1. No category

クライン-ゴルドン場のハミルトニアン
ここでは，演算子を表すハット『 ˆ 』はすべて省略する．
与えられたラグランジアン密度 L (x) に対して，一般に正準運動量密度は，
π(x) =
∂L
∂ φ˙
(1)
となり，ハミルトニアンは，
∫
H=
∫
d3 x (π(x)φ(x)
˙
− L (x))
d3 xH (x) =
(2)
である．ここで，クライン-ゴルドン方程式を導くラグランジアン密度は
L =
1
1
∂µ φ∂ µ φ − m2 φ2
2
2
(3)
である．クラインゴルドン方程式の一般解は，
∫
φ(x) =
(
)
d3 k
⃗k)e−ikx + a† (⃗k)eikx
√
a(
(2π)3/2 2ωk
(4)
である．ただし，
kx = ωk t − ⃗k · ⃗x
(5)
[a(⃗k), a† (k⃗ ′ )] = δ(⃗k − k⃗ ′ )
[a(⃗k), a(k⃗ ′ )] = 0
(6)
であり，
†
†
′
[a(⃗k) , a (k⃗ )] = 0
(7)
(8)
である．
それでは早速ハミルトニアンを求めよう．
まず，クライン-ゴルドン方程式を導くラグランジアン密度 (3) の正準運動量密度は，
π(x) =
∂L
= ∂ 0 φ = ∂0 φ = φ˙
∂ φ˙
である．
1
(9)