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lnupri
赤 阪 正 純 (httpン ク
web.fc2 com)
関数の連続性 (1)
関数 のグラフが 「連続 で ある」 と￨ま ,簡 単 に言 え
ば 「つ ながっているJと い うことです 最初 か らグ
”ボ
つ なが って るよね 。
ではありません
現に,勁 /(″ )が 存在するための条件は
,
ラフの形がわかっていれば,見 た目で つながってい
Point
るかどうか判断で きますが,グ ラフの形が分か らな
い場合 はどうすれば よいので しようか
そのために
は,そ もそも 「つながっている」 とはどうい うこと
存 す るため には ,右 側 極 限値
」場 /(″ )が 在
なのか を,数 学的 にきちん と定義す る必 要 があ り
r」
ニ
界0/(″ )と 左側極限値″
ュ0ノ (″ )が とも
に存在 し
ま
,
頂ぉ ょぅにな ります
銘
ム 7ム
″J屏
Pointく (連 続 の定 義
の″の値αにおいて連
関数 /(″ )力 型
0/(″
)=r里
が 成 立す る こ とで あ る
,
lim/(″ )=r(α )
サニコレ?
が成 立することである
連続ではないことを不連続 とい う
関数 √(″ )が 定義域内のすべての″の値で連
続であるとき,ノ (″ )は 連続関数であるという
とにか く具体例 を通 して理解 を深めてい くことに
しよう
=0は もともと定義域内の
=0で 連続かどうかの議論 は全
くナンセ ンスです。 よって ,定 意義域内の全 ての ″
で連続なので,関 数 y=÷ は連続関数です
ヽ
、
θ"L無 た
ん
・
も
さて ,関 数 の連続性 で問題 となるのは,そ もそも
ユ
賜/(″ )や /(α )が キチンと定まるのか?と いう
l嶋 /(″ )が 存在 しなかったり,存 在 し
たとしても /(α )と 等しくないならば,″ =α で不
連続になります だから,単 純に
limノ (″ )=/(α )
が成立すればよい,と は言うものの,そ う単純な話
一
供
以上のことを確認できて初めて「
m/(″ )が 存 Frか ら
」
在す る」 と言えるのです
これ また堅苦 しいですね
1'ゞ 7も
l・
θ:沖 ∼
日じ
したがって,関 数 /(″ )が ″=α で連続である
ことかどうかは次の流れで考察します
Point
″ =α で連続 であることのテ エ ック方法
質 問 (1)
質 問 (2)
″ =0で 途切れ てい るじゃん」 と思
うかもしれ ませんが,″
∼
るから
、
1も
夏らヽ
國國
か
? ￨
数y=÷ は
連
続
関
数
1剛 関
カ
で
す ″マ
0は い
,断 敵
ことです
,
である
.
点ではないので,″
′
そのとき
J界 0/(″ )=″ 塁
↓
及0/(″ )=l嶋 /(″ )
続であるとは
「エ ッ ?
/(″ )
ュ 。
/(α )が 存在しますか?
塾 0/(″ )が 存在しますか?
″
「
塾界0/(″ )が 存在しますか?
″
致
塾
魔,L/(″ )と ″
界0/(″ )が
しますか?(一 致すれば,ュ賜/(″ )が 存在す
る ことにな ります)
質問 (5)
井鴫 /(″ )=/(α
)が 成 立 しま
すか ?
これ ら 5つ の質問 にすべて υOsな らば,″
=α
1つ
1,
L
"1難
Zrr,7
ヽ
くのうヽ
し■、
で連続 です
つ まり「連続でない」 とは,上 の 5つ のチ エ ック
ポイン トのどこかでエ ラーが生 じているわけで,ど
の部分でアウ トなのかを しっか り把握することが大
切 です
.
まずは以下の具体例 で,連 続性 の雰囲気 を実感 じ
よう
6夕
―
εフ 県年 尺τλま す。
′
ム ヽ
メ ウ
'ド
やすじ
単維
や峯
inupri web fc2 com)
赤阪 正 純 (httpソ フ
関数 の 連続性
(2)
次にあげるグラフ ①∼ ⑥ は″=0で 連続であるか,不 連続であるかを理由ものべて説明せよ
①
②
考え方
③
ど う見 て も連続 なの は ① だ けで ,② ∼ ⑥ が 不連続 なの は明 らか で す が ,そ の理 由 が大切 で す
①
lilヽ
/(″ )
li耳
つ４
①
lim/(″ )
/(0)
連続か不連続か
2
2
2
連続
ヽ/(″ )
!
そ●マよう
。
透(
欝う
②
2
2
2
1
不連続
2
1
な し
2
不連続
,か リヒ
ι
J3)
昴 し
③
④
2
1
な し
1
不連続
⑤
2
2
2
な し
ナ ンセ ンス
⑥
2
1
な し
な し
ナ ンセ ンス
硯κ
疹注 ③ と④ は
)キ
J=%/(″
〔
れ 夕∼道続
｀
・
つ4が ,卜 ■
Cフ
が
…
彎
ぅ
ふよ
こフなたび∼2
せん
∫
岬0/(″ )な ので J珊 /(″ )は 存在しま
,
連続 か 不連続 か の理 由
①
②
し
ヽ●｀
1´ 呻―ミ
rJl,ほ
″
7い つム
③
④
⑤
⑥
J珊
/(″ )と
立するから
ちらも
存在し
,ュ /(″ )=/(0)が 成
/(0)が ど
端
存在するが,」島/(″ )キ /(0)だ から
独/(″ )と /(0)が どちらも
ている
ノ )が存在しないから(/(0)は 存在し
J珊
ている
ないから(/(0)は 存在し
り
珊/(″ )が存在し
)
(″
)
J珊
/(″ )は
存在するが /(0)が 存在しないから
,
ちらも存在しないから
1嶋 /(″ )と /(0)が ど
珍注 ⑤ と⑥ は″=0は 定義域内の点ではないから
,
7J_ム や
ち■2
この点での連続性 を考 えること自体が無意味
7貫
t■ も
θ
フ リフ｀
ノ
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