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力学・波動 II 試験 2014 年 2 月 7 日 9·10 時限
学科 (
) 学籍番号 (
)
氏名 (
)
解答はこの用紙に記入すること．計算用紙 (A4) は回収しません！
問 1 (x, y, z) 表示で A = (ax , ay , az ), B = (bx , by , bz ) と表されるベクトル
A, B がある．下記の量をもとめよ．
(1) |A| =
問 4 図のように，地上に固定した慣性系 Oxyz と，
y
z(=ζ) 軸まわりに一定の角速度の大きさ ω で
反時計回りに回転する座標系 Oξηζ がある． η
Oxyz 系の基本ベクトルは i = (1, 0, 0)，j =
(0, 1, 0)，k = (0, 0, 1)，Oξηζ 系の基本ベク
トルは eξ ，eη ，eζ である．それらの間には，
z =ζ
ωt
eξ = cos(ωt)i+sin(ωt)j ，eη = − sin(ωt)i+
0
cos(ωt)j ，eζ = k の関係がある．ω = weζ
とし，以下の問いに答えよ．
(1) 本文中の eξ ，eη から e˙ ξ ，e˙ η を求めよ．i，j を用いて記すこと．
ξ
x
(2) A · B =
(2) e˙ ξ と ω × eξ の間の関係式，e˙ η と ω × eη の間の関係式をそれぞれ示せ．
(3) A と B がなす角度を θ としたときの cos θ の値
問 2 図のように，地上に固定した慣性系 Oxyz
に対して一定の加速度 A で併進する座
標系 Ox y z がある．Oxyz 系および
Ox y z 系から見た質点 P の位置ベク
トルをそれぞれ r ，r とし，Oxyz 系か
ら見た Ox y z 系の原点の位置ベクトル
を R とする．
z′
z
R
o
x
o′
y
r′
x′
r
y′
(3) Oξηζ 系から見た質点の位置ベクトルが r = ξeξ + ηeη として表されると
き，速度 r˙ を v ，ω ，r を用いて表せ．ただし，v は Oξηζ 系から見た
˙ ξ + ηe
˙ η である．[ヒント：(2) の結果を用い
質点の速度，すなわち v = ξe
る．]
P
(1) r を R と r を用いて示せ．
r を a ，v ，ω ，r を用いて表せ．ただし，
(4) (3) の r に対して，加速度 ¨
¨ ξ + η¨eη である．
a は Oξηζ 系から見た質点の加速度，すなわち a = ξe
[ヒント：(2) の結果を用いる．]
r をAと¨
r を用いて示せ．
(2) 加速度 ¨
問 3 問 2(2) の結果を用いて，加速中の電車の中で，大きさの無視できる質量
m の物体を真上に投げ上げるときの物体の運動について調べる．ここでは
図のように，地表に固定した静止座標系 (Ox,y 系) と電車に固定した加速
並進座標系 (Ox ,y 系) を用いる．Ox,y 系は，水平，鉛直方向にそれぞれ
x，y 軸をとり，Ox ,y 系は，電車の床に沿った水平方向に x 軸，鉛直方
向に y 軸をとる．時刻 t (t
0) での電車の加速度 A は Ox,y 系から見
て A = (−2t，0) である．さらに，Ox ,y 系から見た t=0 での物体の位置
r0 と速度 v0 はそれぞれ r0 = (0，0)，v0 = (0，v0 ) (v0 > 0) とする．
ここで，ベクトルの表記 (X ，Y ) の X と y
Y は各座標系の水平方向と鉛直方向の成
分をそれぞれ表す．なお，物体は電車の
電車
y′
床以外には衝突しないものとし，さらに
空気の抵抗は無視できるものとする．ま
物体
た，重力加速度の大きさは g とする．以
x′
O′
下の問いでは，物体が最初に床に衝突す
x
O
るまでの運動を考える．
(1) Ox ,y 系から見た物体の運動方程式を m，g などを用いて表せ．なお，Ox
系から見た物体の加速度は (¨
x，
y¨ ) と書くこと．
,y
(5) 質点の質量が m のとき，Oξηζ 系での質
点の運動方程式「ma = · · ·」の右辺に
はコリオリの力 2m(v × ω) が含まれる．η
右図のように，ある時刻における質量 m
の質点 A，B の Oξηζ 系から見た速度が
それぞれ v = |v|eξ ，v = −|v|eξ で
あったとする．このときの質点 A，B に
z =ζ
はたらくコリオリの力をそれぞれ矢印で
図示せよ．矢印の長さは 1 cm 程度とせ
よ．なお，図には質点 A，B を通り ξ 軸
に直交した点線 (補助線) を記した．
,y
系から見た時刻 t での物体の速度 (x˙ ，
y˙ ) を示せ．
ξ
B
A
ωt
x
0
問 5 図のように，滑らかな水平面上で，質量がともに M の 2 つの物体 A，B
が一直線上で衝突する場合を考える．物体 A，B がそれぞれ速度 VA ，VB
で衝突するとき，A，B の衝突後の速度はそれぞれ VA ，VB であった．ま
た，衝突の際，A の運動エネルギーと B の運動エネルギーの和は保存され
たとする．以下の問いに答えよ．
VA
(2) Ox
y
A
VA′
VB
B
衝突前
x
A
VB′
B
衝突後η
x
(1) A の運動量と B の運動量の和の保存の式を示せ．
ωt
z =ζ
(2) A の運動エネルギーと B の運動エネルギーの和の保存の式を示せ．
0
(3) VA ，VB を VA ，VB を用いて表せ．
(3) 物体が床に衝突する時刻を示せ．
(4) 物体が床に衝突する位置を Ox
を用いて表せ．
,y
系で表すと (x1 ，0) となる．x1 を v0 ，g
(4) (3) の結果を用いて，はね返り係数 e = −(VB − VA )/(VB − VA ) を求めよ．
問 6 図 の よ う に ，長 さ ，質 量 m の 一 様 な 棒 の 一 端 を ，摩 擦 の あ る 鉛 直 問 8
な壁に押し当て，他端には軽くて伸びない糸を結び，その糸の他端を
y
棒が水平になるように壁に固定する．このと
き，糸と棒のなす角は θ (> 0) とする．θ が
(1)
θ0 より大きいとき，棒は滑り出す．tan θ0 を
下記問いに順に答えることで求めよ．なお，物
糸
体と壁の間の静止摩擦係数は μ，重力加速度 壁
の大きさを g とする．また，図のように，棒
に沿って x 軸，壁に沿って y 軸，xy 面に垂
θ
棒
直に z 軸をとる．棒の端と壁との接点は原点 z
x
P
G
O であり，棒の他端を点 P ，棒の重心を点 G
O
とする．ベクトルは成分 (x, y, z) で表示せよ．
−
−
→
(1) OG を
x 軸上を進む 2 つの波 y1 = A sin(kx − ωt)，y2 = A sin(kx + ωt) (t は
時刻，x は位置，A，k，ω は正の定数) の合成波 y = y1 + y2 について以
下の問いに答えよ．
y を x だけを変数とする三角関数と t だけを変数とする三角関数の積の形
で表せ．
を用いて表せ．
(2) 棒にはたらく力は，重力 fg ，壁からの垂直抗力 TO ，ひもからの張力 TP ，
壁からの摩擦力 fO である．これらを M ，g ，θ ，T ，T ，f のうち必要な
ものを用いて示せ．ここで T は壁からの垂直抗力の大きさ，T はひもから
の張力の大きさ，f は摩擦力の大きさを表す．
(2) (1) の y が x=0 で固定端 (節)，x=L で自由端 (腹) となる定常波を表す
とする．許される定常波の波長 λ を L と n(=0，1，2，3，· · ·) を用いて
表せ．
• 棒にはたらく重力 fg =
• 壁からの垂直抗力 TO =
• ひもからの張力 TP =
• 壁からの摩擦力 fO =
(3) (2) の結果を用いて棒にはたらく力の合力 F を求めよ．
(4) (1)，(2) の結果を用いて原点 O まわりの力のモーメントの和
−→
−
−
→
N =OP × TP + OG × fg を求めよ．
問 9 図のように，質量 M ，長さ の一様な棒に対して，
棒の重心 G から距離 h だけ離れた棒上の点を原点
O に固定する．ここで座標軸は，z 軸を鉛直下向き，
xy 面を水平にとり，y 軸の正の向きは紙面裏から
表の向きになるようにとる．この棒を y 軸を回転軸
として xz 面内で小さく振動させた (振り子運動).
棒が z 軸となす角を図のように反時計まわりに測っ
て θ とし，時刻 t での θ を θ(t) と表す．重力加速
度の大きさを g として，以下の問いに答えよ．
y
O
x
h
θ
G
z
(1) y 軸まわりの棒の慣性モーメント I を M ， ，h を用いて表せ.
(5) θ = θ0 のとき，f は最大静止摩擦力 fmax である．この fmax を μ，T を
用いて示せ．
(2) 時刻 t のときを考える．原点 O まわりの棒の重力のモーメントの y 成分
Ny を M ，g ，h，θ(t) を用いて表せ.
(6) θ = θ0 の場合を考える．(3)，(4)，(5) の結果と剛体のつり合いの条件式
(F =0，N =0) から T と T を消去して tan θ0 を求めよ．
¨ ，θ(t)，M ，g ，h
(3) 角運動量の y 成分 Ly についての運動方程式を I ，θ(t)
を用いて表せ．
4
3
α
β
2
y [m]
問 7 図のように x の正の向きに一定の速
さで進む波を考える．波は時刻 t=0
s のときは α の波 (実線) であり，
2π
2π
x+
y = 3 sin
[m] で表
3
3
される．時間 1 s の間に波は x の
正の向きに 2 m 進み，t=1 s では
β の波 (点線) になる．以下の問い
に答えなさい．
(4) (3) の結果に対して，θ(t) が 1 より十分に小さい場合 (sin θ(t) ≈ θ(t) が成
˙
= 0 とすると
り立つとき) について考える．初期条件を θ(0) = θ0 ，θ(0)
き，θ(t) を I ，M ，g ，h，θ0 ，t を用いて表せ．[ヒント：c, a, b を定数と
2 θ(t) の一般解は θ(t) = a cos(ct) + b sin(ct) である．]
¨
するとき，θ(t)=−c
1
0
–1
–2
–3
–4
–1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x [m]
(1) 時刻 t [s]，位置 x [m] での波の式を示せ．
(2) この波の振幅 [m]，波長 [m]，波の速さ (位相速度の大きさ) [m/s]，初期
位相 (t=0 s かつ x=0 m での位相) [rad]，角振動数 [rad/s]，周期 [s] を
示せ．
振幅:
初期位相:
,
波長:
, 角振動数:
,
波の速さ:
, 周期:
(5) (4) の結果から，棒の振り子運動の周期 T を I ，M ，g ，h，円周率 π を用
いて表せ．