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京大数学
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京大
０１年
数学
x y 平面上の曲線 C : y = x3
上の点Ｐにおける接線を、
Ｐを中心にして反時計回りに４５°回転して得られる直線を
C
と
L
が、相異なる３点で交わるようなＰの範囲を示せ。
【答案】
y = x3
...
①
y = 3 x2
p 3 ) における接線と
①上の点Ｐ ( p ,
x 軸とのなす角を
とすると
tan = 3 p 2
直線
L
の傾きは
1+ 3 p2
tan
+
tan
45
°
tan ( + 45° ) =
=
1 tan tan 45° 1 3 p 2
よって
直線
y=
の方程式は
L
1+ 3 p
(x
1 3 p2
2
p ) + p3
...
②
①、②を連立させて
1+ 3 p2
x =
(x
1 3 p2
3
p ) + p3
p ) x2 + p x + p2 +
(x
3 p2 +1
=0
3 p2 1
...
③
3 p2 +1
とおくと
3 p2 1
3 p2 +1 9 p4 +1
2
f ( p) = 3 p +
=
0 だから
3 p2 1 3 p2 1
f ( x ) は x p を因数に持たない
f ( x) = x 2 + p x + p 2 +
ここで
したがって
すなわち
C
と
L
が相異なる３点で交わる、
③が相異なる３つの実数解を持つための条件は
3 p2 +1
f ( x) = x + p x + p +
=0
3 p2 1
2
2
...
④
が相異なる２つの実数解を持つことである
④の判別式を
として
D
3 p2 +1
>0
D= p 4 p +
3 p2 1
9 p4 + 9 p2 + 4
<0
3 p2 1
2
2
9 p4 + 9 p2 + 4 > 0
だから
3 p2 1 < 0
∴
ゆえに
3 < p< 3
3
3
求める点Ｐの範囲は
曲線
y = x 3 のうち
3 < x < 3 の部分
3
3
L
とする。