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計算流体力学（第１回資料）
計算流体力学
2014年9月26日
計算流体力学（Computational Fluid Dynamics）における各種離散化解析手法
について理解する。なお，講義に関連した演習を随時行う予定である．
１．流れの支配方程式とその特徴
第1回 流れの支配方程式とその特徴・離散化解析手法
第2回 有限差分法（１）：差分近似（空間・時間の離散化）
第3回 有限差分法（２）：安定化手法
第4回 有限差分法（３）：一般化座標
第5回 有限体積法（１）
第6回 有限体積法（２）
第7回 有限要素法（１）：移流拡散方程式
第8回 有限要素法（２）：Navier-Stoke方程式
第9回 有限要素法（３）：安定化有限要素法
第10回 有限要素法（４）：直接法と分離型解法
第11回 有限要素法（５）：要素の近似特性
第12回 乱流モデル、自由表面流れ
第13回 連成問題
第14回 並列計算法、可視化手法
第15回 期末試験
評価：出席（50％），レポート・期末試験（50％）
参考書：土木学会編「いまさら聞けない計算力学の常識」丸善（3,200円＋税）
流体の分類
力学的に重要な流体の性質：圧縮性と粘性
→応力成分に関係
圧縮性(compressibility)：圧力によって体積が変化する性質
粘性(viscosity)：せん断変形速度に抵抗する性質
マッハ数：0.3程度
（流速が音速の0.3倍）
1.1 流れと物質の移流拡散問題（13話、14話）
流れの記述法
未知変数と支配方程式－保存則（質量、運動量、エネルギー）
流れ・物質の移流拡散問題の物理現象の特徴
1.2 支配方程式の型と特徴（13話）
偏微分方程式の型と特徴
物理法則に従った離散化の必要性
3
流れの記述法
Euler的方法：空間の各点各瞬間の流体の状態量（流速・圧力
密度）を固定座標系の位置と時間（x, y, z, t）の関数として記述
する方法。（ある固定した視点から流れを観察する立場）
Lagrange的方法：ある流体粒子の時々刻々の位置を追跡し、
これをその粒子の最初の位置と時間の関数として記述する方法。
（ある流体粒子の視点から流れを観察する立場）
Euler的方法
Lagrange的方法
4
流れを記述する未知変数と方程式
5
6
保存則
運動学的状態を表す未知変数：u,v,w（速度成分）
内部状態を表す未知量：p（圧力）, ρ（密度）
J
流体の力学的変化を記述する方程式（支配方程式）
・質量保存則（式１本）
・運動量保存則（式３本）
・エネルギー保存則（式１本）

n

未知数5つに対して、式が5つ成立するので未知数を決定することができる
非圧縮性流体の場合には、密度が一定なので未知数が4つになる
→質量保存則と運動量保存則のみで未知数を決定することができる
流れの支配方程式
7
保存則
質量保存則
Gaussの発散定理
運動量保存則
エネルギー保存則
：微分形の保存式
J・n
支配方程式の導出（微視的見方）
流れの支配方程式の導出（微視的見方）
連続式の導出（2次元）
dt時間内に微小四辺形内に運ばれる流体の質量
  ( u )  ( u ) 
dxdydt
 

y 
 x
面ABをdt時間内に通過する流体の質量
dx  ( u ) 

M AB   u 
dydt
(1)
2 x 

dt時間内における微小四辺形内の流体の質量の増加量
 ( dxdy)

dt 
dxdydt
t
t
面CDをdt時間内に通過する流体の質量
dx  ( u ) 

M CD   u 
(2)
dydt
2

x軸に垂直な面を通してdt時間内に微小四面体に運び込まれる流体の質量
dx  ( u ) 
dx  ( u ) 


M AB  M CD   u 
dydt   u 
dydt
2 x 
 ( u )
dxdydt

x

2
x 
(3)
y軸に垂直な面を通してdt時間内に微小四面体に運び込まれる流体の質量
 ( u )
M BC  M AD  
dxdydt
(4)
y
流れの支配方程式（微視的見方）
質量
(7)
質量保存則（オイラーの連続方程式）
   ( u )  ( v) 
0


t  x
y 
(8)
非圧縮性流体の場合（  一定の場合）
u v

0
x y
(9)
外力（質量力，圧力，粘性力）
p dx 
p dx 


Fx  dxdyX   p 
dy
dy   p 
x 2 
x 2 


 dx 
 dx 


  x  x
dy
dy    x  x
x 2 
x
2




(1)
m : 質量， : 加速度，F : 外力
m  dxdy
  ( u )  ( u ) 

dxdydt
dxdydt  

y 
t
 x
流れの支配方程式（微視的見方）
Newtonの運動の第2法則
m  F
(6)
(5)=(6)
x 

(5)
(2)
 xy dy 
 dy 


dx   xy  xy
dx
  xy 
y 2 
y 2 


 xy

p
 dxdyX  dxdy  x dxdy 
dxdy
y
x
x
加速度
 u
u u 
 v  dt
u ( x  udt , y  vdt , t  dt )  u ( x, y, t )   u
y t 
 x
 v
v v 
v( x  udt , y  vdt , t  dt )  v( x, y, t )   u  v  dt
y t 
 x
(3)
(4)
 x  lim
u Du
u
u ( x  udt , y  vdt , t  dt )  u ( x, y, t ) u

u
v

dt 0
t
x
y Dt
dt
(5)
 xy 

p 
dxdy
  X   x 


y 
x
x

v
v Dv
v( x  udt , y  vdt , t  dt )  v( x, y, t ) v
 y  lim
 u v 
dt 0
t
x
y Dt
dt
(6)

p  xy  y

Fy   Y  
y x
y


dxdy

(7)
(8)
流れの支配方程式（微視的見方）
 xy
 u
u
u 
p 
u
 v   X   x 



x
y

x

x
y
t


(9)
 
 v
p  xy  y
v
v 

 u  v   Y  
y x
y
x
y 
 t
(10)
 
粘性応力
偏微分方程式の型と特徴
判別式

  x  2 u

x
v

  y  2

y

 v u 

 xy    x  y 



(11)
  2u  2u 
1 p
u
u
u
u
v
X
   2  2 
 x  x y 
t
x
y
(12)
平衡問題のように閉じた境界条件が関係する問題（定常問題）
・・・・楕円型
伝播問題のように開いた境界条件が関係する問題（非定常問題）
・・・・放物型or双曲型
  2v  2v 
v
v
v
1 p
  2  2 
u v Y 
y
t
x
 y  x y 
(13)
Q: なぜ型を意識するのか？
A: 型により解の特徴が異なる→ふさわしい数値解法が異なる
Navier-Stokesの運動方程式
放物型方程式
楕円型方程式
Laplace方程式
u  2u

t x 2
 

0
x 2 y 2
2
2
境界条件：板の境界で温度が
単調（直線的に）増加
y
t=0.001
(t  0,  x  )
t=0.003
初期条件： u ( x,0)   ( x) (  x  )
y
l
境界条件： u (, t )  0 (t  0)
2
P
y
0
x
0
x
l
x
特徴：
任意の点における楕円型方程式の解は，その周辺の点の値の平均値になる
→差分法、有限体積法では中心差分近似，有限要素法ではGalerkin法が
ふさわしい
多くの定常の場の問題
u
拡散方程式
T
u  u ( x, t ) 
山の高さは
1
2 t
e

x
4t

1
2 t
e
1 x
 ( )( ) 2
4
t
t=0. 01
t=0.1
x
t に反比例して小さくなり，山の裾は t に比例して広がる
特徴：１）解の空間的広がりに方向性がない→差分法・有限体積法では中心
差分近似，有限要素法ではGalerkin法がふさわしい
２）解の時間的変化は領域全体にわたり，時間に関して指数関数的
（瞬時）に拡散する →陰的方法が望ましい
熱伝導問題，拡散問題，地下水流れなど
まとめ
双曲型方程式
波動方程式
2
 2u
2  u
c
x 2
t 2
u
u
c
 0 (t  0,  x  )
t
x
(  x  )
初期条件： u ( x,0)   ( x) 厳密解： u  u ( x, t )   ( x  ct )
u
u2
u2
t
u1
解の空間的、時間的特徴
u1
x
特徴：
１）解の空間的広がりに方向性があり，与えた伝播速度で形を保ちながら伝わる
→空間の離散化には差分法・有限体積法では風上差分近似，有限要素法では
安定化有限要素法（Petrov-Galerkin法）を用いる
２）解の時間的変化は，局所的であり，領域全体にわたらない
→陽的方法を有効に用いることが可能となる
ふさわしい離散化
楕円型 周辺の値の平均値になる
中心差分近似，Galerkin 有限要素法
放物型 ・方向性がない
・大域的な時間的変化
中心差分近似，Galerkin 有限要素法
陰解法
双曲型 ・方向性がある
・局所的な時間的変化
風上差分近似，安定化有限要素法
陰解法、陽解法
波動問題，流れ問題など
方程式の共通性（混合型方程式）
物質の移流拡散問題
拡散方程式
（放物型）
移流拡散方程式
移流項が卓越：双曲型
拡散項が卓越：放物型
拡散項
拡散現象
移流方程式
（双曲型）
類似性が強い
移流項
移流現象
非圧縮性粘性流体解析（Navier-Stokes方程式と連続式）
移流拡散方程式
（混合型）
移流項
移流項が卓越：双曲型
粘性項が卓越：放物型
拡散項
移流拡散現象
流れ問題
流れ問題
Laplace方程式
（楕円型）
Stokes方程式
（放物型）
・・・・粘性流体（遅い流れ）
粘性項
Euler方程式
（双曲型）
・・・・非粘性流体、渦あり流れ
移流項（非線形項）
Navier-Stokes方程式
（混合型）
・・・・粘性流体
移流項
圧力のPoisson方程式
（楕円型）
・・・・非圧縮性粘性流体
粘性項
（Fractional Step法）
完全流体で、静止状態から発生した流れは渦なし流れ
（非粘性なので流体粒子を回転させる力が生じない）
非圧縮粘性流れ（Navier-Stokes方程式）
慣性力項（双曲型）
混合型
無次元化
放物型
楕円型
双曲型
渦あり流れ
・・・・完全流体、渦なし流れ
流体と熱の数理モデル化
放物型
渦なし流れ
混合型
圧力項
物体力項
粘性力項（放物型）
流れの発生により生じる項
Navier-Stokes方程式の特徴
Reynolds数とは
慣性力
と
粘性力
の大きさの比を表す無次元のパラメータ
小さい  遅い流れ、ねばねばした流れ
Re 
大きい  速い流れ、さらさらした流れ
１）Re数の大きさにより方程式の性質が変化する
２）Re数の大きさにより境界層厚さが変化する
３）Re数の大きさにより渦の大きさが変化する
４）Re数が大きくなると3次元性が容易に現れる
Navier-Stokes方程式の特徴
Navier-Stokes方程式の特徴
２）Re数の大きさにより境界層厚さが変化する
境界条件 u (0)  1, u (1)  0
慣性力項（双曲型）
圧力項
物体力項
粘性項（放物型）
u
厳密解
Re=100
1
Re=50
Re=10
１）Re数の大きさにより方程式の性質が変化する
Reynolds数が小さい→放物型方程式の特徴を呈する
Reynolds数が大きい→双曲型方程式の特徴を呈する
この場合注意→風上化の必要性
Re : 小
Re : 大
0.5
0
0
粘性流れの場合:境界層厚さが薄くなる
0.2
0.4
0.6
0.8
1 x
Navier-Stokes方程式の特徴
Navier-Stokes方程式の特徴
有限要素分割図
円柱近傍の有限要素分割図
u = fre e ,v = 0
16h
u=1,v=0
円柱周り；
u=v=0
計算条件
u = fre e ,v= 0
Re=50,500,5000
Δt=0.005
32h
総節点数；11924
総要素数；23424
最小メッシュ幅；0.00548h
Navier-Stokes方程式の特徴
Navier-Stokes方程式の特徴
Re=50
Time=100
双子渦の形成
Re=500
Time=100
規則的な後流渦
Re=50
Re=500
Re=5000   1
Re
Reが大きくなると境界層厚さが薄くなる
→壁付近で細かい要素分割が必要になる
Re=5000
Time=100
後流渦に乱れ
Navier-Stokes方程式の特徴
Navier-Stokes方程式の特徴
３）Re数の大きさにより渦の大きさが変化する
１次元を仮定： u
u
x
Re=1,000
速度の一つのフーリエ成分
または外部的に与えられた撹乱
1 2
非線形項の働きにより，振幅 u は u
2
波数 k は 2k
高周波成分を作り出す
Re=10,000
小さな渦の発生
Navier-Stokes方程式の特徴
４）Re数が大きくなると3次元性が容易に現れる
Navier-Stokes方程式の特徴
円柱周りの流れ解析
u=v=w=free
u=1, v=w=0
16D
u= w= fre e , v= 0
u= w= fre e , v= 0
8D
24D
Re  103
Re  105
3D
pe rio dic bo nda ry
pe rio dic bo nda ry
Navier-Stokes方程式の特徴
Re=100
Navier-Stokes方程式の特徴
2次元計算の結果を鉛直方向に
積み重ねて3次元計算を行った
Re=100
2.0
CD
C D and C L
1.0
CL
0.0
2D cal.
3D cal.
-1.0
-2.0
100
Navier-Stokes方程式の特徴
140
160
Time
180
200
Navier-Stokes方程式の特徴
2次元計算の結果を鉛直方向に
積み重ねて3次元計算を行った
Re=1,000
2.0
CD
1.0
C D and C L
Re=1,000
120
CL
0.0
2D cal.
3D cal.
-1.0
-2.0
100
120
140
160
Time
180
200
Navier-Stokes方程式の特徴
Navier-Stokes方程式の特徴（まとめ）
抗力係数
3.0
exp.: Cantwell
2D cal.
3D cal.
2.5
CD
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0 1
10
102
10 3
104
Re
105
106
107
１）Re数の大きさにより方程式の性質が変化する
（Re大：双曲型，Re小：放物型）
２）Re数の大きさにより境界層厚さが変化する
（Re大：境界層厚さが薄くなる）
３）Re数の大きさにより渦の大きさが変化する
（移流項は小さい渦を発生させる働きがある）
４）3次元性が容易に現れる（Re>200）
この特徴の理解は，離散化とメッシュ生成を行う上で重要