広島工業大学紀要研究編 第3 7巻 ( 2 0 0 3 )p p . 4 9 5 7 論 文 H∞理論に基づく 3重倒立振子のスライデイングモード制御 川辺尚志*・山中智司** (平成 1 4年 6月2 5日受理) SlidingModeControlf o ranInverted-TriplePendulumSystem BasedontheH∞ ControlScheme H i s a s h iKAWABEandTomoshiYAMANAKA ( R e c e i v e dJ u n .25, 2 0 0 2 ) Abstract As t a b i l i z a t i o nc o n t r o lf o rani n v e r t e d t r i p l ependulumsystemconnectedi ns e r i e si s ,andbyusinga i n v e s t i g a t e dbyf o r m u l a t i n gar e d u c e d o r d e rmodele x c l u d i n gt h ec a r tv e l o c i t y s l i d i n gmodec o n t r o l l e r(HSMCJbasedont h eH c o n t r o ltheory,ac o n v e n t i o n a lH s e r v o ∞ ∞ andaf r e q u e n c y s h a p e dr e g u l a t o r(FSLQJt ocomparet h er o b u s tperformance c o n t r o l l e r(HIC), a g a i n s tad i s t u r b a n c ei m p u l s i v e l ya p p l i e dt ot h e3 ' dl i n k . Byapplyingt h eloop-shapedH ∞ c o n t r o lschemet ot h ed e s i g no ft h es w i t c h i n gp l a n eo ft h es l i d i n gmode, t h er o b u s th y p e r p l a n e withbothf r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i c sandi n t e g r a lo n e scanbee a s i l yr e a l i z e devent oam u l t i l i n k o l e s . TheHSMCsystemd e s i g n e dheree x h i b i t sc o n s i d e r a b l ye x c e l l e n t systemhavingt h ejwp r o b u s t n e s sa scomparedwitho t h e rr o b u s tc o n t r o lsystemsbeginningwitht h eHICandFSLQ s y s t e m s . o n t r o l l e r,S l i d i n gmodec o n t r o l,Loopshaped KeyWords:I n v e r t e d t r i p l ependulum,H∞c 明 Frequency-shapedr e g u l a t o r, Reduced-ordermodel method, 倒立振子系の安定化の特徴は,台車に非駆動関節により 1. は じ め に 連結された振子を台車の水平移動により安定化させること 宇宙構造物,柔性ロボットアーム,情報機器,橋梁構造 である O すなわち,少ない制御力により,多くの一般化座 物等をはじめ,柔構造系のアクティブ制御技術が新しい制 標をシステムに内在する動力学的特性を利用することで操 御理論の応用分野として発展してきた1.2)。なかでも振子 作する必要があるため制御難易度が増すといえる。 系の振動制御に関しては,支点水平移動方式 3) に比べて支 本研究は,まだ成功例の少ない 4自由度の直列型 3重倒 点鉛直移動方式 4-7) や重心移動方式 8-101 の非線形ロバスト 立振子系の安定化問題について ,H∞制御設計を応用した 制御に関する研究は少ない。一方,代表的な不安定柔構造 スライデイング・モ」ド制御則を適用して,そのロバスト 物としては倒立振子があり,その制御則性能を検証するた 制御性能を検証するものである O この直列型 3重倒立振子 めの非常に多くの研究がなされているが,多重リンク結合 系については,J11谷ら 141 による H∞ループ整形法 lo1 を適 系やスピルオーバ問題を内在する多重フレキシブルリンク 用した成功例はあるが,スライデイング・モードの超平面 系の安定化運動制御に関しては,パラメータや不安定要因 設計に組み込んだ応用例はあまり見られず意義があるもの の多さから成功報告例は少ないように思われる 11-131。 と考える附。 *広島工業大学工学部知能機械工学科 日広島工業大学大学院工学研究科機械システム工学専攻(現在,大日本精機械) 4 9 川辺尚志・山中智司 となる。ただし, シミュレーションと実機の両面から,通常の H∞制御系 や周波数整形レギュレータ系よりも優れたロバスト性を示 。sf Z=[8 2 1θ すことが分かつた。 P3 イ =I P2 P8 P9 P¥O I 2 P3 P9 P I I P 2 . モデリング 図 1に直列型三重倒立振子系のモデルを示す。また,使 G 台車系の等価減衰係数 [Ns/m] A 電圧/トルク変換係数 [N/vJ 9 重力加速度 [m/s2] O t I > = :i , 12, 3リンクの回転中心から重心まで、の距離 [ m ] i , 12 , 3リンクの X 方向における重心位置 [mJ また,各パラメータは 1 , 2 , 3リンクの Y方向における重心位置 [ m ] 台車の変位 [mJ ( t ):リンク1, ψl 年) Z( t ):リンク +m~+t~~+t~~+tmA+~+~+~ l 1 P 2=~m21112 +m31 1 2+~m31113 +m)21 3+tm2 i 2の鉛直振れ角 [ r a d J +m)i+tmi~ +J 2+J 3 1, 2, 3の鉛直振れ角 [ r a d ] l P 3=~m31113 +~mi213 +tm3 i+J 3 1 1 +~m212 十 m3 1 + m i2+~ m31 3 P4=~mlll +m2 1 ) g I 2+tm3 g1 3 P 5=(tml+m2+m3 ) g l l+(~m2 +m3 P 6=(tm2+m3 ) g I 2+~m3g13 1 p7=tm3 g 3 1 2 3+im2 l i+mii+im3l i+J2+J ) P 8=m31 l P 9=tm) 1 21 )+im3 i+J) 1 1 P I O=tm2 2+m31 2+tm3 ) 制御入力 [v] y , 2 2 1 1 1 P I= m 2 1 1 1 2+mi11 3+m31 2 3+2m 3 1 2+m2 l t+m3l j 8 ( t ) :i= 1, 2, 3番目のリンクの振れ中心角 [ r a d ] i u ( t ) l ;tIlli--11}}﹄│ l ﹃ ﹂ YiG FIll--1111111111L : 叩山 XiG -P7 -P7 O O aaT :i= -P6 -P7 a斗 l iG [Nms/radJ -P6 -P7 0 x :i= , 12, 3番目のリンクの等価減衰係数 (2) 制 ε ん G o O 0 l l d 1 μ3 O nunUAU i= , 12 , 3番目のリンクの慣性モーメント [kgm2J 0 〆 7 ・ : O d 一一一 ﹁ 11111111111111L Ji 。 O 一 一 。 :i :i= , 12, 3番目のリンクの長さ [mJ μ2 O O , 12 , 3番目のリンクの質量 [ k g J mi l i O oooa 一 一 r 台車系の等価質量 [ k g J p 、 ,ppo M εm4x4 P4 P I O PI2 PI3 用するパラメータを以下に示す。 s 4 x l E9 t 3 a P l l=tm)li+J) P I 2=tm)l) P 1 3= M+ ml+m2+m3 (3) 状態変数を i r= x=[ z; [同略的 s; B I B )s rε沢8xl 2 B (4) とおくて、状態方程式は次式になる O pF=AX+Bu lY=Cx (5) 叩λ ε BX 16till-J odA Ihr J ﹁lilt-L B o x 一 一 B φ 。 -筑 ε ,a de- ﹁ t P I l l i l l d o1 0 00 4 x ) 0 4 x l c=IO 0 1 0 I E筑 5勺 E9{l x l W > とし,ラグランジェ法j)によるモデリング (XiG, y o0 0 1 o 0 0 0 Olx) を隷形近似した行列表現すると,結局 Ai+φi+fJz =Fu 。 FilEBIllL 1 0 0 0 図 1より ,i =1 , 2, 3番目のリンクの X,Y方向の重心変 位を 41 一 x0町 A 一 一 A F i g . 1 M o d e lo fa ni n v e r t e d t r i p l ep e n d u l u ms y s t e m -A ただし、 (1) 5 0 ← (6) H∞理論に基づく 3重倒立振子のスライディングモード制御 なお関連する具体的パラメータは付録 ( A -l )~ (A-3)に ) ( 14 u珂 =-Bi1{-C kμk Z k+BkYJ)+A]JxJ+A22x2} 0 ) で与えられる。ただし式(7 ) , ( 1 より Y2=X2=Sであり, 示す。 4 0 )で述べるように また式 ( 3 . 制御系の設計 ) ( 15 CpZk = X l の関係を用いる O 3 . 1 スライディングモード制御則の設計 ここでは特に,滑り面が動特性を有するロバスト超平面 次に滑り面 I f /=Oへの制御力 U n lとして,リアプノフ関 数を Y=jv2 u , B7d +(A x x2. 2UJ2. ) ( 16 d と定義し,次に示す比例到達則 ま より決定する。ヤ=lf/I/;<O とを満たす制御力は Unl-B;lkl f / 崎 4十 a , 今 aJii , となるので,最終的に制御入力 U=Ueq+Unlは )+A2 A k zk+Bi U= B;lj-Ck( f /I 1CpZk+A2 ; Yl 2 Y2+kl AU , , BLdl l ﹃ 1 1 1 1 1 1 1 1 ,J γ F ' BBe B6 al2 a ードパック型のスライデイングモード制御系の構成を示 3 今 し,従来の状態フィードパック型に比べて観測器を必要と 恒川 (8) しないので設計が容易である。 3 . 2 滑り面を形成する線形オペレータの設計 の関係を用いて次式が得られる。 [ ; ; ] = [ : : : 2 1 [ : ; J t j u [ ; J= : ; ] [ に と1 [ 2 2 ] = M ベ =CT-1 1 x 1 1 x 7 7 x 7 9 1 7 x l, 91 A21ε91 , A l lε91 AI2 E A22ε 4 x l J { B2E 筑 l C1E ¥ 線形オベレータを有する切換超平面の設計には特に 5 ) 4 .1 らによって提案された H∞制御ループ整形 McFarlane1 j 去を用いる。これはスライデイングモード制御系と H的制 御系の持つロバスト性を融合させてより強固なロバスト性 を持たせるためである。ループ整形法は ,H∞ノルムの上 限値 yを反復せずに解が得られることやプラントに原点極 が存在する場合でも求解可能なため倒立振子系の制御系設 計に適すると考えられる。 まず,式(7)の入力の数だけ低次元化した次式を実プラ ント P ( S )と考える O ヲ ぺ e (9) 丸寸 A l 川口 日1 ) ( 19 Y l=C1X 1 ただし S ) Shapedp l a n tρ( [ 00 [ 00000 00 o1100 C C,=1 可EA ) ハU ( o0 1 0 0 0 0 o0 0 1 0 0 0 )より とする。ここで,式(7 ) , ( 10 ) 3 ) 2 ( [ θ 1 ( Y l= s f'Y2=S ( 1 1 ) とする。 1 1 ))に対し,切換関数 vを また,正準系(式 ( ( 1 2 ) X l )+X2 I f /= - S( と定義する O ただし, X l )は式(13 )に示すダイナミクス S( を有する線形オベレータで, S )y = K o o( lの関係とする o X l ) S( J k=Akz k+BkYl k- Z 品 l s ( x kZ k 1) =C ) ( 13 F i n a lc o n t r o l l e rKjs) まず,スライデイングモード状態での等価制御入力 Ue q は , ) ( 18 )はねが観測可能であれば出力フィ で与えられる。式(18 , 守 6 ・ 伐 Ill1ds J2 合内, 17J tax 玖 一U Vル一 ,r L l川 11111E ﹁ 7-v J1f 工 ﹂が寸 へ下 、}ノ,, ) ( 17 1/;=- k l f / (7) 蜘 変 の 4 4 'φ4 3u1 am I θ 巧む 鳥ι4 ++:JJ1Illl 11---:一 Ja 町 1212;7 く =一一一一=し﹁ │ L Z 引ー一 2 、ご一一一一 ・ x ・ y y u T x x x a 17 x ri--lli l1111L ナ人 ト バ A ACC'I を設計する。まず式(5)を可制御正準系に変換する O ψ=0から F i g . 2B lo c kd i a g r a mo l a n t faugmentedp 5 1 川辺尚志・山中智司 2 4 ), 図 2に示す破線で囲んだ整形プラント P は,式 ( T Y m i n= + 仏 (XZ) ( 2 5 )のそれぞれの設計仕様を満たす前・後補償器 W1,W2 で低次元化プラント P cs)を周波数整形した形長 =W P W 2 ここで, 1 ( 3 2 ) λmax は最大囲有値を示す c ( i i i ) 不等式 Y>Y m i n を満足する Y=1 .0 5 Y m i n に対して, となる O 伝達関数行列 G ( s )のドイル記述として H∞制御器Ibは(負からむまでを伝達関数で表わすと) IAIBI G ( s )=¥士十三¥=c( s I-A)-'B+D ICIDI ι X2= ( S ) Y lとなり, ( 2 0 ) ιに関する状態変数ムを Z k =[ X W 2X l XWIFE 9 ¥10xl を用いる。 p(s ),Wh) ,W2( s )の記述をそれぞれ ( 3 3 ) と置くことで P(s ) = C ( s l A ) l B ( 21 ) W l ( S ) = C W l ( s l A w l ) 一l Bw 1 1+Dw ( 2 2 ) W 2 ( s ) = C w 2 ( s l A w 2 ) l B w 2 + D w 2 ( 2 3 ) ( S ) = [ J J→γ } [ 日l え ( 3 4 ) とする。また,前置補償器 W1 はノイズ低減とチャタリン が得られる O ただし, 2 4 )を,後置補償器 W2 は台車系の定常偏 グ抑制を考え式 ( T( A=A-BS-1BTX +y 2 ( l+(XZ-y 2 I ) )-TZe う 2 5 )を用いる O 差改善と応答性の改善を目的として式 ( W= l+ほ z -y2I) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 2 4 ) あ 九=_ i JTX Zk +L( 川 ) i=_y2{I+(XZ-y2I WTzeT qd 戸﹂ ︼ ム つ -13 LM s ヲ' Z 一 HY S一 一 S 。 目一 + 一 一阜 d ぺ 4 O 、、,弓‘ θiFα R ヲ' θ一α α n O o凸 d 'k pu n u B S 一 一 、,ノ W , 、 角川開 [ J + とする。また,中心解を与える式 ( 3 4 )は fω;i s 2+2( i ω2+ω; , . .. "\ω~ )s "+2( i ω1+可 , W( s ) = k w¥ーで│ 、 ( 3 7 ) に変形できる。式 ( 3 7 )は,H∞制御器が内部にノルム条件 整形プラント Pは(ゐからあまでを伝達関数で表わすと) ( 2 8 )式を満足するような Z だけでなく, X にも依存した ρ(s)ゐとなり,長に関する状態変数£を あ= 推定器ゲイン L をもった全次元観測器併合状態フィード Z = L X W 2X lX W l j "E':1¥ ~_r___ パック制御系の構造を有している O ( 2 6 ) ~._..lT~C官 10xl 図 2の破線で囲んだ整形プラント P に対する H∞制御 とおくことで を P に対する同図の二重線で囲んだ H∞制御器 器 K∞ l 4 B ool P ( s )一 07xl 凶 All 02xl 02x7 2CW 1¥A A1 1 2DW l AW B 1 CW 2 DW 2C1 04xl K は (yl か ら む ま で を 伝 達 関 数 で 表 わ す と ) X2=~∞ (S)Yl となり, MJ 二関する状態変数 Z kを 御器 ( 2 7 ) とおくと 'kek ( 3 8 ) 。 。 2 x l 2x4 Bk CW 2 BkDW2¥ AW BW 2 2 AU D 白川一 inu-- C w k J U一 W 4 令 開泣一間 白川自己 mι 且 ﹁lil111Ill11111 ー し ∞ <y e d t ρ / , ‘ 、 / [ I J(I-Ti刈 一 一 条件 K が得られる O ここで,整形プラント P に対して H∞ノルム c , -c BA Z k = [ XW1 ふ xW2FE 9 ¥13xl A = [ れl 04x2 K∞ =W 1 仁W2となるように等価変換すると最終的に H∞制 1 01x4 ( 3 9 ) ( 2 8 ) = [ 円 ] を満たす制御器Ibを求める。式 ( 2 8 )を満たす中心解(制 が得られる。よって,未知変数 X l の状態量は,式 ( 3 9 )の o o ) は次のアルゴリズムより得られる O 御器 K 15 )の等式 推定器構造より任意行列 Cp を用いることで式 ( (i)次のリカッチ方程式の正定解 X, Z を計算する。 ATX+XA-x BS-1 BTX+eT R-1 e=o AZ+ZA-ZeT R-1 ez+BS-IBT=O が成立する。ただし,任意行列 Cp は ( 2 9 ) Cp= [ 07X3 ( 3 0 ) とする O ただし, X>O,Z>O,R=I4,S=[1 17 9 ¥7x13 07x3FE ( 4 0 ) 図 3に設計されたロバスト超平面を有するスライデイン グ・モード制御系のシステム構成図を示す。 ( 3 1 ) とする O (i)この時 wノルムの最小値 Y m i nが次式で与えられる。 52 H∞理論に基づく 3重倒立振子のスライデイングモード制御 4 . 実験方法および装置 物 理 パ ラ メ ー タ は M=4.4[kg , ] G=19.2[Ns/m , ] α=18. 4[N 八 乃 , ml=0.126[kg , ] m2=0.073[kg , ] m3=0.040[kg , ] ll=0.36[m , ] l2=0.35[m , ] l3=0. 40[m , ] J1=2.281x =9.657X1 =8.104X10 1 0 3 [ k g m 2 , ] Jz O 4[kgm2 , ] J3 4 [ k gm2 , ] C1=8.380X1 0 -4[Nmslrad , l Cz =7.019X1O-4[Nms/rad , l C3 =6.021X10 4[ Nms/radl に設定する。図 . 4 tこ実験装置構 成図を図5に倒立状態の写真をそれぞれ示す。倒立振子駆 動部はジャパン EM製を使用し,台車移動量 S および各 リンクの振子角。1.2 . 3 はポテンショメータによりそれぞれ 検出し,台車の速度 S はタコジェネレーターより検出す る 。 A/D,D/A 信号変換部はコンテック製を用いた。主 プログラムは C 言 語 で 書 き , 計 算 機 (PC9821CPU: . 3 7 400MHz) に実装した。また,サンプリング周期は, 0 [ m s ] である。 F i g . 5 S t a b i l i z e dv i e wo fat r i p l et y p ei n v e r t e dpendulum S l i d i n gmodec o n t r o l l a w 1 j I= -S(X')+Y2 5 . 実験結果および考察 u=-B ' ,{-C, (A , z , .+B, y) , +AX2ICpZk+A担 Y2+kl j l 前置補償器 W1は kw=1,(=0.7,ω1=2xπX4[rad/s], ω2=2XπX40[ r a d / s ] に設定し,図 . 6 tこ示す低域フィル y, =s y, ター特牲を持つ。後置補償器 W2は α1 =27, α2=25, a3= 26, s l=1 5, s 2=2 と設定した。このとき y, = [ e , ( J 2 ( J 3 Is r =3 6 . 2 3 5に Ymin 3次の線形オペレータが得られる。 対する 1 K~(s)=CbI-Ak)-lBk -1523.1292(s+30.01 )( s + 2 1. 4) ( s +1 1 . 0 9 ) ( s + 4 . 0 5 3 ) x L i n e a ro p e r a t o rd e s i g n e dont h eb a s i so f o n t r o lt h e o r y t h el o o p s h a p e dH∞ c ( s + 0 . 1 3 3 3) ( s 2 + 3 . 5 8 8 s + 6 . 5 8 ) x y s t e md e s i g n e dw i t ht h el o o p s h a p e d F i g . 3 O v e r a l lHSMCs 11c o n t r o lt h e o r y 2 ) ( s 2 + 3 51 .9s+6.317e 0 4 ) ( s2+63.26s+374 s ( s +272. 4) ( s + 3. 43 8 ) ( s +2 . 5 4 9) ( s + 0 . 1 3 3 4 ) ( s +1 2 .7 ) x ( s + O. 47 9 7 ) ( S 2 + 2 0. 44s+107. 8 ) ( s 2 + 3 5 . 1 9 s + 6 31 .7 ) x ( s 2 + 3 0 6 s + 3 . 5 3 g e 0 4 ) ( 4 1 ) 式( 41)より,零固有値を持つことから積分性を有するこ とが分かる。閉ループ系の極は付録の表 A2に示す。 また,線形フィードパック到達則の係数を k=5 とし, 倒立状態(初期値を O.O[m] とする)から台車に目標値 0.2[m] のステップ状外乱を与えたシミュレーション結果 を図 . 7に,対応する実機実験結果を図 8に示す。各国の ( a ) は台車の変位 S[m],( b )はリンク 3の振れ中心角 83[ r a d ], ( c )はリンク 2の振れ中心角 82[ r a d ],I d )はリンク lの振れ [ r a d ] をそれぞれ示す。 中心角。 1 図. 7 (シミュレーション)と図 8 (実機)を比較すると, 8の( a )を見ると, ほとんど一致していることがわかる。図 . 正確に目標値 0 . 2 [ m ] に到達しているので台車の定常偏差 F i g. 4 O v e r a l le x p e r i m 巴n t a la p p a r a t u s が改善できていることと,軌道を見る限りチャタリングは 5 3 川辺尚志・山中智司 , . , ・ : ・ 市F :pipi-- 0 . 5 0 . 2 1 . . . . . . . . . . . . . . . .,/.・・・・・・・・・ :よ 1 1 0 0 . 0 1 0 . 0 甲 ( c ) Ang l e, J ( ( d ) An g l eθ 3 -01 0 . 0 5 目 0 . 0 Z ! ; ﹂σ 州 ⋮ ⋮ ・ ‘ 0 . 0 5 0 . 0 τ ' i me[ s e c l 1 0 . 0 1 0 . 0 [ v ] 。 。 CartS "'c7 F i g . 8 R ealsystemc o n t r o lv st h ec a r t s t e p w i s ei n p u ti nt h e HSMCsystem( designedwiththeloop-shapedH∞ u 円 円U T ime[ s e c l T 0 . 0 1 T i me[ s e c l -01 0 . 1 F i g . 6 Gainc h a r a c t e r i s t i c so fW, ( s ) l fρ斗 1 ・.........士~当醐世岨喧~宇品目ー--山園田占4 o.o~ c;>[ l s l a T a l l - V、、;ムJ l a申ム a・ hill-L a γ ω ド 1 1 1 1 0 - i ¥¥Ca a I . 、 ) r t S 日 一 ・ 倫いいliar-L パ ド 6 0 [ m l I r B i l l ・・ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 刷 用μ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 刊 ↑ ・⋮ 一 一 一 い い い い 円 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 い い い 一 一 一一一一一山 1J- 。 ' 一 ' 一 町 一 日 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 ⋮ 一 一 一 一 一 ⋮ 20 t h e o r y ) 0 . 1 n可0 ・ 4 44nu 。 目 。i f V f¥ ¥/ 0 八 司 r ( b ) ( c ) 0 目1 0 . 0 5 0 . 5 Ang l e, J ( Ang l e, J ( [ m l ー 佐主 一 1 5 . 0 ( d ) An g l eJ ( 3 T i me[ s e c l 0 . 1 [ r a d l 0 . 0 1 0 . 0 ﹄ 0 . 1 0 . 1 Controlu 0 . 0 ( e ) 0 . 0 5 nu 。 。 n v 恒 me[ s e c l 一 日 目1 - llIF--Lo ﹁ nunununU 01 OO -L1 l 。目 -0. 0 5 0 Cartp o s i t i o nS 0 . 0 一 。 。 ( a ) 0 . 2 imulationc o n t r o lν st h ec a r t s t e p w i s einputi nt h e F i g . 7 S -0. 0 5 0 . 0 HSMCsystem( designedwiththeloop-shapedH∞ ( d ) Ang l eJ ( 3 T ime[ s e c l 1 5 . 0 1 0 . 0 t h e o 巧r ) [ v ] 。 。 W1( s ) 補償器により抑制できていると思われる。また,同 s J で整定していることから,応答 図より目標値まで約 4[ 性も良好と言える O 図. 9は,制御開始後約 4 [ s J からリンク 3に指でインパ F i g . 9 R ealsystemc o n t r o l山 i m p u l s i v ed i s t u r b a n c e sa p p l i e d ルス状外乱を与えた時の実機制御応答を示す。外乱印加後 d e s i g n e dwitht h e t ot h el i n k3i nt h eHSMCsystem( 1th巴O巧r ) l o o p s h a p e dI J 聞ですばやく整定し,ロバスト安定性も良好であ 約4[s るO 付録の図 Al に,図 A2で示す周波数整形積分型レギ、ユ 器とした系(図 A4に示す通常の H∞制御 ( H I C )系)に ( F S L Q ) 系でのインパルス状外乱(図 9の場合と おいて,第 3リンクにインパルス状外乱(図 9の場合と同 同一条件)を第 3リンクに加えた場合の実機制御応答を示 一条件)を加えた場合の実機制御応答を示す。同様に図 す。また付録の図 A3は,本研究(図 9)のスライデイン A5 は図 A6で示す周波数整形積分型スライデイングモー グモード制御系の動的滑り面の設計に用いた H∞解を制御 ド レータ - 54一 ( F S S M ) 制御系でのインパルス外乱応答を示す O H~ 理論に基づく 3 重倒立振子のスライデイングモード制御 ( C ),6 5 6 3 3,1 8 2 3 / 1 8 2 8( 1 9 9 9 ) . 図 A3 (HIC 系)と図 9 (HSMC 系)を比べると,特に (a)台車の位置決め制御の整定性の面で多少図 A3 ( H ∞ 系)の方は明 制御)系の方が劣っている。図 A1 (FSLQ 4 ) 川辺,飯田,吉田:支点の鉛直変動による単振子の振 C), 61-621, 動制御,日本機会学会論文集 ( 1 5 0 2 / 1 5 0 7( 1 9 9 8 ) . らかに劣っている O また図 A5に示す固定滑り面を有する 通常の周波数整形型スライデイングモード (FSSM) 制御 5)飯田,川辺,吉田:支点鉛直変動型振り子系の安定化 系では,図 A1系とほぼ同程度の整定性が見られるが制御 制御(特に力学的エネルギーに基づくリアプノフ型関 力のチャタリングが顕著である。従って,本文で採用した 5 6 3 3, 数を用いて),日本機械学会論文集 (C), 6 動的なロバスト超平面を有するスライデイングモード制御 1 8 2 9 / 1 8 3 4( 1 9 9 9 ) . 法が最もロバストな制御性能を有すると言える O これは, 6) H. Kawabe,K .Yoshida & T .I i d a : Vibration 乱された状態がすばやく超平面へ拘束されてスライデイン l i d i n g Controlo faPendulumSystembyaVSSS グモード状態に入ることを可能にする(強いロバスト性を Mode Control Techniquie,CONTROL AND 有する)動的な切換え面を持つためと考えられる O また, INTELLIGENTSYSTEMS, 2 8 1, 2 9・3 6 ( 2 0 0 0 ) . この制御法では,設計段階で観測器を設計する必要のない 出力フィードパック方式であることや 7) H.Kawabe,K .Yoshida& K .Okada:TheVSS Y>Y m i n を満足 Controlf o raDoublePendulumSystemwitha 1 . 0 5 Y m i n と保証されて求解されること する評価指標が Y= I n t .J .o fMODELLING& V e r t i c a lMovableP i v o t, などで,比較的容易に良好な応答性やロバスト性を有する SLIMULATION(Acceptedf o rp u b l i c a t i o n, 2 0 0 2 ) . 制御系設計が可能であると言える。 8)川辺,吉田,岡本:VSS制御技術を用いた重心移動 による振り子系の振動制御の一法,日本機械学会論文 6 . おわりに H∞ループ整形法に基づく線形オベレータを有するスラ 集 (C, ) 6 6 6 4 3,7 8 6 / 4 9 2( 2 0 0 0 ) . 9)吉田, J I I辺,西村:重心移動による振子系の振動制御, 3 1 0, 470/477, システム制御情報学会論文誌, 1 イデイング・モード制御則を直列型 3重倒立振子系に適用 ( 2 0 0 0 ). し,シミュレーションと実機の両面よりロバスト制御性に ついてその有効性を検証した。 1 0 ) 吉田,植田,川辺,西村:重心移動による振子系の準 5 9, 最適制御,システム制御情報学会論文誌, 1 ( 1 ) (ループ整形理論の特徴を活かし)切換え超平面に低域 5 0 2 / 5 0 9( 2 0 0 2 ) . 通過型周波数特性と積分特性を持たせることによりスラ イデイングモード制御特有のチャタリングの抑制と摺動 1 1 ) 神本,川辺,吉田:剛性リンクに載った弾性リンクか らなる 2重倒立振子の安定化制御,日本機械学会論文 摩擦抵抗に起因する台車系の定常偏差が改善できる。 ( 2 )超平面がロバストに設計されているため(他の線形制御 法と比べて)外乱に対する状態の整定性が良好で、ある。 集 ( C ),6 7 6 6 1,280612812 ( 2 0 0 1 ) . I I辺 :H ∞制御理論を使った剛性リンクに載っ 1 2 ) 神本, J た弾性リンクからなる 2重倒立振子系のスライデイン ( 3 ) 観測器を必要としないことや,補償器解が比較的容易に 設計できることで,サーボ構造を有するプラントには優 グモード制御,日本機械学会論文集(C , ) 6 8 6 6 8, れたロバスト性を持つ制御設計法と言える。 1 1 3 3 / 1 1 3 9( 2 0 0 2 ) . 1 3 ) 神本,J11辺,吉田:弾性ビームで結合された直列型 2 重倒立振子系の 研究には自主性尊重の問題も重要であるが,実験的検証 には費用も要する O 本研究ほか一連の研究に関して,第 2 ハイテクセンターから一部助成を受けた。 (投稿中)。 1 4 ) 川谷・村田・ファハリ・武士俣:ループ整形手法に基 づく直列 3重型倒立振子系の安定化制御,計測自動制 参考文献 1)日高,川辺 他:機械力学(振動の基礎から制御まで), H∞制御,日本機械学会論文集 ( C ) 御学会論文集 3 3 8,8 5 2 / 8 5 4( 19 9 7 ) . .Glo v e r :RobustC o n t r o l l e r 1 5 ) D.C.McFarlaneandK 朝倉書面,学生のための機械シリーズ No . l( 2 0 0 0 ) . DesignUsingNormalizedCoprimeFactorPlant D e s c r i p t i o n,LectureNotesi nC o n t r o lInformation 2)奥山,川辺他:制御工学(古典から現代まで),朝 . 2( 2 0 0 1 ) . 倉書庖,学生のための機械シリーズ No S c i e n c e s1 3 8,Springer-Verlag(19 9 0 ) . 3)川辺,原田,吉田:支点が水平移動する弾性振り子の 1 6 ) 伊藤・野波:ロバスト超平面を有するスライデイング 運動制御(特に最小次元 VSS観測器併合スライデイ モード制御の柔軟構造物への適用,日本機械学会論文 ングモード制御系について),日本機械学会論文集 5 6 2 9,1 6 1 / 1 6 6( 1 9 9 9 ) . 集 C編入 6 5 5- 川辺尚志・山中智司 0. 4 寸 イ 録 M i l ( ¥…主[ i U 「 i V (a) I 入~, T i m e[部] ( a ) 。 。 T i me[ s e c l 0 . 1 [ r a d l 。 。 ! 日 礼 宅 d a VA nw h H { ia 0 , 0 Cartp o s i t i o nS [ m l 0 . 2 0 . 1 0 . 1 取 0 . 0 0 . 1 0 . 0 5 ( c ) Angle 8 2 ( d ) Angle 8 3 0 , 0 ・ 0 , 1 1 0 5 A時 le 83 I D i s t u r b a n c e 0 .0 T i me[ s e c l 1 0 . 0r- T i m e[ 5 e c J 0 , 0 向上 " ,.幽 t . . ,リ. 1 1 1 唱 J L . ,,)い t 10.011 0 . 0 j ω掴曹司恥筒NIIIII園田曹現・圃阻圃圃圃働関陣"曹・・圃聞・・・曹脂薗鵬 w " " ' 1 ( e ) . 1 0 , OL 0 , 0 J . O.O WNíW輔副相耐鴨量二幅員渦姐曲NW踊~帽鴨嶋崎WifI輸NfIIW渦M柑明 Corltrol u ‘ l I J . 1 5 , 0 1 0 .0 ----,-----.-----r; .-, C nt o Vo U Hr Ulu U . 1 [ v ] 1 5 . 0 T i総[毘 c J ( e ) 百 me[ s e c l 1 5 . 0 F i g . A 3 Realsystemc o n t r o lv si m p u l s i v ed i s t u r b a n c e sa p p l i e d o n t r o l(HIC) t othel i n k3i ntheloop-shapedH c 1 5 .0 ∞ system F i g . A 1 Realsystemc o n t r o l川 theimpulsivedisturbances a p p l i e dt othel i n k3i nthei n t e g r a lt y p eFSLQs y s t 巴m O , i [ m ]0 , 2 P l a n t 0 , 0 S 1 5 , 0 0・ a 1ll VA dH も I , 0 0 向山内市民仏 m uも ν Xp =ALx BLy+J p+ L ( c)Ang l e 8~ y~(epe"eps) ( d )An g l eB . ' l F i g . A 2 I n t e g r a lt y p eFSLQc o n t r o lsystem T i 阪 [ 蹴l 1 5 , 0 [ V ]1 0 , 0 日 目 。 拡 陥仙 1 5 , 0 F i g . A 5 Realsystemc o n t r o lv si m p u l s i v ed i s t u r b a n c ea p p l i e d t ot h e3rdl i n ki nt h ei n t e g r a lt y p eFSMCsystem 5 6 H∞理論に基づく 3重倒立振子のスライデイングモード制御 " v }・ 111lilJ P--- M-AC U-B-O Vν a-rill--L PE-- 5 )のシステムパラメータを次の式 (A-1)-(A-3) 本文中の式 ( に示す。 A= Columns1through6 nHHU 1 A: B .l 二~...:. I y │C: ,0 I l y ( 8 ,82 83 S) V=I ︽H H v n H H V A H H V 二 H-c o n t r o l l e rK (s) ω , 5 9 2 4 7 5 3 3,5 9 4 2 3 3,8 8 1 1 5 7 2 4,5 4 0,9 1 24 .1 9 7,7 8 7 , 8 1 5 9 7 9 8 6,7 0,0 0 2 9 2 6 7 , 0 3 7 9 2 504 . 2 4 4 7 0 S'MCc o n t r o l l e r 冒 σ=SXb (S B "t ' h (S , Axb+SEbSm ) ︽HHU 引 ハH H υ A H H v n H H V F i g, A 4 Loop-shapedl 1control(HIC)system o o 0 0 o 0 o 0 0,0 9 1 1 0 8 0 1 . 7 3 4 8 , 2 0 7 1 3 0,5 4 1 2 9 0 , 5 8 9 3 1 0 1 . 4 3 9 4 0 0 , 0 0 0 6 2 4 400 0 0 6 3 2 6 7 目 二 一 Columns7through8 σ U " '=-kn σ 1 1 + η U = U + U, ~ーー選~-ニニ Xj Z F i g . A 6 I n t e g r a lt y p eFSSMc o n t r o lsystem 0 1 . 0 3 3 8 0 , 5 0 5 3 5 9 5 8 4 0,9 , 0 0 0 1 1 6 7 1 0 1 4,3 0 6 1 7,3 0 7 3 , 7 2 3 1 1 8 4,3 ・ 関ループ系 P(式 ( 5 ) )の極 J c( A ) と閉ループの極 Aσ- (A-1) 0 0 PK ∞)を表 A1および表 A2に示す。 0 0 日b l eAl Eigenvaluesλ (A)o ft h eopenl o o pSystemP , (A-2 ) ︽ HUnuvAHVAHU ハHvnHVAHunHV Illll111lJ 、 c= ム ハ HUAHυnHU 噌l F r e q .( r a d/ s ) 1 .1ge+001 7 . 0 6巴+000 3.81e+000 O.OOe+OOO 3.52e+000 4.53e+000 7. 45e+000 1 .32e+001 0000 0000 0001 0010 0100 Damping 1 .00e+000 1 .00e+000 1 .00e+000 1 .00 巴+ 000 1 .00e+000 1 .00e+000 1 .00e+000 1 .00e+000 B= , flillli--¥ Eigenvalue 1 .1ge+00l 7.06e+000 3.81e+000 O.OOe+OOO 3 . 5 2 e + 0 0 0 4 . 5 3 e + 0 0 0 45e+000 7. 1 .32e+001 1 37 1 1 65 8 6 3,5 6 8 4 , l3 8 1 (A-3) ∞ )o fthec l o s e dl o o ps y s t 巴m TableA2 Eigenvaluesλ([-PK Eigenvalue Damping 7 . 5 0 e 0 0 2 1 .00e+000 ー7 . 5 0 e・002 1 .00e+000 11 9e+000 1 .00e+000 1 .4 3e+000i I 8 . 2 5 e 0 0 1 2 . 0 9e+000 + 1 .4 3e+000i I 8 . 2 5 e 0 0 1 2 . 0 g e + 0 0 03 . 9 9e+000 + 8 . 2 7 e 0 0 1 i I 9 . 7 g e 0 0 1 3 . 9 g e + 0 0 08 . 2 7 e 0 0 1 i 9 . 7 g e 0 0 1 . 1 2 e 0 0 1 4 . 0 4 e + 0 0 0 +181e+000i I 9 4 . 0 4 e + 0 0 01 .8 1e+000i 9 . 1 2巴ー 001 9,7ge+000 +9. 48 e 0 0 1 i 9 . 9 5巴ー001 9. 48 e 0 0 1 i 9 . 9 5 e 0 0 1 9,79e+000 巴+ 000 +4.28e+000i I 9 . 1 6 e 0 0 1 9 . 8 0 9 . 8 ο e+000 4 . 2 8 e + 0 0 0 i I 9 . 1 6 e 0 0 l 1 .00e+000 2 . 0 4 e + 0 0 1 2 . 7 1 e + 0 0 1 +2. 43 e+001i i 7. 44 e 0 0 1 2 . 7 1 e + 0 0 12. 43 e+00li 7. 44 e 0 0 1 1 .76e+002 +L7ge+002i 7 . 0 0巴ー 001 176e+002 1 .7 9 e+0 0 2 i 7 . 0 0 e 0 ⑪1 1 .83e+002 + 2.62e+002i I 5 . 7 2 e 0 0 1 1 .8 3e+002 2 . 6 2e+0 0 2 i I 5 . 7 2 e 0 0 1 1 .00 巴+ 000 2 . 3 7 e + 0 0 2 1 . 0 6 e + 0 0 3 1 .00e+000 目 目 , 司 F r e q .( r ad/s ) 750e-002 7 . 5 0 e 0 0 2 1 .91e+000 2,54e+000 2,54e+000 4.08e+000 4.08e+000 4. 43e+000 4. 43e+000 9.84e+000 9,84e+000 1 .07e+001 1 .07e+00l 2.04e+001 3 . 6 4 巴+ 001 3.64e+001 2.51e+002 2.51e+002 3.20e+002 3.20e+002 2.37e+002 1 .06e+003 なおた前置補償器 目 w(s)パラメータは 1 1-351 .8 6 ~ B W 1 1 = 1 oI I また後置補償器 。 日│ (A-4) w(s)パラメータは 2 O O O O 2 O 60 O O O O O 6 0 O O O O O 6 0 O 1 .5 O 57 - O O 40 (A-5)
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