1. No category

（第３時限：１
０
０分）
２
０
１
４年度
!
数
学
（理
問
題
系）
（全４ページ）
注 意 事 項
１．試験開始の合図があるまで，この問題冊子の中を見てはいけません。
２．問題文の
にあてはまる適当なものを，解答用紙の所定の欄
に記入しなさい。
３．解答用紙１枚・下書用紙２枚は，この冊子の中に折り込んであります。
４．試験終了後，問題冊子・下書用紙は持ち帰りなさい。
!
（Mab ）
数
学
次のⅠ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳの設問について問題文の
にあてはまる適当なものを，
解答用紙の所定の欄に記入しなさい。
"
k を３以上の自然数，C０ を半径１の円とする。C０ に内接する正 k 角形を P１ ，P１
に内接する円を C１ とする。すなわち，P１ は k 個の頂点すべてが円 C０ の周上にあ
る正 k 角形であり，C１ は P１ の k 個の辺すべてに接する円である。以下同様に，
n ＝２，３，４，・
・
・ について順に，Cn−１ に内接する正 k 角形を Pn ，Pn に内接す
る円を Cn とする。また，すべての自然数 n について，Pn の１辺の長さを an ，Pn
の面積を Sn とする。
〔１〕 k ＝３のとき，a１ ＝
a１ ＝
ウ
，S１ ＝
ア
エ
，S１ ＝
イ
である。
〔２〕 各自然 数 n に 対 し て，an：an＋１ ＝１：
が成り立つとき，k ＝
〔３〕
"
! (S
!!!
２n−１ −
S２n ) ＝
である。k ＝６のとき，
カ
キ
オ
で あ る。ま た，
である。
S１ であり，lim
k →∞
キ
S１ ＝
ク
"
!S
!!!
n
＝k
である。
― １ ―
!
（Mab ）
"
a を１でない正の数とする。関数 f ( x )，g( x ) を次で定める。
f ( x ) ＝ a x ＋ a −x ，g( x ) ＝ a x − a −x
〔１〕 f ( x ) は x ＝
lim
x →∞
g( x )
＝
f( x)
〔２〕
ケ
のとき最小値
コ
をとる。また，a ＜１のとき，
g( x )
＝
f( x)
シ
である。
， lim
サ
x →−∞
! f ( x ) " −! g( x ) " ＝
ス
f( x ＋ y) ＝
セ
f( x) f( y) ＋
ソ
g( x ) g( y )
g( x − y ) ＝
タ
f ( x ) g( y ) ＋
チ
g( x ) f ( y )
２
２
ス
が成り立つ。（注：
∼
チ
には x，y を用いない数値を入れるこ
と。
）
〔３〕 f ″
( x ) ＝ f ( x ) が成り立つのは，a ＝
"!
t
数 t に対して
!
４＋ f ′
(x)
" dx ＝
２
ツ
のときである。このとき，実
テ
である。
０
― ２ ―
!
（Mab ）
"
!
!
座標空間において，３定点 A (１，０，０)，B (０， ２，０)，C (０，０， ３)
をとり，これら３点から等距離にある点 P ( x，y，z ) をとる。このとき，y，z は x
を用いてそれぞれ
y＝
ト
，z ＝
ナ
と表される。点 P が３点 A ，B ，C の定める平面上にあるのは
x＝
ニ
，y ＝
ヌ
，z ＝
ネ
のときである。
点 P は PA ＝ PB ＝ PC を満たしながら動くものとする。このとき，P を中心と
し PA を半径とする球が xy 平面と交わってできる円の面積を S とする。S は x を
用いて S ＝
ノ
と表され，x ＝
ハ
のとき最小値
ヒ
をとる。
― ３ ―
!
（Mab ）
"
a を実数とする。曲線
C ：y ＝ x３ ＋ (３− a ) x２ −３x ＋ a −２
は a の値にかかわらず，２点
P
#
%
フ
，
へ
$，Q#
& %
ホ
，
マ
$
&
を通る。
直線 PQ と曲線 C が P，Q 以外の共有点をもたないのは，a ＝
a＝
メ
である。
点 P における曲線 C の接線と点 Q における曲線 C の接線は a ＝
#
%
き点 R
または
のときであり，どちらの場合も直線 PQ と曲線 C で囲まれた部分の
ム
面積は
ミ
ヤ
，
ユ
$
& で交わる。a ＝
モ
モ
のと
で a が変化するとき，点 R
の軌跡は曲線
y＝
ヨ
である。
― ４ ―
!
（Mab ）