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現代ファイナンス論講義ノート No.4
ポートフォリオ計算の基礎
蛭川雅之
2014 年 10 月 20 日
現代ファイナンス論講義ノート No.4
担当：蛭川雅之
1 金融資産のリターンとリスク
• 投資家は、各資産（例：株式、債券）のリターンとリスクを考慮する。
(リターン) = (期待収益率) = (収益率の期待値)
(リスク) = (収益率の分散・標準偏差)
– とりあえず、資産の範囲を株式に限定する。
• このノートでは、以下の点を説明する。
1. 収益率はどのように定義されるか？
2. 期待値、分散、標準偏差とはどのようなもの（であった）か？
（＝統計学の復習）
3. リターンとリスクを具体的にどのように計算するか？
2014 年 10 月 20 日
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現代ファイナンス論講義ノート No.4
担当：蛭川雅之
2 株式の収益率
• 株式の収益率を定義するため、以下の表記を用いる。
Pi,t = (企業 i の時点 t における株価)
Di,t = (企業 i の時点 t における配当)
定義 1 企業 i の時点 t における 1 期あたり株価収益率は
Pi,t + Di,t
−1
Pi,t−1
(
)
Pi,t + Di,t
(連続複利収益率) = log
Pi,t−1
(離散収益率) =
と定義される。
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2.1 ネイピア数と連続複利
• ネイピア数 e とは
(
)n
1
e = lim 1 +
n→∞
n
= 2.718281828459045235360287471352 . . .
– ところで、
(
)n
1
1+
n
にどのような経済学的な意味があるのか？
2014 年 10 月 20 日
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担当：蛭川雅之
• いま１円を年利 r% で１年間預けると、１年後の元利合計は
1+r
となる。
• 利息を計算する期間を１年でなく６か月（＝ 1/2 年）とする。
– ６か月後の元利合計は 1 + r/2 である。
– １年後の元利合計は
(
となる。
2014 年 10 月 20 日
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r )2
1+
2
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• 利息を計算する期間をさらに短い４か月（＝ 1/3 年）とする。
– ４か月後の元利合計は 1 + r/3 である。
2
– ８か月後の元利合計は (1 + r/3) である。
– １年後の元利合計は
(
r )3
1+
3
となる。
• 以上のことから、一般に、利息の計算期間を 1/n 年とすると１年後
の元利合計は
(
r )n
1+
n
となる。
2014 年 10 月 20 日
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• これを
(
1+
r )n
n
=
{(
1+
}r
)
n/r
r
n
{(
)n/r }r
1
=
1+
n/r
と変形し、n → ∞ の極限をとる。
– n → ∞ のとき n/r → ∞ であるから、
(
)n/r
1
lim 1 +
=e
n→∞
n/r
となる。
– 最終的に、連続複利計算をした場合の元利合計
{(
)n/r }r
)
(
1
r n
= lim
1+
lim 1 +
= er
n→∞
n→∞
n
n/r
を得る。
2014 年 10 月 20 日
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• では、“元利合計”が与えられたとき、連続複利収益率 r をどのよう
に求めるか？
• 時点 (t − 1) で企業 i の株式 1 単位を購入し、時点 t でこれを売却
する場合、キャッシュ・フローは以下のようになる。
時点
t−1
t
キャッシュ・フロー
−Pi,t−1
Pi,t + Di,t
• “元利合計”についての関係式
Pi,t + Di,t
= er
Pi,t−1
の両辺に自然対数をとることにより、
(連続複利収益率) = r = log
を得る。
2014 年 10 月 20 日
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(
Pi,t + Di,t
Pi,t−1
)
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3 離散確率変数の期待値・分散・標準偏差
3.1 期待値
定義 2 離散確率変数 X のとり得る値を x1 , . . . , xn とし、それらの確率
関数を pX (x1 ) , . . . , pX (xn )（ただし、pX (·) ≥ 0,
∑n
i=1
pX (xi ) = 1）と
すると、この離散確率変数 X の期待値は
E (X) = µ =
n
∑
xi pX (xi ) = x1 pX (x1 ) + · · · + xn pX (xn )
i=1
と定義される。
∫
∑
• 連続確率変数の場合は、“ ”が“ ”に置き換わる（以下同様）。
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3.2 分散および標準偏差
定義 3 離散確率変数 X のとり得る値を x1 , . . . , xn とし、それらの確率
関数を pX (x1 ) , . . . , pX (xn )（ただし、pX (·) ≥ 0,
∑n
i=1
pX (xi ) = 1）と
すると、この離散確率変数 X の分散は
V ar (X) = σ 2
2
= E (X − µ)
=
n
∑
2
(xi − µ) pX (xi )
i=1
2
2
= (x1 − µ) pX (x1 ) + · · · + (xn − µ) pX (xn )
と定義される。この分散の正の平方根 σ =
の標準偏差である。
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√
V ar (X) が離散確率変数 X
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3.3 期待値・分散に関する性質
結論 4 a と b を定数とすると、期待値に関して以下の性質が成り立つ。
E (a) = a
E (aX + b) = aE (X) + b
練習 5
(
)
V ar (X) = E X − µ2
( 2)
2
= E X − {E (X)}
が成り立つことを示せ。
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2
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結論 6 a と b を定数とすると、分散に関して以下の性質が成り立つ。
V ar (a) = 0
V ar (aX + b) = a2 V ar (X)
練習 7 確率変数 X を標準化して得られる新しい確率変数
X −µ
Z=
σ
について、E (Z) = 0 および V ar (Z) = 1 が成り立つことを示せ。
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4 リターンとリスクの計算
• 収益率の期待値・分散・標準偏差は、収益率の母集団に関する母数
（パラメータ）である。
– これらを推測するには、過去のデータに頼るしかない。
• エクセルでリスクおよびリターンを推測する場合、以下の関数を用
いる。
1. “AVERAGE”⇒ 標本平均
2. “VARP”⇒ 標本分散
3. “STDEVP”⇒ 標本標準偏差
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練習 8 エクセル・ファイル“ln04.xls”には、2001 年 1 月から 2012 年 9 月
までの Intel Corporation (INTC) の NASDAQ 月次株価データ（単位：
米ドル）が与えられている。このデータから、INTC のリターンおよびリ
スクを離散・連続複利双方の場合について計算せよ。
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5 収益率相互の関連
• 投資のリスクを考える上で、個別の株式の期待収益率、分散、標準
偏差を見るだけでは十分でない。
– この株式の収益率と他の株式（もしくはポートフォリオ）の収
益率との関連に着目する必要がある。
• “関連”をどのように計測するか？
1. 共分散（covariance）
2. 相関係数（correlation coefficient）
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6 離散確率変数の共分散・相関係数
6.1 共分散
定義 9 ２つの離散確率変数 X と Y について、X は m 個の離散的な値
x1 , . . . , xm 、一方、Y は n 個の離散的な値 y1 , . . . , yn をとるものとする。
さらに、X が xi 、かつ、Y が yj をとる確率を pX,Y (xi , yj )（ただし、
pX,Y (·) ≥ 0,
∑m ∑n
i=1
j=1
pX,Y (xi , yj ) = 1）と書くことにすると、X と
Y の共分散は
Cov (X, Y ) = E [{X − E (X)} {Y − E (Y )}]
= E (XY ) − E (X) E (Y )
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と定義される。ただし、
E (X) =
E (Y ) =
E (XY ) =
m
∑
i=1
n
∑
xi pX (xi ) , pX (xi ) =
yj pY (xj ) , pY (yj ) =
j=1
n
m ∑
∑
n
∑
j=1
m
∑
pX,Y (xi , yj ) ,
pX,Y (xi , yj ) ,
i=1
xi yj pX,Y (xi , yj )
i=1 j=1
である。
∫
∑
• 連続確率変数の場合は、“ ”が“ ”に置き換わる。
• Cov (X, Y ) は確率変数 X と Y の関係の強さを表す尺度である。
– この尺度は X と Y の単位に依存する。
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6.2 相関係数
定義 10 ２つの離散確率変数 X と Y の分散がそれぞれ V ar (X) と
V ar (Y )、共分散が Cov (X, Y ) であるとき、X と Y の相関係数は
ρXY
Cov (X, Y )
√
√
=
V ar (X) V ar (Y )
と定義される。
• ρXY は X と Y の線形関係の強さを表す。
• −1 ≤ ρXY ≤ 1 が成り立つ。
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■ρXY > 0 ⇒ X と Y に正の相関関係がある。
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■ρXY < 0 ⇒ X と Y に負の相関関係がある。
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■ρXY = 0 ⇒ X と Y は無相関である。
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6.3 独立性
定義 11 ２つの離散確率変数 X と Y について、すべての i, j に関し
pX,Y (xi , yj ) = pX (xi ) pY (yj )
が成り立つとき、X と Y は互いに独立であるという。
• X と Y が無相関であっても、必ずしも独立ではない。
– X と Y が無相関とは、X と Y に線形関係が見られないとい
う意味である。
– X と Y が独立ならば、これらは必ず無相関である。
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6.4 収益率の共分散・相関係数の計算
• 収益率の共分散・相関係数も、やはり母集団に関する母数（パラ
メータ）である。
– これらを推測するには、過去のデータに頼るしかない。
• エクセルで共分散・相関係数を推測する場合、以下の関数を用いる。
1. “COVAR”⇒ 標本共分散
2. “CORREL”⇒ 標本相関係数
練習 12 エクセル・ファイル“ln04.xls”には、2001 年 1 月から 2012 年
9 月までの Intel Corporation (INTC) および Microsoft Corporation
(MSFT) の NASDAQ 月次株価データ（単位：米ドル）が与えられてい
る。これらの収益率に関する共分散・相関係数を計算せよ。
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7 ポートフォリオの期待値と分散
7.1 ２つの確率変数の期待値に関する性質
結論 13 確率変数 X と Y の和 X + Y および積 XY の期待値に関して、
次の性質が成り立つ。
1. 和の期待値は期待値の和に等しい。
E (X + Y ) = E (X) + E (Y )
2. 確率変数 X と Y が無相関である場合（独立である場合を含む）、積
の期待値は期待値の積に等しい。
E (XY ) = E (X) E (Y )
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7.2 ２つの確率変数の分散に関する性質
結論 14 確率変数 X と Y の和 X + Y の分散は
V ar (X + Y ) = V ar (X) + V ar (Y ) + 2Cov (X, Y )
である。ただし、確率変数 X と Y が無相関である場合（独立である場合
を含む）、
V ar (X + Y ) = V ar (X) + V ar (Y )
が成り立つ。
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7.3 ポートフォリオのリスクとリターン
• 様々な資産の組合せをポートフォリオという。
• 手持ち資金の α% を株式 A、残り (1 − α) % を株式 B に投資する
ようなポートフォリオを考える。
– 以下の表記を用いる。
1. 株式 A と B の収益率：rA , rB
2. 株式 A と B の期待収益率：E (rA ) , E (rB )
2
2
= V ar (rA ) , σB
=
3. 株式 A と B の収益率の分散：σA
V ar (rB )
4. 株式 A と B の収益率の共分散：σAB = Cov (rA , rB )
5. 株式 A と B の収益率の相関係数：ρAB = σAB / (σA σB )
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• このポートフォリオの収益率 rP に関して、以下の関係が成り立つ。
rP = αrA + (1 − α) rB
– このポートフォリオの期待収益率は
E (rP ) = αE (rA ) + (1 − α) E (rB ) ,
(1)
さらに、収益率の分散は
σP2 = V ar (rP )
2
2
2
= α2 σA
+ 2α (1 − α) σAB + (1 − α) σB
2
2
2
+ 2α (1 − α) σA σB ρAB + (1 − α) σB
= α2 σA
となる。
練習 15（1）および（2）が成り立つことを示せ。
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(2)
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7.4 ポートフォリオのリスクとリターンとの関係
• リスク σP を横軸、リターン E (rP ) を縦軸にとり、リスクとリター
ンとの関係を図示する。
• 株式 A と B の収益率に関する条件を以下のように設定する。
– E (rA ) = 0.03
– E (rB ) = 0.06
– σA = 0.2
– σB = 0.4
• ρAB を [−1, 1] の範囲で変化させると、このポートフォリオのリス
クとリターンの関係はどのようになるか？
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