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埼玉工業大学
テーマ Q11：
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
2 重積分を解く－1/2
2 重積分を解く
問題
直線 y  2 x と x 軸および y 軸に囲まれた領域を C とするとき，2 重積分 I   x  y dxdy
C
を次の順序で解け。
(1) dy で積分した後、dx で積分せよ。
(2) dx で積分した後、dy で積分せよ。
解答
(1) 図より， y の積分範囲は 0→2x， x の積分範囲は 0→1 となり，先に y に関して積分
を行い，次に x に関して積分を行います．
y
2
C
2x
y の積分範囲
は 0 から 2x
x
O
I   x  y dxdy  
C

1
2x
0
0
x  y dy
1
x
dx
ここで，x は定数とみなして y について積分すると

I  
0

1
(2)
2x
1
1
1

 x3 
y 2  
4
2
2
2
 xy  2   dx  0 2 x  2 x dx  40 x dx  4 3   3

 0 
 0

図より，x の積分範囲は

y
→1，y の積分範囲は 0→2 となります．先に x に関して積分
2
を行い，次に y に関して積分を行います．
y
2
C
y
x の積分範囲
は y/2 から 1
O
y/2
1
x
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2
I   x  y dxdy   
C
0

機械工学学習支援セミナー（小西克享）
2 重積分を解く－2/2

 x  y dx  dy
1
y
2
ここで，y は定数とみなして x について積分すると
1
I 
2
0
2
2 1
2 1
 x2

y2 y2 
5y2 

 2  yx  y dy  0  2  y  8  2  dy  0  2  y  8  dy






2
2
 y y2 5 y3 
 2 2 2 5  23 
5 4
 


 
 1 2  



24  0  2 2
24 
3 3
2 2
参考：x と y の積分の順番を変えても，答えは同じになります．
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/LeastSquares.pdf
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