g 2 2rf g 2rg 2
G00
(非対角成分は 0)
となります。一方、エネルギー運動量テンソルは、物質は巨視的には静止してい
ると考えると、
Tνµ = (ρ + P )uµ uν − δνµ P = diag(ρ, −P, −P, −P )µν .
これらからアインシュタイン方程式 : Gµν = 8πGTνµ の µ = ν = 0, µ = ν = 1 の
成分は、それぞれ、
g0
1
1
−
+
= 8πGρ
(1)
rg 2 r2 g r2
1
1
f0
− 2 + 2 = −8πGP
(2)
−
rf g r g r
となります。µ = ν = 2 と µ = ν = 3 の成分は同じ方程式を与えますが、こ
れは若干複雑なので、代わりに ∇µ Tνµ = 0 の ν = 1 成分を用います。それは、
Γ0 01 = f 0 /(2f ) に注意して、
f0
P + (ρ + P ) = 0
2f
0
180
(3)
となります。結局、アインシュタイン方程式は (1)(2)(3) が満たされれば満たされ
ます。これら方程式をもう少し解きやすい形にしましょう。
(1) は、
α ´−1
g = 1−
r
で新しい変数 α = α(r) を定義すれば、
³
(4)
α0 = 8πGr2 ρ
(5)
という簡単な微分方程式になります。ただし (4) が特異点を持たないためには、
α(0) = 0 という境界条件が必要です。また、(3) は、
f0
2P 0
=−
f
ρ+P
(6)
と変形できますが、これを (2) に代入し、P 0 について解けば、
(ρ + P )(α + 8πGr3 P )
P =−
2r2 (1 − α/r)
0
(7)
となります。これをトールマン方程式 (あるいはトールマン・オッペンハイマー・
ヴォルコフ方程式) といいます。
(5)(7) および物質の状態方程式から α(r), ρ(r), P (r) が定まり、このとき (4)(6)
から関数 f (r), g(r) が定まります。すなわち、(4) ∼ (7) が球対称な星が作る重力
場 (計量場) についての基礎方程式になります。
9.17
シュヴァルツシルト内部解
星が作る重力場の簡単な例として、状態方程式が ρ = 一定 の場合を紹介しま
す。星の半径を R とします。
このとき (5) は、α(0) = 0 に注意して、
α(r) =
8
πGρr3
3
と解けます。トールマン方程式 (7) に代入すると、
(P + ρ)(3P + ρ) A0 (r)
P =
4ρ
A(r),
0
A(r) = 1 −
8
πGρr2
3
となり、これは変数分離形で、境界条件 P (R) = 0 に注意して、
p
p
A(r) − A(R)
p
P = p
ρ
3 A(R) − A(r)
181
p
p
と解かれます。圧力に特異性が生じないためには、3 A(R) − A(0) > 0, すな
わち、
3πGρR2 < 1
が満たされる必要があります。このとき (4)(6) は、
³ p
´2
p
f (r) = C 3 A(R) − A(r) , g(r) =
1
A(r)
となり、これをシュヴァルツシルト内部解と呼びます。C は積分定数です。
一方、シュヴァルツシルト (外部) 解は、f (r) = 1 − a/r, g(r) = (1 − a/r)−1 で
したが、これらが r = R で連結することから、
C=
1
4,
a=
8
πGρR3
3
です。a = 2GM でしたから、この星の重力質量は M = (4/3)πρR3 です。
この結果は、エネルギー密度が ρ である半径 R の星があるので当たり前と思わ
れるかもしれませんが、実はそう単純ではありません。ρ はあくまで局所ローレン
ツ系におけるエネルギー密度であり、いまの座標におけるそれとは違います。ま
た、時空は曲がっているで星の体積は (4/3)πR3 ではありません。しかし一方で、
重力場のエネルギーまで考えると、実はこの星のエネルギーは M = (4/3)πρR3
であるといえます。
以下では重力場のエネルギー運動量の定義を与え、この辺りの事情を一般的に
見ていくことにします。
9.18
ヒルベルト作用の 1 階微分表現
ヒルベルト作用は、
Z
1
√
Sg = −
d4 x R
16πG
でした。ここで R はスカラー曲率で、それは計量の 2 階微分まで含みます。しか
し 2 階微分の項は 1 次であるため、積分の中では部分積分により 1 階微分になおす
ことができます。これをやってみましょう。
まずスカラー曲率 R は、
R = A + B,
A = g µν ∂λ Γλ µν − g µν ∂µ Γν ,
˜ µ − Γλ µν Γµν λ
B = Γµ Γ
のように、計量の 2 階微分を含む部分 A と、含まない部分 B に分けることがで
きます。ここで、
˜ µ = Γµν ν
Γµ = Γν νµ , Γ
182
です。そうすると、
√
√
√
A = −∂λ ( g µν )Γλ µν + ∂µ ( g µν )Γν + (全微分項)
ですが、計量の微分公式や計量条件を用いると、
∂λ (
√
g µν ) =
√
(g µν Γλ − Γµν λ − Γνµ λ ),
√
√ ˜ν
∂µ ( g µν ) = − Γ
と計算されるため、これらから、
√
√
A = −2 B + (全微分項)
を得ます。よってヒルベルト作用は、
Z
1
√
Sg =
d4 x B
16πG
√
と、計量の 1 階微分までの式 B の積分で表すことができるわけです。
上式の変分を考えると、
1
δSg =
16πG
1
=
16πG
Z
d4 x
Z
d4 x
µ √
∂ B
∂gµν
µ √
∂ B
∂gµν
δgµν +
− ∂λ
∂
√
B
∂∂λ gµν
√ ¶
∂ B
∂∂λ gµν
¶
δ∂λ gµν
δgµν
ですが、一方、アインシュタイン方程式の導出で見たように、
Z
1
√
δSg =
d4 x Gµν δgµν
16πG
ですから ( Gµν はアインシュタインテンソル )、これらを比較して、
√
√
∂ B
∂ B
√
− ∂λ
= Gµν
∂gµν
∂∂λ gµν
という恒等式を得ます。これをここでは B に関する恒等式と呼びましょう。
9.19
重力場のエネルギー擬テンソル
エネルギー運動量テンソル T µν に対して、∇µ T µν = 0, あるいはこれと等価で
すが、
1√
√
∂µ ( Tνµ ) =
∂ν gρσ T ρσ
2
でした。右辺が 0 でないため、これは保存則を意味しません。しかしながら一方で、
µ
¶
∂B
1
∂ν gρσ − Bδνµ + 2λδνµ
tµ ν =
16πG ∂∂µ gρσ
183
という量を定義すると (λ は宇宙定数)、B に関する恒等式を用いて、
1 √
∂ν gρσ (−Gρσ + λg ρσ )
16πG
が得られるので、アインシュタイン方程式 : Gµν − λg µν = 8πGT µν に注意すると、
√
√
∂µ ( Tνµ + tµ ν ) = 0
√
√
という保存則を得ます。すなわち空間の十分遠方で Tνi + ti ν = 0 (i = 1, 2, 3)
ならば、
Z
√
√
Pν = d3 x ( Tν0 + t0 ν )
√
∂µ ( tµ ν ) =
で与えられるエネルギー運動量 Pν が保存するということです。その密度のうち
√ 0
√
Tν は明らかに物質の寄与ですから、 t0 ν はそれ以外の寄与で、重力場の寄与
√
と考えることができます。 tµ ν は重力場のエネルギー擬テンソルと呼ばれます。
テンソルではないため擬テンソルと称されます。
tµ ν の式中の ∂B/∂∂µ gρσ は、B の定義から丁寧に計算すれば、
¢
1 ¡ ρσ ˜ µ
∂B
=
g Γ − g ρσ Γµ + g µρ Γσ + g µσ Γρ − 2Γµρσ
∂∂µ gρσ
2
となります。
9.20
エネルギー運動量密度の全微分表示
ここではエネルギー運動量密度
ことを証明します。
√
Tνµ +
√
tµ ν が時空座標の全微分で与えられる
まず線形座標変換 x0µ = xµ + aµ ν xν を考えます。ただし係数 aµ ν は無限小量と
し、その高次項は無視します。このとき計量の変分は、
0
δgµν = gµν
(x0 ) − gµν (x) = −aρ µ gρν − aρ ν gρµ .
ここでの変分は同じ時空点において差を取るもので、同じ座標値において差を取
るリー微分とは異なります。同様に、計量の座標微分 ∂λ gµν の変分は、これが線
形変換に関してはテンソルとして振舞うことに注意して、
δ∂λ gµν = −aρ µ ∂λ gρν − aρ ν ∂λ gµρ − aρ λ ∂ρ gµν .
また、
1 √ µν
√
g δgµν = −aρ ρ .
2
√
そうすると B の変分は、線形変換に関して B がスカラーとして振舞うので、
√
√
δ( B) = −aρ ρ B.
δ
√
=
184
√
一方、
B は計量とその 1 階微分の関数ですから、
√
√
∂ B
∂ B
√
δgµν +
δ∂λ gµν
δ( B) =
∂gµν
∂∂λ gµν
√
√
√
∂ B ρ
∂ B ρ
∂ B ρ
= −2
a µ gρν − 2
a µ ∂λ gρν −
a λ ∂ρ gµν .
∂gµν
∂∂λ gµν
∂∂λ gµν
これらを比較して、aρ µ が任意であることに注意すれば、
√
√
√
∂ B
∂ B
∂ B
√
2
gρν + 2
∂λ gρν +
∂ρ gλν − δρµ B = 0
∂gµν
∂∂λ gµν
∂∂µ gλν
という恒等式を得ます。最初の 2 項は、部分積分して B に関する恒等式を用いる
√
と、2 Gµρ + 2∂λ F λµ ρ となります。ここで、
√
∂
B
gρν .
F λµ ρ =
∂∂λ gµν
√
√
tµ ρ − 2λ δρµ であるとわかり、結果、
アインシュタイン方程式 : Gµρ − λδρµ = 8πGTρµ に注意して、
一方、後ろの 2 項は tµ ν の定義から 16πG
√
Tρµ +
√
tµ ρ = −
1
∂λ F λµ ρ
8πG
を得ます。これが証明したかった式です。F λµ ρ のあらわな式は、
´
1 √ ³ µ ˜λ
µ λ
λµ
λ µ
λµ
λµ
δρ Γ − δρ Γ + g Γρ + δρ Γ − 2Γ ρ
F ρ=
2
となります。
9.21
星のエネルギー
一般に定常的で球対称な系を考えます。等方座標を採用し、計量を、
√
g00 = f (r), gij = −g(r) δji , g0i = gi0 = 0
( r = xi xi )
とします。このとき接続係数は、
´
g 0 (r) ³ i j
k i
j k
Γ00i = Γ0i0 = −Γi00
Γijk =
x δk − x δj − x δi
2r
√ p
で、他の成分は 0 になります。また、 = f (r)g(r)3 . これらから F i0 0 は、
s
³
´
f (r) g 0 (r)xi
1 √ ˜i
i
i0
i0
Γ − Γ − 2Γ 0 =
F 0=
2
g(r)
r
f 0 (r)xi
=
2r,
185
と計算されます。
特にシュヴァルツシルト解、
µ
¶2
r−b
f (r) =
,
r+b
µ
g(r) =
r+b
r
¶4
,
b=
a GM
=
4
2
においては、
4b(b−r)xi
F 0=
r4
となります。よって、原点を中心とし、座標半径 r0 の球内部の領域が持つエネル
ギーは、
Z
Z
¡
¢
−1
√
√
T00 + t0 0 =
d3 x ∂i F i0 0
E(r0 ) =
d3 x
8πG r<r0
r<r0
µ
¶
Z
−1
GM
2b(r
−b)
0
=
d2 xi F i0 0 =
=M 1−
8πG r=r0
Gr0
2r0
i0
と評価されます。ガウスの定理により、空間積分が r = r0 の球面上の積分に帰着
したことに注意してください。このためこの結果は、r = r0 でシュヴァルツシル
ト解になっている全ての系において正しいことになります。
特に、系全体のエネルギーは、
P0 = E(∞) = M
です。すなわち、遠方の重力ポテンシャルから推察される星の重力質量 M と、系
全体のエネルギー P0 は、正確に一致するわけです。
また、E(b) = E(GM/2) = 0 がわかりますが、これはブラックホールの内部 (事
象の地平面の内部) のエネルギーが正確に 0 であることを意味しています (∗) 。シュ
ヴァルツシルト解のエネルギー M は、地平面外部の重力場が全て担っているわ
けです。さらに、E(0) = −∞ がわかりますが、これはブラックホール中心の特異
点が負の無限大のエネルギーを持っていることを意味しています。
一方、座標の中心に密度 ρ が一定の星がある場合を考えると、シュヴァルツシ
ルト内部解 :
dτ 2 =
p
¢2
1¡ p
1
3 A(R) − A(r) dt2 −
dr2 − r2 dθ2 − r2 sin2 θdφ2 ,
4
A(r)
8
4
A(r) = 1 − πGρr2 , M = πρR3
3
3
186
を用いて、物質のエネルギーは、
Z R Z
Z
物質
3 √ 0
P0
= d x T0 =
dr
p
p
3 A(R) − A(r) 2
p
dθ
dφ
r sin θ ρ
2 A(r)
0
0
0
!
à s
µ
¶
Z R
3M
1
−
2GM/R
2GM
=
dr 3r2
− r2 = M h
3
2
3
2R 0
1 − 2GM r /R
R
ここで、
Z
π
2π
√
√
7
9
9 1 − x arcsin x
√
h(x) = −
+
4 4x
4x x
です。R は星の座標半径ですが、計量の式からわかるように、これは球面の面積
が 4πR2 になるように定められた座標半径で、等方座標における半径や実際の動
径距離とは異なることに注意してください。
関数 h(x) を x = 0 の周りで展開すると、
h(x) = 1 −
3x
+ O(x2 )
10
となることが確かめられるので、特に非相対論的な星 (GM/R ¿ 1) においては、
P0物質
3GM 2
∼M−
5R
と近似され、また、重力場のエネルギーは、
P0重力場
=M−
P0物質
3GM 2
∼
5R
と近似されます。これはニュートン理論の結果と一致しています。
(*注) 星が重力崩壊してできるブラックホールは、ここで扱っているような物質のないものとは
内部構造が異なり、地平面の球殻周囲に物質が寄り集まり、地平面の時間凍結効果により準定常的
とみなされる矮小天体です。このようなブラックホールはその内部がフラットな真空となり、やは
り内部のエネルギーは 0 になります。外部の世界から観測する限り、物質が降着するブラックホー
ルも、そうでない真性のブラックホールも、まったく区別はつかないことに注意してください。
187
10
宇宙論
この章では一般相対論に基づく膨張宇宙論について解説し、観測値に基づく宇
宙膨張のおおよその様子をグラフで示します。後半では、初期宇宙、観測に基づ
く宇宙の構造とスケール、一様等方空間の数学的側面について触れます。
10.1
ロバートソン・ウォーカー計量
銀河や銀河団が粒のように扱われる巨大なスケールにおいては、宇宙は空間的
に一様等方と考えられます。この仮定は宇宙原理と呼ばれます。さらに定常性を
仮定した場合、それは完全宇宙原理と呼ばれますが、これは観測により否定的で
す (例えば、オルバースのパラドックス)。一様等方性を仮定したとき、一般相対
論により記述される非定常的な膨張する宇宙の理論は、標準宇宙論と呼ばれます。
以下では標準宇宙論について説明します。
一様等方空間の数学的議論は少しこみいっているので後回しにしますが、空間
的に一様等方な時空の計量は、
µ
¶
dζ 2
2
2
2
2 2
2
2
2
dτ = dt − a(t)
+ ζ dθ + ζ sin θdφ
1 − ηζ 2
と書くことができ、これをロバートソン・ウォーカー計量といいます。a(t) はス
ケール因子と呼ばれ、宇宙時 t に依存します。η は空間の曲率符号を意味し、0,
±1 のいずれかです。空間座標 (ζ, θ, φ) は宇宙にくっついて共に動くという意味
で、共動座標と呼ばれます。
リッチテンソルを計算するのは少々大変ですが、結果は、
R00
3¨
a
=−
a,
R11
=
R22
=
R33
a¨
a + 2(a˙ 2 + η)
=−
a2
(他の成分は 0)
となり、アインシュタインテンソルは、
G00 =
3(a˙ 2 + η)
a2 ,
G11 = G22 = G33 =
2a¨
a + a˙ 2 + η
a2
(他の成分は 0)
となります。ドットは宇宙時 t による微分を意味します。一方、エネルギー運動
量テンソルは Tνµ = diag(ρ, −P, −P, −P )µν であり、物質のエネルギー密度 ρ と圧
力 P は宇宙の一様性のため空間座標に依存しません。宇宙項を含むアインシュタ
188
イン方程式 Gµν − λδνµ = 8πGTνµ は、
3(a˙ 2 + η)
− λ = 8πGρ,
a2
(1)
2a¨
a + a˙ 2 + η
− λ = −8πGP
(2)
a2
を与えますが、(2) はやや複雑なので、(1) − (2) および (1) を時間微分した式を
比較して得られる、
aρ˙ + 3a(ρ
˙ + P) = 0
(3)
を代わりに用います。(1)(3) および物質の状態方程式により、スケール因子 a(t)
の時間が発展が決まり、宇宙の膨張の様子が決まります。
(余談) 「“標準” などと称してその理論が絶対正しいかのように主張する」と、ある人、有り体
にいえばトンデモな人が述べていましたが、これは逆です。“標準” は、対抗馬がある場合や、叩
き台として考えられる場合に用いられる形容です。標準宇宙論の場合、「まずはこれが一番シンプ
ルで様々な観測と整合するモデルなので、違うというなら叩いて否定してください。さもなくば
我々は他のモデルには興味が持てません」ということが、共通認識としてあるわけです。
10.2
フリードマン方程式とラマートル宇宙
圧力 (運動量流密度) が 0 とみなせる物質はダストと呼ばれます。宇宙において
は物質はダストとみなして良いでしょうから、P = 0 とおきます。ただしこの仮
定は宇宙の極めて初期においては成り立ちません。そこでは Tνµ に関し、輻射 (相
対論的粒子) の寄与が優勢になると考えられるからです (後述)。
(3) で P = 0 とおけば、
ρa3 = U (一定)
を得ます。そうすると (1) は、
a˙ 2 =
8πGU
λa2
−η+
3a
3
となり、これをフリードマン方程式といいます。これは変数分離形の微分方程式
で、解析的に解くことが可能です。
特に宇宙定数がない場合 (λ = 0)、フリードマン方程式の解は初等関数で表すこ
とができ、それらは曲率 η によって分類され、フリードマン宇宙と総称されます。
例えばフラットな場合 (η = 0)、t = 0 のとき a = 0 として、
a = (6πGU )1/3 t2/3
が解であり、これはアインシュタイン・ド・ジッター宇宙と呼ばれます。しかしこ
れらの解は後でみるように観測と合いません。
189
λ > 0 の場合、フリードマン方程式の解は初等関数では書けず、t = 0 のとき
a = 0 として、
!
µ ¶1/2 õ
¶1/3
3
λ
3η
t=
J
a ; 1/3
,
λ
8πGU
λ (8πGU )2/3
¶1/2
Z x µ
s
J(x; k) =
ds
1 − ks + s3
0
です。λ 6= 0 の宇宙をラマートル宇宙 (ルメートル宇宙) と総称することがあり
ます。
(余談) アインシュタインは宇宙の定常性を実現するため宇宙項を導入しましたが、1929 年、ハッ
ブルにより宇宙の膨張が確認されると、「宇宙項導入は生涯最大の過ちだった」とコメントしてい
ます。しかし今日では宇宙が加速膨張していることが確かめられ、宇宙項はやはり必要であるこ
とが判明しています。最大の過ちと言ったことが最大の過ちだったのかもしれません。
10.3
ハッブルパラメータと密度パラメータ
観測と理論を比較するためには、
H=
a˙
a,
Ω=
8πGρ
3H 2 ,
Λ=
λ
3H 2
という 3 つの変数を導入するのが慣わしです。H はハッブルパラメータ、Ω は物
質の密度パラメータ、Λ は宇宙の密度パラメータと呼ばれます (∗) 。H は時間の逆
次元をもちますが、Ω, Λ は無次元の量です。この定義により (1) は、
Ω+Λ−1=
η
(aH)2
となります。もし H, Ω, Λ の現在値 H0 , Ω0 , Λ0 が判明すると、この式から η, a0
が判明します。このとき、
8πGU = 8πGρ0 a30 = 3Ω0 H02 a30 ,
λ = 3Λ0 H02
で U , λ が定まり宇宙のモデルが決定します。例えば λ > 0 のとき、フリードマ
ン方程式の解は、
õ ¶
!
1/3
Λ0
a Ω0 + Λ0 − 1
1
√ J
;
t=
Ω0
a0
(Ω20 Λ0 )1/3
H0 Λ0
です。ハッブルパラメータの現在値 H0 はハッブル定数と呼ばれます。
ハッブル定数のおおざっぱな意味は次の通りです。いま、観測者が原点にいると
し、観測される天体が座標 ζe のところに静止しているとします。このとき観測者
190
から天体までの距離 de は、ロバートソン・ウォーカー計量に注意し、
Z ζe
dζ
p
de = a
1 − ηζ 2
0
ですが、特に近隣の天体については de = aζe . よって天体の後退速度は ve = aζ
˙ e
であり、これらとハッブルパラメータの定義から、現時刻において、
ve = H0 de
です。これはハッブルの法則と呼ばれ、H0 > 0 においては遠い天体ほど後退速度
が大きいことを意味します。しかしこの法則は近隣の天体に限られるし、また、ve
や de は直接的な観測量でないため、実際にこの法則で H0 を定めることはできま
せん。そこで以下では観測可能な量について考えていきます。
(*注) 特に最近では、宇宙項起源のエネルギーを、真空のエネルギー、あるいはダークエネル
ギーなどと呼ぶので、Λ をダークエネルギーの密度パラメータと呼ぶことがあります。
10.4
赤方偏移
天体からやってくる光の波長が λ から λ + 4λ に偏移しているとき、
z=
4λ
λ
で、その天体の赤方偏移 (レッドシフト) を定義します。光の世界線においては、
a2 dζ 2
dt −
=0
1 − ηζ 2
2
∴
dt
|dζ|
=p
a
1 − ηζ 2
ですから、座標 ζe にある天体が光を発した時刻を te ,
時刻を t0 として、



Z t0
 x
dt
= ω(ζe ), ω(x) = arcsin(x)

te a

arcsinh(x)
原点において光を観測した
(η = 0)
(η = +1)
(η = −1).
また、光の振動の 1 周期 T だけ遅れて来る光については、観測される周期を T 0
として、
Z t0 +T 0
dt
= ω(ζe )
a
te +T
ですから、以上 2 つの式を辺々引いて、
Z t0 +T 0
Z te +T
dt
dt
−
=0
a
a
t0
te
191
T0
T
∴
=
a(t0 ) a(te ).
一方、T 0 /T = (λ + 4λ)/λ = 1 + z ですから、a(t0 ) = a0 , a(te ) = ae と書いて、
1+z =
a0
ae
を得ます。これをここでは a-z 関係式と呼びましょう。要するに光の波長の変化
はスケール因子の変化に比例するということです。宇宙が膨張していて a0 > ae
なら、z > 0, つまり長波長 (赤方) 側に変わることに注意。赤方偏移は原子のスペ
クトルを基準に高い精度で観測できるため、遠い天体 (遠い銀河やクェーサー) ま
での距離の指標として代表的なものです。
次に天体の座標 ζe と赤方偏移 z の関係式を求めましょう。フリードマン方程式
の解は、
¶1/2
Z x µ
s
1
√ J(x; k), J(x; k) =
ds
t=
1 − ks + s3
H0 Λ0
0
µ ¶1/3
Ω0 + Λ0 − 1
ra
Λ0
, k=
x=
r=
a0 ,
Ω0
(Ω20 Λ0 )1/3
と表されるので、
Z
dt
1
√
=
dx H0 Λ0
t0
これと ω(ζe ) =
te
µ
x
1 − kx + x3
¶1/2
.
dt
より、
a
ω(ζe ) =
r
√
a0 H0 Λ0
Z
r
dx
p
rae /a0
x(1 − kx + x3 )
を得ますが、x = r/y で積分変数を y に置換すると、a-z 関係式に注意し、
Z 1+z
1
dy
p
ω(ζe ) =
a0 H0 1
Ω0 y 3 − (Ω0 +Λ0 −1)y 2 + Λ0
と整理されます。これをここでは ζ-z 関係式と呼びましょう。
特に z ∼ 0 の付近では、上式の積分部分が、
z+
2Λ0 −Ω0 −2 2
z + ···
4
と展開され、また、ω −1 (x) = x + O(x3 ) であることに注意すると、
µ
¶
z
2Λ0 −Ω0 −2
ζe =
1+
z + ···
a0 H0
4
となります。
192
10.5
視直径と輝度
天体の直径を D としたとき、観測される天体の視直径 θ を考えます。いま、観
測者が原点にいるものとし、天体の座標を ζe とします。ζe = 一定 の円周の長さ
は、天体が光を発した当時で 2πae ζe であり、円周の視直径はもちろん 2π です
から、
θ
D
=
2π
2πae ζe .
ζ-z 関係式および a-z 関係式を用いると、
µ
¶
DH0
Ω0 −2Λ0 +6
θ=
1+
z + ···
z
4
となります。視直径を確認でき、直径 D が一定であると考えられる複数の天体
（例えば同様な銀河）について z と θ を観測し、得られる z-θ 曲線をこの式と比
較すれば H0 と Ω0 −2Λ0 を決定できることになります。
一方、視直径が確認できない天体については、天体の明るさを考えます。天体
の明るさは、単位時間、単位面積当たりを通過する光のエネルギーで表され、こ
れを天体の輝度 (ブライトネス) と呼び B と書きます。天文学でよく用いられる
等級は、輝度の対数として表されます。
いま、天体が原点にあるとし、それを ζe において観測すると考えます。ζe = 一
定 の球面の面積は、観測時 t = t0 において 4π(a0 ζe )2 です。また、やってくる光
の波長は (1 + z) 倍に変化しているため、その振動数は (1 + z)−1 倍に変化してい
ます。これらに注意して、
L
1
B=
4π(a0 ζe )2 (1 + z)2 .
ここで L は天体が単位時間に放射するエネルギーを意味し、天体の光度 (ルミノ
シティ) といいます。光度は観測者とは関係ない天体固有の量です。ζ-z 関係式
を代入して、
µ
¶
Ω0 −2Λ0 −2
LH02
1+
z + ···
B=
4πz 2
2
を得ます。光度 L が一定と考えられる複数の天体 (セファイド変光星やある種の
超新星) において、z と B を観測し、得られる z-B 曲線とこの式とを比較すれば、
やはり H0 と Ω0 −2Λ0 を決定できることになります。
ちなみに、(2) で P = 0 とおいた式から、
2¨
a
aH 2
を得ることができるので、Ω0 − 2Λ0 は現在におけるスケール因子の減速の度合い
を示すパラメータになっています。文献によっては q = −¨
a/(aH 2 ) で減速パラメー
タを定義することがあります。
Ω − 2Λ = −
193
10.6
実際の宇宙
実際の観測によれば、
H0 ∼ (70 ∼ 75) km/s/Mpc ∼
1
∼ (1.5 ∼ 1.6)×10−33 eV,
(130 ∼ 140) 億年
Ω0 − 2Λ0 ∼ −1.
Ω0 −2Λ0 < 0 は現在加速膨張をしていることを意味しています。
一方、密度パラメータ Ω0 については、光っている物質の寄与は 0.02 くらいで
すが、光っていない物質であるダークマターの寄与は、銀河の運動などから 0.3
くらいであろうと予想されています。しかもそのほとんどが陽子や中性子のよう
なバリオンでもニュートリノのような軽い素粒子でもないことがわかっています
(∗)
。
Ω0 + 1
Ω0 ∼ 0.3 よって Λ0 ∼
∼ 0.65.
2
Ω0 + Λ0 ∼ 1 は、宇宙が我々の観測範囲においてほとんど平らであることを意味
しています。
簡単のため Ω0 = 0.3, Λ0 = 0.7 の場合を考えると、フリードマン方程式の解は、
!
õ ¶
1/3
a
1
7
; 0
H0 t = √
J
3
a0
0.7
であり、これは減速膨張から加速膨張に変化する宇宙です。現在は加速膨張して
います (図 1)。a = a0 のとき右辺はほとんど 1 になるので、
t0 ∼ H0−1 ∼ (130 ∼ 140) 億年
がおよそ宇宙の年齢になります。
共動座標 ζe の天体までの、現時刻における物理的な距離は、
Z ζe
dζ
p
de = a 0
= a0 ω(ζe )
1 − ηζ 2
0
で与えられ、これを共動距離といいます。ζ-z 関係式を使えば、
Z 1+z
1
dy
p
de =
H0 1
Ω0 y 3 − (Ω0 +Λ0 −1)y 2 + Λ0
と書けます。粒子的地平面 (z → ∞) までの共動距離を dh とすると、特に Ω0 = 0.3,
Λ0 = 0.7 の宇宙においては、
dh ∼ 3.31 H0−1 ∼ (430 ∼ 465) 億光年
194
図 1: 実際の宇宙
と評価され、これが現在観測可能な宇宙の半径というわけです。この半径は時間
と共に大きくなっていきます。
(*注) ダークマターの主成分がバリオンでないことは、原子核合成の理論とクェーサーの観測
の整合性に依ります。また、ニュートリノなど質量の小さい素粒子、すなわちホットダークマター
(HDM) でないことは、主に銀河形成の理論に依ります。これら以外のダークマターの候補をコー
ルドダークマター (CDM) といいますが、初期宇宙における素粒子論を考えると、CDM はむしろ
存在する方が自然で、ないと仮定する方が不自然と考えられます。観測からわかることは、そのエ
ネルギー密度が光っている物質のそれをはるかに上回るという点です。標準宇宙論は、CDM と宇
宙の密度パラメータ Λ が宇宙の発展を決めているため、Λ-CDM モデルとも呼ばれます。
10.7
輻射のエネルギー密度
現在の宇宙における物質のエネルギー密度は、万有引力定数が自然単位系で G ∼
6.7 × 10−57 eV−2 であることに注意して、
3Ω0 H02
∼ 10−11 eV4 ∼ GeV/m3 ∼ 核子質量/m3
ρ0 =
8πG
と概算されます。一方、現在の宇宙における輻射のエネルギー密度は、宇宙の背
景輻射の温度が T0 ∼ 2.7K ∼ 2.3 × 10−4 eV と観測されているので、ステファン・
195
ボルツマンの式から、
f π2 4
T0 ∼ f × 10−15 eV4 .
ρr0 =
30
ここで f は輻射の内部自由度 × フェルミオン因子で、光子の寄与は 2, ニュート
リノの寄与は質量が T0 より小さいものの世代数を n として 4n × (7/8) です (素
粒子論と統計力学の章参照)。いずれにせよ ρ0 À ρr0 であり、現在においては物
質優勢で、物質が宇宙の膨張を支配しています。
しかしながら、物質においては ρa3 = U = 一定 だったのに対し、輻射において
は、統計力学もしくは電磁場のエネルギー運動量テンソルがトレースレス (Tµµ = 0)
であることからもわかるように、状態方程式が Pr = ρr /3 となるので、(3) から
ρr a4 = 一定 がわかります。よって aρr /ρ = 一定 です。すなわちスケール因子 a
が小さくなれば、輻射と物質のエネルギー密度比 ρr /ρ は大きくなるはずで、この
ことから過去に輻射優勢な時代があったことがわかります。
ρr /ρ が 1 になる時のスケール因子を a1 とおけば、
a1
ρr0
=
∼ f × 10−4 .
a0
ρ0
すなわちスケール因子が現在の 10−3 程度だった頃、宇宙は輻射優勢から物質優勢
に変わったということです。ρr ∝ T 4 ∝ a−4 から T ∝ a−1 なので、温度でいえば
現在の 103 倍、すなわち eV の時代です。これは宇宙の晴れ上がりの時代 (後述)
とおよそ同じ頃です。よって我々が天体を観測できる範囲においては物質優勢の
宇宙と考えてよいわけです。
10.8
初期宇宙とインフレーション
宇宙初期、ビッグバン直後の超高温状態では、各素粒子とその反粒子が熱平衡
状態にあり、T 4 則に従い多数存在してわけですが、宇宙の膨張により温度が低下
すると、対消滅によりそのほとんど全てが消えてなくなり、粒子反粒子の非対称
性によりわずかに残ったのが現在宇宙にある物質です。
光子とニュートリノはかつてあった熱平衡の分布が宇宙の膨張にともなって引
き伸ばされた形として残り、特に光子は 2.7K に相当する背景輻射として現在観測
されます。ニュートリノを除く素粒子は、弱い相互作用による崩壊、強い相互作
用による凝集 (核子や原子核の形成)、電磁相互作用による凝集 (原子の形成)、さ
らには重力による凝集 (星や銀河の形成) により、熱平衡状態にあったときの面影
は消えうせてしまっています。現在宇宙にある原子核 (バリオン) のうち、73 Li まで
は宇宙初期に合成されましたが、これより重い原子核はその後星の内部で作られ
超新星爆発によりばらまかれたものです。
196
宇宙の歴史の中で、原子の形成期 ( T ∼ 原子の電離温度 ∼ eV ) は観測上特に重
要で、この時期、荷電粒子が飛び交うプラズマ状態から光が直進できる透明な宇宙
に変わったわけで、これを宇宙の晴れ上がりといいます (英語では recombination)。
我々が現在光学的に観測できる宇宙のもっとも遠方がこの晴れ上がり直後の宇宙
であり、そこから来る光 (電波) が背景輻射です。それより向こう (過去) はプラズ
マの濃い霧になっていて、その表面しか見ることしかできないというわけです。粒
子的地平面は古典的にはビッグバンの特異点と等価ですが、これはその霧の向こ
うにあります。宇宙の歴史の概略を図 2 に示します。
図 2: 宇宙の歴史
また、宇宙の極めて初期に宇宙項が優勢になり、スケール因子が指数関数的に
大きくなった時代があっただろうという予想があり、インフレーションと呼ばれ
ています。インフレーションの理論は背景輻射が持つ極めて精度の高い等方性に
対して自然な説明を与えます。インフレーション宇宙においては粒子的地平面が
存在しないため、宇宙全体に相関があったと考えられるからです。
実際、宇宙定数 λ が優勢とすると、(1) から
√
p
a˙ = λ/3 a ∴ a ∝ e λ/3 t
です。よって、
√
1 + z = a0 /ae = e
λ/3 (t0 −te )
であり、地平面 (z → ∞) は無限の過去 (te → −∞) ということになります。
197
10.9
宇宙の構造とスケール
ここで観測的事実による宇宙の構造とスケールについて簡単に触れておきます。
地球から月までの距離は、
約 40 万 km ∼ 地球 10 周 ∼ 1.3 光秒.
地球から太陽までの距離は、
約 1 億 5000 万 km ∼ 1AU ∼ 8 光分.
海王星の公転軌道半径はおよそ 30AU ∼ 4 光時間であり、これが太陽系のスケー
ルです。太陽系の質量はほとんど太陽の質量であり、M¯ ∼ 2×1030 kg です。
太陽にもっとも近い恒星は α ケンタウリと呼ばれる 3 重連星で、4.3 光年ほどの
距離にあります。もっとも明るく見える恒星はシリウスで、これは 8.6 光年ほど
の距離にあります。夜空に肉眼で見える明るい恒星はこれらを筆頭におよそ 1000
光年以内の距離にあると考えていいでしょう。
2000∼4000 億個の恒星が集まり銀河系 (天の川銀河) を作っています。銀河系の
質量のオーダーは 1012 M¯ 程度です。銀河系の半径は 4∼5 万光年で、太陽系か
ら銀河系中心までの距離はおよそ 2.8 万光年です。銀河系の中心にはブラックホー
ルがあると考えられています。銀河系の公転周期はおよそ 2.4 億年であり、太陽系
の年齢は約 46 億年ですから、太陽系はすでに 20 回程度銀河系で公転したことに
なります。
銀河系の近くには、大マゼラン雲、小マゼラン雲などの小さな銀河があり、太
陽系からの距離で、それぞれ、16 万光年、20 万光年です。さらに遠くには銀河系
の 2 倍程度の大きさをもつアンドロメダ銀河 (M31)、銀河系と同程度の大きさの
さんかく座銀河 (M33) があります。M31 までの距離はおよそ 250 万光年、M33 ま
での距離は 240∼300 万光年です。我々の銀河、M31、M33 を筆頭に、他小さな銀
河が多数群れていて、これを局部銀河群といいます。
局部銀河群はおとめ座超銀河団と呼ばれる銀河集団の一部です。おとめ座超銀
河団の直径は約 2 億光年、質量は 1015 M¯ 程度と考えられています。このような
超銀河団がいくつか集まり、超銀河団複合体 (グレートウォール, 銀河フィラメン
ト) を作っています。全体として銀河の分布には泡状 (断面は網目状) のむらがあ
ることがわかっています。超銀河団はその壁を成しているわけです。銀河の少な
い部分はボイドと呼ばれます。この大規模構造のスケールは 5 億光年くらいにな
ります (赤方偏移で z ∼ 0.03 程度)。
我々の観測範囲はおよそ 430 ∼ 465 億光年ですから、この観測範囲において大
規模構造は、小さいが無視できないスケールのゆらぎになっているわけです。も
しこれより更に大きな構造のゆらぎがあり、例えば宇宙がフラクタル構造のよう
198
になっているとしたら、一様等方性はあまり良い仮定ではない可能性も考えられ
るわけです。
(余談) 国立天文台４次元デジタル宇宙プロジェクトによる Mitaka というフリーウェアにより、
宇宙を色々な角度やスケールで見ることができます。このフリーウェアはインターネットを通じ
て誰でも入手できます (http://4d2u.nao.ac.jp/html/program/mitaka/)。図 3 は Mitaka により 10
億光年のスケールで宇宙を表示したものです。左側は広い立体角において銀河を全て表示してい
るため白く塗りつぶされてしまっていますが、右側は表示している立体角が狭いため (薄切りされ
ているため)、大規模構造の存在をうっすら見てとれます。また、特に銀河が密集しているところ
では局所的な重力の影響で各々の銀河の固有速度が大きくなるため、赤方偏移で測られる距離に
おいてはそのような銀河集団は視線方向に伸びて観測されます。この現象を “神の指” といいます
が、図 3 の画像においても神の指をいくつか確認できるでしょう。
図 3: 大規模構造
10.10
キリングベクトルと一様等方空間
最後に予告通り、一様等方空間についてちゃんと説明しておきます。
一般に N 次元の計量空間を考えます。無限小の座標変換 x0µ = xµ + ξ µ (x) にお
ける計量の変分は、δgµν = −gµλ ∂ν ξ λ − gνλ ∂µ ξ λ − ξ λ ∂λ gµν です。よってもしこの
座標変換で計量が不変に保たれるなら、
gµλ ∂ν ξ λ + gνλ ∂µ ξ λ + ξ λ ∂λ gµν = 0
が成り立ちます。これをキリング方程式といい、与えられた計量に対する解 ξ µ (x)
をキリングベクトルといいます。
例えばユークリッド空間においては、キリング方程式は ∂µ ξ ν + ∂ν ξ µ = 0 となり、
キリングベクトルは ξ µ = αµ + βµν xν となります。ここで αµ は任意の無限小パラ
199
メータで、βµν は βµν = −βνµ を満たす無限小パラメータです。αµ の部分は、空
間上の全ての点を移動させるので並進を意味します。並進において不変な計量空
間は一様であるといいます。一方、βµν の部分は原点のまわりの回転を意味しま
す。回転において不変な計量空間は等方であるといいます。一様でかつ等方な計
量空間が一様等方空間であり、ユークリッド空間はその代表例です。ではユーク
リッド空間以外にはどんな一様等方空間があるでしょうか？
一般に計量が、
gµν = F (r)δνµ ,
r=
√
xµ xµ
で与えられる空間が等方であることは簡単に確かめられます。計量がこの形で与
えられる座標は一般に等方座標と呼ばれます。これがさらに一様になる条件を見
つけましょう。この計量のもとで、キリング方程式は、µ 6= ν においては、
∂µ ξ ν + ∂ν ξ µ = 0 (µ 6= ν).
(4)
ξ µ xµ 0
F (r) = 0
2∂1 ξ F (r) +
r
(5)
µ = ν = 1 においては、
1
を与え、µ = ν = 2 以降も同様な式が与えられるから、
∂1 ξ 1 = ∂2 ξ 2 = · · · = ∂N ξ N
(6)
です。いま、並進のキリングベクトルとして、ξ µ (x) = αµ + γµρσ xρ xσ を考えると、
(4)(6) から、γµλν = −γνλµ (µ 6= ν), γ1λ1 = γ2λ2 = · · · = γN λN := γλ を得ます。こ
れを用いれば (5) は、
F 0 (r)
4γλ xλ r
=−
F (r)
αλ xλ + γλ xλ r2
と整理されます。左辺は r だけの関数ですから、右辺も r だけの関数のはずです。
そのためには γλ = Aαλ であればよく (A は任意定数)、このとき上式は、F (0) = 1
の条件のもとで F (r) = (1 + Ar2 )−2 と解けます。αµ はいまだ独立パラメータだ
から、
1
gµν =
δνµ
2
2
(1 + Ar )
で与えられる計量空間が一様等方です。A = 0 のとき、これはユークリッド空間
になることに注意して下さい。
次にこの一様等方空間のスカラー曲率を計算します。一様性からそれは空間の
点に依存しないはずだから、原点付近で考えれば十分です。そこでは、gµν = δνµ ,
∂λ gµν = 0, ∂ρ ∂σ gµν = −4Aδσρ δνµ となることに注意し、スカラー曲率は
R = 4N (N − 1)A
200
と計算されます。よって A の符号とスカラー曲率の符号は同じです。
(余談) N = 2, A < 0 の一様等方空間はロバチェフスキー空間と呼ばれ、歴史的に有名です。
ユークリッド幾何の公理系における第 5 公準の独立性 (他の公理から証明も反証もされないこと)
の証明に用いられた、最初の非ユークリッド幾何だからです。測地線が円になる非常に美しい一様
等方空間で、エッシャーの作品「円の極限」に利用されています。ロバチェフスキー空間は 3 次元
ミンコフスキー空間内部の双曲面に相当し、このときローレンツブーストが並進変換に相当しま
す。一方で、N = 2, A > 0 の一様等方空間は、3 次元ユークリッド空間内部の球面に相当します。
10.11
3 次元の一様等方空間
3 次元の場合、上の一様等方空間の線素は、
ds2 =
¡ 1 2
¢
1
2 2
3 2
(dx
)
+
(dx
)
+
(dx
)
(1 + Ar2 )2
と書けますが、ここで、x1 = ρ sin θ cos φ, x2 = ρ sin θ sin φ, x3 = ρ cos θ で極座
標 (ρ, θ, φ) に移ると、
ds2 =
1
(dρ2 + ρ2 dθ2 + ρ2 sin2 θdφ2 ).
2
2
(1 + Aρ )
さらに χ = ρ/(1 + Aρ2 ) で変数変換 ρ → χ を行うと、
dχ2
ds =
+ χ2 dθ2 + χ2 sin2 θdφ2 .
2
1 − 4Aχ
2
さらに a を正の定数として χ = aζ でスケール変換すれば、
¶
µ
2
dζ
ds2 = a2
+ ζ 2 dθ2 + ζ 2 sin2 θdφ2 .
2
2
1 − 4Aa ζ
³ p ´
A 6= 0 のときは特に a = 1/ 2 |A| と選ぶことにすれば、
µ
2
ds = a
2
dζ 2
+ ζ 2 dθ2 + ζ 2 sin2 θdφ2
2
1 − ηζ
¶
となります。ここで η は A の符号、すなわち空間の曲率符号です。これがロバー
トソン・ウォーカー計量で用いられた空間計量であるわけです。
201
11
スカラー場と正則化
特殊相対論においては、4 元ポテンシャル (ベクトル場) に加え、スカラー場を導
入することもできます。電気力が同種斥力なのに対し、スカラー場は同種引力を
生じます。このためスカラー場は、荷電粒子が持つ特異性、いわゆる無限大の困
難を解消するのに用いることができます。古典論編の最後に、この辺りの事情を
詳しく見ておくことにしましょう。
11.1
特殊相対論の復習
特殊相対論の作用は、
Z
XZ
¡
¢ 1
√
µ
Ssr = −
dτn mn + qn un Aµ (xn ) −
d4 x Fµν F µν
4
n
でした。ここで mn , qn はそれぞれ n 番目の粒子の質量と電荷で、
uµn = dxµn /dτn
は固有速度、
q
dτn = gµν (xn )dxµn dxνn
√ p
は固有時です。また、 = − det g(x) であり、g(x) は計量の行列を意味します。
Aµ (x) は 4 元ポテンシャル (ベクトル場) で、
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
は電磁場 (電磁テンソル) です。
特にローレンツ座標においては、
µ
¶
δSsr
duµn
dτn
gλµ mn
− qn F µ ν (xn )uνn
=
λ
δxn (λn ) dλn
dτn
と計算されるので、作用原理 : δSsr /δxµn (λn ) = 0 より、
duµn
= qn F µ ν (xn )uνn
mn
dτn
を得ます。これは粒子の運動方程式と呼ばれます。また、δSsr /δAν (x) = 0 より、
X Z
∂µ F µν (x) =
qn dxνn δ 4 (x−xn )
n
202
が得られ、これはマックスウェル方程式と呼ばれます。
一方、エネルギー運動量テンソルは、
2 δSsr
µν
Tsr
=−√
δgµν
により定義され、ローレンツ座標においては、
Z
X
1
µν
Tsr
=
mn dxµn uνn δ 4 (x−xn ) + F µλ Fλ ν + g µν Fρσ F ρσ
4
n
となります。これは保存カレントです。すなわち、
µν
∂µ Tsr
= 0.
詳しくは特殊相対論の章を参照してください。
11.2
スカラー場の導入
φ(x) をスカラー場とし、特殊相対論の作用に、スカラー場の作用 :
Z
X Z
1
√
d4 x (g µν ∂µ φ∂ν φ − µ2 φ2 )
Sφ = −
kn dτn φ(xn ) +
2
n
を追加します。kn は粒子とスカラー場との結合定数で、電荷と同様な粒子の属性
です。また、µ は定数で、正の実数とします。この作用は一般座標変換に対して
不変なので、共変性 (一般相対性原理) が保持されます。
特にローレンツ座標においては、
¶
µ
δSφ
dτn
duµn
= kn
gλµ φ(xn )
+ ∂ν φ(xn )uµn uνn − ∂ µ φ(xn )
λ
δxn (λn )
dλn
dτn
が得られるので、粒子の運動方程式は、
³
´ duµ
³
´
µ
ν
µ
µ ν
mn + kn φ(xn )
= qn F ν (xn )un + kn ∂ φ(xn ) − ∂ν φ(xn )un un
dτn
と変更されることになります。また、δSφ /δφ(x) = 0 より、スカラー場の方程式と
して、
X Z
2
(¤ + µ )φ(x) = −
kn dτn δ 4 (x−xn )
n
を得ます。マックスウェル方程式は変更ありません。
203
エネルギー運動量テンソルに対するスカラー場の寄与は、
2 δSφ
Tφµν = − √
δgµν
X Z
¡
¢
1
=
kn dxµn uνn φ(xn )δ 4 (x−xn ) + ∂ µ φ∂ ν φ − g µν ∂λ φ∂ λ φ − µ2 φ2
2
n
µν
と計算され、全体のエネルギー運動量テンソルは、T µν = Tsr
+ Tφµν で、これが
保存カレントになります : ∂µ T µν = 0.
11.3
定常的な場合
以下、ローレンツ座標 xµ に対して、x0 = t, xi = (r)i という表記を用います。
マックスウェル方程式は、4 元ポテンシャルを用いて、
¯
X dxµ
¯
n 3
µ
µ
ν
qn
δ (r−r n ) ¯
¤A (x) − ∂ ∂ν A (x) =
dtn
tn =t
n
と表せますが、特に定常性の仮定のもとでは、
X
4A0 (r) = −
qn δ 3 (r−r n ), −4A(r) + ∇∇·A(r) = 0
n
となります。右式は A(r) = 0 で満たされます。すなわち定常的な場合、ベクト
ルポテンシャルは 0 と仮定できます。また、スカラー場の方程式は、定常性の仮
定のもとで、
X
2
(4 − µ )φ(r) =
kn δ 3 (r−r n )
n
となります。
一方、系のエネルギーは、定常性の仮定のもとで、
Z
Z
00
+ Tφ00 )
P 0 = d3 r T 00 = d3 r (Tsr
Z
³
´
X
X
1
3
0 2
2
2 2
=
mn +
kn φ(r n ) +
d r |∇A | + |∇φ| + µ φ
2
n
n
と整理されるでしょう。空間積分の部分は、部分積分し、上に示した定常的な場
合のマックスウェル方程式、およびスカラー場の方程式を用いれば、さらに簡単
になり、結果、
X
1X
1X
0
0
P =
mn +
qn A (r n ) +
kn φ(r n )
2
2
n
n
n
となります。
204
11.4
湯川ポテンシャルと核力
ここで、電荷 q, スカラー場との結合定数が k の粒子がただ一つ原点に静止してい
る系を考えてみましょう。このときスカラー場の方程式は、(4 − µ2 )φ(r) = kδ 3 (r)
ですが、特に遠方で 0 に漸近する解は、
k e−µ|r|
φ(r) = −
4π|r|
となり、湯川ポテンシャルと呼ばれます (電磁気学の章参照)。一方、マックスウェ
ル方程式は、4A0 (r) = −qδ 3 (r) ですが、遠方で 0 に漸近する解は、
A0 (r) =
q
4π|r|
となり、クーロンポテンシャルと呼ばれます。(湯川ポテンシャルの式において、
µ → 0, k → −q とおくことで得られます。)
これらの結果、および粒子に働く力が、定常近似で、−qn ∇A0 (r n ) − kn ∇φ(r n )
であることに注意すると、電磁力は同種斥力ですが、スカラー場による力は逆で、
同種引力であるとわかります。また、スカラー場の力の及ぶ距離 (到達距離) が µ−1
程度であることもわかるでしょう。µ の値が大きければ到達距離は短くなり、逆
に小さければ到達距離は長くなります。µ = 0 のときは、電磁場と同様、到達距
離は無限大ということになります。
例えば、陽子や中性子などの核子を原子核に閉じ込めている力は核力と呼ばれ
ますが、この力は近似的にこのようなスカラー場で記述されます。このとき µ−1
はおよそ原子核のスケール ∼ fm ∼ (200MeV)−1 で、それゆえ原子核はかような
サイズを持つというわけです。(量子化して現れる粒子が π 中間子です。)
一方、µ−1 の値が観測のスケールと比べずっと小さいとき、スカラー場の存在を
あらわには認識できないという点に注意してください。つまり、本当は理論にス
カラー場 φ(x) があるのだが、観測スケールにおいては無視してよい、という可能
性が考えられるわけです。
11.5
荷電粒子のエネルギーと正則化
上記の系のエネルギーは、粒子の質量を m として、
µ 2
¶
2 −µr
k
q
k
e
q
−
P 0 = m + A0 (0) + φ(0) = m + lim
r→0 8πr
2
2
8πr
ですが、もし理論にスカラー場がなく k = 0 なら、これは発散してしまいます。
理由は荷電粒子の周りの電磁場が無限の正のエネルギーを持つからで、このこと
は、2 つの同種荷電粒子を同一点に持っていくために、無限のエネルギーを要する
205
ことからも容易に想像されます。この問題を 電磁気学における無限大の困難 とい
います。
しかしもし、k = q の場合、あるいはもっといえば、電荷とスカラー場の結合定
数が元来同じもの (kn = qn ) という場合は、上式は、
q2
1 − e−µr
q2µ
P =m+
lim
=m+
8π r→0
r
8π
0
と評価され、ちゃんと極限値が存在します。すなわち、無限大の困難はないわけ
です。
例えば、電子などの実際の素粒子を考えると、スカラー場による力は観測され
ないので、µ−1 は観測されるスケールよりずっと小さいはずで、このため q 2 µ/8π
は非常に大きい値になります。しかしそれでも有限です。またこの場合、2 つの同
種荷電粒子を同一点に持っていくのに、有限のエネルギーで済みます。2 つの荷電
粒子を近づけると、スカラー場の引力が効いてきて、距離 0 の極限で電磁力とス
カラー場の力がちょうど相殺するからです。
逆にこのような引力が存在しない理論は、荷電粒子がその内部に無限の反発力
を有し、安定であり得ません。このことは、
荷電粒子を含む電磁気学はそれ自身では満足な体系ではないこと
を意味しています。このため、ここでは非常に到達距離の短い引力をスカラー場
により導入したわけです。このような手法を一般に正則化 (regularization) といい、
正則化のために導入された場をレギュレーターといいます。
(余談) 量子電磁気学における正則化については、古くにはパウリ・ヴィラースの方法があり、
これは作用の符合を逆にして引力化しなおかつ質量を持たせたベクトル場を、4 元ポテンシャルと
は別に導入することに対応しています。しかしこのような場は底なしのエネルギーを持つため、計
算のための便宜上の場と考えられます。また、最近では次元正則化がよく用いられます。ここで示
したスカラー場のレギュレーターは、あくまで古典論においてですが、もっと実在的な場と考え
ることができます。しかし一方、量子電磁気学において仮にこのようなスカラー場を導入しても、
無限大の困難を解消することはできません。古典論と量子論では少し事情が異なるのです。
11.6
作用汎関数の一意性
レギュレーターとしてのスカラー場を含めた特殊相対論の作用を、改めて記し
ておきます。
XZ
¡
¢
Ssr + Sφ = −
dτn mn + qn φ(xn ) + qn uµn Aµ (xn )
n
1
+
2
Z
4
dx
√
1
(g ∂µ φ∂ν φ − µ φ ) −
4
µν
2 2
206
Z
d4 x
√
Fµν F µν .
この理論には無限大の困難がなく、無矛盾と考えられます。そして、µ−1 より大
きなスケールにおいては、スカラー場は無視され、通常の電磁気学に漸近します。
スカラー場は、各粒子のごく近傍にまとわりついているというイメージです。
上の作用は、粒子、スカラー場、ベクトル場を含み、場に関して 2 次、すなわち
場の方程式が線形で、かつ座標不変な、ほとんど唯一なモデルであることに注意
してください。
例えば理論を拡張するとすれば、
Z
Z
√
√
d4 x g µν Aµ Aν ,
d 4 x ∇µ A µ ∇ν A ν ,
Z
d4 x
√
∇µ A ν ∇ν A µ
のような項の追加が考えられますが、これらはゲージ不変性を壊してしまうので
普通は加えません (∗) 。また、²µνρσ を 4 次元レビ・チビタとして、
Z
d4 x ²µνρσ Fµν Fρσ
は、
Z
Z
∂x0 µνρσ ∂xα ∂xβ ∂xγ ∂xδ
dx²
= d x det
²
Fαβ Fγδ
∂x
∂x0µ ∂x0ν ∂x0ρ ∂x0σ
Z
Z
0
∂x
∂x
= d4 x det
²αβγδ det 0 Fαβ Fγδ = d4 x ²µνρσ Fµν Fρσ
∂x
∂x
4 0 µνρσ
0
0
Fµν
Fρσ
4
なので座標不変で、かつゲージ不変ですが、実は被積分関数が、
²µνρσ Fµν Fρσ = 4 ²µνρσ ∂µ Aν ∂ρ Aσ = ∂µ (4 ²µνρσ Aν ∂ρ Aσ )
というように時空の全微分になっているので、その時空積分はストークスの定理
から遠方の境界に押し付けられ、0 とみなされます。
(*注) 場の量子論では最初の式がベクトル場の質量項、2 番目の式が共変ゲージ固定項に相当し
ます。
11.7
運動する粒子が作るスカラー場
レギュレーターとしてのスカラー場の方程式は、
X Z
(¤ + µ2 )φ(x) = −
qn dτn δ 4 (x−xn )
n
です。これを解くため、
(¤ + µ2 )G(x; µ) = δ 4 (x)
207
という偏微分方程式を考えます。G(x; µ) はクライン・ゴルドン演算子 (¤ + µ2 )
の逆 (主要解) を意味します。フーリエ展開により、
Z
d4 k
1
G(x; µ) =
e−ik·x
4
2
2
(2π) −k + µ
Z
Z
dω −iωt
d3 k
1
=
e
eik·r
3
2
2
2
2π
(2π) |k| + µ − ω
√
Z
2
2
dω −iωt e− µ −ω |r|
=
e
2π
4π|r|.
p
p
ただし ω > µ のとき µ2 − ω 2 は i ω 2 − µ2 を意味するものします。k 積分の
実行に関しては電磁気学の章を参照してください。
よって、一般に運動する粒子が作るスカラー場は、
Z
Z
X
φ(x) = d4 x0 G(x−x0 ; µ)
(−qn ) dτn δ 4 (x0 −xn )
=
X
n
Z
(−qn )
dτn G(x−xn ; µ)
n
=
X −qn Z
n
4π
Z
dτn
√
dω −iω(t−tn ) e
e
2π
−
µ2 −ω 2 |Rn |
|Rn |.
ここで Rn = r − r n です。指数関数をテイラー展開すれば、
µ
¶k/2
Z
∞
X −qn Z
dω −iω(t−tn ) X (−µ)k
ω2
k−1
φ(x) =
dτn
1− 2
e
|Rn |
4π
2π
k!
µ
n
k=0
µ
¶k/2
Z
∞
k
2
X −qn Z
X
p
dω
(−µ)
1
d
k−1
dtn 1−|v n |2
=
|Rn |
1+ 2 2
e−iω(t−tn ) .
4π
2π
k!
µ dtn
n
k=0
ここで v n = dr n /dtn は n 番目の粒子の座標速度です。tn について部分積分し、
ω と tn の積分を順に実行すれば、
µ
¶k/2
∞
¯
X −qn X
p
(−µ)k
1 d2
¯
k−1
2
φ(x) =
1−|v n | ¯
1+ 2 2
|Rn |
4π
k!
µ dtn
tn =t
n
k=0
を得ます。
k が奇数の部分においては、微分演算子 (1 + µ−2 d2 /dt2n )k/2 は無限に続く級数で
与えられることに注意してください。このような級数の収束性は一般に良いとは
限りませんが、少なくとも粒子の近傍 (Rn ∼ 0) を考える限りにおいては性質の
良い級数になると考えられます。
208
11.8
運動方程式のくりこみ
粒子の速度が光速に比べて十分遅い場合 (非相対論的近似) を考えると、v n の 2
次以上を無視して、
d
dr n
Rn ·v n
|Rn | =
·∇n |Rn | = −
dtn
dtn
|Rn |,
Rn · v˙ n
d2
|Rn | = −
2
dtn
|Rn |.
ここで v˙ n = dv n /dtn です。これに注意すると、スカラー場の方程式の解は、やは
り v n の 2 次以上を無視して、
X
φ(x) =
φn (x),
n
−qn
φn (x) =
4π
µ
¶¯
¯
1
µ2 |Rn | Rn · v˙ n µ3 |Rn |2 µRn · v˙ n
−µ+
−
−
+
+ · · · ¯¯
|Rn |
2
2|Rn |
6
2
tn =t
のように展開されます。ここで φn (x) は n 番目の粒子が周囲に作るスカラー場を
意味していますが、特に粒子自身の位置において、
φn (xn ) = −
qn
qn µ
+
4π|0| 4π,
∇φn (xn ) =
qn v˙ n
qn µv˙ n
−
8π|0|
8π
と評価されます。φn (x) の式の省略されている項 · · · はこれらに寄与しません。こ
のことは例えば次元解析からわかるでしょう。|0| は lim |Rn | の意味であり、す
r→r n
なわち上の 2 式はどちらも発散することがわかります。
一方、n 番目の粒子の運動方程式は、非相対論的近似において、
(mn + qn φ)v˙ n = qn E + qn v n ×B − qn ∇φ
ですが、粒子自身の位置における電場が、
E n (xn ) = −
¨n
qn v˙ n
qn v
+
8π|0|
6π
であり、やはり発散することを思い出しましょう (電磁気学の章参照)。これら無
限大は、運動方程式において正確に相殺され、次のようなくりこまれた運動方程
式を得ます。
¡
¢
¨n
qn2 v
(n)
(n)
(n)
˙
m(r)
+
q
φ
v
=
q
E
+
q
v
×B
−
q
∇φ
+
n
n
n
n n
n
n
6π.
ここで、
E (n) = E − E n
φ(n) = φ − φn ,
は自身の寄与を除いた場です。また、
m(r)
n = mn +
209
qn2 µ
8π
は、くりこまれた質量であり、これはちょうど 1 粒子の静止系におけるエネルギー
¨ n /6π はローレンツ摩擦力で、これは通
(有効質量) と一致しています。一方、qn2 v
常の電磁気学と同じで、変更がないわけです。
(余談) ここでの内容は独自の研究によるものです。古典電磁気学の無矛盾性のために、特に数
理的な意味で重要であるにもかかわらず、ほとんど知られていないと思われます。
210
12
ゼータ関数
ゼータ関数に関連した公式、およびその証明をここにまとめておきます。リー
マン予想は物理とはあまり関係しませんが、興味深いと思われるので簡単に触れ
ておきます。
12.1
三角関数の部分分数展開
三角関数 tan に関して、次のようなシンプルな公式が成り立ちます。
X
1
1
=
tan z
z − πk.
k∈Z
これを三角関数の部分分数展開といいます。Z は整数全体の集合を意味します。
[証明] f (z) = 1/ tan z とすると、f は πk (k ∈ Z) に 1 位の極を持ち、留数は全
て 1 であることが簡単にわかります。よって S を複素平面全体とすると、留数定
理から、
!
Ã
Z
X
f (ζ)
1
dζ
= 2πi f (z) +
.
ζ −z
πk − z
∂S
k∈Z
一方、∂S として 0 を中心とする無限に大きな円をとれば、
Z 2π
Z 2π
Z
iθ
f (ζ)
f
(Re
)
dθ
dζ
= lim
iReiθ dθ
=
i
lim
R→∞ 0
ζ − z R→∞ 0
Reiθ − z
tan(Reiθ )
∂S
ですが、tan が奇関数であることに注意すると、0 ∼ π の寄与と π ∼ 2π の寄与
がちょうど打ち消しあい、この積分は
0 になることがわかります。よって f (z) =
X
1/(z − πk). [証明終]
k∈Z
上の公式を少し変形すると、
1
1
− =
tan z z
X
k=±1,±2,···
1
z − πk
ですが、辺々 z で微分すると、
X
1
1
1
=
−
sin2 z z 2 k=±1,±2,··· (z − πk)2
211
(∗)
を得ます。z → 0 の極限を考えると、
1 3
1 5
z +
z + ··· ,
6
120
¢
n¡
(1 + ax + bx2 + · · · )n = 1 + nax +
(n − 1)a2 + 2b x2 + · · ·
2
に注意して、
∞
X
1
π2
=
k2
6
sin z = z −
k=1
が得られます。また、(∗) をさらに z で 2 回微分すると、
X
1
1
2
1
=
−
−
4
2
4
(z − πk)4
sin z 3 sin z z
k=±1,±2,···
を得ますが、z → 0 の極限をとれば、計算は少し大変になりますが、
∞
X
1
π4
=
k4
90
k=1
が得られるでしょう。
ちなみにこれら級数の値は、フーリエ展開におけるパーセバルの等式から導く
こともでき、その方が計算はいくぶん簡単です (関数論と応用数学の章参照)。し
かし三角関数の部分分数展開に基づくこちらの方法の方が系統的と考えられます。
12.2
ゼータ関数
一般に、
∞
X
1
ζ(x) =
nx
n=1
(x > 1)
でリーマンのゼータ関数を定義します。そうすると、
ζ(2) =
π2
6,
ζ(4) =
π4
90,
··· .
偶数におけるゼータ関数の値はこのように π を用いて表されるわけです。
一方、奇数のゼータ関数についてはこのような計算ができません。奇数のゼー
タ関数については近似値が知られているだけで、それらが無理数になるかどうか
も一般にはわかっていません。ただし ζ(3) が無理数であることはアペリーの奇跡
的な証明によりわかっています。また、ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) のうち、少なくと
も 1 つは無理数であることもわかっています。近似値は、
ζ(3) ∼ 1.20205,
ζ(5) ∼ 1.03692,
212
··· .
ところで全ての正の整数は、素数の列を p1 , p2 , · · · として、pn1 1 pn2 2 · · · と表され
ます。ここで ni は 0 以上の整数です。よって、ゼータ関数は、
à ∞
!
∞ X
∞
∞
∞
X
Y
X
Y
1
n1 n2
−xni
−x
ζ(x) =
· · · (p1 p2 · · · ) =
pi
=
1 − p−x
i
n =0 n =0
i=1 n =0
i=1
1
2
i
と表すこともできます (オイラー積)。すなわち、
ζ(x) =
1
1
1
1
···
1 − 2−x 1 − 3−x 1 − 5−x 1 − 7−x
(x > 1)
ということです。このためゼータ関数は素数の性質と深く関係していると考えら
れます。
一方、ガンマ関数は、
Z
∞
Γ(x) =
dt tx−1 e−t
(x > 0)
0
で定義され、
Γ(1) = 1,
Γ(x+1) = xΓ(x),
lim ² Γ(²) = 1
²→0
という性質を持つのでした。特に正の整数 n に対して、
Γ(n) = (n−1)!
です (関数論と応用数学の章参照)。
ゼータ関数とガンマ関数に関する次の 2 つの積分公式は重要で、物理では主に統
計力学で用いられます。
Z ∞
Z ∞
tx−1
tx−1
dt t
= ζ(x)Γ(x),
dt t
= (1 − 21−x )ζ(x)Γ(x).
e −1
e +1
0
0
[証明]
Z
Z ∞
Z ∞
∞
X
tx−1
tx−1 e−t
x−1 −t
dt t
=
dt
=
dt t e
(e−t )n
−t
e −1
1−e
0
0
0
n=0
Z
Z
∞
∞
∞
∞
X
X
=
dt tx−1 e−(n+1)t =
(n+1)−x
ds sx−1 e−s = ζ(x)Γ(x)
∞
n=0
0
0
n=0
途中、積分変数を s = (n+1)t に置換しました。同様にして、
Z ∞
Z ∞
∞
X
tx−1
n
−x
=
(−1) (n+1)
ds sx−1 e−s
dt t
e + 1 n=0
0
0
213
を得ますが、ここで、
∞
X
(−1)n (n+1)−x = 1−x − 2−x + 3−x − 4−x + · · ·
n=0
= 1−x + 2−x + 3−x + · · · − 2 (2−x + 4−x + 6−x + · · · )
= ζ(x) − 2·2−x ζ(x) = (1 − 21−x )ζ(x)
に注意して与題後式を得ます。[証明終]
上の公式から、
Z
∞
dt
0
t²
= (1 − 2−² ) ζ(1 + ²)Γ(1 + ²)
t
e +1
ですが、左辺の積分は ² → 0 で log 2 を与えることが初等的にわかるので、
lim ² ζ(1 + ²) = 1
²→0
を得ます。すなわち ζ(x) は x → 1 で発散し、その留数は 1 です。
12.3
ガンマ関数の相反公式
0 < Re z < 1 を満たす複素数 z に対して、
Γ(z)Γ(1−z) =
π
sin(πz)
が成り立ちます。これをガンマ関数の相反公式といいます。
[証明] ガンマ関数の定義から、
Z ∞ Z ∞
ds
dt tz−1 e−t s−z e−s
Γ(z)Γ(1−z) =
0
0
Z ∞ Z ∞
=
ds
sdx (sx)z−1 e−sx s−z e−s
0
Z
=
Z
∞
0
ds
0
Z
∞
dx x
0
z−1 −(x+1)s
e
∞
=
0
xz−1
dx
x+1
ですが、図 1 に示す経路 C に対して、
Z
Z R
Z r
ζ z−1
xz−1
xz−1
i2πz
dζ
=
dx
+e
dx
ζ +1
x+1
x+1
C
r
R
Z
Z 2π
0
(reiθ )z−1
(Reiθ )z−1
iθ
+
ire
dθ
+
iReiθ dθ
Reiθ + 1
reiθ + 1.
2π
0
214
被積分関数は多価で、カット (切断) を実軸正の部分に取りました。r → 0, R → ∞
という極限をとれば、0 < Re z < 1 であるため後ろの 2 項が消えて、
Z
Z ∞
ζ z−1
xz−1
i2πz
dζ
= (1 − e )
dx
ζ +1
x + 1.
C
0
一方、留数定理から、
Z
ζ z−1
dζ
= 2πi(eiπ )z−1 = −2πi eiπz
ζ +1
C
なので、これらを比較して、
Z ∞
−2πieiπz
xz−1
π
=
dx
=
x+1
1 − ei2πz
sin(πz)
0
∴ Γ(z)Γ(1 − z) =
π
sin(πz)
を得ます。[証明終]
図 1: 相反公式
例えば相反公式で z = 1/2 とすると、
µ ¶
√
1
Γ
= π
2
を得るでしょう。これはガウス積分の評価からも知られていた結果です。
また、相反公式をその適用範囲を超え、いわば “意図的に乱用” することによ
り、ガンマ関数 Γ(z) の定義域を Re z > 1 から 0 以下の整数を除く複素数全体に
なめらかに拡張できることに注意してください。このような正則性を保持した定
義域の拡張を一般に解析接続といいます。解析接続による定義域の拡張は一意的
であることが知られています (一致の定理)。
図 2 に実軸上のガンマ関数のグラフを示します。
215
図 2: ガンマ関数
12.4
リーマン予想
複素数 z に対して、
Z
ζ z−1
I(z) =
dζ ζ
e −1
C
で I(z) を定義します。ここで C は図 3 のように、実軸正の無限遠方から 0 を囲っ
て周回する経路です。z が整数でない場合、被積分関数は多価ですが、この場合
カットを実軸正の部分に取ることにします。
図 3: ゼータ関数における積分経路
216
正則な領域で C を変形することにより、I(z) は、
Z ∞
Z r
Z 2π
xz−1
xz−1
i(reiθ )z
i2πz
I(z) =
dx x
+
dθ reiθ
+e
dx x
e −1
e −1
e −1
∞
0
r
(0 < r < 2π)
と表せますが、ここで r → 0 の極限をとると、Re z > 1 においては第 2 項が消
えて、
Z ∞
xz−1
i2πz
I(z) = (e
− 1)
= (ei2πz − 1)ζ(z)Γ(z).
dx x
e −1
0
よって、
Z
ζ z−1
ζ(z) =
dζ ζ
Γ(z)(ei2πz − 1) C
e −1
1
を得ます。ここで Re z > 1 ですが、この式によりゼータ関数の定義域を z = 1 を
除く複素数全体に解析接続します。相反公式を使えば、
Z
Γ(1 − z)
ζ z−1
ζ(z) =
dζ ζ
2πi eiπz C
e −1
と表すこともできます。
例えば z = −n (n = 0, 1, 2, · · · ) のとき、
(−1)n n!
ζ(−n) =
2πi
Z
dζ
C
ζ −n−1
eζ − 1
ですが、ここで被積分関数が ζ = 0 に (n + 2) 位の極を持つことに注意すれば、留
数定理から、
¯
µ ¶n+1
¯
ζ
(−1)n d
¯
ζ(−n) =
n + 1 dζ
eζ − 1 ¯ζ=0
を得ます。これを計算して、
1
1
ζ(−1) = −
2,
12,
1
ζ(−3) =
ζ(−4) = 0,
120,
ζ(0) = −
ζ(−2) = 0,
ζ(−5) = −
1
252,
···
が得られるでしょう。負の偶数 z において ζ(z) = 0 となることが見てとれます
が、これら z をゼータ関数の自明な零点といいます。
一方、
負の偶数でない z において ζ(z) = 0 ならば Re z = 1/2 である
( ゼータ関数の非自明な零点は実部が 1/2 の複素数に限られる )
217
という予想があり、これはリーマン予想と呼ばれます。リーマン予想の真偽は特
に整数論において重要なのですが、1859 年にリーマンにより提示されて以降、多
くの数学者の努力もむなしく、いまだその証明も反証もできていません。第一級
の未解決問題で、ミレニアム懸賞問題の 1 つになっています。ちなみに実部が 1/2
の非自明な零点は無限に存在することが知られています。
図 4 に実軸上のゼータ関数のグラフを示します。
図 4: ゼータ関数
(余談) ζ(−1) = 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 などと書いて読者を驚かす文献がありますが、もちろ
んこの式は正しくありません。級数で表される元の ζ(x) と解析接続された ζ(x) は、x > 1 にお
いて一致するというだけのことです。
12.5
アベル・プラナの和公式
正則でかつ遠方で高々ポリノミアル (多項式的) な関数 f に対して、すなわち、
µ
¶
k
∃k ∈ Z lim f (z)z = 0
|z|→∞
を満たす関数 f に対して、
Z ∞
Z ∞
∞
X
f (iy) − f (−iy)
f (0)
+i
dy
f (n) −
dx f (x) =
2
e2πy − 1
0
0
n=0
218
です。これをアベル・プラナの和公式といいます。
特に f (x) = x, x3 とすると、
Z ∞
∞
X
1
n−
dx x = −
12,
0
n=1
∞
X
Z
3
∞
n −
dx x3 =
0
n=1
1
120
という極めてトリッキーな式が得られますが、これらの式は一部の物理 (カシミー
ル効果の理論やひも理論) において実際に用いられます。
以下、アベル・プラナの和公式の証明です。
[証明] Γ を 0 以上の整数を全て囲み、なおかつ負の整数 1 つも囲まない経路とす
れば、留数定理から、
∞
XZ
X
f (z)
dz
= 2πi
f (n)
z−n
Γ
n=0
n∈Z
X 1
π
ですが、ここで三角関数の部分分数展開 :
=
を用いれば、
tan(πz)
z−n
n∈Z
∞
X
1
f (n) =
2i
n=0
Z
dz
Γ
f (z)
tan(πz)
となります。 経路 Γ を図 5 左のようにとると、
図 5: アベル・プラナの和公式
219
Z
Z R
f (iy)
f (−iy)
idy
+
−idy
tan(iπy)
tan(−iπy)
R
²
Z 3π/2
f (²eiθ )
iθ
+
i²e dθ
+ I1 − I2
tan(π²eiθ )
π/2
Z ∞
f (iy) − f (−iy)
= −i
dy
+ if (0) + I1 − I2 .
tan(iπy)
0
f (z)
dz
=
tan(πz)
Γ
Z
²
ここで、
Z
Ik =
dz
Ck
f (z)
tan(πz)
(k = 1, 2)
で、C1 は R から iR に向かう第 1 象限の経路、C2 は R から −iR に向かう第 4
象限の経路です (R → ∞)。よって、
Z
∞
X
f (0) 1 ∞
f (iy) − f (−iy) i
f (n) =
−
dy
− (I1 − I2 ).
(1)
2
2
tan(iπy)
2
0
n=0
一方、関数 f を図 5 右の 2 つの経路で積分すれば、コーシーの定理から、それぞれ、
Z ∞
Z 0
dx f (x) +
idy f (iy) + J1 = 0,
Z
0
Z
∞
∞
0
dx f (x) +
0
Z
−idy f (−iy) + J2 = 0,
∞
Jk =
dz f (z)
Ck
ですが、これら 2 式を加えることで、
Z
Z ∞
¢ 1
i ∞ ¡
dy f (iy) − f (−iy) − (J1 + J2 )
dx f (x) =
2 0
2
0
(2)
i
2
を得ます。(1)−(2) を作り、
− 1 = 2πy
および、関数 f が遠方で高々
tan(iπy)
e −1
ポリノミアルであることから、
µ
¶
Z
Z
i
2
iI1 − J1 =
dz
− 1 f (z) =
dz −i2πz
f (z) = 0,
tan(πz)
e
−1
C1
C1
¶
µ
Z
Z
−2
i
+ 1 f (z) =
dz i2πz
f (z) = 0
iI2 + J2 =
dz
tan(πz)
e
−
1
C2
C2
となることに注意すれば与題が得られます。[証明終]
220
13
数学基礎論入門
数学基礎論についてはあまり詳しくありませんが、入門書やネットを通じて学
んだことをここにまとめておきます。論理学、ZFC 集合論、一般連続体仮説、不
完全性定理などについて記しています。科学の言葉である数学の基礎がどのよう
になっているかは、多くの人が気になるところだと思われます。特に理系の人は
教養としてここに記した概要だけでもきちんと知っておくべきでしょう。
13.1
論理式と推論規則
まずは論理学についてです。論理学の記述にはいくつかの方法がありますが、こ
こではゲンツェンの自然推論を紹介します。(他にはヒルベルト・アッカーマンの
公理系などが有名です。)
論理的あるいは数学的な命題 (主張、陳述) は一般に記号の列で表されます。こ
れを論理式といいます。主張の一部を未定にしておく場合はその部分を A, B な
どのアルファベットで書きます。これを命題変数といいます。
証明において、A の仮定のもとで B, C, · · · などが証明される場合、
[A]{B, C, · · · }
のように書きます。また A, B, · · · から C が証明されることを、
A, B, · · · ` C
と書きます。
そうすると、⇒ (論理包含, ならば) に関する推論規則 (公理) は次のように与え
られます。
(
[A]{B} ` A ⇒ B
【 ⇒ 導入】
A, A ⇒ B ` B.
【 ⇒ 除去】
⇒ 導入の規則は、「A の仮定のもとで B が証明される。よって A ⇒ B が証明
される」という意味になります。また、⇒ 除去の規則は、
「A が証明され A ⇒ B
が証明される。よって B が証明される」という意味です。
221
この推論規則を用いると、例えば A ⇒ A は次のように証明されます。
[A]{
(A を仮定する)
A
(仮定はその仮定内でいえる)
},
(仮定 A の終了)
A ⇒ A.
(⇒ 導入規則より)
A ⇒ A は A の内容と関係なく当たり前に正しい論理式ですが、このような当たり
前を逐一証明できるようにすることが、論理学、さらには数学の基礎を築くこと
になるわけです。そして公理や証明されたことだけを “正しい” と考えていきます。
一方、 ∧ (論理積, かつ) の推論規則はこうです。


【 ∧ 導入】

 A, B ` A ∧ B
A∧B ` A


 A ∧ B ` B.
【 ∧ 除去 1】
【 ∧ 除去 2】
これを用いると、例えば三段論法 ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C) の証明は
次のようになります。
[(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)]{
A ⇒ B, B ⇒ C,
( ∧ 除去 1, 2 を用いた)
[A]{ A, A ⇒ B, B, B ⇒ C, C},
(⇒ 除去を用いた)
A⇒C
(⇒ 導入を用いた)
}, ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C).
また、 ∨ (論理和, または) の推論規則はこうです。


【 ∨ 導入 1】

A ` A∨B
B ` A∨B


A ∨ B, [A]{C}, [B]{C} ` C.
【 ∨ 導入 2】
【 ∨ 除去】
これを用いると、例えば、((A ∨ B) ∧ C) ⇒ ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C)) が次のよう
に証明されます。
[(A ∨ B) ∧ C]{
A ∨ B, C,
[A]{ A, C, A ∧ C, (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)},
( ∨ 導入 1 を用いた)
[B]{ B, C, B ∧ C, (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)},
( ∨ 導入 2 を用いた)
(A ∧ C) ∨ (B ∧ C)
( ∨ 除去を用いた)
}, ((A ∨ B) ∧ C) ⇒ ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C)).
222
一般に (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) を A ⇔ B と書いて、A と B は同値といいます。
例えば上の定理は逆も証明できるので、((A ∨ B) ∧ C) ⇔ ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C))
ということになります。同値な 2 つの論理式は主張の内容が同じであるため、代
入操作ができることになります。
13.2
矛盾と否定
⊥ (矛盾) に関する公理として、
⊥ ⇒A
【⊥ 公理】
を導入します。これは「矛盾からは何でも証明される」ということをいっていま
す。一方、¬ (否定) は、
¬ A ⇔ (A ⇒ ⊥ )
【¬ 定義】
により定義されます。これは「‘A でない’ とは A ならば矛盾するということと同
じ」ということをいっています。このとき、
(A ∧ ¬ A) ⇒ ⊥
が次のように証明されるでしょう。
[A ∧ ¬ A]{ A, A ⇒ ⊥ , ⊥ }, (A ∧ ¬ A) ⇒ ⊥ .
この定理から、矛盾が、ある命題とその否定命題が同時に証明されることにより
生じるものであることがわかります。これはどちらかというと矛盾の第一義的な
イメージに近いでしょう。
13.3
排中律
ここまでの推論規則と公理で、A ⇒ ¬ ¬ A が次のように証明されます。
©
ª
[A] [¬ A]{ A ⇒ ⊥ , A, ⊥ }, ¬ A ⇒ ⊥ , ¬ ¬ A , A ⇒ ¬ ¬ A.
しかしその逆である ¬ ¬ A ⇒ A (二重否定除去) は、実は証明できません。この
ような論理体系を直観主義論理といいます。
直観主義論理に、排中律、
A ∨ ¬A
【排中律】
を公理として加えた論理体系を古典論理といいます。古典論理では二重否定除去
が以下のように証明されます。
[¬ ¬ A]{ ¬ A ⇒ ⊥ , ⊥ ⇒ A, ¬ A ⇒ A, A ⇒ A, A ∨ ¬ A, A}, ¬ ¬ A ⇒ A.
223
途中、三段論法、A ⇒ A, そして排中律を用いました。また、排中律の代わりに、
二重否定除去を公理とすると、以下のように排中律が証明できます。
[¬ (A ∨ ¬ A)]{ [A]{ A, A ∨ ¬ A, ¬ (A ∨ ¬ A), ⊥ },
A ⇒ ⊥ , ¬ A, A ∨ ¬ A, ¬ (A ∨ ¬ A), ⊥
}, ¬ (A ∨ ¬ A) ⇒ ⊥ , ¬ ¬ (A ∨ ¬ A), A ∨ ¬ A.
すなわち直観主義論理の上では排中律と二重否定除去が同値なのです。どちらを
公理として追加しても、それは古典論理になります。
ところで、(A ⇒ ⊥ ) ⇒ ¬ A という論理式は、いわゆる背理法と考えられます
が、これは否定の定義から自明で、直観主義論理でもいえることに注意してくだ
さい。直観主義論理で証明できないのは、(¬ A ⇒ ⊥ ) ⇒ A であり、これが本当
の背理法であり、前者は背理法でないとする用語法があります。無理数の定義が、
「有理数でない」すなわち「既約分数で表せない」であることに注意すると、例え
√
ば「 2 が無理数であること」の証明は (A ⇒ ⊥ ) ⇒ ¬ A によるもので、すなわ
ち直観主義論理でも証明できるわけです。
以下、古典論理で考えていきます。
(余談) 排中律は無限集合を考える場合には自然な論理でないとする主義があり、これを直観主
義といいます。直観主義はブロウウェルにより頑強に主張され、排中律を死守しようとするヒルベ
ルトと激しく対立しました。無限集合における排中律の不自然さは、例えば、「円周率の 10 進数
表示に 9 の数字が 100 個連続して並ぶことがあるか、それともないか?」という問いを考えてみる
と垣間見えます。あるかないか現時点ではわからないし、有限回のステップにおいて知ることがで
きる保証もないというのに、あるかないか、そのどちらか一方であると決めつけるのは乱暴だと
いうわけです。「仮にある数が存在しないと仮定したときに矛盾を示せたとしても、それは、よっ
て存在する、ということにはならない。存在するというなら現物を見せろ。少なくとも有限回の
ステップでそれに到達できる保障を示せ」というわけです。ヒルベルトはしかし、数学者から排中
律を奪うのは、ボクサーから拳を奪うことに等しいとして、直観主義を跳ね除けました。現在で
は、排中律を用いない直観主義に基づく数学を構成的数学と呼び、通常の数学より厳密な (矛盾を
生じにくい) ものであると考え、区別しています。
13.4
真理値
論理式に含まれる命題変数 (A, B, · · · ) のそれぞれに T (真) か F (偽) かどちらか
一方の値を対応させることを考えます。これを真理値といいます。⇒, ∧ , ∨ の演
算によりできる論理式の真理値は次の表で定義されます。これを真理値表といい
ます。
A B A⇒B A ∧ B A ∨ B
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
F
F
224
T
T
T
F
⊥ の真理値は F であるとします。すなわち ⊥ ≡ F . そうすると ¬ A は、その
定義が A ⇒ ⊥ であることに注意して、A ≡ T のとき ¬ A ≡ F , A ≡ F のとき
¬ A ≡ T となることがわかります。すなわち ¬ は真理値を逆にするわけです。
以上のように真理値を定義すると、A ⇒ A や A ∨ ¬ A や (A ∧ (A ⇒ B)) ⇒ B
などの論理式は命題変数の真理値によらず必ず T を与えます。このような論理式
を恒真論理式 (トートロジー) といいます。
古典論理で証明できる論理式は恒真論理式であることが知られています。これを
健全性定理といいます。また、その逆、つまり恒真論理式は古典論理で証明でき
るということも知られています。これを (論理学における) 完全性定理といいます。
13.5
述語論理
変数 (項) x を含む論理式を考えることができ、これを A(x) などと表します。こ
れは “条件” を意味することになります。対して変数を持たないこれまでの論理式
は閉論理式と呼ばれます。
∀xA(x) は「すべての x に対して A(x) である」という意味です。また、∃xA(x)
は「ある x に対して A(x) である」すなわち「 A(x) を満たす x が少なくとも 1
つ存在する」という意味です。∀ を全称、∃ を存在といいます。
これまでの ⇒, ∧ , ∨ , ¬ で作られる論理を命題論理といい、これに ∀, ∃ が加え
られた論理を述語論理といいます。変数 x の取り得る値が有限個で、x1 , x2 , · · · xn
のときは、
∀xA(x) ⇔ A(x1 ) ∧ A(x2 ) ∧ · · · ∧ A(xn ),
∃xA(x) ⇔ A(x1 ) ∨ A(x2 ) ∨ · · · ∨ A(xn )
という定義により命題論理に還元されますが、x の取り得る値が有限個とは限ら
ないので ∀ と ∃ の推論規則を用意しておきます。
まず ∀xA(x) は、証明の中で変数 x は任意であると考えるので A(x) と同値と
みなします。このような x を証明における固有変数といいます。よって ∀ の推論
規則は、
(
A(x) ` ∀xA(x)
【∀ 導入】
∀xA(x) ` A(x)
です。また、∃ の推論規則は次の通りです。
(
A(a) ` ∃xA(x)
【∀ 除去】
【∃ 導入】
∃xA(x), [A(x)]{B} ` B. 【∃ 除去】
225
ここで a は定数です。これら推論規則を用いれば、例えば ∃x¬ A(x) ⇒ ¬ ∀xA(x)
という述語論理式が次のように証明されます。
[∃x¬ A(x)]{
[∀xA(x)]{
∃x¬ A(x), A(x),
[¬ A(x)]{ A(x) ⇒ ⊥ , A(x), ⊥ },
⊥
}, ¬ ∀xA(x)
}, ∃x¬ A(x) ⇒ ¬ ∀xA(x).
13.6
素朴集合論とラッセルのパラドックス
論理学が整理されたので次は集合についてです。集合は素朴には次のように定
義されます。
明確でかつ互いによく区別された対象 (元) をまとめたものを集合と呼ぶ
集合はその元を並べて {a, b, · · · } と表したり、あるいは条件 A(x) を満たす x の
集まりという意味で {x | A(x)} と表したりします。また、a が集合 b の元である
ことを a ∈ b と書きます。よって、
a ∈ {x | A(x)} ⇔ A(a).
この性質を集合の基本原則と呼びます。
しかしこのような素朴集合論は実は矛盾を生じてしまいます。このことは、例
えば、
r = {x | ¬ x ∈ x}
という集合を考えると簡単に確かめられます。この集合は「自分自身を元に持た
ない集合を全て集めた集合」という意味になります。この集合 r に集合の基本原
則を適用すると、a ∈ r ⇔ ¬ a ∈ a ですが、このとき a はどんな集合でも良いの
で特に r とすると、
r ∈ r ⇔ ¬r ∈ r
を得ます。しかし一般に A ⇔ ¬ A という論理式は、
A ⇔ ¬ A, [A]{ A, ¬ A, ⊥ }, ¬ A, A, ⊥
というように矛盾を証明してしまうわけです。矛盾からは何でも証明できるので、
矛盾を証明できる理論はナンセンスです。これをラッセルのパラドックスといい
ます。
226
結局、素朴集合論の集合の定義は曖昧すぎて、それゆえ得られる集合が広大す
ぎ、矛盾を生じてしまうというわけです。もっと厳密な定義を集合に課する必要
があるわけです。そのような集合論の 1 つがツェルメロ・フレンケルの集合論 (ZF
集合論) です。
以下、ZF 集合論の内容を紹介していきます。
(余談) すなわちラッセルのパラドックスは、「自分自身を元に持たない集合を全て集めた集合
r は r 自身を元に持ちますか? 持ちませんか?」という問いに対して、どちらを仮定しても矛盾す
るというものです。なぜなら r ∈ r だとすると、r は自分自身を元に持たない集合を全て集めた集
合だったので r はこの条件を満たさなければいけません。すなわち ¬ r ∈ r となって矛盾。一方、
¬ r ∈ r だとすると、r は自分自身を元に持たない集合という条件を満たしているので r に含まれ
るはずです。すなわち r ∈ r となって矛盾です。記号論理では明確なことが、言葉にするとこのよ
うにややこしくなります。しかし言葉にすることで、ラッセルのパラドックスがいわゆる「うそつ
きのパラドックス」と似た構造を持ったパラドックスであることがわかります。
13.7
部分集合と等号
∈ は無定義述語とします。これはこれから述べる公理群によって「元である」と
いう意味が与えられると考えます。
a ⊂ b ⇔ ∀x(x ∈ a ⇒ x ∈ b)
【 ⊂ 定義】
で記号 ⊂ を定義します。このとき a は b の部分集合であるといいます。
正確には上の論理式の全体において ∀a∀b です。論理式全体に対する ∀ は以後
省略することがあります。束縛されていない変数があった場合はこういう省略が
なされていると考えてください。
一方、
a = b ⇔ ∀x(x ∈ a ⇔ x ∈ b)
【 = 定義】
で等号 = を定義します。これは外延性公理とも呼ばれます。数学で対象となるも
のは数でも写像でも全て集合なので、ここで定義された等号は普通に数学で用い
る等号のことです。
また、
a∈
/ b ⇔ ¬ a ∈ b,
a 6= b ⇔ ¬ a = b
で「元でない」と「等しくない」の記号を導入します。さらに、
∀x ∈ a A(x) ⇔ ∀x(x ∈ a ⇒ A(x)),
∃x ∈ a A(x) ⇔ ∃x(x ∈ a ∧ A(x))
という記述法を使うことがあります。上は「 a の全ての元 x に対して A(x) が成
り立つ」、下は「 a の元で A(x) を満たす x が存在する」という意味になります。
227
13.8
集合の基本公理
まず次の公理をおきます。
∃a∀x(x ∈
/ a).
【空集合の公理】
すなわち元を持たない集合 a が存在するとします。この a を 0, あるいは {} と書
き、空集合といいます。
次に集合から集合を作るための公理群です。
∃c∀x(x ∈ c ⇔ (x = a ∨ x = b)).
【対集合の公理】
すなわち、2 つの集合 a と b だけを元に持つ集合 (対集合) c が存在するというこ
とです。この c を {a, b} あるいは {b, a} と書きます。特に a = b のときは {a} と
書きます。ここまでで元を 2 つまで持つ集合が定義されました。例えば、0, {0},
{0, {0}}, {{0, {0}}, {{{0}}}} などは集合です。これらはすでに無限にあります。
さらに、
∃b∀x(x ∈ b ⇔ ∃y ∈ a(x ∈ y)).
【和集合の公理】
この集合 b を ∪a と書いて a の和集合といいます。これは a の元の元を全て集め
た集合を意味していることに注意してください。また、
a ∪ b = ∪{a, b}
で集合の結びを定義します。対集合と和集合の公理によって、
{a, b, c} = {a, b} ∪ {c},
{a, b, c, d} = {a, b, c} ∪ {d},
···
のようにして、任意の個数の元を持つ集合を作れることになります。
さらに、
∃b∀x(x ∈ b ⇔ x ⊂ a).
【べき集合の公理】
この集合 b を Pow(a) と書いて、集合 a のべき集合といいます。これは a の全て
の部分集合 (空集合や a 自身も含む) を元とする集合を意味します。例えば、
Pow({a, b}) = {0, {a}, {b}, {a, b}}
ということです。
13.9
無限公理
これまでの公理により、
0,
1 = {0},
2 = {0, 1},
228
3 = {0, 1, 2},
···
という集合を順に作ることができ、これらを自然数といいます。ある自然数 n の
次の自然数は、
Suc(n) = n ∪ {n}
ですが、これを n の後者といいます。
しかしこれまでの公理では、無限にある自然数を全て集めたもの、
ω = {0, 1, 2, 3, · · · }
が集合であるとはいえません。これまでの公理で作れる集合は有限個の元しか持
ち得ないことに注意して下さい。そこで、無限にある自然数を全て含むような集
合の存在を公理としてかかげます。
¡
¢
∃a 0 ∈ a ∧ ∀x ∈ a(Suc(x) ∈ a) .
【無限公理】
これを無限公理といいます。ω は明らかにこの公理を満たしますから、ここでの
集合 a は自然数を全て含む集合です。しかし自然数以外のものが入っている可能
性もあります。この集合 a を ω 0 とします。
13.10
分出公理と置換公理
集合 a の元 x で特に条件 A(x) を満たすものを集めたものは集合であるとしま
す。これを分出公理といい、次のように書かれます。
∃b∀x(x ∈ b ⇔ (x ∈ a ∧ A(x))).
【分出公理】
この集合 b を {x ∈ a | A(x)} と書きます。分出公理には A(x) という任意の論理
式が含まれているため、無数にある公理をまとめたものと考えられます。このよ
うなものは公理図式と呼ばれることがあります。
a ∩ b = {x ∈ a | x ∈ b}
で集合の交わり (共通部分) を定義します。交わりは分出公理があって初めて集合
として定義できることに注意してください。
ところでツェルメロが集合の公理系を提示した後、フレンケルとスコーレムが
独立にツェルメロの公理系からでは得られる集合が小さすぎることを指摘し、分
出公理の代わりに次の置換公理を導入しました。
∀αβγ(A(α, β) ∧ A(α, γ) ⇒ β = γ)
¡
¢
⇒ ∃b∀y y ∈ b ⇔ ∃x ∈ a A(x, y) .
【置換公理】
長い公理ですが、2 行になっているのでそれぞれの意味を考えれば簡単です。1 行
目は、任意の α に対して A(α, β) と A(α, γ) が両方成り立つなら β = γ, すなわ
229
ち各々の α に対して A(α, β) を満たす β はあったとしても 1 つだけということで
す (なくても構わない)。2 行目はわかりやすく書けば、b = {y | x ∈ a ∧ A(x, y)}
という集合があるということです。b の元は集合 a の元より多くなることはない
から、b を集合として認めましょうということです。
特に A(x, y) ⇔ ((x = y) ∧ A(y)) のときは、
b = {y | x ∈ a ∧ (x = y) ∧ A(y)} = {y | y ∈ a ∧ A(y)} = {y ∈ a | A(y)}
が集合ということになって、これは分出公理に他なりません。すなわち分出公理
は置換公理から導かれるので、置換公理があれば分出公理はいらないことになり
ます。しかし実用上よく用いられるのは分出公理なので、分出公理は重要な定理
と考えます。
13.11
正則性公理
任意の集合 a に対し、その元である集合を 1 つ選び、その集合からまたその元
である集合を 1 つ選び…、という操作を繰り返していくと、必ず有限回のステッ
プで空集合 0 が現れて終わる、というのがフォン・ノイマンの正則性公理です。す
なわち、a 3 a1 3 a2 3 · · · が無限列になることはありません。言い換えると、全
ての集合は、0 や ω 0 から出発して、すでに作られた集合から有限回のステップで
作られたものであり、まだ作られていない集合を先取りして使っていたり (循環)、
また、得体の知れないものが混入していることはないということです。
このことは次のように公理化されます。
a 6= 0 ⇒ ∃b ∈ a(a ∩ b = 0).
【正則性公理】
すなわち、空集合でない全ての集合 a について、その元で a ∩ b = 0 となるよう
な b が存在するということです。この公理の主張が上で述べた無限列が存在しな
いという主張と同値であることはあまり簡単ではありません。以下その証明です。
少し難しいのでゆっくりと読んで考えてください。
[証明] まず、上の無限列が存在しないことを仮定します。任意の集合を a とし
ます。a が空集合なら公理が成立します。そうでないときは a の元を 1 つ選び、そ
れを a1 とします。a ∩ a1 = 0 のときは b = a1 として公理が成立します。そうで
ないときは a ∩ a1 の元を 1 つ選び、それを a2 とします。以下同様。仮定からこの
操作はどこかで止まるはずです。an において止まるとすれば、an ∈ a ∩ an−1 かつ
a ∩ an = 0 なので、b = an として公理が成立します。よっていずれにしても公理
が成立します。
次に公理を仮定します。また、a1 3 a2 3 a3 3 · · · という無限列が存在すると仮
定します。このとき、a = {a1 , a2 , a3 , · · · } という集合を作ると、公理から a ∩ b = 0
230
を満たす b が a1 , a2 , a3 , · · · の中にあるはずです。それを b = an とすると、an+1
は a と b の両方の元になって a ∩ b = 0 と矛盾します。よってこのような無限列
は存在しません。[証明終]
以下の 2 つの問いは重要です。
[問] 集合を全て集めたものを考えると、これは集合でしょうか?
[答] 集合を全て集めたものを集合だと仮定し a とします。a は集合なので a の
元のはずです。すなわち a ∈ a. このとき a 3 a 3 a 3 · · · という無限列が存在し、
正則性公理と矛盾します。よって集合を全て集めたものは集合ではありません。
[問] 自分自身を元に持たない集合を全て集めたもの (ラッセルの r) を考えると、
これは集合でしょうか?
[答] 正則性公理から集合は自分自身を元に持ちません。よって自分自身を元に持
たない集合は単に集合のことです。よって上の結果からそのような集まりは集合で
はありません。すなわちラッセルの r は ZF 集合論の立場においては存在できない
ものと認定されます。また、r を論理式で記述することもできません。{x | x ∈
/ x}
は ZF 集合論においては文法エラーです。ZF 集合論で定義されているのは分出公
理の {x ∈ a | A(x)} もしくは置換公理の {y | x ∈ a ∧ A(x, y)} であったことに注
意してください。
ちなみに、集合とならない巨大な集まりは、多くの場合クラスと呼ばれます。ク
ラスを扱う理論では、クラスは集合のようには扱えないことになっているので、や
はりラッセルのパラドックスのようなことは起こりません。
13.12
選択公理
ZF 集合論の公理はここまでで全て書いたわけですが、これだけだと数学の定理
のいくつかが証明できないことがわかっています。何か公理を付け加えて公理系
の主張を強くする必要があります。そのような公理の中で一番自然だと考えられ
るものがツェルメロ本人による選択公理です。
選択公理は、空集合でない互いに素な (交わりが空集合となる) 集合が多数あっ
た場合に、それら集合から 1 つずつ元を選び出し集めたものが集合であるとする
ものです。
有限集合においては自明に思える命題ですが、無限集合を内包する ZF 集合論
においては、ZF が無矛盾である限りは、この命題を証明も反証もできないこと
がわかっています。無矛盾というのは矛盾を証明できないことです。反証という
のは否定の証明のことです。反証できないので、ZF 集合論にこの公理を追加して
も、ZF が無矛盾な限りは矛盾を生じません。
231
選択公理を論理式で表すと、
¡
¢
0∈
/ a ∧ ∀xy ∈ a(x 6= y ⇒ x ∩ y = 0)
⇒ ∃b ∀c ∈ a ∃d(b ∩ c = {d}).
【選択公理】
一行目が、a が空集合 0 を元に持たず、かつ互いに素な集合の集合という意味に
なっていることに注意してください。
ZF 集合論の公理系に選択公理を追加した系を ZFC 集合論といいます。ZFC 集
合論は数学の土台であり、それゆえ数学で正しいとされている定理は全て ZFC 集
合論から証明されたものと考えることができます。
(余談) 選択公理は「バナッハ・タルスキーのパラドックス」を生じるためその妥当性を疑問視
する立場があるようです。私はまだ勉強不足で、このパラドックスの詳しい検討をしていません。
13.13
ペアノ公理
無限公理により、自然数を全て含むある集合 ω 0 の存在が宣言されていました。
ここから一意的に自然数全体の集まり ω を取り出すプロセスが知られていて、そ
れにより ω は集合であることが証明されます。
そして自然数全体の集合 ω が次の定理を満たすことも ZF 集合論から証明され
ます。
(1) 0 ∈ ω,
(2) ∀n ∈ ω(Suc(n) ∈ ω),
¡
¢
(3) ∀nm ∈ ω Suc(n) = Suc(m) ⇒ n = m ,
(4) ∀n ∈ ω(Suc(n) 6= 0),
¡
¢
(5) A(0) ∧ ∀n ∈ ω(A(n) ⇒ A(Suc(n))) ⇒ ∀n ∈ ω A(n).
(1)(2) は無限公理から明らかです。(5) は数学的帰納法を意味し、これは特に正則
性公理を用いて導かれます (∗) 。これら定理をペアノ公理といいます。ペアノ公理
は ZF 集合論以前に自然数の特徴付けとして知られていたものです。
(*注) 正則性公理 a 6= 0 ⇒ ∃b(b ∈ a ∧ a ∩ b = 0) の対偶をとると、
∀b(b ∈
/ a ∨ a ∩ b 6= 0) ⇒ a = 0
ですが、この論理式の前提部分は (¬ A ∨ B) ⇔ (A ⇒ B) に注意して、b ∈ a ⇒ ∃c(c ∈ b ∧ c ∈ a),
さらに対偶をとって ∀c(c ∈
/b∨c∈
/ a) ⇒ b ∈
/ a となります。一方 a = 0 は ∀d(d ∈
/ a) と書けるの
で、結局、正則性公理は、
∀b(∀c(c ∈ b ⇒ c ∈
/ a) ⇒ b ∈
/ a) ⇒ ∀d(d ∈
/ a)
となります。A(x) ⇔ x ∈
/ a とすれば、分出公理があるのでこれは任意の論理式で、
∀b(∀c ∈ b A(c) ⇒ A(b)) ⇒ ∀d A(d)
を得ます。すなわち正則性公理はこのような集合における帰納法と同値なのです。
232
13.14
無限集合
ところでこれまで「無限」という言葉を経験的なイメージで何気なく使ってき
ましたが、無限集合は実は次のように定義されます。
∃b(a ∼ b ∧ a ⊃ b ∧ a 6= b) ⇔ ( a は無限集合).
ここで a ∼ b は 2 つの集合 a と b の間に 1 対 1 対応 (全単射, 双射) があるという
意味で、このとき a と b は対等であるといいます。もちろん対応や写像も集合に
より表されます。ここでは詳しい説明はしませんが、少なくとも a ∼ b を論理式
で表すことがそう難しくないことはわかるでしょう。
そうすると、a が無限集合であるということは、a とは異なる a の部分集合、す
なわち a の真部分集合で、a と対等な集合 b があるということです。これは有限
集合ではあり得ないことです。しかしよく考えてみると、有限であるということ
の方が論理式で素直に書けず、有限集合は「無限集合でない」と定義されます。す
なわち有限集合は、どんなに工夫して頑張っても対等な真部分集合を作ることが
できない集合ということになります。
さて、自然数全体の集合 ω から 0 を除いた集合 b を考えると、これは ω の真
部分集合で、しかも ω の元 n を b の元 Suc(n) に対応させればこれは 1 対 1 対応
です。よって ω は無限集合であるというわけです。
(余談) 無限の定義をわかりやすく示した話に「ヒルベルトの無限ホテル」があります。満室に
なったホテルにある男が来て「なんとか泊めてくれないか？」と懇願します。満室なので、通常そ
れは無理なのですが、もし無限に部屋があるホテルなら満室の状態から空室を作ることができる
というのです。1 号室の客を 2 号室に、2 号室の客を 3 号室に、以下同様に客に移動してもらえば、
1 号室が空くことになるというわけです。
13.15
順序数と整列可能定理
自然数の生成は、
0,
1 = {0},
2 = {0, 1},
3 = {0, 1, 2},
···
というものでした。ここでやや乱暴な考え方をして、この操作をずーっとやってい
き、ω = {0, 1, 2, · · · } に到達したとしてみましょう。次の数は、Suc(n) = n ∪ {n}
という規則により、
ω+1 = {0, 1, 2, · · · , ω}. 次は ω+2 = {0, 1, 2, · · · , ω, ω+1}.
再びずーっとやっていき
ω+ω = {0, 1, 2, · · · , ω, ω+1, ω+2, · · · }.
これを 2ω と書きます。さらにどんどん続けます :
ω
2ω + 1, 2ω + 2, · · · , 3ω, · · · , 4ω, · · · , ω 2 , · · · , ω 3 , · · · , ω ω , · · · , ω ω , · · · .
233
これらを順序数といいます。順序数は自然数の自然な拡張であることがわかるで
しょう。そして自然数と同じく順序関係 (生成された順番) を持っています。特に
自然数は有限順序数と呼ばれ、そうでない順序数は超限順序数と呼ばれます。
置換公理のところでツェルメロの公理系では得られる集合が小さすぎると述べ
ましたが、実は置換公理のない公理系では ω +ω の時点ですでにこれが集合であ
ることを証明できないのです。置換公理を入れれば順序数は集合であることを証
明できます。ただし全ての順序数の集まりは集合ではありません。実際、全ての
順序数の集まりを集合だと仮定すると矛盾を証明できます (ブラリ・フォルティの
パラドックス)。
ZFC 集合論から次の事柄を証明できます。
¡
¢
∀a∃α ( α は順序数) ∧ a ∼ α .
すなわちどんな集合もある順序数と対等で、順序数のように並べることができる
ということです。これを整列可能定理といいます (ツェルメロ)。
ちなみに整列可能定理は ZF からは証明できず、証明には選択公理を用います。
また、ZF に公理として整列可能定理を付け加えると選択公理を証明できます。す
なわち ZF 上で選択公理と整列可能定理は同値です。
(余談) 整列可能定理によれば実数を整列させることも可能ということになりますが、一方で実
際に実数を整列してみせることは不可能であることが証明されています。可能であることと実際
にその手順が存在することとは別なようで…何とも気持ち悪い話なわけです。この気持ち悪さの
元凶はやはり選択公理です。
13.16
一般連続体仮説
2 つの集合 a, b に対し a ∼ b のとき、a と b は同じ個数の元を持つ集合と考え
られます。特に無限集合の場合は、同じ濃度を持つといいます。
整数全体や有理数全体の集合を考えると、これらの元は工夫次第で一列に並べ
ることができるため、自然数全体の集合 ω と同じ濃度を持ちます。自然数全体は
有理数全体の真部分集合ですが、それでも同じ濃度です。無限集合なのでこうい
うことがあり得るわけです。ω の濃度を可算濃度といい、ω と対等な集合は可算
集合と呼ばれます。無限とはいえ一列に並べて数えていけるからです。もちろん
この数える操作は終わりませんが。
それでは実数全体の集合 (連続体) はどうでしょうか? 実数全体を開区間 (0, 1) の
上に写像できること、およびこの区間の実数を 2 進数で少数表示すると一般に小
数点以下で 0 と 1 の無限列になることに注意すると、実数全体の集合は Pow(ω)
と同じ濃度であることがわかります。ここで Pow(ω) は ω の部分集合を全て集め
た集合です。
234
ω と Pow(ω) の濃度が異なることが次のようにして証明されます。
[証明] ω と Pow(ω) が対等であると仮定します。仮定から Pow(ω) の元を一列
に並べることができるはずで、それを a0 , a1 , a2 , · · · とします。このとき次の規
則で集合 b を作ります。
∀n ∈ ω(n ∈ an ⇔ n ∈
/ b).
すなわち全ての自然数 n について、n ∈ an なら n ∈
/ b とし、n ∈
/ an なら n ∈ b と
するわけです。( a0 , a1 , a2 , · · · のそれぞれの元として 0, 1, 2, · · · が存在するか
しないか○×の表を作ったとき、その表の対角線に注目し、○×を逆にして集合
b を作ったことに注意してください。)
ところで b は自然数の集合であり、ω の部分集合の 1 つなので、a0 , a1 , a2 , · · ·
のどれかと等しいはずです。m 番目のものに等しいとして b = am とすると、上
式は n ∈ an ⇔ n ∈
/ am ですが、n は任意だったので n = m とおくと、
m ∈ am ⇔ m ∈
/ am
となって矛盾です。よって ω と Pow(ω) は対等ではありません。[証明終]
このような証明を対角線論法といいます。自然数全体は実数全体の部分集合で
あることを加味すると、Pow(ω) の濃度は ω のそれより真に大きいと考えられま
す。Pow(ω) の濃度は連続濃度と呼ばれます。(カントール)
では、ω の濃度と Pow(ω) の濃度の間の濃度を持つ集合は存在するでしょうか?
これを否定し「存在しない」とした命題を連続体仮説といいます。
より一般化し、
「 一般に集合 b の濃度が無限集合 a の濃度より大きいとき
b の濃度は Pow(a) の濃度と等しいか、あるいは大きい 」
という命題を作ります。これを一般連続体仮説といいます。実は一般連続体仮説
は、ZF が無矛盾である限り、ZFC からは証明も反証もできないことがわかって
います (ゲーデル, コーエン)。すなわち ZFC から独立な命題になっているのです。
とはいえ、一般連続体仮説、もしくはその否定を公理として追加するのは、あ
まりに体裁が悪いといえます。もっとシンプルな未知の公理があり、そこから一
般連続体仮説もしくはその否定が証明されると考えたいところです。
13.17
不完全性定理
ある公理系において、文法的に正しい全ての閉論理式を決定できるとき、その
公理系は完全であるといいます。ここで論理式を決定できるとは、その論理式の
235
証明または反証ができることをいいます。矛盾からは何でも証明できるので、無
矛盾でない公理系、すなわち矛盾を導ける公理系は、完全であることに注意。そ
して同時にナンセンスということになります。
数学がナンセンスであっては困るので、数学の無矛盾性を証明したいと考える
のは自然です。また、矛盾を起こさない範囲で公理を増やし、すなわち公理系を
強くしていき、できるだけ多くの問題に対して答えを出すことができれば理想的
です。もしそうしてできた理論が完全であり、なおかつそのことを証明できれば
この上ありません。
これはかつてヒルベルトが提唱した、数学の形式主義における 1 つの目標であ
り、ヒルベルトプログラムと呼ばれています。ところがゲーデル (とロッサー) に
よって次の定理が証明されてしまいます。
「 算術を含む無矛盾な公理系 P は完全ではない.
また、P の無矛盾性は P においては証明できない. 」
前半を第一不完全性定理、後半を第二不完全性定理といいます。この定理は事実
上、ヒルベルトプログラムが実現不可能であることを意味しています。
第一不完全性定理の証明の概略は次のようなものです。
[証明概略] まず全ての論理式や証明文を自然数に対応させます。これはゲーデル
数と呼ばれるコード化によって実際に可能です。論理式 A のゲーデル数を g(A)
としましょう。次に自然数を型とする 1 変数述語論理式 F (v) を、「v をゲーデル
数とする論理式の証明文が存在する」という意味を持つように構成します。ゲー
デルはこれを実際に構成してみせました。
「少し面倒ではあるが大変やさしい」と
論文の脚注で述べています。
結果、F (g(A)) は「論理式 A が証明可能である」という意味になります。これ
を Bew[A] と書きます。この論理式は、いわば偶然に論理式の証明可能性を主張
する、超数学的な命題になっています。(論理式は対象であり、証明は手続きであ
るとするのが普通の数学であるのに対し、証明を対象とする数学は、階層が 1 つ
上であるという意味で超越的であり、超数学あるいは証明論と呼ばれます。)
ところで 1 変数述語論理式は可算ですから一列に並べることができます。m 番
目のもので変数が n のものを Rm (n) とします。そして自然数の集合 K を次のよ
うに定義します。
n ∈ K ⇔ ¬ Bew[Rn (n)].
一方、n ∈ K は 1 変数述語論理式の 1 つですから、ある自然数 q が存在して
Rq (n) ⇔ n ∈ K です。よって Rq (n) ⇔ ¬ Bew[Rn (n)] ですが、n は任意だっ
たので特に n = q とすると、
Rq (q) ⇔ ¬ Bew[Rq (q)]
236
を得ます。よってもし公理系 P から Rq (q) を証明できるとすると、上から Rq (q)
を証明できないことがいえるので矛盾です。一方もし ¬ Rq (q) が証明できるとす
ると、やはり上から Rq (q) が証明できることになるので矛盾です。よって Rq (q)
は P においては P が無矛盾である限りは証明も反証もできず、すなわち決定不
可能な命題であることがわかります。[証明概略終]
証明の中で対角線論法を用いているのがわかるでしょう。そしてラッセルのパ
ラドックスと類似した論理式を導いているわけですが、今度の場合は矛盾ではな
く証明も反証もできないという意味になっています。
Rq (q) は証明できないので、超数学的には Rq (q) は正しい命題 (真) であること
がわかります。超数学的な分析においてはこういう奇妙なことが起こります。
「こ
の奇妙な構造を詳しく分析すると驚くべき定理が得られる」とゲーデルは述べて
います。それが第二不完全性定理です。ただしその証明を完全なものとして示し
たのはロッサーでした。
重要なことは、算術を含む公理系が完全であり得ないことや無矛盾性を証明でき
ないことは、公理系の強さの問題ではないということです。証明からもわかるよ
うに、不完全性定理は、公理系が無限集合である自然数全体の集合の存在を認め
ているために生じるわけです。しかし自然数全体の集合が許されない数学は、も
はや数学とはいえないので、不完全性定理は数学そのものに対する定理だと考え
られています。
いま一度、矛盾した公理系からは何でも証明できることに注意してください。す
なわち矛盾した公理系からはその公理系の無矛盾性さえ証明できるのです。しか
し一方、算術を含む無矛盾な公理系からは、その公理系の無矛盾性を証明できま
せん。このことは、誠実でない人が平然と「自分は誠実だ」と主張するのに対し、
知的で誠実な人はけっしてそのようなことは言わない、という世俗的な事情とよ
く似ています。
(余談) その後、ゲンツェンが自然数論の無矛盾性の証明に成功します。これは、集合論が無矛
盾であるときに自然数論が無矛盾であるというものです。ゲンツェンは証明の中で超限帰納法を
用いていますので。そして肝心の集合論の無矛盾性の方は、不完全性定理により証明不可能です。
不完全性定理に対してゲンツェンの定理をあたかも反例であるかのように引き合いに出してくる
人をみかけますので、念のため。また、
「ヒルベルトプログラムは算術の無矛盾をうたったもので、
ここでいう算術は自然数論のことであり、集合論ではない。よってゲンツェンの証明によりヒルベ
ルトプログラムの目的は果たされた」などと考える人もいるようですが、集合論の無矛盾性がわ
からない限り、本当の意味での自然数論の無矛盾性はわからないので、このような主張も的を得
ていないでしょう。不完全性定理はヒルベルトプログラムを “否定的に解決した” と考えるのが素
直な見方であり、広く認められた考え方です。
237
14
物理定数表
物理の定数表です。SI(国際単位系) に加え、自然単位への換算も併記します。
14.1
14.2
接頭語
101
da
デカ
102
h
ヘクト
103
k
キロ
106
M
メガ
109
G
ギガ
1012
T
テラ
1015
P
ペタ
1018
E
エクサ
10−1
d
デシ
10−2
c
センチ
10−3
m
ミリ
10−6
µ
10−9
n
ナノ
10−12
p
ピコ
10−15
f
10−18
a
アト
マイクロ
フェムト
普遍定数
CODATA(2010) より
名称
記号
SI 単位
真空の光速
真空の誘電率
真空の透磁率
プランク定数
ディラック定数
ボルツマン定数
万有引力定数
素電荷
c
²0
µ0
h
~
kB
G
e
2.99792458E8
8.85418782E-12
4πE-7
6.62606957E-34
1.05457173E-34
1.38064881E-23
6.673848E-11
1.602176565E-19
自然単位
ms−1
1
−1 −3 4 2
kg m s A
1
−2 −2
kgms A
1
2 −1
kgm s
2π
kgm2 s−1
1
kgm2 s−2 K−1
1
−1 3 −2
kg m s
6.708376E-57 eV−2
sA
0.30282212
²0 µ0 = 1/c2 , ~ = h/(2π) の関係があります。また SI において µ0 = 1/²0 = 4π と置くことで得
られる非有理的な自然単位系もあり得るので注意が必要。一般に cgs ガウス等の非有理単位系は電
磁場の作用汎関数やマックスウェル方程式に π が現れるのが特徴で、現在においては使用を廃止
する動きがあります。自然単位系の観点については特殊相対論の章で詳しく触れていますので、そ
ちらを参照してください。
238
14.3
SI 基本単位
物理量
名称
記号
自然単位
長さ
時間
質量
電流
温度
メートル
秒
キログラム
アンペア
ケルビン
m
s
kg
A
K
5.0677309E6
1.5192675E15
5.6095888E35
1.2440647E3
8.6173324E-5
eV−1
eV−1
eV
eV
eV
摂氏温度は a◦ C = (a + 273.15)K で換算。a◦ C は a と ◦ C の積とはみなせないので注意が必要。
自然単位の逆換算は以下の通り :
長さ eV−1 ∼ 0.19732697 µm ∼ 紫外可視光の波長
時間 eV−1 ∼ 0.65821193 fs ∼ 紫外可視光の周期
質量 GeV ∼ 1.7826618×10−27 kg ∼ 核子質量
電流 eV
温度 eV
∼ 0.80381671 mA
∼ 11604.519 K ∼ 電離温度
正式には mol (モル) や cd (カンデラ) も SI 基本単位ということになっていますが、これはなんと
も理不尽な取り決めです。例えばもし理論屋だけで SI の取り決めを行っていたなら、こんな案は
採用されなかったでしょう。一方で理論屋がこのことにとやかく言わないのは、SI に対して執着
がないからと考えられます。自然単位系の観点からは、SI も非 SI も同様に “非自然単位” です。
14.4
SI 組立単位
物理量 (例)
名称
周波数
ヘルツ
力
ニュートン
エネルギー
ジュール
仕事率
ワット
圧力
パスカル
電荷
クーロン
電圧
ボルト
磁束
ウェーバ
磁束密度
テスラ
電気抵抗
オーム
電気容量
ファラッド
インダクタンス ヘンリー
記号
SI 単位
自然単位
Hz
N
J
W
Pa
C
V
Wb
T
Ω
F
H
s−1
kgms−2
kgm2 s−2
kgm2 s−3
kgm−1 s−2
sA
kgm2 s−3 A−1
kgm2 s−2 A−1
kgs−2 A−1
kgm2 s−3 A−2
kg−1 m−2 s4 A2
kgm2 s−2 A−2
6.5821193E-16
1.2316181E12
6.2415093E18
4.1082359E3
4.7956665E-2
1.8900671E18
3.3022687
5.0170295E15
1.9535276E2
2.6544187E-3
5.7235413E17
4.0327721E12
239
eV
eV2
eV
eV2
eV4
eV
eV2
eV−1
eV−1
14.5
非 SI 単位
名称
記号
換算
名称
記号
オングストローム
˚
A
海里
天文単位
光年
パーセク
アール
リットル
インチ
フィート
ヤード
マイル
エーカー
1E-15 m
1E-10 m
1852 m
AU
ly
pc
a
l
in
ft
yd
mile
acre
9.460528E15 m
分
時
日
年
トン
3.085680E16 m
原子質量単位
min
hour
day
year
t
u
ct
lb
oz
フェルミ
米国液量ガロン
米国石油バレル
寸
尺
間
町
里
坪
升
合
1.495979E11 m
100 m2
1E-3 m3
2.54 cm
12 in
3 ft
1760 yd
4840 yd2
231 in3
42 ガロン
(1/33) m
10 寸
6尺
60 間
36 町
間2
1.8039 l
(1/10) 升
カラット
ポンド
オンス
ドラム
貫
ダイン
dyn
重量キログラム kgw
エルグ
erg
電子ボルト
eV
カロリー
cal
バリ
b
バール
bar
水銀柱メートル mHg
気圧
atm
静電単位
esu
ガウス
G
マクスウェル
Mx
換算
60 s
60 min
24 hour
365.2422 day
1E3 kg
1.66053892E-27 kg
0.2 g
0.45359237 kg
(1/16) lb
(1/16) oz
3.75 kg
1E-5 N
9.80665 N
1E-7 J
1.60217657E-19 J
4.184 J
0.1 Pa
1E5 Pa
133322.368 Pa
101325 Pa
3.335641E-10 C
1E-4 T
1E-8 Wb
原子質量単位 = u = g/mol = (12 C の質量)/12 ∼ 931.49405 MeV は原子量や分子量の単位とし
て現在でもよく用いられます。ここで mol = 6.02214129 × 1023 はアボガドロ数。
14.6
素粒子の質量
名称
質量 (kg)
電子 9.10938291E-31
陽子 1.67262178E-27
中性子 1.67492735E-27
240
質量 (MeV)
0.51099893
938.27205
939.56538
14.7
元素と原子量
原子番号
記号
元素名
原子量
原子番号
記号
元素名
原子量
1
2∗
3
4
5
6
7
8
9
10∗
11
12
13
14
15
16
17
18∗
H
He
Li
Be
B
C
N
O
F
Ne
Na
Mg
Al
Si
P
S
Cl
Ar
水素
ヘリウム
リチウム
ベリリウム
ホウ素
炭素
窒素
酸素
フッ素
ネオン
ナトリウム
1.008
4.003
6.940
9.012
10.81
12.01
14.01
16.00
19.00
20.18
23.00
24.31
26.98
28.09
30.97
32.06
35.45
39.95
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36∗
K
Ca
Sc
Ti
V
Cr
Mn
Fe
Co
Ni
Cu
Zn
Ga
Ge
As
Se
Br
Kr
カリウム
カルシウム
39.10
40.08
44.96
47.87
50.94
52.00
54.94
55.85
58.93
58.69
63.55
65.38
69.72
72.63
74.92
78.97
79.90
83.80
マグネシウム
アルミニウム
ケイ素
リン
硫黄
塩素
アルゴン
スカンジウム
チタン
バナジウム
クロム
マンガン
鉄
コバルト
ニッケル
銅
亜鉛
ガリウム
ゲルマニウム
ヒ素
セレン
臭素
クリプトン
原子番号は原子核内の陽子数、原子量は各同位体における原子の平均質量 (/原子質量単位) を意
味します。原子番号の ∗ は希ガスを意味します。
14.8
惑星の諸定数
名称
水星
金星
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
質量
赤道半径 軌道長半径
(1E24 kg)
(km)
(AU)
0.33
4.87
5.977
0.640
1899
568.8
86.67
103
2439
6052
6378
3397
71398
60000
25400
24300
0.3871
0.7233
1
1.5237
5.2026
9.5549
19.2184
30.1104
241
離心率
0.2056
0.0068
0.0167
0.0934
0.0485
0.0555
0.0463
0.0090
公転周期 自転周期
(year)
(day)
0.2409
0.6152
1
1.8809
11.862
29.458
84.022
164.774
58.65
243.01
0.9973
1.0260
0.414
0.444
0.649
0.768
14.9
太陽の諸定数
質量 = 1.9891E30 kg
半径 = 695997 km
自転周期 (赤道) = 27.275 day
14.10
光度 = 3.85E26 W
表面温度 = 5778 K
月の諸定数
質量 = 7.3477E22 kg
離心率 = 0.0549
半径 = 1737 km
公転周期 = 27.322 day
242
軌道長半径 = 405500 km
15
参考文献
ノートを作るにあたって参考にさせていただいた図書を、特に和書に限って一
部紹介します。著者の敬称を割愛させていただきます。
■小出昭一郎・兵藤申一・安倍龍蔵「物理概論 (上下)」裳華房
教養向けの物理の教科書。力学、波動、熱力学、電磁気学を扱い、相対論、量子
力学 (原子物理) については軽く触れる程度です。教養向けの物理の教科書はその
形式がほとんど完成されていて、あまり大差ないと思われますが、学部一年の間
にどれかをこなす必要があるでしょう。私のノートはこういった教養向け教科書
を一通りこなしていることを、事実上、前提としています。
■金原寿郎「基礎物理学 (上下)」裳華房
上と同様な教養向け物理の教科書。弾性体や流体の記述が上の教科書では少し
足りなかったので、これを参考にしました。
■バークレー物理学コース「力学 (上下)」丸善
懇切丁寧な力学の教科書で、読み物のようでいてちゃんと力学をマスターでき
る教科書です。演習問題も面白いものが多かったです。知識より正しい理解に気
を配った教科書で、剛体や特殊相対論の説明もわかりやすいです。
■バークレー物理学コース「電磁気学 (上下)」丸善
懇切丁寧な電磁気学の教科書で、図が立体的でとても綺麗です。原文は cgs ガ
ウス単位系ですが、訳者が SI (MKSA 単位系) の場合にどうなるか逐一変換してい
ます。2 つの異なる系において直線電流を考え、電磁気学が相対論のもとでないと
矛盾してしまうことをわかりやすく説明しています。
■藤井保憲「時空と重力」産業図書
相対論全般の教科書ですが、特にリーマン幾何学と一般相対論の入門書と考え
られる懇切丁寧な本です。計算過程をこれでもかというくらい詳しく記していま
す。学部一年のとき、私はこれを読んで初めてリーマン幾何学と一般相対論を理
解しました。宇宙論には触れていません。
■ディラック「一般相対性理論」東京図書
薄い本ですが一般相対論の根幹を一通り網羅した教科書です。必要最小限の分
243
量で一般相対論の特に数学的側面を理解できます。ただし宇宙論など応用的側面
にはまったく触れていません。簡潔な説明のあり方にディラックの天才が少し垣
間見えるような気がします。
■平川浩正「相対論」共立出版
標準的な相対論の教科書です。高密度星や宇宙論についても触れていて、便利
な本です。宇宙論に関して参考にしたところが多いです。
■内山龍雄「相対性理論」岩波書店
数学的にきっちりした相対論の教科書です。その反面、少しレベルが高いです。
私のノートにおける相対論部分の記述はこれに習っているところが多いです。宇
宙論には触れていません。
■ランダウ・リフシッツ「場の古典論」東京図書
相対論全般 (電磁気学含む) を極めて広範囲に網羅した教科書で、名著として名
高いです。読破しなくても事典代わりに重宝します。というか、読破するような
類いの本ではないように思います。宇宙論には簡単ですが触れています。ローレ
ンツ摩擦力についてはこれを参考にしました。
■藤井保憲「超重力理論入門」マグロウヒル
超重力理論 (多次元統一場理論) の教科書ですが、超場形式を使っていないので
少し式がゴタゴタしています。最初の方の章でリーマン・カルタン空間の捩れ構
造をわかりやすく説明しているので、一応、古典論の参考文献としてあげておき
ます。
数学の教科書で参考にしたのは、
■田辺行人・大高一雄「理・工基礎 解析学」裳華房
微分方程式、ベクトル解析、複素関数論について詳しい標準的な解析学の教科
書です。私のノートの複素関数論は特にこれを参考にしました。
■小野寺嘉孝「物理のための応用数学」裳華房
変分法、直交多項式、特殊関数について詳しい理工学学生向けの教科書です。た
だし複素関数論についてはほとんど触れていません。ガンマ関数やデルタ関数に
ついては、特にこれを参考にしました。
■シュッツ「物理学における幾何学的方法」吉岡書店
微分幾何学 (数学における抽象的な形式) を物理の学生にわかりやすく説明しよ
うと試みた教科書です。わかりやすいかどうかは人に依るかもしれません。私は
244
読破に１年もかかり、今となってはあまり好きな本とはいえませんが、物理の人
が数学の人の用語を読み解くための別言語習得という意味では少なくとも有益で
しょう。局所的トポロジーの説明が懇切丁寧です。ストークスの定理については
これを部分的に参考にしました。
数学基礎論において参考にしたのは、
■久馬栄道「Ｑ＆Ａ数学基礎論入門」共立出版
数学基礎論を問題形式により手取り足取り解説した入門書です。ZFC 集合論に
ついてはこれを参考にしたところが多いです。懇切丁寧で良い本だとは思います
が、反面、洗練さには少し欠けているかもしれません。
■竹内外史「集合とはなにか」講談社ブルーバックス
ZF 集合論および現代集合論の啓蒙書です。啓蒙書でありながら、名著と評判が
高いです。ただし現代集合論の方は内容が高度ということもあって難解です。正
則性公理については特にこれを参考にしました。
■吉永良正「ゲーデル・不完全性定理」講談社ブルーバックス
一般連続体仮説、ラッセルのパラドックス、直観主義論理、不完全性定理の概
要をわかりやすく説明した啓蒙書。少し哲学よりで、比喩などが大げさすぎるき
らいもありますが、数学基礎論の歴史的背景を楽しめます。不完全性定理の証明
概略はこれを参考にしました。
■寺坂英孝「現代数学小事典」講談社ブルーバックス
読み物に近い数学の事典。ブルーバックスなので安く購入できますが、内容は
重厚です。数学基礎論の章も充実しています。
また、数学基礎論については、パソコン通信の時代に Stromdorf さんという方
に教わった事柄が多く、大変勉強になりました。ここにお礼申し上げます。
Stromdorf さんの HP : http://home.p07.itscom.net/strmdrf/index.htm
他、啓蒙書で特にお薦めしたい本をあげると、
■ J.L. シンジ「相対性理論の考え方」講談社ブルーバックス
相対論の概念をお話など交えてわかりやすく説明した啓蒙書。ピグマリオン症
という用語を提案しています。相対論自体というより、その概念を教えてくれる
本で、ニュートン理論に基づく勝手な思い込みを打ち砕くことを主目的にしてい
るといえます。このため、特殊相対論というステップをあえて設けず、いきなり
245
一般相対論にアプローチする試みを行っています。
■大槻義彦「相対性原理の視点」共立出版
特殊相対論の、啓蒙書に近い初等的な入門書です。高校三年の時、私はこれを
読んで初めて特殊相対論を理解しました。文系や高校生の方で、色々と啓蒙書を
読んだがどうしても相対論を理解できないという方にお薦めの小冊子です。
以上です。
246
索引
あ
え
アインシュタインテンソル . . . . . . . . . . . . . . 111
アインシュタイン・ド・ジッター宇宙 . . . 189
アインシュタインの重力定数 . . . . . . . . . . . . 167
アインシュタインの線形近似式 . . . . . . . . . . 168
アインシュタイン・ヒルベルト作用 . . . . . 164
アインシュタイン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . 165
アベル・プラナの和公式 . . . . . . . . . . . . . . . . 219
アンペールの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
アンペール力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
a-z 関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
エーテル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
SI 単位系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
n 次元球の体積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72, 81, 129
エネルギー運動量テンソル . . . . . . . . . . . . . . 129
エネルギー運動量テンソルの巨視的表示 . 179
エネルギー保存の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
エルミート共役 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
エルミート行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
円周率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
遠心力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
円柱座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68, 133
い
位数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
位相空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
位置ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
一様 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200
一様等方空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
一様等方弾性体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
1 対 1 対応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
一致の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
一般相対性原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
一般相対論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117, 161
一般相対論の作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
一般連続体仮説 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
インダクタンス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
インフレーション . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
お
オイラー角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
オイラー積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
オイラーの式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
オイラー方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 101
応力テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
オームの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
重さ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
か
外延性公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
外積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
解析接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
解析力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
回転 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
回転系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 132
回転系時間微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
回転ゴマ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
回転変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
外微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
外部ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
外力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
ガウス記号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
ガウス積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
ガウスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
ガウスの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
ガウス分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
角運動量保存の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
角速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
う
ウェッジ積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
宇宙原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
宇宙項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
宇宙時 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
宇宙定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
宇宙の晴れ上がり . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
宇宙の密度パラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
宇宙論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
ウラシマ効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
運動エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
運動項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
運動する時計の遅れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
運動の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57, 81
運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 129
運動量保存の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
247
拡張されたオームの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . 145
角度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
核力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205
可算集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
可算濃度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
加速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
カテナリー曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
加法定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
ガリレイ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
ガレージのパラドックス . . . . . . . . . . . . . . . . 122
関数論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
慣性系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
慣性抵抗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
慣性の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
慣性モーメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
慣性力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
完全 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
完全宇宙原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
完全性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
完全性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
完全反磁性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
完全反対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
完全流体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
ガンマ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
極形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
極座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, 27
局所的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
曲線座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 104
曲率テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
曲率符号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
巨視化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
巨視的電磁気学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
虚数単位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
虚部 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 104
キリングベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
キリング方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
キルヒホッフの第 1 法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
キルヒホッフの第 2 法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
銀河フィラメント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
近日点移動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
く
空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 104
空間計量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
空間座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
空集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
クーロン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
クーロンの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
クーロンポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
クーロン力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 143
くさび積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
首振り運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
クライン・ゴルドン演算子 . . . . . . . . . . . . . . 208
クラス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
くりこまれた質量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
クリストッフェル記号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
グルサの公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
グレートウォール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
グローバル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
クロネッカーデルタ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
き
偽 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
規格直交性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
擬スカラー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
期待値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
基底 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
擬テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
輝度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193
軌道角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
逆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
逆行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
逆 2 乗力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
キャヴェンディッシュの実験 . . . . . . . . . . . . . . 61
キャリア . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
球面座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
強磁性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
共動距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
共動座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
共変ゲージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
共変性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
共変微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
共変ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
行列式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
極 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
け
形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
形式主義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
計量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
計量空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 104
計量条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
計量接続空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
計量の微分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
ゲージ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
ゲージ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
ゲーデル数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
248
撃力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
決定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
ケプラーの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
元 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
懸垂曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
健全性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
減速パラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
作用汎関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
作用反作用の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
散逸系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
三角関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 35
三角関数の部分分数展開 . . . . . . . . . . . . . . . . 211
三段論法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
三平方の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
こ
し
コイル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
光行差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
後者 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229
恒真論理式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
構成的数学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
光速一定の原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
光速の不変性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
剛体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
光度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193
合同 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
合同変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
勾配 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
公理主義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
公理図式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
合力の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
コーシーの積分定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
コーシーの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
コーシー・リーマン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . 36
コールドダークマター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
古典論理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
固有時間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
固有速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
固有値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
固有ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
固有変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
固有方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
コリオリの力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
孤立系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
コンデンサ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
磁化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152
磁化ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
時間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
時間座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
磁気双極子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
時空 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
軸性ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 元運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
4 元デルタ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4 元電流密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4 元ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
仕事 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
仕事率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
事象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
事象の地平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
指数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 34, 43
自然推論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
自然数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
自然対数の底 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
自然単位系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
自然な接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
磁束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142
磁束密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
質点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
実部 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
質量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57, 124
質量次元 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
質量の非保存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
質量密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
磁場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139, 154
磁場に関するガウスの法則 . . . . . . . . . . . . . . 141
集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226
集合の基本原則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
重心 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
重心系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131, 179
自由度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
自由落下系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
重力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
重力加速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
重力質量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
さ
サイクリック対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
サイクロイド . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
歳差運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
最小作用の原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
最速降下曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 104
座標速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
作用原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
249
重力赤方偏移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
重力の遅延ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . 168
重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
重力場のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
重力場のエネルギー擬テンソル . . . . . . . . . . 184
重力ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
重力レンズ効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
縮約規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
主軸系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
述語論理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
主要解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
シュヴァルツシルト解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
シュヴァルツシルト内部解 . . . . . . . . . . . . . . 182
シュヴァルツシルト半径 . . . . . . . . . . . . . . . . 174
順序関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
順序数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225
常磁性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
商の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
証明論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
初等関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
真 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
真空のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
真空の誘電率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
真部分集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
真理値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
真理値表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
斉次 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
静止摩擦力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
正準共役 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
正準形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
正準変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
正準方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
生成子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
正則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
正則化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
正則性公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
静的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132
静電気力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 143
静摩擦係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
整列可能定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
ゼータ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
ζ-z 関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
世界線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
積の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 106
赤方偏移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
接触力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
接続係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
接続係数の式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
ZFC 集合論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
ZF 集合論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
接ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
零ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
漸近展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
線形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
線形近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
全称 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
先進ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
選択公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
す
垂直抗力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
水面波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
推論規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
数学的帰納法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
スカラー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 106
スカラー曲率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
スカラー 3 重積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
スカラー場の作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
スカラー場の方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
スカラーポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
スケール因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
スケール変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
スターリングの式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
ストークスの関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
ストークスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 31
スピン角運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
すりこぎ運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
そ
双曲線関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
相互作用項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
相似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
相似変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
相対性原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
相対性理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
相対論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
双対 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
相反公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
層流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
添字の上げ下げ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
測地線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
速度の変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
素朴集合論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
せ
正規分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
250
ソレノイドコイル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
存在 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225
て
定係数線形微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
抵抗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
抵抗率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
定常的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
テイラー展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
ディリクレ積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
デカルト座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 104
デルタ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
電圧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
電位差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
電荷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 124
電荷保存則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
電荷密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
電気双極子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
電気容量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
電気力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
電磁気学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
電磁気学における無限大の困難 . . . . . . . . . . 206
電磁石 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
電磁相互作用の作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
電磁テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
電磁場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
電磁波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
電磁場の作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
電束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142
電束電流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
電束密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 106
テンソル積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
テンソル定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
転置行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
電場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139
電流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142
電流密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
た
ダークエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
ダークマター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
対角化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
対角行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
対角線論法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
大規模構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
大域的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
対数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 35
体積要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 112
対等 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233
楕円積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
互いに素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
ダスト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 104
ダランベルシアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
ダランベルシアンの逆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
単位ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
単振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
弾性体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
弾性率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
単振り子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
ち
遅延ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
置換公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
地球の重力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
超関数論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
超銀河団複合体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
超限順序数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
超数学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
調和関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
直線座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 104
直角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
直観主義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
直観主義論理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
直交 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
直交行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
直交座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 105
直交変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
と
等価原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
導関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
動径座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
等号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227
同次形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
同時刻の相対性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
透磁率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
到達距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
同値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
導電率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
等方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
等方座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175, 200
つ
対集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
釣り合いの条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66
251
動摩擦係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
動摩擦力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
トートロジー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
トールマン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
特殊相対論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
特殊相対論の作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
特性方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
独立 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
トルク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
半角公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
汎関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
汎関数微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
反磁性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
反証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231
半直弦 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
反転 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
反平行 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
反変ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
万有引力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
万有引力定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
万有引力の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
な
内積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 41
長岡係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
ナビエ・ストークス方程式 . . . . . . . . . . . . . . 100
ナブラ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
ひ
非圧縮性流体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
ビアンキ恒等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
ビールジョッキ思想 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
ビオ・サバールの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
光通信過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
光の湾曲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
非慣性系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
ピグマリオン症 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
微小距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
ヒステリシス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
ひずみ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
非斉次項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
非線形物理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
ピタゴラスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
左手系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
否定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223
微分可能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
標準宇宙論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
標準偏差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
ヒルベルト作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
ヒルベルト作用の 1 階微分表現 . . . . . . . . . . 182
ヒルベルトの無限ホテル . . . . . . . . . . . . . . . . 233
ヒルベルトプログラム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
に
二項定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
二項分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
二重否定除去 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
二重振り子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
ニュートン近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
ニュートンの重力理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
ニュートン力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
ね
ネイピア数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
ネーターの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81
捩れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
粘性抵抗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
粘性率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
の
濃度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234
ノルム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 34, 41
は
パーセバルの等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54, 55
バーゼル問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
倍角公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
背景輻射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
排中律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
背理法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
裸の質量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
発散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
ハッブル定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
ハッブルの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
ハッブルパラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
ハミルトニアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82
パリティ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
ふ
ファラデーの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
ブースト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
フーリエ係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
フーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 55
不完全性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
複合粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
輻射優勢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
複素関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
複素共役 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
252
複素数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
複素積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
複素微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
複素平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
双子のパラドックス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
フックの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
物質の密度パラメータ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
物質優勢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
部分集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
ブライトネス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
ブラックホール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
ブラリ・フォルティのパラドックス . . . . . 234
フリードマン宇宙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
フリードマン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
プリンキピア . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
フレミングの左手の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . 144
分極 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152
分極ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
分散関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
分出公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
保存力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
ホットダークマター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
ポテンシャルエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
ポテンシャル項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
ま
マクローリン展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
摩擦力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
交わり . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
マックスウェル方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
み
みかけの位置 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
みかけの力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
右手系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
右ねじの規則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
ミンコフスキー空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
む
無限公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
無限集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
無限小角度ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
無限連成振動子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
矛盾 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223
結び . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228
無矛盾 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
へ
ペアノ公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
平行 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
並進変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
閉論理式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
べき . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
べき集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 106
ベクトルポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
ベッセル関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
ベルヌーイの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
変位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
変位電流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
変位ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
偏角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
変数分離形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
変分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
め
命題変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
命題論理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
面積要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
や
ヤコビアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
ヤング率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
ゆ
ユークリッド幾何学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
ユークリッド空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11, 104
有限順序数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
有効質量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
誘電率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
湯川ポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148, 205
ユニタリ行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
ユニタリ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
ほ
ポアソン比 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
ポアソン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
ボイド . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
ポインティングベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . 147
方向ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
放射減衰 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
星のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
補助場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
保存カレント . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
よ
余因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
余因子行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
余因子展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
253
葉層座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
余弦定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 次元極座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
弱い重力場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
連続体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92, 234
連続体仮説 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
連続濃度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
連続の式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
ら
ろ
ラグランジアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
ラグランジュの未定乗数法 . . . . . . . . . . . . . . . 89
ラグランジュ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
落下運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
ラッセルのパラドックス . . . . . . . . . . . . . . . . 226
ラプラシアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
ラプラス方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
ラマートル宇宙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Λ-CDM モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
ラメの定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
乱流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
ローカル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
ローレンツ因子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
ローレンツ計量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
ローレンツゲージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
ローレンツ座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
ローレンツ収縮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
ローレンツ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
ローレンツ摩擦力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
ローレンツ力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
ロバートソン・ウォーカー計量 . . . . . . . . . . 188
ロバチェフスキー空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
ロピタルの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
論理学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
論理式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
論理積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
論理包含 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
論理和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
り
リー微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
リーマン・カルタン空間 . . . . . . . . . . . . . . . . 110
リーマン幾何学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
リーマン空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
リーマンテンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
リーマン予想 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
リエナール・ヴィーヘルトポテンシャル . 158
力学的エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
力学的相似則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
力学変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
離心率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
リッチテンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
粒子的地平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
粒子の運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
粒子の作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
留数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
留数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
流体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
リンドラー座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
わ
惑星の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
和集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
る
ルミノシティ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
ルメートル宇宙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
れ
レイノルズ数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
零ベクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
レギュレーター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
レッドシフト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
レビ・チビタ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
連続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
254