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■ A 上一様収束する｛解析入門
P302｝｛30 講 P｝｛→大学院別｝
定義 1 ||f || = sup |f (x)|
A 上の函数列 (fn )n∈N が f に A 上一様収束するとは、
lim ||f − fn || = 0
n→∞
[どんな ² > 0 に対しても、ある自然数 n0 が存在して、n ≥ n0 をみたすすべての自然数 n に対し
て、sup |f () − fn ()| < ²]
となることと定義する。
P
P
Pm
A 上の函数を項とする級数
fn が A 上 f に一様収束するとは、 fn の部分和 sm = n=0 fn
の作る函数列 (sm )mM が f に A 上一様収束することと定義する。
定義 2 b ∈ に対し
lim ||f − ft || = 0
t→b
が成立つとき、函数族 (ft )t∈T は t → b のとき f に A 上一様収束するという。
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｛解析入門
P302｝
定義 1 ||f || = sup |f (x)|
A 上の函数列 (fn )n∈N が f に A 上一様収束するとは、
lim ||f − fn || = 0
n→∞
となることと定義する。
[ lim sup |f () − fn ()| = 0]
n→∞
P12
定義 5 実数列 (an )n∈N が実数 a に収束するとは、どんな正数 ² > 0 に対しても、ある自然数
n0 が存在して、n ≥ n0 をみたすすべての自然数 n に対して、|a − an | < ² となることを言う。
a = lim an
n→∞
[どんな ² > 0 に対しても、ある自然数 n0 が存在して、n ≥ n0 をみたすすべての自然数 n に対
して、| sup |f () − fn ()| − 0| < ²]
p5
定義 1 実数 b が R の部分集合 A の上界であるとは、任意の a ∈ A に対して、a ≤ b が成立つ
ことを言う。
p6
A の上界の集合 U(A) の最小元 m が存在すれば、m を A の最小上界または上限といい、
m == supA
と記す。
3
p308
定理 13.4（） A 上の函数族 (ft )t∈T に対し次の a),b) は同値である。
a) のとき (ft )t∈T は A 上一様収束する。
b) のとき (ft )t∈T は次の一様コーシー条件をみたす：任意の ² > 0 に対しのある T 近傍 U が
存在して、
s, t ∈ U =⇒ ||fs − ft || < ² (13.12)
が成り立つ。
証明
b)=⇒a) (ft )t∈T が b) をみたし、任意の x ∈ A を固定するとき、t の函数として ft (x) は、（）
によりに対してコーシーの条件をみたす。
そこで定理.4.5 または定理により
lim ft (x) = f (x)
t→
が存在する。（13.12）から
s, t ∈ U =⇒ |fs (x) − ft (x)| < ²(x ∈ A)
だから、ここで s → とすると
t ∈ U =⇒ |f (x) − ft (x)| ≤ ²()
が成立つ。これは
t ∈ U =⇒ ||f − ft || ≤ ²
を意味するから、t → のとき (ft )t∈T は f に A 上一様収束する。
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定理 13.5 A 上の函数列 (fn )nN に対し、次の i),ii) をみたす正数列 (Mn )nN が存在すれば、級
P∞
数 n=0 fn は A 上一様収束する。
i) すべての n ∈ N に対し ||fn || ≤ Mn
P∞
ii) n=0 Mn は収束する。
Pm
Pm
証明 n=0 fn = sm 、 n=0 Mn = tm と置けば、p > q のとき、i) により、
p
X
||sp − sq || = ||
fn || ≤
n=q+1
p
X
p
X
||fn || ≤
n=q+1
Mn = |tp − tq |
n=q+1
が成り立つ。いま ii) により (tn )nN はコーシー列である。従って上の不等式により (sn )nN は一様
コーシー条件（定理 13.4 の b)）をみたす。従って (sn )nN は A 上一様収束する。
P∞
例 任意の整級数 f (z) = n=0 an (z − a)n は、その収束円板 D = {z ∈ C||z − a| < R} 内で広
義一様収束する。R=0 なら自明だから R > 0 とする。D に含まれる任意のコンパクト集合を K と
する。K 上での |z − a| の最大値を r とすれば 0 ≤ r < R で K ⊂ Dr = {z||z − a| ≤ r} となる。
r < |z0 − a| < R なる z0 で整級数は収束するから an (z0 − a)n → 0 となり、ある M ≥ 0 が存在し
て |an (z0 − a)n | ≤ M (∀n ∈ N ) が成立つ。このとき任意の z ∈ Dr に対し
|an (z − a)n | ≤ |an (z0 − a)n ||
z−a n
r
| ≤ M(
)n
z0 − a
|z0 − a|
となる。そこで r/|z0 − a| = ρ < 1 で
i) ||an (z − a)n ||Dr ≤ M ρn (∀n ∈ N )
P∞
ii) n=0 M ρn は収束する
P
が成り立つから、 an (z − a)n は Dr で、従って K で一様収束する。
解析概論 p155
或る区間に属する各点において、函数の一列
f1 (x), f2 (x), , fn (x),
n > N 、a ≤ x ≤ b なるとき、常に |f (x) − fn (x)| <
ならば、函数列 {fn (x)} は [a, b] において一様に ()f(x) に収束するという。
無限級数の項 an = an (x) が x の函数である場合に、或る区間において sn (x) =
Pn
n=1
an (x) が
一様に収束するとき、この級数を一様に収束するという。
換言
P∞
定理 39. 或る区間において常に |an (x)| ≤ cn , (n = 1, 2, ), cn は正の定数で、 n=1 cn が収束す
P∞
れば、級数 n=1 an (x) はその区間において一様に収束する ()。
[証]
|Rn,m | = |
m
X
n=n+1
m
X
an (x)| ≤
n=n+1
大学院別入試問題と解法 P14
[4]
5
cn ≤
∞
X
n=n+1
cn = rn
がに一様収束し各が連続ならばも連続である。
1 = {∀² > 0}
2 = {∃n0 ∈ N }
3 = {n ≥ n0 =⇒ |an − a| < ²}
4 = {x|0 ≤ x ≤ 1}
5=δ
6 · 6 7 · · · 7 8 = ~a 9 =
10 =
11 =
nbo
a
nbo
a
12 =
n
X
i=1
6
√
a