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幾何学演習
2014 年 11 月 27 日
問題 43.
（１） S n−1 は S n の部分多様体であることを示せ．
（２） m < n の時，S m は S n の部分多様体であることを示せ．
問題 44.
M, N を C ∞ 多様体，A ⊂ N を部分多様体，f : M → N を C ∞ 写像とする．
p ∈ M において
• f (p) 6∈ A または，
• f (p) ∈ A で (df )p Tp M + Tf (p) A = Tf (p) N
ならば，f は p ∈ M において A ⊂ N に横断的であると言う．全ての p ∈ M で f は A
に横断的であるとき，f は A に横断的であると言う．
[問] C ∞ 写像 f : M → N は部分多様体 A ⊂ N に横断的であるとき，f −1 (A) ⊂ M は
部分多様体であることを示せ．
問題 45.
C ∞ 多様体 M の一点 p ∈ M の回りに２つの座標近傍 (U, ϕ) （座標関数は
x1 , . . . , xn(），(V, ψ) （座標関数は)y1 ,(
. . . , yn ）があるとする．それぞれの定める
Tx M
)
∂
∂
∂
∂
,...,
，
,...,
，の間に次の関係式が
の基底，
∂x1 p
∂xn p
∂y1 p
∂yn p
成り立つことを示せ：
n
X
∂
∂yj
∂
=
, i = 1, . . . , n.
(ϕ(p))
∂xi p j=1 ∂xi
∂yj p
f
問題 46.
g
アーベル群の短完全系列 0 → A −→ B −→ C → 0 を考える．
(1) 次の２つは同値であることを示せ:
(a) 凖同型写像 ϕ : C → B で g ◦ ψ = idC を満たすものが存在する,
(b) 凖同型写像 ψ : B → A で ψ ◦ f = idB を満たすものが存在する.
(2) 上のどちらかが成り立つ時，B ∼
= A ⊕ C であることを示せ．
∼
(3) C が自由アーベル群の時，B = A ⊕ C であることを示せ．
問題 47.
向き付け不可能な連結閉曲面 Fk の Z-係数のホモロジー群を求めよ．
（F1 は RP2 ，
F2 はクラインの壺である．
）
a1
a3
a1
a3
a2
問題 48.
a2
マイヤー・ヴィートリス完全系列の接続準同形写像
∆q : Hq (K1 ∪ K2 ) → Hq−1 (K1 ∩ K1 ) を定義せよ．