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第 1 回 復習
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問 1. 次の問いに答えよ．
(1) nZ が Z の部分群であることを示せ．
na, nb ∈ nZ に対して na − nb = n(a − b) ∈ nZ なので nZ は Z の部分群である．
(2) SL(n, R) が GL(n, R) の部分群であることを示せ．
A, B ∈ SL(n, R) に対して |AB −1 | = |A||B −1 | = |A||B|−1 = 1 · 1 = 1 なので AB −1 ∈ SL(n, R) である．従って
SL(n, R) は GL(n, R) の部分群である．
問 2. N3 := {1, 2, 3} とするとき N3 上の全単射全体を S3 とおく:
S3 = {σ : N3 → N3 | σ : 全単射 }
任意の σ ∈ S3 に対して σ(1), σ(2), σ(3) はすべて異なる．たとえば σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 1 のとき σ を以下のよう
に表す．
(
)
1 2 3
σ=
2 3 1
また σ1 , σ2 ∈ S3 のとき積 σ1 · σ2 を写像の合成 σ1 ◦ σ2 で定める．この演算で S3 は群となる．次の問いに答えよ．
(1) S3 の元をすべて書き下せ．
(
1 2 3
1 2 3
(
(2) σ1 =
)
(
,
1 2 3
2 3 1
1 2 3
)
2 1 3
)
(
, σ2 =
(
,
1 2 3
3 2 1
(
σ2 · σ1 =
1 2 3
)
2 3 1
(
1 2 3
(
,
1 2 3
)
(
,
3 1 2
1 2 3
)
(
,
2 3 1
1 2 3
)
.
3 1 2
)
(
(3) σ1 =
)
1 3 2
σ1 · σ2 =
(
1 2 3
とするとき σ1 · σ2 と σ2 · σ1 を計算し S3 が非可換群であることを認識せよ．
1 2 3
2 3 1
1 2 3
)(
1 2 3
3 2 1
)(
1 2 3
3 2 1
)
(
=
)
2 3 1
(
=
1 2 3
1 3 2
1 2 3
)
)
2 1 3
の元の位数を求めよ． ( 元の位数とは an = e となる最小の n のこと )
(
)(
2 3 1
1 2 3
2 3 1
1 2 3
2 3 1
)(
)(
1 2 3
2 3 1
1 2 3
)
(
=
)
2 3 1
(
=
1 2 3
3 1 2
1 2 3
)
)(
2 3 1
1 2 3
3 1 2
)
(
=
1 2 3
)
1 2 3
なので σ1 の位数は 3.
問 3. G を群, H をその部分群とするとき, 任意の a, b ∈ G に対して
Ha = Hb
⇔
ab−1 ∈ H
を示せ．
(⇒) e ∈ H であるから a ∈ Hb なので ∃h ∈ H[a = hb] となる．これから ab−1 = h ∈ H となる．
(⇐) 仮定からある h ∈ H が存在して ab−1 = h となる．この式から a = hb となる．また b = h−1 a となる．
(⊂) h′ a ∈ Ha を任意にとると h′ a = h′ hb ∈ Hb となる．(⊃) h′ b ∈ Hb を任意にとると h′ b = h′ h−1 a ∈ Ha となる．
解答は毎週木曜日のお昼位に http://www.ma.kagu.tus.ac.jp/∼kawashima/lecture.html に置いてあるはずです．
A
B
C