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解析学 I 補足資料
(極限の証明)
極限公式 (その 1)
sin x
=1
x→0 x
lim
Proof. x > 0 として，以下の三角形について考える．
B
A
C
D
このとき，(三角形 ABC の面積)<(扇 ABC の面積)<(三角形 ABD の面積) が成り立つ
ので，
x
1
1
· 1 · sin x < π · 12 ·
< · 1 · tan x
2
2π
2
すなわち，
sin x < x < tan x
⇔
1<
x
1
<
sin x
cos x
⇔
cos x <
sin x
<1
x
が成り立つ．ここで， lim cos x = 1 なので，はさみうちの定理より結局，
x→+0
lim
x→+0
sin x
=1
x
が従う．x < 0 の場合は，u = −x > 0 としてさきほどの不等式に代入すると，
cos u <
sin u
<1
u
⇔
cos x <
sin x
< 1.
x
よって， lim cos x = 1 より，はさみうちの定理から
x→−0
sin x
=1
x→−0 x
lim
sin x
= 1 が成立する．
x→0 x
となる．以上から左極限と右極限が一致し，極限の公式 lim
極限公式 (その 2)
ex − 1
=1
x→0
x
lim
ただし，ex =
∞
∑
xn
．
n!
n=0
Proof. ex の定義式から，0 < x < 1 において不等式
∞
∞
∑
∑
xn
x2
x3
1+x<e =
=1+x+
+
+ ··· <
xn = 1 + x + x2 + · · ·
n!
2!
3!
n=0
n=0
x
が成立する．したがって，
∞
∑
ex − 1
1
2
1<
< 1 + x + x + ··· =
xn =
.
x
1−x
n=0
1
= 1 より，はさみうちの定理から，
x→+0 1 − x
ここで， lim
ex − 1
=1
x→+0
x
lim
が従う．−1 < x < 0 の場合は，u = −x > 0 として，さきほどの不等式を利用すると，
1<
eu − 1
1
<
u
1−u
⇔
1<
1 − e−x
1
<
x
1+x
⇔
ex <
ex − 1
ex
<
x
1+x
ex
= 1 であるので，はさみうちの定理から
x→−0 1 + x
が得られる．ここで， lim ex = lim
x→−0
ex − 1
=1
x→−0
x
lim
ex − 1
= 1 が成立する．
x→0
x
となる．以上から左極限と右極限が一致し，極限の公式 lim