1. No category

問
1
第
正の実数 αに対して，座標平面上で次の放物線を考える 。
qL
h
EA
唱
−
一
α
4一
α
二4
−
＋
。
z
α
一UU
一
C
αが正の実数全体を動くとき， C の通過する領域を図示せよ。
-4-
)
7
OM4(171-5
2
第
どの目も出る確率が
問
t
のさいころを 1つ用意し，次のように左から順に文字を書く。
,2
, 3のときは文字列 AA を書き， 4のときは文字 B
さいころを投げ，出た目が 1
を
， 5のときは文字 C を
， 6のときは文字 D を書く。さらに繰り返しさいころを投げ，
,B
,C
, D をすでにある文字列の右側につなげて書いていく。
同じ規則に従って， AA
たとえば，さいころを 5回投げ，その出た目がI
J
固に 2
,5
,6
,3
, 4であったとする
と，得られる文字列は，
AACDAAB
となる。このとき，左から 4番目の文字は D
, 5番目の文字は A である。
(
1）η を正の整数とする。
η
固さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から
η
番目の文字が A となる確率を求めよ。
(
2）η を 2以上の整数とする。
から
η
η
回さいころを投伏文字列を作るとき，文字列の左
−1番目の文字が A で，かつ η 番目の文字が B となる確率を求めよ。
-6-
<)M4(171-5
9
)
第
3
問
αを正の実数とし， p を正の有理数とする。
ogx(x>O）を考える 。 この 2つ
と y= l
）
x>0
座標平面上の 2つの曲線 y＝α日 （
の曲線の共有点が l点のみであるとし，その共有点を Q とする。
xP
m- =ooを証明なしに用いてよい。
i
以下の聞いに答えよ。必要であれば， l
ogx
→ool
’ z
v
1）αおよび点 Qの z座標を p を用いて表せ。
(
2）この 2つの曲線と z軸で固まれる図形を， z軸のまわりに I回転してできる立体
(
の体積を p を用いて表せ。
π になるときの p の値を求めよ。
2）で得られる立体の体積が 2
)(
3
(
-8-
)
1
OM4(171-6
第
問
4
n｝を次のように定める。
p
数列 {
η~I 唱＋ 1
,
,3
π＋2＝ 」L ー （η ＝ 1,2
, P2=2, P
1=1
P
I
Pn
¥
)
+1+P;+1
が η によらないことを示せ。
十i
) P;
1
(
Pn+lPn
2）すべての
(
η
・ に対し ，Pn+l+Pn-1 を仇のみを使って表せ。
,3,4，・
＝2
n｝を次のように定める 。
q
3）数列 {
(
）
・
,2,3, ・
η ＝1
n （
l+q
n+
2=q
+
n
, q
2=1
l=1, q
q
2nー1 を示せ。
すべての n= 1,2,3, ・・に対し， Pn= q
0- 1
)
3
くM4(171-6
＞
第
m を 2015以下の正の整数とする。
5
問
20l5Cm が偶数となる最小の
- 1
2
m を求めよ。
0M4(171 6
5
)
6
第
η
問
を正の整数とする。以下の問いに答えよ。
(
1）関数 g
(
x）を次のように定める。
(c
o
s
(
K
x
)+1
g
(
x
)=
<
2
IO
f
(
x）を連続な関数とし， p
, qを実数とする。
(l
x
l;
:1のとき）
(l
x
l>1のとき）
l
x
l；；：：；土をみたす zに対して
p壬f
(
x）重qが成り立っとき，次の不等式を示せ o
n
三
心
同
p
(
2）関数 h
(
x）を次のように定める。
h
(
x
)=
I;
-sin(7
r
X
)
<
~
(l
xl
;
:1のとき）
(l
x
l>1のとき）
このとき，次の極限を求めよ。
J
込η
2
[
:h(nx)log(l+e
x
+
l
)dx
-14-
＞
くM4(171-6
7
)