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2014 年度「ファイナンス保険数理特論」
補足１
— 正規分布の裾の評価 —
2014 年 5 月 9 日， 高岡浩一郎∗
【このファイルは２頁分です．
】
標準正規分布の密度関数を ϕ(x) と記すこととします，つまり
( x2 )
1
ϕ(x) := √
exp −
.
2
2π
本稿では，各正数 x に対して
∫ ∞
(1
1)
ϕ(x)
− 3 ϕ(x) <
ϕ(y) dy <
x x
x
x
を示します．この式を
ϕ(x)
x
で割ると，はさみうちから
∫∞
ϕ(y) dy
x
lim
ϕ(x)
x
x→∞
= 1
という性質も導かれます．
式 (1) の右側の不等号の証明
∫
(1)
∫
∞
ϕ(y) dy
x
y
ϕ(y) dy
x
x
=
=
∗ 一橋大学大学院商学研究科．E-mail:
∞
<
1
x
∫
∞
y ϕ(y) dy
x
ϕ(x)
x
【 ∵ ϕ′ (x) = −x ϕ(x) 】
[email protected]
1
(2)
式 (1) の左側の不等号の証明
∫
∫
∞
ϕ(y) dy
∞
=
x
x
=
>
=
=
}
1{
y ϕ(y) dy
y
ϕ(x)
−
x
ϕ(x)
−
x
∫
∞
ϕ(y)
dy
y2
x
∫
∞
(3)
y 3 ϕ(y)
dy
x3 y 2
x
ϕ(x)
1
− 3
x
x
【 ∵ 部分積分 】
∫
∞
y ϕ(y) dy
x
ϕ(x)
ϕ(x)
−
x
x3
精緻化
式 (3) の積分をさらに部分積分することにより
∫ ∞
∫ ∞
ϕ(x)
ϕ(y)
ϕ(x)
−
+
3
dy
ϕ(y) dy =
3
x
x
y4
x
x
が成り立つので，この式を上と同様に変形すると，式 (1) を
∫ ∞
(1
(1
1)
1
3)
− 3 ϕ(x) <
ϕ(y) dy <
− 3 + 5 ϕ(x)
x x
x x
x
x
と改良することができますし，それを基に式 (2) も
lim
x→∞
ϕ(x)
x
−
∫∞
x
ϕ(x)
x3
ϕ(y) dy
= 1
と改良することができます．式 (4) 右辺をさらに部分積分することにより，
{
}
∫ ∞
1
1
1·3 1·3·5 1·3·5·7
ϕ(y) dy ∼ ϕ(x)
−
+ 5 −
+
− ···
x x3
x
x7
x9
x
という 漸近展開 (asymptotic expansion) を得ることも可能です．
2
(4)